全纯曲线族在导曲线与分担超平面情形下的正规定则

The Normality Criterion of the Family of Holomorphic Curves in the Case of Sharing Hyperplanes and Derivative Curves

摘要: 基于值分布理论、正规族理论及高等代数方法，本文研究了复射影空间中全纯曲线族与导曲线的关系，探讨了其在分担超平面情形下的正规性，并证明了当$N=5$ 时全纯曲线族的正规性准则。设$ℱ$ 是从$D\subset ℂ$ 到${\mathbb{P}}^5\left(ℂ\right)$ 的一族全纯映射，$H_{\ell }=\left\{x\in {\mathbb{P}}^5\left(ℂ\right):\langle x,a_{\ell }\rangle =0\right\}\ne H_0=\left\{x_0=0\right\}$ 是${\mathbb{P}}^5\left(ℂ\right)$ 上处于一般位置的超平面，其中${\alpha }_{\ell }={\left(a_{\ell 0},a_{\ell 1},a_{\ell 2},a_{\ell 3},a_{\ell 4},a_{l5}\right)}^{\text{T}},\ell =1,2,\cdots ,14$ 。假定对任意的$f\in ℱ$ 满足条件：$f\left(z\right)\in H_{\ell }$ 当且仅当$\nabla f\in H_{\ell },\ell =1,2,\cdots ,14$ ；若$f\left(z\right)\in H_{\ell }$ 的并集，则有$\left|f\left(z\right),H_0\right|/\Vert f\Vert \Vert H_0\Vert \ge \delta$ ，$\delta$ 是常数，则$ℱ$ 在$D$ 上正规。

Abstract: Based on the theory of value distribution, the theory of normal families and methods of advanced algebra, this paper studies the relationship between families of holomorphic curves and their derivative curves in complex projective space, explores their normality in the case of sharing hyperplanes, and proves the normality criterion for families of holomorphic curves when $N=5$ . Let $ℱ$ be a family of holomorphic maps of a domain $D\subset ℂ$ into ${\mathbb{P}}^5\left(ℂ\right)$ . Let $H_{\ell }=\left\{x\in {\mathbb{P}}^5\left(ℂ\right):\langle x,a_{\ell }\rangle =0\right\}\ne H_0=\left\{x_0=0\right\}$ be hyperplanes in ${\mathbb{P}}^5\left(ℂ\right)$ located in general position, where ${\alpha }_{\ell }={\left(a_{\ell 0},a_{\ell 1},a_{\ell 2},a_{\ell 3},a_{\ell 4},a_{l5}\right)}^{\text{T}},\ell =1,2,\cdots ,14$ Assume the following conditions hold for every $f\in ℱ$ : $f\left(z\right)$ belongs to $H_{\ell }$ , if and only if $\nabla f$ belongs to $H_{\ell },\ell =1,2,\cdots ,14$ ; if $f\left(z\right)$ belongs to the union set of $H_{\ell }$ , then $\left|f\left(z\right),H_0\right|/\Vert f\Vert \Vert H_0\Vert \ge \delta$ is equal or greater than $\delta$ , where $\delta$ is a constant. Then $ℱ$ is normal on $D$ .

1. 引言

20世纪20年代，芬兰数学家R. Nevanlinna创立了复平面$C$ 上亚纯函数的值分布理论，这一被誉为该世纪最重要的数学理论之一，后来以他的名字命名为Nevanlinna理论。该理论包含两大核心定理：Nevanlinna第一基本定理，其源于Possion-Jensen公式；以及第二基本定理，它极大地拓展了Picard小定理的适用范围。该理论不仅在复分析领域影响深远，还被广泛应用于亚纯函数唯一性理论、正规族理论、复动力系统和复微分方程等领域。此外，由于Nevanlinna理论的深刻性，众多杰出数学家不断推进其在特殊复流形上全纯映射的高维推广，使得高维值分布理论至今仍是研究热点，并成为连接分析学、微分几何、代数几何与数论的重要桥梁。

在复分析研究中，正规族理论占据着重要地位，其核心内容是对具有某些共同性质的函数族的紧性特征进行分析。该理论不仅具有突出的理论意义，更在实践应用中体现出显著价值，对复动力系统、复微分方程、亚纯函数模分布以及整函数唯一性等诸多方向的研究都产生了深远影响。

从20世纪20年代至80年代中期，学界主要采用Miranda提出的消去原始值方法来研究正规定则。然而，这一方法不仅需要高超的技巧，还使得某些正规定则的证明过程变得异常繁琐。1975年，以色列数学家Zalcman基于Marty正规定则，提出了判定亚纯函数族非正规性的充要条件，由此推导出一个重要的结论，即著名的Zalcman引理。随后，我国学者进一步将Zalcman引理与函数导数相结合，提出了Zalcman-Pang引理[1]，为判断亚纯函数族的正规性提供了新的工具。这一突破性进展不仅简化了原有正规定则的证明过程，还开创了一系列新的正规定则，推动正规族理论研究进入全新阶段。

如今，亚纯函数正规族理论已取得显著突破。国内外研究者通过结合值分布理论的最新成果，将研究视野拓展至多复变全纯映射的正规性问题。

在强分担超平面的假设下，陈智华、颜启明等学者[2]对两个非常值全纯曲线进行了深入分析，成功推导出全纯曲线的唯一性定理。

定理1 $f$ 和$g$ 是从$C$ 到$P^N\left(C\right)$ 的2个非常数全纯曲线，$1\le l\le q$ ，$H_l$ 是$q$ 个$P^N\left(C\right)$ 上的超平面，且处于一般位置，并使得，$f\left(\begin{array}{c}z\end{array}\right)$ 和$g\left(z\right)$ 分担$H_l,1\le l\le q$ 。如果$q\ge 2N+3$ ，则$f=g$ 。

基于广义Zalcman引理，杨刘等学者[3]，对涉及分担超平面的全纯曲线的正规定则进行了研究，成功证明了如下定理。

定理2 设$ℱ\subset \mathscr{H}\left(D;{\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)\right)$ 为从$D\subset C$ 到${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线族，$H_l$ 是$q\ge 2N+1$ 个在${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 上的超平面，且处于一般位置，$1\le l\le q$ 。若对于任意的$f,g\in ℱ,f\left(\begin{array}{c}z\end{array}\right)\in H_l\iff g\left(\begin{array}{c}z\end{array}\right)\in H_l,z\in D,1\le l\le q$ ，则$ℱ$ 在$D$ 上正规。

