一类非遗传代数的态射范畴的李代数

Lie Algebras Arising from Morphism Categories of Certain Nonhereditary Algebras

摘要: 设A是一类特定的非遗传代数，是投射A-模的态射范畴。本文证明了存在Hall多项式，给出其退化Hall李代数的乘法公式，由此实现了Heisenberg李代数的第n个中心扩张的商。

Abstract: In this paper, we establish the existence of Hall polynomials for when is the full subcategory of projective A-modules, where A is a certain nonhereditary algebra. We then derive multiplication formulas for the degenerate Hall Lie algebra, which is spanned by the isomorphismclasses of indecomposable objects in .

1. 引言

1972年Gabriel提出了箭图和表示的概念，建立了Dynkin型箭图的不可分解表示的维数向量与半单李代数的正根的一一对应[1]。Kac进一步利用代数几何和不变量理论的技术将Gabriel的工作推广到任意型箭图[2] [3]。

随后，1990年，Ringel定义了一类有限域上有限维代数A的结合代数$\mathscr{H}\left(A\right)$ ，称之为Ringel-Hall代数，证明了当A是表示有限型的遗传代数时，$\mathscr{H}\left(A\right)$ 实现了相应量子包络代数的正部分，提供了一种通过Hall代数方法实现李代数的构造[4]。

近年来，Bridgeland在2013年引入投射A-模的2-周期复形的态射范畴，定义了一类Hall代数，从而实现了整个量子群[5]。进而，Chen等在A是有限表示型时实现了单李代数[6]。最近Chen等利用投射A-模的态射范畴实现了Heisenberg李代数的中心扩张[7]。受上述文献启发，本文研究A是非遗传代数时，态射范畴的Hall李代数的结构变化。

我们的目标是研究导出等价的李代数之间的关系。本文中，给定一个含q个元素的有限域k。设Q是箭图

$1\stackrel{{\alpha }_1}{\to }2\stackrel{{\alpha }_2}{\to }\cdots \stackrel{{\alpha }_{n-1}}{\to }n$ ,

记$A=kQ/\langle {\alpha }_1{\alpha }_2,{\alpha }_2{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_{n-2}{\alpha }_{n-1}\rangle$ ，$\mathcal{A}$ = A-模范畴。这还是一个整体维数为n的gentle代数，它是关于2项复形的Hall代数研究中的一个有意义的例子。本文克服了对A的投射态射范畴的一次扩张群的刻画，证明了Hall代数存在Hall多项式。主要使用了模范畴的同调性质，特别是Auslander-Reiten理论。

记号，$ℐ\subset \mathcal{A}$ 分别表示由$\mathcal{A}$ 的投射对象及内射对象构成的满子范畴。表示的不可分解投射对象集，$S_i$ 表示A-模对应顶点$i$ 的单模，$P_i$ ，$I_i$ 分别表示$S_i$ 的投射盖和内射包。符号$a_X$ 表示$\mathcal{A}$ 中对象$X$ 的自同构群$\text{Aut}\left(X\right)$ 的基数。

2. 态射范畴与Hall代数

设范畴$C_2\left(\mathcal{A}\right)$ 中的对象是$\mathcal{A}$ 中的态射$M_{-1}\stackrel{f}{\to }{M}_0$ 。$M_{-1}\stackrel{f}{\to }{M}_0$ 到$N_{-1}\stackrel{f}{\to }{N}_0$ 的态射$\left(\mu ,\nu \right)$ ，满足$g\mu =\nu f$ ，则称$C_2\left(\mathcal{A}\right)$ 是$\mathcal{A}$ 的态射范畴。中对象是$f:P_{-1}\to P_0$ ，其中，是$C_2\left(\mathcal{A}\right)$ 的满子范畴。类似地，可以定义范畴$C_2\left(ℐ\right)$ 。

本文考虑中的三类对象：

$K_P=P\stackrel{1}{\to }P$

$Z_P=P\stackrel{}{\to }0$

$T_M=Q_M\stackrel{f_M}{\to }{P}_M$

其中，$M\in \mathcal{A}$ ，$Q_M\stackrel{f_M}{\to }{P}_M\stackrel{{\pi }_M}{\to }M\stackrel{}{\to }0$ 是$M$ 的极小投射表现。

引理2.1 [8] 中全体不可分解对象为

$K_{P_i},Z_{P_i},T_{P_i},T_{S_i},i=1,\cdots ,n$ .

