带有媒体报道影响的SEIQRM传染病模型的研究

Research on SEIQRM Infectious Disease Model Influenced by Media Reports

摘要: 本文研究带有媒体报道影响的SEIQRM传染病模型，首先得到模型的基本再生数和平衡点，然后在$R_0<1$ 和$R_0>1$ 时分别分析平衡点的局部稳定性。最后用数值模拟说明媒体和隔离的有效性，并对模型进行敏感性分析。

Abstract: This article studies the SEIQRM infectious disease model with media coverage influence. Firstly, the basic reproduction number and equilibrium point of the model are obtained, and then the local stability of the equilibrium point is analyzed at $R_0<1$ and $R_0>1$ , respectively. Finally, numerical simulations are used to demonstrate the effectiveness of media and quarantine, and sensitivity analysis is conducted on the model.

1. 引言

近年来，媒体报道在抑制传染病传播方面发挥了重要作用，大量的新闻报道和快速的信息流动会对公众产生深远的心理影响[1]，进而改变他们的行为，如戴口罩、接种疫苗、自愿隔离、避免聚集场所等[2] [3]。由于接触率降低，新的传播将明显减少，从而降低疾病爆发的严重程度。因此，许多研究人员通过建立和分析传染病的数学模型来研究媒体报道的影响，例如：SIR、SEIR、SIQR、SVIR等模型被广泛用于分析传染病的机制[4] [5]，如结核病、破伤风、麻疹、乙型肝炎等[6]。在探究媒体报道对传染病传播的影响时，学者们通常采用媒体函数引入到模型中进行研究。而媒体影响函数有很多形式，例如[5]中假设发病率为$\mu {\text{e}}^{-mI}$ 的形式，引入到SEI模型，以纳入媒体对SARS等传染病传播的影响。[7]中采用$\mu SI/\left(1+\alpha I^2\right)$ 的媒体影响函数对SEI模型进行动力学分析。[8]中采用${\beta }_1-{\beta }_{2}I/\left(m+I\right)$ 的媒体影响函数，研究媒体报道对SEIR模型的影响。[9]中将指数型媒体影响函数引入到SQEIAR模型中，对媒体报道和无症状感染进行分析。[10]在SEIRM模型中，引入与感染人数和媒体报道强度相关联的媒体影响函数，并考虑媒体报道对传染病传播的影响。[11]在SEIM模型中引入了指数型媒体影响函数，探究媒体报道和医疗资源在影响传染病传播方面发挥的重要作用。[12]讨论了一个具有媒体报道的SEIAQR模型，探究媒体报道在传染病传播过程中的重要作用。而隔离作为传染病防控的核心非药物干预措施，对疾病防控方面发挥巨大作用，因此具有隔离项的传染病模型是非常值得研究的，[13]中提出一般饱和发病率函数$\beta I^{l}S/\left(1+k{I}^n\right)$ 对SIQS模型进行动力学分析。[14]中考虑了SIQR模型，结合饱和发病率的媒体报道函数来研究媒体报道对传染病传播的影响。

在[10]的启发下，本文建立了具有媒体报道影响的SEIQRM传染病模型，采用与感染人数和媒体报道强度相关联的媒体影响函数$f\left(I,M\right)$ ，此函数不仅考虑感染人数的变化，并且考虑媒体强度的动态变化，综合考虑二者对疾病传播的影响，具有更高的预测性和实用性。而且模型中将媒体动态方程作为单独的仓室，量化了“信息”作为一种强大的非药物干预措施的作用，将人类行为反应纳入了传染病的生态系统中，更具有现实意义。在第2节中得到在媒体报道影响下模型的基本再生数和平衡点，并对平衡点进行局部稳定性分析；在第3节中对模型进行数值模拟，说明媒体报道和隔离率$\delta$ 对抑制感染者和暴露者增加有显著影响；最后，在第4节对基本再生数进行敏感性分析，识别出传染病模型中的关键参数，为制定防控策略提供理论依据。