后续研究中，叶亚盛、庞学诚和杨刘[4]进一步考察了全纯曲线$f$ 与其导曲线$\nabla f$ 共同满足超平面分担条件的情形，由此得到并证明了如下正规定则。

定理3 设$ℱ$ 为区域$D\subset C$ 映到${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 上的全纯曲线族，$H_1,H_2,\cdots ,H_{2N+1}$ 是${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 上的超平面，且处于一般位置。若对于任意的$f\in ℱ$ ，满足下列条件：

(i) 对所有的$l=1,2,\cdots ,2N+1$ ，$f\left(z\right)$ 与$\nabla f\left(z\right)$ 在$D$ 上分担$H_l$ ；

(ii) 若$f\left(z\right)\in {\displaystyle \underset{l=1}{\overset{2N+1}{\cup }}{H}_l}$ ，则$\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$ ，这里$\delta$ 为$0<\delta <1$ 的常数，$H_0=\left\{x_0=0\right\}$ 。

则$ℱ$ 在$D$ 上正规。

这里的分担不仅要求$f^{-1}\left(H\right)=\nabla f^{-1}\left(H\right)$ ，而且要求在满足$f^{-1}\left(H\right)=\nabla f^{-1}\left(H\right)$ 的那些点上有$f\left(\begin{array}{c}z\end{array}\right)=\nabla f\left(\begin{array}{c}z\end{array}\right)$

基于文献4关键定理的证明思路，刘晓俊、庞学诚及其合作者[5]通过两个方面的改进：一是减弱“强分担”条件，二是对超平面第一系数加以限定，最终证明了如下定理。

定理4 设$ℱ$ 为区域$D\subset C$ 映到$P^N\left(C\right)$ 上的一族全纯映射。

$H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^{\mathbb{N}}\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}$ 是$P^N\left(C\right)$ 上的超平面，且处于一般位置。其中，${\alpha }_l={\left(\begin{array}{c}{a}_{l0},\cdot \cdot \cdot ,a_{lN}\end{array}\right)}^{\text{T}}$ 和$a_{l0}\ne 0,l=1,2,\cdots ,2N+1$ 若对任意的$f\in ℱ$ ，满足下列条件：

(i) 若$f\left(z\right)\in H_l$ ，则$\nabla f\in H_l,l=1,2,\cdots ,2N+1$ ；

(ii) 若$f\left(z\right)\in {\displaystyle \underset{l=1}{\overset{2N+1}{\cup }}{H}_l}$ ，则$\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$ ，其中$\delta$ 是满足$0<\delta <1$ 的常数，$H_0=\left\{x_0=0\right\}$ 。

则$ℱ$ 在$D$ 上正规。

问题 若去掉“超平面首项系数非零”这个限制条件，结论是否仍旧成立？

在后续研究中，刘晓俊与庞学诚[6]进一步改进定理条件，取消了$P^2\left(C\right)$ 中“超平面第一系数非零个数的限制”要求，从而证明了定理5。

定理5 设$ℱ$ 为区域$D\subset C$ 映到$P^2\left(C\right)$ 上的一族全纯映射。

$H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0=\left\{x_0=0\right\}$ 是$P^2\left(C\right)$ 上的超平面，且处于一般位置。其中${\alpha }_l={\left(a_{l0},a_{l1},a_{l2}\right)}^{\text{T}},l=1,2,3,4,5$ 。若对于任意的$f\in ℱ$ ，满足下列条件：

(i) 若$f\left(z\right)\in H_l$ ，当且仅当$\nabla f\in H_l,l=1,2,3,4,5$ ；

(ii) 若$f\left(z\right)\in {\displaystyle \underset{l=1}{\overset{5}{\cup }}{H}_l}$ ，则$\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$ ，其中$\delta$ 是满足$0<\delta <1$ 的常数。

则$ℱ$ 在$D$ 上正规。

然而，定理5的证明技术存在局限性，无法适用于更高维$N\ge 3$ 的情况。为此，郑晓杰等研究者[7]专门研究了$N=3$ 的情形，通过结合高等代数和值分布理论的方法，成功证明了定理6。

定理6 设$ℱ$ 为区域$D\subset C$ 映到$P^3\left(C\right)$ 上的一族全纯映射。

$H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0=\left\{x_0=0\right\}$ 是$P^3\left(C\right)$ 上的超平面，且处于一般位置。其中${\alpha }_l={\left(a_{l0},a_{l1},a_{l2},a_{l3}\right)}^{\text{T}},l=1,2,3,4,5,6,7,8$ 若对于任意的$f\in ℱ$ ，满足下列条件：

(i) 若$f\left(z\right)\in H_l$ 当且仅当$\nabla f\in H_l,l=1,2,3,4,5,6,7,8$ ；

(ii) 若$f\left(z\right)\in {\displaystyle \underset{l=1}{\overset{8}{\cup }}{H}_l}$ ，则$\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$ ，其中$\delta$ 是满足$0<\delta <1$ 的常数。

则$ℱ$ 在$D$ 上正规。

上述定理研究的是$N=3$ 时超平面处于一般位置的情形，随后范楚君等[8]在此基础上对$N=3$ 时，超平面处于t次一般位置时全纯函数族的正规性进行了研究。

随后，张爽等[9]将定理6所描述的定理推广到了4维情况，即定理7。

定理7 设$ℱ$ 为区域$D\subset C$ 映到$P^4\left(C\right)$ 上的一族全纯映射。

$H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^4\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0=\left\{x_0=0\right\}$ 是$P^4\left(C\right)$ 上的超平面，且处于一般位置。其中${\alpha }_l={\left(a_{l0},a_{l1},a_{l2},a_{l3},a_{l4}\right)}^{\text{T}},l=1,2,\cdots ,11$ 若对于任意的$f\in ℱ$ ，满足下列条件：

(i) 若$f\left(z\right)\in H_l$ 当且仅当$\nabla f\in H_l,l=1,2,\cdots ,11$ ；

(ii) 若$f\left(z\right)\in {\displaystyle \underset{l=1}{\overset{11}{\cup }}{H}_l}$ ，则$\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$ ，其中$\delta$ 是满足$0<\delta <1$ 的常数。

则$ℱ$ 在$D$ 上正规。

本文继续研究$N=5$ 时定理7所描述的问题，由定理4可知，此时需要$2N+1=11$ 个首系非零的超平面，所需分担的超平面$2N+1$ 个是不够的，因此应适当的增加分担超平面的个数，研究分担$2N+4=14$ 个超平面且11个首项系数非零的超平面，发现结论仍然成立，即定理8，此定理是对5维复射影空间全纯映射及其导曲线在分担14个超平面时的正规性进行了研究。