注记2.2文献[9]-[13]已经研究了态射范畴的AR-理论。设$H^i$ 是$Ch\left(\mathcal{A}\right)$ 到$\mathcal{A}$ 的上同调函子。文献[8]中证明，$H^0$ 将中的几乎可裂正合对(conflation)映射到$\mathcal{A}$ 的几乎可裂序列。设A是Artin代数，表示的复形范畴，即包含全体复形$X={\left(X^i,d_X^i\right)}_{i\in \mathbb{Z}}$ ，当$i\notin \left\{1,\cdots ,n\right\}$ 时，$X^i=0$ 。在文献[14]中证明了存在几乎可裂正合对。特别地，可以得到的几乎可裂正合对。

命题2.3 的几乎可裂正合对形如

$T_{S_1}\rightarrowtail Z_{P_2}\oplus K_{P_1}\twoheadrightarrow Z_{P_1}$ ,

$T_{S_{i+1}}\rightarrowtail T_{P_i}\oplus K_{P_{i+1}}\oplus Z_{P_{i+2}}\twoheadrightarrow T_{S_i},\left(i=1,\cdots ,n-1\right)$ ,

$T_{P_i}\rightarrowtail T_{S_i}\twoheadrightarrow Z_{P_{i+1}},\left(i=1,\cdots ,n-1\right)$ ,

$T_{P_n}\rightarrowtail K_{P_n}\oplus T_{P_{n-1}}\twoheadrightarrow T_{S_{n-1}}$ .

并且每个几乎可裂正合对中的态射都是典范态射。

定义2.4 (整) Ringel-Hall代数$\mathscr{H}\left(\mathcal{A}\right)$ 是以$\mathcal{A}$ 中对象同构类为基的自由阿贝尔群，其乘法定义为

$\left[X\right]\cdot \left[Y\right]={\displaystyle \sum _{\left[Z\right]}{F}_{XY}^Z\left[Z\right]}$ ,

称$F_{XY}^Z$ 为Hall数。

由Riedtmann-Peng公式[15] [16]，设$X,Y,Z$ 是$\mathcal{A}$ 中对象，则

$F_{XY}^Z=\frac{\left|{\text{Ext}}_{\mathcal{A}}^1{\left(X,Y\right)}_Z\right|a_Z}{\left|{\text{Hom}}_{\mathcal{A}}\left(X,Y\right)\right|a_X{a}_Y}$ ,

其中${\text{Ext}}_{\mathcal{A}}^1{\left(X,Y\right)}_Z$ 表示${\text{Ext}}_{\mathcal{A}}^1\left(X,Y\right)$ 中形如$0\to Y\to Z\to X\to 0$ 的短正合列的等价类构成的集合。

3. 的Hall数

本节首先给出了的某些关键同调性质，并使用Riedtmann-Peng公式计算得到了的Hall数。后文用$X^{\cdot }$ 表示中对象$\left(X_{-1}\to X_0\right)$ 。

引理3.1 [[8]命题5.3~5.4]设，则

,

其中对偶函子$D={\text{Hom}}_k\left(-,k/\text{rad}k\right)$ ，F是由$D\left(A\right){\otimes }_A$ -诱导的使和$C_2\left(ℐ\right)$ 等价的函子，使得，若$H^{-1}\left(F\left(X^{\cdot }\right)\right)$ 非零，那么$H^0\left(\tau X^{\cdot }\right)=H^{-1}\left(F\left(X^{\cdot }\right)\right)$ ，否则$\tau X^{\cdot }=0$ 。

引理3.2设，单A-模$S_i$ ，则

;

;

$a_{K_P}=a_P,a_{Z_P}=a_P,a_{T_P}=a_P,a_{T_{S_i}}=a_{S_i}$ .