2. 模型建立

我们建立具有媒体报道影响的SEIQRM传染病模型，令$S\left(t\right),E\left(t\right),I\left(t\right),Q\left(t\right),R\left(t\right)$ 分别表示易感者，暴露者(已感染无症状)，感染者，隔离者和恢复者相对于人口总数的比例，并将媒体报道作为一个独立仓室$M\left(t\right)$ ，表示$t$ 时刻媒体提供关于疾病信息的数量。虽然大多数数学建模研究都将媒体影响引入传染病模型，然而，媒体报道与疾病传播之间的关系可能比这些模型所描述的更为复杂。一方面，媒体报道会影响公众对疾病的认知，并影响预防措施的有效性；另一方面，疾病的严重程度(例如感染人数)也会对大众媒体报道的深度产生影响[10]。因此，我们令光滑函数

$f\left(I,M\right)=\frac{1}{1+m_{1}I+m_{2}M}$ (1)

表示媒体影响函数，其中$m_1,m_2$ 分别表示感染者和媒体报道的媒体效应参数。该函数同时依赖于感染人数$I$ 和媒体报道水平$M$ ，体现出在传染病暴发期间，感染人数的认知和媒体报道的强度都能有效改变个体行为，更具有现实意义。假设人口总数不变，$S+E+I+Q+R=1$ 。我们把媒体报道影响函数(1)引入到SEIQRM模型中，如下：

$\{\begin{array}{l}{S}^{\prime }\left(t\right)=\mu -\beta f\left(I,M\right)SI-\mu S\\ E^{\prime }\left(t\right)=\beta f\left(I,M\right)SI-\left(\sigma +\mu \right)E\\ I^{\prime }\left(t\right)=\sigma E-\left(\gamma +\delta +\mu \right)I\\ Q^{\prime }\left(t\right)=\delta I-\left(\epsilon +\mu \right)Q\\ R^{\prime }\left(t\right)=\gamma I+\epsilon Q-\mu R\\ M^{\prime }\left(t\right)=\rho \sigma E-\alpha M\end{array}$ (2)

其中，$\mu$ 是自然出生率和死亡率，$\beta$ 是疾病传播率，$\sigma$ 表示从暴露者E向感染者I的转化率，$\delta$ 是隔离率，$\gamma$ 和$\epsilon$ 分别是从感染者I和隔离者Q恢复到易感者S的恢复率。媒体方程$M\left(t\right)$ 中的$\rho \sigma E$ 表明媒体报道强度取决于新观察到的个体($\sigma E$ )的数量，$\rho$ 是新观察个体的报告率，新观察个体数量越多，新闻越多，而$-\alpha M$ 表示媒体信息会随着时间被遗忘或过时，$\alpha$ 是媒体累积密度消耗率[10]。所有参数均为非负数。假设人口总数不变，因此，$R=1-S-E-I-Q$ ，我们只考虑如下系统：

$\{\begin{array}{l}{S}^{\prime }\left(t\right)=\mu -\beta f\left(I,M\right)SI-\mu S\\ E^{\prime }\left(t\right)=\beta f\left(I,M\right)SI-\left(\sigma +\mu \right)E\\ I^{\prime }\left(t\right)=\sigma E-\left(\gamma +\delta +\mu \right)I\\ Q^{\prime }\left(t\right)=\delta I-\left(\epsilon +\mu \right)Q\\ M^{\prime }\left(t\right)=\rho \sigma E-\alpha M\end{array}$ (3)

显然集合$R_{+}^5=\left\{\left(S,E,I,Q,M\right)|S\ge 0,E\ge 0,I\ge 0,Q\ge 0,M\ge 0\right\}$ 是非负的且为正不变集。由于$S+E+I+Q+R=1$ ，$R\ge 0$ ，所以，对于所有的$t$ ，都有$S+E+I+Q\le 1$ ，$M=\frac{\rho \sigma }{\alpha }E\le \frac{\rho \sigma }{\alpha }$ 。因此，我们只需在可行域$\Gamma$ 中研究模型(3)。

$\Gamma =\left\{\left(S,E,I,Q,M\right)\in R_{+}^5|0\le S+E+I+Q\le 1,0\le M\le \frac{\rho \sigma }{\alpha }\right\}$

2.1. 基本再生数

在流行病学中，基本再生数指的是在完全易感的人群中，一个典型的感染个体在其整个传染期内，所直接产生的新感染病例的平均数量[2]。为求解模型(2)的基本再生数，我们首先令模型(2)的等式右侧等于0，可以很容易地得到无病平衡点$E^0$