定理8 设$ℱ$ 为区域$D\subset C$ 映到$P^5\left(C\right)$ 上的一族全纯映射。$H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^5\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0=\left\{x_0=0\right\}$ 是$P^5\left(C\right)$ 上的超平面，且处于一般位置。其中${\alpha }_l={\left(a_{l0},a_{l1},a_{l2},a_{l3},a_{l4},a_{l5}\right)}^{\text{T}},l=1,2,\cdots ,14$ 若对于任意的$f\in ℱ$ ，满足下列条件：

(i) 若$f\left(z\right)\in H_l$ 当且仅当$\nabla f\in H_l,l=1,2,\cdots ,14$ ；

(ii) 若，则$\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$ ，其中$\delta$ 是满足$0<\delta <1$ 的常数。

则$ℱ$ 在$D$ 上正规。

2. 重要概念

首先介绍$P^N\left(C\right)$ 相关的一些定义和概念。

${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)={ℂ}^{N+1}\setminus \left\{0\right\}/~$ 为$N$ 维复射影空间，对$x=\left(\begin{array}{c}{x}_0,x_1,\cdots ,x_N\end{array}\right)$ ，$y=\left(\begin{array}{c}{y}_0,y_1,\cdots ,y_N\end{array}\right)$ ；${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)={ℂ}^{N+1}\setminus \left\{\begin{array}{c}0\end{array}\right\},x~y$ 当且仅当存在$\lambda \in C$ ，使得$\left(\begin{array}{c}{x}_0,x_1,\cdots ,x_N\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}{y}_0,y_1,\cdots ,y_N\end{array}\right)$ 。$\left(\begin{array}{c}{x}_0,x_1,\cdots ,x_N\end{array}\right)$ 的等价类定义为$\left[\begin{array}{c}{x}_0:x_1:\cdots :x_N\end{array}\right]$ ，${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)=\left\{x=\left[\begin{array}{c}{x}_0:x_1:\cdots :x_N\end{array}\right]:x=\left(\begin{array}{c}{x}_0,x_1,\cdots ,x_N\end{array}\right)\in {ℂ}^{N+1}\setminus \left\{\begin{array}{c}0\end{array}\right\}\right\}$ 。$H_1,H_2,\cdots ,H_q$ 为${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 上的超平面，它们定义

$H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =a_{l0}{x}_0+a_{l1}{x}_1+\cdots +a_{lN}{x}_N=0\right\}$

其中，非零向量${\alpha }_l={\left(\begin{array}{c}{a}_{l0},a_{l1},\cdots ,a_{lN}\end{array}\right)}^{\text{T}},l=1,2,\cdots ,q$ 。

在${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中可引入一个自然度量，即对于点$\left[\omega \right]$ 和$\left[{\omega }^{\prime }\right]$ 之间的距离，采用$C^{N+1}$ 中2个圆$\gamma$ 和${\gamma }^{\prime }$ 之间的欧式距离来表示，其中$\gamma$ 和${\gamma }^{\prime }$ ，分别代表在球面$S^{2N+1}$ 上的这2个点(这里取$\left|\omega \right|=\left|{\omega }^{\prime }\right|=1$ )。简单计算可得

${\rho }^2\left(\left[\omega \right],\left[{\omega }^{\prime }\right]\right)=\underset{\theta ,{\theta }^{\prime }}{\min }{\left|\omega {\text{e}}^{i\theta }-{\omega }^{\prime }{\text{e}}^{i{\theta }^{\prime }}\right|}^2=\underset{\theta ,{\theta }^{\prime }}{\min }2\left\{1-\text{Re}\left[\left(\omega ,{\omega }^{\prime }\right){\text{e}}^{i\left(\theta -{\theta }^{\prime }\right)}\right]\right\}=2\left(1-\left|\left(\omega ,{\omega }^{\prime }\right)\right|\right)$ .

对于一般的$\omega ,{\omega }^{\prime }$ ，${\rho }^2\left(\left[\omega \right],\left[{\omega }^{\prime }\right]\right)=2\left(1-\frac{\left|\left(\omega ,{\omega }^{\prime }\right)\right|}{\left|\omega \right|\left|{\omega }^{\prime }\right|}\right)$ ，再假设${\omega }^{\prime }=\omega +\text{d}\omega$ ，并舍去$\left|\text{d}\omega \right|$ 的二阶以上的小量，得到相应的度量形式：

$\text{d}{s}^2=\frac{\left(\begin{array}{c}\omega ,\omega \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\text{d}\omega ,\text{d}\omega \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\omega ,\text{d}\omega \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\text{d}\omega ,\omega \end{array}\right)}{{\left(\begin{array}{c}\omega ,\omega \end{array}\right)}^2}$

称这个度量为富比尼–施图迪(Fubini-Study)度量，它是$\overline{ℂ}={\mathbb{P}}^1\left(ℂ\right)$ 上的球面度量在高维复射影空间中的推广。特别地，当$N=1$ 时，引进局部坐标$z=\frac{{\omega }_1}{{\omega }_0}$ ，此时$\text{d}{s}^2=\frac{{\left|\text{d}z\right|}^2}{{\left(1+{\left|z\right|}^2\right)}^2}$ 。

定义1 设$H_1,H_2,\cdots ,H_q\left(q\ge N+1\right)$ 是${\mathbb{P}}^N\left(C\right)$ 中的$q$ 个超平面，定义$D\left(H_1,\cdots ,H_q\right)={\displaystyle \prod _{1\le l_1<l_2<\cdots <l_{N+1}\le q}\left|\det \left({\alpha }_{l1}^{\text{T}},\cdots ,{\alpha }_{lN+1}^{\text{T}}\right)\right|}$ ，我们称超平面$H_1,H_2,\cdots ,H_q$ 在${\mathbb{P}}^N\left(C\right)$ 处于一般位置，若$D\left(H_1,H_2,\cdots ,H_q\right)>0$ 。

其次，令$f:D\to {\mathbb{P}}^N\left(C\right)$ 为全纯映射，$U\subset D$ 是开集，对于任何全纯映射$f:U\to C^{N+1}$ ，使得$\mathbb{P}\left(f\left(z\right)\right)\equiv f\left(z\right),z\in U$ ，称$f$ 为在$U$ 上的一个代表，其中，$\mathbb{P}:{ℂ}^{N+1}\backslash \left\{\begin{array}{c}0\end{array}\right\}\to {\mathbb{P}}^{\mathbb{N}}\left(ℂ\right)$ 为标准商映射。

定义2 设$U\subset D$ 是开集，若$f_0,f_1,\cdots ,f_N$ 在$U$ 内全纯且无公共零点，则称$\tilde{f}=\left(\begin{array}{c}{f}_0,f_1,\cdot \cdot \cdot ,f_N\end{array}\right)$ 为$f$ 在$U$ 上的一个既约表示。

设$H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}$ 是一个超平面，定义$\Vert H\Vert =\Vert \alpha \Vert =\underset{0\le i\le N}{\max }\left|a_i\right|$ 。本文只考虑满足$\Vert H\Vert =1$ 的标准化超平面。

对于全纯映射$f$ 的既约表示$\tilde{f}$ ，定义全纯函数

$\langle f\left(z\right),H\rangle =\langle \tilde{f}\left(z\right),\alpha \rangle ={\displaystyle \sum _{i=0}^N{a}_i{f}_i\left(z\right)}$

再取

$\Vert f\Vert =\Vert \tilde{f}\left(z\right)\Vert ={\left\{{\displaystyle \sum _{i=0}^N{\left|f_i\left(z\right)\right|}^2}\right\}}^{1/2}$ .