证明：对任意态射，由核的泛性质，存在$l_g\in {\text{Hom}}_{\mathcal{A}}\left(P,S_{i+2}\right)$ 使得$f_{S_i}{l}_g=g$ ，从而定义映射

可以直接验证$\phi$ 是同构。类似地，可以证明(2)。

由[[8]命题3.1]，$a_{K_P}=a_P,a_{Z_P}=a_P,a_{T_P}=a_P$ 。下面证明$a_{T_{S_i}}=a_{S_i}$ 。由同调代数的比较引理，得到满态射

,

设，若${\pi }_{S_i}{f}_0={\pi }_{S_i}{g}_0$ ，那么由核的泛性质知存在$h\in {\text{Hom}}_{\mathcal{A}}\left(P_i,S_{i+1}\right)=0$ ，使得$f_0-g_0=0$ ，即$f_0=g_0$ 。类似地，可以得到$f_{-1}=g_{-1}$ 。因此$\varphi$ 是同构。

引理3.3 设，单$A$ -模$S_i$ ，则

;

;

.

证明：由引理2.1和引理3.1知

,

由[[8]命题5.5]和命题2.3知，$H^0\left(\tau T_{S_i}\right)=S_{i+1}$ 。若${\text{Hom}}_{\mathcal{A}}\left(H^0\left(X^{\cdot }\right),S_{i+1}\right)=0$ ，那么。否则${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}\left(H^0\left(X^{\cdot }\right),S_{i+1}\right)\ne 0$ ，从而$H^0\left(X^{\cdot }\right)=S_{i+1}$ 或者$H^0\left(X^{\cdot }\right)=P_{i+1}$ 。因此，只需考虑以下两种情形。

情形1. $X^{·}=T_{S_{i+1}}$ 。这种情形下不难看出

,

由引理3.1，只需讨论$L^{·}$ 的两种情况。

(i) 如果$L^{·}=T_{S_i}\oplus T_{S_{i+1}}$ ，那么。

(ii) 如果$L^{·}=K_{P_{i+1}}\oplus Z_{P_{i+2}}\oplus T_{P_i}$ ，那么。

情形2. $X^{·}=T_{P_{i+1}}$ 。类似地，可以得到

(i) 如果$L^{·}=T_{S_i}\oplus T_{P_{i+1}}$ ，那么。

(ii) 如果$L^{·}=K_{P_{i+1}}\oplus T_{P_i}$ ，那么。

引理3.4 [17]设$X,Y,M,N\in \mathcal{A}$ ，则

$\left|{}_M{\text{Hom}}_{\mathcal{A}}{\left(X,Y\right)}_{N^{·}}\right|={\displaystyle \sum _L{a}_L{F}_{LM}^X{F}_{NL}^Y}$ ,

其中${}_M{\text{Hom}}_{\mathcal{A}}{\left(X,Y\right)}_N=\left\{f:X\to Y|\text{ker}f\cong M\text{ and coker}f\cong N\right\}$ 。

引理3.5设，，单$A$ -模$S_i$ ，则

, ,

其中$U=H^{-1}\left(L^{\cdot }\right)/S_{i+2}$ ，$V=H^0\left(L^{\cdot }\right)$ 以及$U^{\prime }=H^{-1}\left(L^{\cdot }\right)$ ，$V^{\prime }=H^0\left(L^{\cdot }\right)$ 。

证明：只需证明第一个等式。第二个等式类似可证。由引理3.1以及$S_1=I_1,P_j=I_{j+1}$ 知

,

.