$E^0=\left(1,0,0,0,0,0\right)$

然后将模型重写为$\frac{\text{d}X}{\text{d}t}=F\left(X\right)-V\left(X\right)$ ，其中$X={\left(E,I,Q,R,M,S\right)}^{\text{T}}$ 。

$F\left(X\right)=\left[\begin{array}{c}\frac{\beta SI}{1+m_{1}I+m_{2}M}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ $V\left(X\right)=\left[\begin{array}{c}\left(\sigma +\mu \right)E\\ -\sigma E+\left(\gamma +\delta +\mu \right)I\\ -\delta I+\left(\mu +\epsilon \right)Q\\ -\gamma I-\epsilon Q+\mu R\\ -\rho \sigma E+\alpha M\\ -\mu +\frac{\beta SI}{1+m_{1}I+m_{2}M}+\mu S\end{array}\right]$

通过计算$F\left(X\right)$ ，$V\left(X\right)$ 在无病平衡点$E^0=\left(0,0,0,0,0,1\right)$ 的Jacobian矩阵得到

$F=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}0\\ 0_{5\times 1}\end{array}& \begin{array}{l}\beta \\ 0_{5\times 1}\end{array}& \begin{array}{l}{0}_{1\times 4}\\ 0_{5\times 4}\end{array}\end{array}\right]$

$V=\left[\begin{array}{cccccc}\sigma +\mu & 0& 0& 0& 0& 0\\ -\sigma & \gamma +\delta +\mu & 0& 0& 0& 0\\ 0& -\delta & \mu +\epsilon & 0& 0& 0\\ 0& -\gamma & -\epsilon & \mu & 0& 0\\ -\rho \sigma & 0& 0& 0& \alpha & 0\\ 0& \beta & 0& 0& 0& \mu \end{array}\right]$

最后计算$\rho \left(F{V}^{-1}\right)$ 得到模型(2)的基本再生数$R_0$ ，即

$R_0=\frac{\beta \sigma }{\left(\gamma +\delta +\mu \right)\left(\sigma +\mu \right)}$

2.2. 平衡点

令模型(3)的等式右侧等于0，可以很容易地得到无病平衡点$E^0=\left(1,0,0,0,0\right)$ ，而地方病平衡点为$E^{*}=\left(S_{*},E_{*},I_{*},Q_{*},M_{*}\right)$ ，满足

$\{\begin{array}{l}\mu -\beta f\left(I_{*},M_{*}\right)S_{*}{I}_{*}-\mu S_{*}=0\\ \beta f\left(I_{*},M_{*}\right)S_{*}{I}_{*}-\left(\sigma +\mu \right)E_{*}=0\\ \sigma E_{*}-\left(\gamma +\delta +\mu \right)I_{*}=0\\ \delta I_{*}-\left(\epsilon +\mu \right)Q_{*}=0\\ \rho \sigma E_{*}-\alpha M_{*}=0\end{array}$ (4)

由上式可以计算出

$S_{*}=1-\frac{\left(\sigma +\mu \right)\alpha }{\rho \sigma \mu }{M}_{*},E_{*}=\frac{\alpha }{\rho \sigma }{M}_{*},I_{*}=\frac{\alpha }{\rho \left(\gamma +\delta +\mu \right)}{M}_{*},Q_{*}=\frac{\alpha \delta }{\rho \left(\epsilon +\mu \right)\left(\gamma +\delta +\mu \right)}{M}_{*}$

和

$f\left(I_{*},M_{*}\right)=f\left(\frac{\alpha }{\rho \left(\gamma +\delta +\mu \right)}{M}_{*},M_{*}\right)=\frac{1}{1+\left(\frac{m_1\alpha }{\rho \left(\gamma +\delta +\mu \right)}+m_2\right)M_{*}}$

我们用$M_{*}$ 表示$I_{*}$ ，令$h\left(M_{*}\right)=f\left(\frac{\alpha }{\rho \left(\gamma +\delta +\mu \right)}{M}_{*},M_{*}\right)$ ，它是一个递减函数。由(4)的第二个方程我们得到$h\left(M_{*}\right)\left(1-\frac{\left(\sigma +\mu \right)\alpha }{\rho \sigma \mu }{M}_{*}\right)=\frac{\left(\sigma +\mu \right)\left(\gamma +\delta +\mu \right)}{\beta \sigma }$ ，我们令