根据文献[4]中定义的导曲线，可得如下定义。

定义3 设$f$ 是从$D$ 到${\mathbb{P}}^{\mathbb{N}}\left(ℂ\right)$ 的全纯映射，$\tilde{f}=\left(\begin{array}{c}{f}_0,f_1,\cdot \cdot \cdot ,f_N\end{array}\right)$ 是$f$ 在$D$ 上的任意既约表示，其中$f_{\mu \left(z\right)}\cancel{\equiv }0$ ，$\mu \in \left\{\begin{array}{c}1,2,\cdots ,N\end{array}\right\}$ 则有

${\nabla }_{\mu }\left(f\left(z\right)\right)=\left[W\left(f_{\mu },f_0\right)/d:\cdots :W\left(f_{\mu },f_{\mu -1}\right)/d:f_{\mu }^2/d:W\left(f_{\mu },f_{\mu +1}\right)/d:\cdots :W\left(f_{\mu },f_N\right)/d\right]$

被称作$f$ 关于第$\mu$ 个分量的全纯导曲线，其中$d\left(z\right)$ 为全纯函数，使得$f_{\mu }^2/d$ 和$W\left(f_{\mu },f_i\right)/d$ 无公共零点，$i=0,1,\cdots ,N,i\ne \mu$ 。

简单起见，将${\nabla }_{\mu }f$ 记作$\nabla f$ ，显然，${\nabla }_{\mu }f$ 的定义与$f$ 的既约表示的选择无关。当$N=1$ 时，${\nabla }_{0}f$ 代表亚纯函数$\frac{f_1}{f_0}$ 的导数，即$f$ 的导函数$f^{\prime }$ ，而${\nabla }_{1}f$ 代表亚纯函数$\frac{f_0}{f_1}$ 的导数，即$\frac{1}{f}$ 的导函数${\left(\frac{1}{f}\right)}^{\prime }$ 。

导曲线是亚纯函数导数的推广，上述定义是推广至全纯函数导曲线的情形。借助于此将Schwick的一个涉及导数的正规定则推广至${\mathbb{P}}^{\mathbb{N}}\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线，且回到$N=1$ 的特殊情形也是对Schwick先前结果的改进。本文定理7全纯曲线及其导曲线共同分担超平面这一条件对后续证明过程中起着重要作用，可以来证明全纯曲线的导数不恒为0，从而利用引理1证明定理。

在证明定理8之前，先说明一些概念。

一般地，$D$ 是$C$ 上一个区域，$H_0=\left\{x_0=0\right\}$ 总是表示第一坐标超平面。$f_n\left(z\right)\Rightarrow f\left(z\right),z\in D$ 表示$\left\{f_n\right\}$ 在$D$ 的紧致集上关于${\mathbb{P}}^{\mathbb{N}}\left(ℂ\right)$ 上的Fubini-Study度量一致收敛于$f$ 。对于在$D$ 上的全纯曲线$f\left(z\right)$ ，$f\left(z\right)$ 在点$z$ 处的球面导数定义为$f=\frac{\left|f\wedge f^{\prime }\right|}{{\Vert f\Vert }^2}$ 。

3. 主要引理

众所周知，Zalcman正规原理和Pang-Zalcman引理在正规族理论中起着核心作用。在我们给出主要定理证明之前，需要由Aladro等[10]对Zalcman引理进行推广得到的全纯映射族的Zalcman引理，这为证明正规定则提供了有利的条件。

引理1 [10]设$ℱ$ 是一族从$C^m$ 中的双曲区域$\Omega$ 映到${\mathbb{P}}^{\mathbb{N}}\left(ℂ\right)$ 的全纯映射，若$ℱ$ 在$\Omega$ 上不正规$\iff$ 存在子列$\left\{f_n\right\}\subset ℱ$ ，点列$\left\{z_n\right\}\subset \Omega$ 且$z_n\to z_0\in \Omega$ 和正数列$\left\{{\rho }_n\right\}$ 满足${\rho }_n\to 0$ ，使得

$g_n\left(\zeta \right):=f_n\left(z_n+{\rho }_n\zeta \right)$

在$C^m$ 上内闭一致收敛于从$C^m$ 映射到$P^N\left(C\right)$ 的非常数全纯映射$g$ 。

为了本文定理8的证明，还需引入如下的Hurwitz引理。

引理2 (Hurwitz引理) [4]设域$D\subset C$ 中的全纯函数序列$\left\{f_n\left(z\right)\right\}$ 在$D$ 的任意一个紧子集上内闭一致收敛于非常值的函数$f\left(z\right)\in H\left(D\right)$ 。若$a\in C$ 是任意一个复数，存在点$z_0\in D$ ，使得$f\left(z_0\right)=a$ ，则对于每一个充分大的$n$ ，方程$f_n\left(z\right)=a$ 在$D$ 内有根。此外，存在$z_0$ 的某邻域$U$ ，使得$f\left(z\right)-a$ 与$f_n\left(z\right)-a$ 在$U$ 内零点的总数相同(计重数)。

引理3 [5]设$g=\left[g_0:\cdots :g_N\right]:ℂ\to {\mathbb{P}}^N\left(\begin{array}{c}ℂ\end{array}\right)$ 是一条全纯曲线且是有穷级的，$g_0\left(\zeta \right)$ 不恒为零，其中$N\ge 2$ 是一个整数。$H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}$ 是${\mathbb{P}}^N\left(\begin{array}{c}ℂ\end{array}\right)$ 上的超平面且处于一般位置，其第一系数$a_{l0}\ne 0$ ，$l=1,2,\cdots ,2N+1$ 。设$\tilde{g}\left(\zeta \right)=\left(g_0,g_1,\cdot \cdot \cdot ,g_N\right)\left(\zeta \right)$ 是$g$ 的任意既约表示，令