取正合对$T_{S_i}\rightarrowtail L^{·}\twoheadrightarrow Z_{P_j}$ 的零同调，由蛇引理知，存在态射$\delta :P_{j+1}\to S_i$ 使得下述序列正合。

$0\to S_{i+2}\to H^{-1}\left(L^{\cdot }\right)\to P_j\stackrel{\delta }{\to }{S}_i\to H^0\left(L^{\cdot }\right)\to 0$ ,

那么由[18]，可以得到

,

其中$U=H^{-1}\left(L^{\cdot }\right)/S_{i+2}$ ，$V=H^0\left(L^{\cdot }\right)$ 。类似地，可以证明$j=1$ 时也成立。

引理3.6设，单A-模$S_i$ ，则

$F_{T_{S_i}{T}_{S_{i+1}}}^{K_{P_{i+1}}\oplus Z_{P_{i+2}}\oplus T_{P_i}}=\frac{a_{P_i}{a}_{P_{i+1}}{a}_{P_{i+2}}}{a_{S_i}},F_{T_{S_i}{T}_{P_{i+1}}}^{K_{P_{i+1}}\oplus T_{P_i}}=a_{P_i}{a}_{P_i}$ ,

$F_{T_{S_i}{X}^{·}}^{T_{S_i}\oplus X^{·}}=\left|{\text{Hom}}_{\mathcal{A}}\left(H^0\left(X^{\cdot }\right),S_i\right)\right|\left(X^{\cdot }\cancel{\cong }{T}_{S_{i+1}},X^{\cdot }\cancel{\cong }{T}_{P_{i+1}}\right)$ ,

$F_{Z_{P_j}{T}_{S_i}}^{L^{\cdot }}=\frac{{\displaystyle \sum _M{a}_M{F}_{MU}^{P_j}{F}_{VM}^{S_i}}}{\left|{\text{Hom}}_{\mathcal{A}}\left(P_j,S_{i+2}\right)\right|}\frac{a_{L^{·}}}{a_{P_j}{a}_{S_i}},F_{Z_{P_j}{T}_{P_i}}^{L^{\cdot }}={\displaystyle \sum _M{a}_M}{F}_{MU\text{'}}^{P_j}{F}_{V\text{'}M}^{P_i}\frac{a_{L^{·}}}{a_{P_j}{a}_{P_i}}$ .

证明：只需证明第一个等式，其余等式类似可证。由Reidtmann-Peng公式知

$F_{T_{S_i}{T}_{S_{i+1}}}^{K_{P_{i+1}}\oplus Z_{P_{i+2}}\oplus T_{P_i}}=\frac{\left|\text{Ext}{\left(T_{S_i},T_{S_{i+1}}\right)}_{K_{P_{i+1}}\oplus Z_{P_{i+2}}\oplus T_{P_i}}\right|}{\left|\text{Hom}\left(T_{S_i},T_{S_{i+1}}\right)\right|}\frac{a_{K_{P_{i+1}}\oplus Z_{P_{i+2}}\oplus T_{P_i}}}{a_{T_{S_i}}{a}_{T_{S_{i+1}}}}$ ,

因为

$\left|\text{Hom}\left(K_{P_{i+1}},Z_{P_{i+2}}\right)\right|\left|\text{Hom}\left(K_{P_{i+1}},T_{P_i}\right)\right|\left|\text{Hom}\left(Z_{P_{i+2}},K_{P_{i+1}}\right)\right|\left|\text{Hom}\left(Z_{P_{i+2}},T_{P_i}\right)\right|\left|\text{Hom}\left(T_{P_i},K_{P_{i+1}}\right)\right|\left|\text{Hom}\left(T_{P_i},Z_{P_{i+2}}\right)\right|=1$