$g\left(M\right)=h\left(M\right)\left(1-\frac{\left(\sigma +\mu \right)\alpha }{\rho \sigma \mu }M\right)-\frac{\left(\sigma +\mu \right)\left(\gamma +\delta +\mu \right)}{\beta \sigma }$

则当$R_0>1$ 时，$g\left(0\right)=1-\frac{\left(\sigma +\mu \right)\left(\gamma +\delta +\mu \right)}{\beta \sigma }>0$ 。$g\left(\frac{\rho \sigma \mu }{\left(\sigma +\mu \right)\alpha }\right)=-\frac{\left(\sigma +\mu \right)\left(\gamma +\delta +\mu \right)}{\beta \sigma }<0$ 。所以当$M_{*}<\frac{\rho \sigma \mu }{\left(\sigma +\mu \right)\alpha }$ 时，对于任意的$M_{*}$ 满足$1-\frac{\left(\sigma +\mu \right)\alpha }{\rho \sigma \mu }M>0$ ，则有

$g^{\prime }\left(M\right)=h^{\prime }\left(M\right)\left(1-\frac{\left(\sigma +\mu \right)\alpha }{\rho \sigma \mu }M\right)-h\left(M\right)\frac{\left(\sigma +\mu \right)\alpha }{\rho \sigma \mu }<0$

因此，当$R_0>1$ 时，$g\left(M_{*}\right)=0$ 有且仅有一个根$M_{*}$ 。

$M_{*}=\frac{\rho \mu \left(\gamma +\delta +\mu \right)\left(R_0-1\right)}{\beta \alpha +m_1\alpha \mu +m_2\rho \mu \left(\gamma +\delta +\mu \right)}$

显然，当$R_0>1$ 时，地方病平衡点$E^{*}$ 存在。

2.3. 平衡点的局部稳定性

2.3.1. 无病平衡点的局部稳定性

定理1 当$R_0<1$ 时，模型(3)的无病平衡点$E^0=\left(1,0,0,0,0\right)$ 在$\Gamma$ 中是局部稳定的。当$R_0>1$ 时，模型(3)的无病平衡点$E^0$ 是不稳定的。

证明：模型(3)在$E^0$ 处的Jacobian矩阵为

$J\left(E^0\right)=\left[\begin{array}{ccccc}-\mu & 0& -\beta & 0& 0\\ 0& -\left(\sigma +\mu \right)& \beta & 0& 0\\ 0& \sigma & -\left(\gamma +\delta +\mu \right)& 0& 0\\ 0& 0& \delta & -\left(\epsilon +\mu \right)& 0\\ 0& \rho \sigma & 0& 0& -\alpha \end{array}\right]$

我们得到平衡点$E^0$ 的特征方程为

$\left(\lambda +\mu \right)\left(\lambda +\alpha \right)\left(\lambda +\epsilon +\mu \right)\left[\left(\lambda +\sigma +\mu \right)\left(\lambda +\gamma +\delta +\mu \right)-\sigma \beta \right]=0$

可以很容易得出特征方程的其中三个特征值为${\lambda }_1=-\mu ,{\lambda }_2=-\alpha ,{\lambda }_3=-\epsilon -\mu$ 均小于0，而其他特征值由以下式子给出

$\left(\lambda +\sigma +\mu \right)\left(\lambda +\gamma +\delta +\mu \right)-\alpha \beta =0$

我们计算出上式中$\Delta ={\left(\sigma -\gamma -\delta \right)}^2+4\sigma \beta >0$ ，所以上式存在两个特征值${\lambda }_4$ ，${\lambda }_5$ ，并且

${\lambda }_4+{\lambda }_5=-\left(\sigma +\gamma +\delta +2\mu \right)<0$

${\lambda }_4{\lambda }_5=\left(\sigma +\mu \right)\left(\gamma +\delta +\mu \right)-\sigma \beta$