$G_l=a_{l0}+{\displaystyle \sum _{i=1}^N{a}_{li}}\frac{g_i\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)},l=1,2,\cdots ,N+1$

若$G_l\left(\zeta \right)\ne 0$ 且${G^{\prime }}_l\left(\zeta \right)\ne 0,\zeta \in C$ ，则$g$ 是线性退化的。

为了后续定理的证明，本文将Picard型定理推广至如下的引理4。

引理4 [11]设$f:C\to P^N\left(C\right)$ 是一个全纯映射，$H_1,\cdots ,H_q\left(q\ge 2N+1\right)$ 是$P^N\left(C\right)$ 上的超平面且处于一般位置。若对于每个，或者$f\left(ℂ\right)$ 恒落在$H_j$ 中，则$f$ 是常数。

引理5 [11]设$f_0,f_1,\cdots ,f_{n+1}$ 是整函数，且$f_0,f_1,\cdots ,f_{n+1}$ 不恒为0及

$f_0+f_1+\cdots +f_{n+1}=0$

考虑划分

$\left\{\begin{array}{c}0,1,\cdots ,n+1\end{array}\right\}=I_1\cup I_2\cup \cdot \cdot \cdot \cup I_k$

使得$i$ 和$j$ 属于同一个类$I_l\iff f_i=c_{ij}{f}_j,c_{ij}$ 为某个非零常数，则有对于任意的$I_l$ ，

${\displaystyle \sum _{i\in I_l}{f}_i}=0$ .

引理6 [12]若$f\left(z\right)$ 和${\phi }_v\left(z\right)\left(v=1,2,3\right)$ 是有穷平面上的亚纯函数，使得

$T\left(r,{\phi }_v\right)=o\left\{T\left(r,f\right)\right\},v=1,2,3$

则有

$\left\{1-o\left(1\right)\right\}T\left(r,f\right)<{\displaystyle \sum _{v=1}^{3}N}\left(r,\frac{1}{f-{\phi }_v}\right)+S\left(r,f\right)$

其中，$S\left(r,f\right)=o\left\{T\left(r,f\right)\right\},r\to \infty$ 。

引理7 [13]设$f\left(z\right)$ 为球面导数$f^{\#}\left(z\right)$ 有界的整函数，则$f\left(z\right)$ 的级至多为1。不要使用空格、制表符设置段落缩进，不要通过连续的回车符(换行符)调整段间距。

4. 定理8的证明

证明：假设$ℱ$ 在$D$ 上不正规，则由引理1可知，存在$z_n\to z_0\in D$ ，正点列${\rho }_n\to 0$ 和全纯映射列$f_n\to ℱ$ ，使得

$g_n\left(\zeta \right)=f_n\left(z_n+{\rho }_n\zeta \right)\Rightarrow g\left(\zeta \right),\zeta \in ℂ$

其中，$g$ 是$C$ 上有穷级的非常数全纯映射。

设$g\left(\zeta \right)=\left(g_0,g_1,g_2,g_3,g_4,g_5\right)\left(\zeta \right)$ 是$g$ 的既约表示，由于$H_l$ 处于一般位置，$1\le l\le 14$ ，故不失一般性，我们假设$H_1,H_2,\cdots ,H_{11}$ 的第一系数不为0。

4.1. 情形1：g是非线性退化的

由于$g$ 不取$H_1,H_2,\cdots ,H_{11}$ ，我们有$g_0\ne 0$ ，因此

$G_l\left(\zeta \right)=a_{l0}+a_{l1}\frac{g_1\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)}+\cdots +a_{l5}\frac{g_5\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)}\ne 0,l=1,2,\cdots ,11$

断言a：${G^{\prime }}_l\left(\zeta \right)\ne 0,\zeta \in C$ 。

断言a的证明：

(1) 若${G^{\prime }}_l\left(\zeta \right)\equiv 0$ ，则$G_l\left(\zeta \right)\equiv C_l$ ，其中$C_l$ 是一个常数。则$a_{l1}{g}_1\left(\zeta \right)+\cdots +a_{l5}{g}_5\left(\zeta \right)-C_l{g}_0\left(\zeta \right)\equiv 0$ 。由于$H_l\ne H_0$ ，我们有$a_{l1},\cdots ,a_{l5}$ 不恒为0，则$g$ 是线性退化的，矛盾。

(2) ${G^{\prime }}_l\left(\zeta \right)$ 不恒为0，但存在${\zeta }_0\in C$ 使得${G^{\prime }}_l\left({\zeta }_0\right)=0$ 。

(i) $g_0\left({\zeta }_0\right)\ne 0$

设$g_n\left(\zeta \right)=\left(g_{n0},g_{n1},\cdots ,g_{n5}\right)\left(\zeta \right)$ 是$g_n\left(\zeta \right)$ 在$U\left({\zeta }_0\right)$ 的既约表示，则

$a_{l1}{\left(\frac{g_{n1}\left(\zeta \right)}{g_{n0}\left(\zeta \right)}\right)}^{\prime }+\cdots +a_{l5}{\left(\frac{g_{n5}\left(\zeta \right)}{g_{n0}\left(\zeta \right)}\right)}^{\prime }+{\rho }_n{a}_{l0}\Rightarrow a_{l1}{\left(\frac{g_1\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)}\right)}^{\prime }+\cdots +a_{l5}{\left(\frac{g_5\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)}\right)}^{\prime }$

在$U\left({\zeta }_0\right)$ 上。由Hurwitz定理，存在${\zeta }_n\to {\zeta }_0$ ，使得

${a_{l1}{\left(\frac{g_{n1}\left(\zeta \right)}{g_{n0}\left(\zeta \right)}\right)}^{\prime }+\cdots +a_{l5}{\left(\frac{g_{n5}\left(\zeta \right)}{g_{n0}\left(\zeta \right)}\right)}^{\prime }+{\rho }_n{a}_{l0}|}_{\zeta ={\zeta }_n}=0$

这意味着

$a_{l1}{{\left(\frac{f_{n1}\left(z\right)}{f_{n0}\left(z\right)}\right)}^{\prime }+\cdots +a_{l5}{\left(\frac{f_{n5}\left(z\right)}{f_{n0}\left(z\right)}\right)}^{\prime }+a_{l0}|}_{z=z_n+{\rho }_n{\zeta }_n}=0$

则${\nabla f_n|}_{z=z_n+{\rho }_n{\zeta }_n}\in H_l$ ，由定理条件(i)，我们有${f_n|}_{z=z_n+{\rho }_n{\zeta }_n}\in H_l$ ，即$g_n\left({\zeta }_n\right)\in H_l$ 。