所以由引理3.2，引理3.3可知

$\begin{array}{c}{F}_{T_{S_i}{T}_{S_{i+1}}}^{K_{P_{i+1}}\oplus Z_{P_{i+2}}\oplus T_{P_i}}=\frac{\left|\text{Ext}{\left(T_{S_i},T_{S_{i+1}}\right)}_{K_{P_{i+1}}\oplus Z_{P_{i+2}}\oplus T_{P_i}}\right|}{\left|\text{Hom}\left(T_{S_i},T_{S_{i+1}}\right)\right|}\frac{a_{K_{P_{i+1}}\oplus Z_{P_{i+2}}\oplus T_{P_i}}}{a_{T_{S_i}}{a}_{T_{S_{i+1}}}}\\ =\frac{a_{S_{i+1}}}{\left|\text{Hom}\left(S_i,S_{i+1}\right)\right|}\frac{a_{K_{P_{i+1}}}{a}_{Z_{P_{i+2}}}{a}_{T_{P_i}}}{a_{S_i}{a}_{S_{i+1}}}\\ =\frac{a_{P_i}{a}_{P_{i+1}}{a}_{P_{i+2}}}{a_{S_i}}.\end{array}$

4. $ℒ\left(A\right)$ 的结构

本节首先说明了中Hall多项式存在，并且计算了中不可分解对象的Hall多项式，刻画了Ringel-Hall李代数的结构。本节中有关Hall多项式的内容参考文献[4] [19]。

引理4.1下述三个命题等价。

(1) 对任意，Hall多项式${\phi }_{X^{\cdot }{Y}^{\cdot }}^{Z^{\cdot }}$ 存在；

(2) 若，，Hall多项式${\phi }_{X^{\cdot }{Y}^{\cdot }}^{Z^{\cdot }}$ 存在；

(3) 若，，Hall多项式${\phi }_{X^{\cdot }{Y}^{\cdot }}^{Z^{\cdot }}$ 存在。

证明：文献[20]中已证(1)、(2)等价，类似可证(2) 、(3)等价。

命题4.2 存在Hall多项式。

证明：由引理4.1知，只需对不可分解对象$X^{\cdot }$ 和$Y^{\cdot }$ 以及任意$Z^{\cdot }$ ，证明Hall多项式${\phi }_{X^{\cdot }{Y}^{\cdot }}^{Z^{\cdot }}$ 存在。本文讨论$X^{\cdot }=T_{S_i},Y^{\cdot }=T_{S_j}$ 的情形，其余情形类似可证。

由引理3.3知，此时$Z^{\cdot }=K_{P_{i+1}}\oplus Z_{P_{i+2}}\oplus T_{P_i}$ ，又由引理3.6知$F_{T_{S_i}{T}_{S_{i+1}}}^{K_{P_{i+1}}\oplus Z_{P_{i+2}}\oplus T_{P_i}}=\frac{a_{P_i}{a}_{P_{i+1}}{a}_{P_{i+2}}}{a_{S_i}}$ ，因为

$F_{P_i{P}_j}^{P_i\oplus P_j}=\left|{\text{Hom}}_{\mathcal{A}}\left(P_j,P_i\right)\right|,F_{P_i{S}_j}^{P_i\oplus S_j}=\left|{\text{Hom}}_{\mathcal{A}}\left(S_j,P_i\right)\right|,F_{S_i{P}_j}^{S_i\oplus P_j}=\left|{\text{Hom}}_{\mathcal{A}}\left(P_j,S_i\right)\right|,F_{S_i{S}_i}^{S_i\oplus S_i}=a_{S_i}$ ,

所以

$F_{T_{S_i}{T}_{S_{i+1}}}^{K_{P_{i+1}}\oplus Z_{P_{i+2}}\oplus T_{P_i}}=\frac{F_{P_i{P}_i}^{P_i\oplus P_i}{F}_{P_{i+1}{P}_{i+1}}^{P_{i+1}\oplus P_{i+1}}{F}_{P_{i+2}{P}_{i+2}}^{P_{i+2}\oplus P_{i+2}}}{F_{S_i{S}_i}^{S_i\oplus S_i}}$