只有${\lambda }_4{\lambda }_5>0$ ，即$R_0<1$ 时，特征值${\lambda }_4$ ，${\lambda }_5$ 均小于0，此时特征方程的特征值均为负的。所以，当$R_0<1$ 时，无病平衡点$E^0$ 在$\Gamma$ 中是局部稳定的。当$R_0>1$ 时，无病平衡点$E^0$ 是不稳定的。

2.3.2. 地方病平衡点的局部稳定性

定理2 当$R_0>1$ 时，模型(3)的地方病平衡点$E^{*}=\left(S_{*},E_{*},I_{*},Q_{*},M_{*}\right)$ 在$\Gamma$ 中是局部稳定的。

证明：当$R_0>1$ 时，模型(3)在$E^{*}$ 处的Jacobian矩阵为

$J\left(E^{*}\right)=\left[\begin{array}{ccccc}-\frac{\beta I_{*}}{1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}}-\mu & 0& -\frac{\beta S_{*}}{1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}}+\frac{m_1\beta S_{*}{I}_{*}}{{\left(1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}\right)}^2}& 0& 0\\ \frac{\beta I_{*}}{1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}}& -\left(\sigma +\mu \right)& \frac{\beta S_{*}}{1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}}-\frac{m_1\beta S_{*}{I}_{*}}{{\left(1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}\right)}^2}& 0& 0\\ 0& \sigma & -\left(\gamma +\delta +\mu \right)& 0& 0\\ 0& 0& \delta & -\left(\epsilon +\mu \right)& 0\\ 0& \rho \sigma & 0& 0& -\alpha \end{array}\right]$

可以很容易得出平衡点$E^{*}$ 特征方程的其中两个特征值为${\lambda }_1=-\left(\epsilon +\mu \right),{\lambda }_2=-\alpha$ 均小于0。由(4)的第二个方程可知$\frac{\beta S_{*}{I}_{*}}{1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}}=\left(\sigma +\mu \right)E_{*}$ ，再用$M_{*}$ 表示$E_{*}$ ，$I_{*}$ ，得到$\frac{\beta S_{*}}{1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}}=\frac{\left(\sigma +\mu \right)\left(\gamma +\delta +\mu \right)}{\sigma }$ 。所以我们将$J\left(E^{*}\right)$ 进行简化，则平衡点$E^{*}$ 特征方程的另外三个特征值也是以下矩阵的特征值

$J^{*}\left(E^{*}\right)=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\beta I_{*}}{1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}}-\mu & 0& -\frac{\left(\sigma +\mu \right)\left(\gamma +\delta +\mu \right)}{\sigma }+\frac{m_1\beta S_{*}{I}_{*}}{{\left(1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}\right)}^2}\\ \frac{\beta I_{*}}{1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}}& -\left(\sigma +\mu \right)& \frac{\left(\sigma +\mu \right)\left(\gamma +\delta +\mu \right)}{\sigma }-\frac{m_1\beta S_{*}{I}_{*}}{{\left(1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}\right)}^2}\\ 0& \sigma & -\left(\gamma +\delta +\mu \right)\end{array}\right]$

根据Routh-Hurwitz准则[2]，我们计算出

$\text{tr}\left(J^{*}\left(E^{*}\right)\right)=-\frac{\beta I_{*}}{1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}}-\mu -\left(\sigma +\mu \right)-\left(\gamma +\delta +\mu \right)<0$

$\begin{array}{c}\det \left(J^{*}\left(E^{*}\right)\right)=-\mu \left(\gamma +\delta +\mu \right)\left(\sigma +\mu \right)-\frac{\left(\gamma +\delta +\mu \right)\left(\sigma +\mu \right)\beta I_{*}}{1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}}\\ -\frac{\mu \left(\sigma +\mu \right)\left(\gamma +\delta +\mu \right)}{\sigma }+\frac{\mu m_1\beta S_{*}{I}_{*}}{{\left(1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}\right)}^2}\\ <0\end{array}$

$a_2=\frac{\left(\gamma +\mu \right)\beta I_{*}}{1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}}+\mu \left(\gamma +\mu \right)+\frac{\left(\gamma +\delta +\mu \right)\beta I_{*}}{1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}}+\mu \left(\gamma +\delta +\mu \right)+\frac{\sigma m_1\beta S_{*}{I}_{*}}{{\left(1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}\right)}^2}$