令$n\to \infty$ ，我们有$g\left({\zeta }_0\right)\in H_l$ ，矛盾。

(ii) $g_0\left({\zeta }_0\right)=0$

由于$g$ 不取$H_l$ ，我们有$\left(a_{l1}{g}_1+\cdots +a_{l5}{g}_5\right)\left({\zeta }_0\right)\ne 0$ ，则${\zeta }_0$ 是$G_l\left(\zeta \right)$ 的极点，这意味着${G^{\prime }}_l\left({\zeta }_0\right)\ne 0$ 。断言a得证。

故$G_l\left(\zeta \right)\ne 0$ 且${G^{\prime }}_l\left(\zeta \right)\ne 0,l=1,2,\cdots ,11,\zeta \in C$ ，则由引理3可得，$g$ 是线性退化的，矛盾。

4.2. 情形2：g是线性退化的

存在不全为零的常数$k_0,k_1,k_2,k_3,k_4,k_5$ ，使得

$k_0{g}_0\left(\zeta \right)+k_1{g}_1\left(\zeta \right)+k_2{g}_2\left(\zeta \right)+k_3{g}_3\left(\zeta \right)+k_4{g}_4\left(\zeta \right)+k_5{g}_5\left(\zeta \right)\equiv 0$

由于$g_0\left(\zeta \right)$ 不恒为0，我们有

$k_0+k_1\frac{g_1\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)}+k_2\frac{g_2\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)}+k_3\frac{g_3\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)}+k_4\frac{g_4\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)}+k_5\frac{g_5\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)}\equiv 0$

• 情形2.1：$g_0,g_1,g_2,g_3,g_4$ 是线性非退化的

由于$g_0,g_1,g_2,g_3,g_4$ 线性非退化，我们有$g_0\ne 0$ ，因此

$G_l=a_{l0}+a_{l1}\frac{g_1}{g_0}+a_{l2}\frac{g_2}{g_0}+a_{l3}\frac{g_3}{g_0}+a_{l4}\frac{g_4}{g_0}+a_{l5}\frac{g_5}{g_0}\ne 0,l=1,2,\cdots ,11$

由于$g$ 线性退化，我们有

$\frac{g_5}{g_0}=-\frac{k_0}{k_5}-\frac{k_1}{k_5}\frac{g_1}{g_0}-\frac{k_2}{k_5}\frac{g_2}{g_0}-\frac{k_3}{k_5}\frac{g_3}{g_0}-\frac{k_4}{k_5}\frac{g_4}{g_0}$

因此

$G_l=a_{l0}+a_{l1}\frac{g_1}{g_0}+a_{l2}\frac{g_2}{g_0}+a_{l3}\frac{g_3}{g_0}+a_{l4}\frac{g_4}{g_0}+a_{l5}\frac{g_5}{g_0}$ (1)

$=a_{l0}-a_{l5}\frac{k_0}{k_5}+\left(a_{l1}-a_{l5}\frac{k_1}{k_5}\right)\frac{g_1}{g_0}+\cdots +\left(a_{l4}-a_{l5}\frac{k_4}{k_5}\right)\frac{g_4}{g_0}$ (2)

由于$\rho \left(G_l\right)\le 1,1\le l\le 11$ ，所以

$G_l=a_{l0}+a_{l1}\frac{g_1}{g_0}+a_{l2}\frac{g_2}{g_0}+a_{l3}\frac{g_3}{g_0}+a_{l4}\frac{g_4}{g_0}=B_l{e}^{A_l\zeta },1\le l\le 11$

特别地，当$G_l\equiv 0$ 时，$B_l=0$ 。

对于任意的$j_1,j_2,j_3,j_4,j_5\in \left\{1,2,\cdots ,11\right\}$ ，不失一般性，设$j_1=1,j_2=2,j_3=3,j_4=4,j_5=5$ 。

令$k_1{B}_1{e}^{A_1\zeta }+k_2{B}_2{e}^{A_2\zeta }+k_3{B}_3{e}^{A_3\zeta }+k_4{B}_4{e}^{A_4\zeta }+k_5{B}_5{e}^{A_5\zeta }=0$ ，其中$k_1,k_2,k_3,k_4,k_5$ 为常数。

设

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{10}& a_{20}& a_{30}& a_{40}& a_{50}\\ a_{11}& a_{21}& a_{31}& a_{41}& a_{51}\\ a_{12}& a_{22}& a_{32}& a_{42}& a_{52}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}& a_{43}& a_{53}\\ a_{14}& a_{24}& a_{34}& a_{44}& a_{54}\end{array}\right)$

由于${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4,{\alpha }_5$ 线性无关，所以$A\ne 0$ ，即$A$ 可逆。

令${\left(k_1,k_2,k_3,k_4,k_5\right)}^{\text{T}}=A^{-1}{\left(b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\right)}^{\text{T}}$ ，则

$\left(B_1{e}^{A_1\zeta },B_2{e}^{A_2\zeta },B_3{e}^{A_3\zeta },B_4{e}^{A_4\zeta },B_5{e}^{A_5\zeta }\right)A^{-1}=\left(1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0},\frac{g_3}{g_0},\frac{g_4}{g_0}\right)$

则$B_1{e}^{A_1\zeta },B_2{e}^{A_2\zeta },B_3{e}^{A_3\zeta },B_4{e}^{A_4\zeta },B_5{e}^{A_5\zeta }$ 线性退化。

断言b：存在单射$\sigma :\left\{1,2,3,4\right\}\to \left\{1,2,3,4,5\right\}$ 使得$B_{\sigma \left(1\right)}{e}^{A_{\sigma \left(1\right)}\zeta },B_{\sigma \left(2\right)}{e}^{A_{\sigma \left(2\right)}\zeta },B_{\sigma \left(3\right)}{e}^{A_{\sigma \left(3\right)}\zeta },B_{\sigma \left(4\right)}{e}^{A_{\sigma \left(4\right)}\zeta }$ 线性退化。

断言b的证明：因为$B_1{e}^{A_1\zeta },B_2{e}^{A_2\zeta },B_3{e}^{A_3\zeta },B_4{e}^{A_4\zeta },B_5{e}^{A_5\zeta }$ 线性退化，故不失一般性，假设存在常数$l_1,l_2,l_3,l_4$ 使得

$B_5{e}^{A_5\zeta }=l_1{B}_1{e}^{A_1\zeta }+l_2{B}_2{e}^{A_2\zeta }+l_3{B}_3{e}^{A_3\zeta }+l_4{B}_4{e}^{A_4\zeta }$