故存在Hall多项式存在当且仅当$\mathcal{A}$ 存在Hall多项式。$\mathcal{A}$ 的Auslander-Reiten箭图是直向的，从而由[4]知$\mathcal{A}$ 存在Hall多项式。

因此可以定义(退化) Ringel-Hall代数，其乘法为

$X^{\cdot }·Y^{\cdot }={\displaystyle \sum _{Z^{\cdot }}{\phi }_{X^{\cdot }{Y}^{\cdot }}^{Z^{\cdot }}}\left(q\right)\left(1\right)Z^{\cdot }$ ,

从而有交换乘法

$\left[X^{\cdot },Y^{\cdot }\right]={\displaystyle \sum _{Z^{\cdot }}\left({\phi }_{X^{\cdot }{Y}^{\cdot }}^{Z^{\cdot }}\left(q\right)\left(1\right)-{\phi }_{Y^{\cdot }{X}^{\cdot }}^{Z^{\cdot }}\left(q\right)\left(1\right)\right)Z^{\cdot }}$ .

设$ℒ$ 表示由中不可分解对象同构类为基的$\mathbb{Q}$ -向量空间，下面确立了的乘法公式。

命题4.3设，以及单A-模$S_i,S_j$ ，则

$\left[K_{P_i},X^{\cdot }\right]=0,\left[Z_{P_i},Z_{P_j}\right]=0,\left[T_{P_i},T_{P_j}\right]=0,\left[Z_{P_i},T_{S_j}\right]=0,\left[T_{S_i},T_{S_j}\right]=0,\left[T_{S_i},T_{P_j}\right]=0$ .

证明：由引理3.6和命题4.2计算可得${\phi }_{T_{S_i}{T}_{S_j}}^{L^{\cdot }}=0$ ，于是$\left[T_{S_i},T_{S_j}\right]=0$ 。类似地，可以验证另外几种情况也成立。

命题4.4设，那么在$ℒ$ 中有

$\left[Z_{P_i},T_P\right]=\{\begin{array}{ll}{K}_{P_i},\hfill & 若P=P_i,且i=1,\cdots ,n\hfill \\ T_{S_{i-1}},\hfill & 若P=P_{i-1},且i=2,\cdots ,n\hfill \\ 0,\hfill & 否�\hfill \end{array}$

证明：考虑正合对

$T_P\rightarrowtail M^{\cdot }=\left(P_i\stackrel{f_i}{\to }P\right)\twoheadrightarrow Z_{P_i}$ ,

Hall数$F_{Z_{P_i}{T}_P}^{M^{\cdot }}\ne 0$ 当且仅当$M^{\cdot }\cancel{\cong }{T}_P\oplus Z_{P_i}$ ，i.e.，$f_i\ne 0$ 。这等价于$P=P_i$ 或者$P=P_{i-1}$ 。于是处理以下三种情形。

情形1. $P=P_i$ 。该种情形下可得$0\ne f_i\in {\text{End}}_{\mathcal{A}}\left(P_i\right)$ ，因此$f_i\in {\text{Aut}}_{\mathcal{A}}\left(P_i\right)$ 从而有$M^{\cdot }\cong K_{P_i}$ 。由引理3.4知

,

直接计算可得

.

因此，

$[Z_{P_i},T_{P_i}]={\displaystyle \sum _{M^{\cdot }}\left({\phi }_{Z_{P_i}{T}_{P_i}}^{M^{\cdot }}\left(q\right)\left(1\right)-{\phi }_{T_{P_i}{Z}_{P_i}}^{M^{\cdot }}\left(q\right)\left(1\right)\right)}{M}^{\cdot }={\phi }_{Z_{P_i}{C}_{P_i}}^{K_{P_i}}\left(q\right)\left(1\right)K_{P_i}=K_{P_i}.$