$\begin{array}{c}\text{tr}\left(J^{*}\left(E^{*}\right)\right)\cdot a_2-\det \left(J^{*}\left(E^{*}\right)\right)=-\frac{{\left(\gamma +\delta +\mu \right)}^2\beta I_{*}}{1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}}-\mu {\left(\gamma +\delta +\mu \right)}^2-\frac{\left(\gamma +\delta +\mu \right)\sigma m_1\beta S_{*}{I}_{*}}{{\left(1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}\right)}^2}\\ -\frac{\mu m_1\beta S_{*}{I}_{*}}{{\left(1+m_1{I}_{*}+m_2{M}_{*}\right)}^2}+\frac{\mu \left(\sigma +\mu \right)\left(\gamma +\delta +\mu \right)}{\sigma }\\ <0\end{array}$

因此，地方病平衡点$E^{*}$ 特征方程的所有特征值均为负的，即$R_0>1$ 时，地方病平衡点$E^{*}$ 在$\Gamma$ 中是局部稳定的。

3. 数值模拟

在传染病建模中，媒体传播作为影响个体行为决策的外部因素，其作用机制通过媒体函数量化体现。而媒体报道影响人们对传染病信息的实时掌握情况和自身防护的及时性，导致暴露者和感染者的数量变化。因此，在我们的模型中，通过数值模拟分别对比有无媒体影响函数下暴露者(E)和感染者(I)人口比例的时间曲线，去探究媒体报道对疾病控制的影响，得到图1。图1中的参数为$\mu =0.3$ ，$\delta =0.2$ ，$\beta =0.8$ ，$\gamma =0.3$ ，$\epsilon =0.2$ ，$\sigma =0.7$ ，$\alpha =0.2$ ，$\rho =0.5$ ，$m_1=0.8$ ，$m_2=0.7$ 。我们发现有媒体影响函数$f\left(I,M\right)$ 时，暴露者和感染者数量降低更迅速，最终平衡水平的暴露者和感染者比例更低，说明我们采用的媒体影响函数$f\left(I,M\right)$ 可以抑制疾病传播，并控制传染病的发展，体现媒体报道的有效性。

Figure 1. Time variation curve of exposed and infected individuals with or without media influence

图1. 有无媒体影响的感染者和暴露者的时间变化曲线

Figure 2. Time variation curves of exposed and infected individuals under different quarantine rates

图2. 不同隔离率下暴露者和感染者的时间变化曲线

隔离作为传染病防控的核心非药物干预措施，对传染病防控方面发挥巨大作用，隔离的社会意义不仅体现在整个传染病的流行过程，它还为疫苗和药物研发争取了宝贵的时间窗口。在新型病原体出现初期，当特异性防控手段尚缺时，隔离就显得尤为重要，而当我们将隔离措施量化为模型参数时，它不仅仅减少了有效接触人数，更极大地控制了感染人数。我们在模型中选取不同的隔离率，分别为$\delta =0.2$ ，$\delta =0.3$ ，$\delta =0.4$ 进行数值模拟得到图2，图2中的参数为$\mu =0.3$ ，$\delta =0.2$ ，$\beta =0.8$ ，$\gamma =0.3$ ，$\epsilon =0.2$ ，$\sigma =0.7$ ，$\alpha =0.2$ ，$\rho =0.5$ ，$m_1=0.8$ ，$m_2=0.7$ 。我们发现隔离率越大，暴露人数和感染人数越小，并且隔离率的变化对感染人数影响较大，反映了隔离对疾病传播的抑制作用。

4. 基本再生数$R_0$ 的敏感性分析

本节中首先采用标准化敏感性指数(S.I.)对模型(3)的基本再生数$R_0$ 进行敏感性分析，计算公式为

$S.I.=\frac{\partial x^{*}}{\partial p}\cdot \frac{p}{x^{*}}$

其中$x^{*}$ 是要进行敏感性分析的量，$p$ 是$x^{*}$ 所要依赖的某个参数，敏感性指数可正可负，这表明了关系的性质，以及关系强度的大小。

从基本再生数的表达式可以看出，基本再生数$R_0$ 依赖于参数$\beta ,\sigma ,\gamma ,\delta ,\mu$ ，但我们无法控制人口的自然出生率与死亡率$\mu$ 。因此为了检验$R_0$ 对参数$\beta ,\sigma ,\gamma ,\delta$ 的敏感性，针对这些参数中的每一个标准化正向敏感性指数计算如下：