此时假设$\sigma \left(1\right)=1,\sigma \left(2\right)=2,\sigma \left(3\right)=3,\sigma \left(4\right)=4$ ，则有

$\left(B_1{e}^{A_1\zeta },B_2{e}^{A_2\zeta },B_3{e}^{A_3\zeta },B_4{e}^{A_4\zeta }\right)=\left(1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0},\frac{g_3}{g_0}\right)A$

故$\left(1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0},\frac{g_3}{g_0}\right)=\left(B_1{e}^{A_1\zeta },B_2{e}^{A_2\zeta },B_3{e}^{A_3\zeta },B_4{e}^{A_4\zeta }\right)A^{-1}$

令$\frac{g_j}{g_0}={\displaystyle \sum _{i=1}^4{c}_{ji}{B}_i{e}^{A_i\zeta }},j=0,1,2,3$ ，其中

$C=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{10}& c_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{20}& c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{30}& c_{31}& c_{32}& c_{33}\\ c_{40}& c_{41}& c_{42}& c_{43}\end{array}\right)$

下证$C$ 可逆：

若$r\left(C\right)\le 3$ ，则意味着方程组$C\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=0$ 有非零解，则存在不全为零的数$x_0,x_1,x_2,x_3$ 使得

$\left(B_1{e}^{A_1\zeta },B_2{e}^{A_2\zeta },B_3{e}^{A_3\zeta },B_4{e}^{A_4\zeta }\right)C\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=0$

即$\left(\begin{array}{c}1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0},\frac{g_3}{g_0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=0$ ，则$1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0},\frac{g_3}{g_0}$ 线性退化，矛盾，故$C$ 可逆。

断言b的证明：

若$B_1{e}^{A_1\zeta },B_2{e}^{A_2\zeta },B_3{e}^{A_3\zeta },B_4{e}^{A_4\zeta }$ 线性退化，则存在不全为0的数$c_0,c_1,c_2,c_3$ 使得

$\left(B_1{e}^{A_1\zeta },B_2{e}^{A_2\zeta },B_3{e}^{A_3\zeta },B_4{e}^{A_4\zeta }\right)\left(\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right)=0$

即$\left(1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0},\frac{g_3}{g_0}\right)C^{-1}\left(\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right)=0$ ，则$1,\frac{g_1}{g_0},\frac{g_2}{g_0},\frac{g_3}{g_0}$ 线性退化矛盾，故假设不成立，即 $B_1{e}^{A_1\zeta },B_2{e}^{A_2\zeta },B_3{e}^{A_3\zeta },B_4{e}^{A_4\zeta }$ 线性非退化，这意味着$A_1,A_2,A_3,A_4$ 互不相同。

因为$H_l,1\le l\le 11$ 处于一般位置，所以$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7,A_8,A_9,A_{10},A_{11}$ 中任意6个存在5个不同。

若存在$l\in \left\{1,2,\cdots ,11\right\}$ 使得$B_l=0$ ，不失一般性，令$B_{11}=0$ 则$B_i\ne 0,i=1,2,\cdots ,10$ 。

由于$B_1{e}^{A_1\zeta },B_2{e}^{A_2\zeta },B_3{e}^{A_3\zeta },B_4{e}^{A_4\zeta },B_5{e}^{A_5\zeta }$ 线性退化，故不失一般性，令$A_5=A_1$ ，则在$B_1{e}^{A_1\zeta },B_2{e}^{A_2\zeta },B_3{e}^{A_3\zeta },B_6{e}^{A_6\zeta },B_7{e}^{A_7\zeta }$ 中不存在5个线性非退化矛盾，故假设不成立，即$B_l\ne 0,l=1,2,\cdots ,11$ 。

因为$\forall j_1,j_2,j_3,j_4,j_5\in \left\{1,2,\cdots ,11\right\},B_{j_1}{e}^{A_{j_1}\zeta },B_{j_2}{e}^{A_{j_2}\zeta },B_{j_3}{e}^{A_{j_3}\zeta },B_{j_4}{e}^{A_{j_4}\zeta },B_{j_5}{e}^{A_{j_5}\zeta }$ 线性退化，

这意味着在$A_{j_1},A_{j_2},A_{j_3},A_{j_4},A_{j_5}$ 中存在两个相同，即$A_1,A_2,\cdots ,A_{11}$ 中任意5个存在2个相同。

若$A_1,A_2,A_3,A_4$ 互不相同，则$A_5$ 等于$A_1,A_2,A_3,A_4$ 中一个，不妨设$A_5=A_1$ 。类似地，$A_6$ 等于$A_1,A_2,A_3,A_4$ 中一个，不妨设$A_6=A_2$ ；$A_7$ 等于$A_1,A_2,A_3,A_4$ 中一个，不妨设$A_7=A_3$ 。

因此在$A_1,A_2,A_5,A_6,A_7$ 中不可能存在4个不同，矛盾。

故假设不成立，即$g_0,g_1,g_2,g_3,g_4$ 线性退化。

• 情形2.2：$g_0,g_1,g_2,g_3$ 是线性非退化的

此时$g_4,g_5$ 可以被$g_0,g_1,g_2,g_3$ 线性表示。由前面的分析可知：

$\forall j_1,j_2,j_3,j_4\in \left\{1,2,\cdots ,11\right\},B_{j_1}{e}^{A_{j_1}\zeta },B_{j_2}{e}^{A_{j_2}\zeta },B_{j_3}{e}^{A_{j_3}\zeta },B_{j_4}{e}^{A_{j_4}\zeta }$

线性退化，这意味着$A_{j_1},A_{j_2},A_{j_3},A_{j_4}$ 中存在两个相同，即$A_1,A_2,\cdots ,A_{11}$ 中任意4个存在2个相同。

若$A_1,A_2,A_3$ 互不相同，则$A_4$ 等于$A_1,A_2,A_3$ 中一个，不妨设$A_4=A_1$ ，则$A_5$ 只能等于$A_2$ 或$A_3$ ，假设$A_5=A_2$ ，则$A_6=A_3$ ，而$A_7$ 也等于$A_1,A_2,A_3$ 中一个，若$A_7=A_1$ ，则在$A_1,A_2,A_4,A_5,A_7$ 中不可能存在三个不同矛盾；若$A_7=A_2$ ，则在$A_1,A_2,A_4,A_5,A_7$ 中不可能存在3个不同矛盾；若$A_7=A_3$ ，则在$A_1,A_2,A_3,A_6,A_7$ 中不可能存在3个不同矛盾。

故假设不成立，即$g_0,g_1,g_2,g_3$ 线性退化。

• 情形2.3：$g_0,g_1,g_2$ 是线性非退化的

由前面的分析可知：$\forall j_1,j_2,j_3\in \left\{1,2,\cdots ,11\right\},B_{j_1}{e}^{A_{j_1}\zeta },B_{j_2}{e}^{A_{j_2}\zeta },B_{j_3}{e}^{A_{j_3}\zeta }$ 线性退化，这意味着在$A_{j1},A_{j2},A_{j3}$ 中存在两个相同。

但对于$A_1,A_2,\cdots ,A_{11}$ ，任意3个中都存在2个相同，这意味着最多只有$\lceil 11/2\rceil =6$ 个不同的值，但我们需要至少11个不同的$A_i$ 来保证$H_1,H_2,\cdots ,H_{11}$ 处于一般位置，矛盾。

故$g_0,g_1,g_2$ 线性退化。

• 情形2.4：$g_0,g_1$ 是线性非退化的

此时存在不全为0的$p_0,p_1$ 使得$p_0{g}_0+p_1{g}_1=0$ 。

(1) $p_1\ne 0$ ，则$g_1=-\frac{p_0}{p_1}{g}_0$ ，故$\frac{g_1}{g_0}=-\frac{p_0}{p_1}$ 为常数矛盾；

(2) $p_1=0$ ，则$p_0{g}_0=0$ ，而$p_0\ne 0$ ，故$g_0\equiv 0$ ，则$\frac{g_1}{g_0}\equiv 0$ 矛盾。

因此$g_0,g_1$ 线性退化。

• 情形2.5：$g_0$ 线性退化

此时$g_0\equiv 0$ ，矛盾。

4.3. 超平面首项系数的处理

对于$H_{12},H_{13},H_{14}$ ，由定理条件(ii)，若它们的首项系数为0，需要证明$\langle g,{\alpha }_l\rangle$ 的所有零点都是重级的。

断言c：$\langle g,{\alpha }_l\rangle$ 的所有零点是重级的，且$G_l$ 的所有零点也是重级的，$l=12,13,14$ 。

断言c的证明：设${\zeta }_0$ 为$\langle g,{\alpha }_l\rangle$ 的零点，由于${\alpha }_l={\left(0,a_{l1},a_{l2},a_{l3},a_{l4},a_{l5}\right)}^{\text{T}}$ ，所以

$\langle g,{\alpha }_l\rangle \left({\zeta }_0\right)=a_{l1}{g}_1\left({\zeta }_0\right)+\cdots +a_{l5}{g}_5\left({\zeta }_0\right)=0$

即$G_l\left({\zeta }_0\right)=a_{l1}\frac{g_1\left({\zeta }_0\right)}{g_0\left({\zeta }_0\right)}+\cdots +a_{l5}\frac{g_5\left({\zeta }_0\right)}{g_0\left({\zeta }_0\right)}=0$ ，故${\zeta }_0$ 也为$G_l$ 的零点。

由于存在序列$\left\{{\zeta }_n\right\}\to {\zeta }_0$ 使得$\langle g,{\alpha }_l\rangle \left({\zeta }_n\right)=0$ ，即$\langle f_{z_n+{\rho }_n{\zeta }_n},{\alpha }_l\rangle =0$ ，由定理条件(i)可知$\langle \nabla f_{z_n+{\rho }_n{\zeta }_n},{\alpha }_l\rangle =0$ ，所以

$a_{l1}{\left(\frac{g_1\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)}\right)}^{\prime }{}_{{\zeta }_n}+\cdots +a_{l5}{\left(\frac{g_5\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)}\right)}^{\prime }{}_{{\zeta }_n}=0$

令$n\to \infty$ 得：${G^{\prime }}_l\left({\zeta }_0\right)=0$ ，所以$\langle g,{\alpha }_l\rangle$ 的所有零点是重级的。

若对于任意的$\zeta \in ℂ,\langle g,{\alpha }_l\rangle \ne 0$ 或$\equiv 0,l=12,13,14$ ，则由引理2可知，$g$ 为常数曲线，矛盾。

因此存在${\zeta }_0\in ℂ$ ，使得$\langle g,{\alpha }_l\rangle \left({\zeta }_0\right)=0$ 且$\langle g,{\alpha }_l\rangle \left(\zeta \right)$ 不恒为0。

从前面的线性退化分析，我们有$g_2,g_3,g_4,g_5$ 可以被$g_0,g_1$ 线性表示，设$g_j=k_{j0}{g}_0+k_{j1}{g}_1,j=2,3,4,5$ 。则

$\begin{array}{c}{G}_l=a_{l1}\frac{g_1}{g_0}+a_{l2}\frac{g_2}{g_0}+a_{l3}\frac{g_3}{g_0}+a_{l4}\frac{g_4}{g_0}+a_{l5}\frac{g_5}{g_0}\\ =a_{l1}\frac{g_1}{g_0}+a_{l2}\left(k_{20}+k_{21}\frac{g_1}{g_0}\right)+\cdots +a_{l5}\left(k_{50}+k_{51}\frac{g_1}{g_0}\right)\\ =\left(a_{l2}{k}_{20}+\cdots +a_{l5}{k}_{50}\right)+\left(a_{l1}+a_{l2}{k}_{21}+\cdots +a_{l5}{k}_{51}\right)\frac{g_1}{g_0}\end{array}$

由于${\alpha }_{12},{\alpha }_{13},{\alpha }_{14}$ 线性无关，存在$l\in \left\{12,13,14\right\}$ 使得$a_{l1}+a_{l2}{k}_{21}+\cdots +a_{l5}{k}_{51}\ne 0$ 。

若对于这样的$l$ ，${G^{\prime }}_l\equiv 0$ ，我们有${\left(\frac{g_1}{g_0}\right)}^{\prime }\equiv 0$ ，它意味着$\frac{g_1}{g_0}\equiv c_1$ ，这与$g_0,g_1$ 线性非退化矛盾。

故存在${\zeta }_0$ 使得$\left(a_{l1}+a_{l2}{k}_{21}+\cdots +a_{l5}{k}_{51}\right){\left(\begin{array}{c}\frac{g_1}{g_0}\end{array}\right)}^{\prime }\left({\zeta }_0\right)=0$ ，即${\left(\frac{g_1}{g_0}\right)}^{\prime }\left({\zeta }_0\right)=0$ 。

这意味着$\frac{g_1}{g_0}\equiv C$ 为常数，矛盾。

综合所有情况的分析，我们发现无论$g$ 是线性非退化还是线性退化，都会导致矛盾。

因此，假设“$F$ 在$D$ 上不正规”是错误的。

所以$F$ 在$D$ 上正规。