$S.I{.}_{\beta }^{R_0}=\frac{\beta }{R_0}\cdot \frac{\partial R_0}{\partial \beta }=\frac{\beta \left(\gamma +\delta +\mu \right)\left(\sigma +\mu \right)}{\beta \sigma }\cdot \frac{\sigma }{\left(\gamma +\delta +\mu \right)\left(\sigma +\mu \right)}=1$

$S.I{.}_{\sigma }^{R_0}=\frac{\sigma }{R_0}\cdot \frac{\partial R_0}{\partial \sigma }=\frac{\sigma \left(\gamma +\delta +\mu \right)\left(\sigma +\mu \right)}{\beta \sigma }\cdot \frac{\beta }{\left(\gamma +\delta +\mu \right)\left(\sigma +\mu \right)}=1$

$S.I{.}_{\gamma }^{R_0}=\frac{\gamma }{R_0}\cdot \frac{\partial R_0}{\partial \gamma }=-\frac{\gamma \left(\sigma +\mu \right)}{\gamma +\delta +\mu }\Rightarrow \left|{\Gamma }_{\gamma }^{R_0}\right|<1$

$S.I{.}_{\delta }^{R_0}=\frac{\delta }{R_0}\cdot \frac{\partial R_0}{\partial \delta }=-\frac{\delta \left(\sigma +\mu \right)}{\gamma +\delta +\mu }\Rightarrow \left|{\Gamma }_{\delta }^{R_0}\right|<1$

Figure 3. Sensitivity analysis for basic reproduction number R₀

图3. 基本再生数R₀的敏感性分析

通过计算可以看出基本再生数$R_0$ 与$\beta ,\sigma$ 是正相关，与$\gamma ,\delta$ 是负相关，即$R_0$ 随着$\beta ,\sigma$ 的增加而增加，随着$\gamma ,\delta$ 的增加而减少。

然后我们运用Partial Rank Correlation Coefficient (简称PRCC)方法[15] [16]对$R_0$ 进行敏感性分析得到图3，该方法通过拉丁超立方抽样构建高维参数空间，在保持其他参数分布特性的前提下，量化单个参数与$R_0$ 输出值的单调关联强度，发现$R_0$ 与$\gamma ,\delta ,\mu$ 是负相关，与$\beta ,\sigma$ 是正相关，即接触率，从暴露者E向感染者I的转化率增加必然导致基本再生数的增大，而恢复率，隔离率，自然出生率和死亡率的增大将导致基本再生数的减小。通过敏感性分析，深入揭示传染病模型中各参数对疾病传播的影响，说明隔离的有效性，适时增加隔离减少接触可以更好地控制传染病的发展，为制定基于信息传播的精准干预策略提供理论依据。

5. 结论

本文采用与感染人数和媒体报道强度相关联的媒体影响函数$f\left(I,M\right)$ ，并将它引入到SEIQRM传染病模型中，首先求出模型的基本再生数$R_0$ ，进一步求出模型的无病平衡点$E^0$ 和地方病平衡点$E^{*}$ 。然后运用线性化方法和Routh-Hurwitz准则对平衡点的局部稳定性进行分析，给出定理1和定理2。接下来通过对比有无媒体影响函数下暴露者和感染者时间变化曲线，发现媒体报道可以降低暴露者和感染者数量，说明媒体报道在传染病传播控制中的作用。并选取不同隔离率对模型进行数值模拟，发现隔离率越大，暴露人数和感染人数越小，反映了隔离对传染病传播的抑制作用。最后，运用PRCC方法对基本再生数$R_0$ 进行敏感性分析，揭示模型中各参数对传染病传播的影响。

未来我们还将考虑与感染人数和媒体报道强度相关联的指数型媒体影响函数，以及分段媒体影响函数引入到传染病模型中，考虑媒体报道对疾病传播的抑制效果。