情形2. $P=P_{i-1}$ 。该种情形类似可得$M^{\cdot }\cong T_{S_{i-1}}$ 。由引理3.4知

,

通过计算可得

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _G{a}_G}{F}_{G{S}_{i+1}}^{P_i}{F}_{S_{i-1}G}^{P_{i-1}}=\sum _G{a}_G\frac{\left|{\text{Ext}}_{\mathcal{A}}^1{\left(G,S_{i+1}\right)}_{P_i}\right|a_{P_i}}{a_G{a}_{S_{i+1}}}\frac{\left|{\text{Ext}}_{\mathcal{A}}^1{\left(S_{i-1},G\right)}_{P_{i-1}}\right|a_{P_{i-1}}}{a_G{a}_{S_{i-1}}}\\ =a_{S_i}\frac{\left|{\text{Ext}}_{\mathcal{A}}^1{\left(S_i,S_{i+1}\right)}_{P_i}\right|\left|{\text{Ext}}_{\mathcal{A}}^1{\left(S_{i-1},S_i\right)}_{P_{i-1}}\right|a_{P_i}{a}_{P_{i-1}}}{a_{S_i}{a}_{S_{i+1}}{a}_{S_i}{a}_{S_{i-1}}}\\ =\frac{a_{P_i}{a}_{P_{i-1}}}{a_{S_{i+1}}}\end{array}$

于是$F_{Z_{P_i}{T}_{P_{i-1}}}^{T_{S_{i-1}}}=\frac{a_{S_{i-1}}}{a_{S_{i+1}}}$ ，因此

$\left[Z_{P_i},T_{P_{i-1}}\right]={\displaystyle \sum _{M^{\cdot }}\left({\phi }_{Z_{P_i}{T}_{P_i}}^{M^{\cdot }}\left(q\right)\left(1\right)-{\phi }_{T_{P_i}{Z}_{P_i}}^{M^{\cdot }}\left(q\right)\left(1\right)\right)M^{\cdot }}={\phi }_{Z_{P_i}{C}_{P_i}}^{T_{S_i}}\left(q\right)\left(1\right)T_{S_i}=T_{S_i}$ .

情形3. 否则，$f_i=0$ ，于是$M^{\cdot }=Z_{P_i}\oplus C_P$ ，因此$\left[Z_{P_i},C_P\right]=0$ 。

接下来，将本文的Hall李代数与文献[7]中由B-模范畴的投射模的态射范畴产生的Heisenberg李代数的中心扩张进行比较，其中B是下述箭图的路代数

$1\underset{}{\to }2\underset{}{\to }3\stackrel{}{\to }\cdots \stackrel{}{\to }n$ .

回顾[7]知，满足下列生成关系

$\left[C_{S_i},C_{S_j}\right]=0,\left[Z_{P_i},Z_{P_j}\right]=0,\left[K_{P_i},C_{S_j}\right]=0,\left[K_{P_i},Z_{P_j}\right]=0,\left[C_{S_i},Z_{P_j}\right]={\delta }_{ij}{K}_{P_i}$ ,

的Lie子代数是Heisenberg李代数的第n个中心扩张。

定义映射

$\phi :{ℒ}_B\stackrel{}{\to }{ℒ}_A$ ,

将${ℒ}_B$ 中的基元映成${ℒ}_A$ 中的基元

$K_{P_i}\mapsto K_{P_i},Z_{P_i}\mapsto Z_{P_i},C_{P_i}\mapsto T_{P_i},C_{S_i}\mapsto T_{S_i},C_{I_i}\mapsto 0\left(i\ne n\right)$ .

定理4.5映射$\phi$ 是一个满态射。

证明：由命题4.3，命题4.4和[[7] Theorem 5.10]可以直接验证$\phi$ 保持李括号，而$\phi$ 满射是显然的，从而得证。

5. 结论与讨论

本文发现了导出等价的两个模范畴的Hall李代数不一定同构，并建立了这两个Hall李代数之间的满同态。本文尚未处理一般的非遗传代数的情形，期望对一般的情形仍有上述结论成立。

基金项目

福建省自然科学基金资助项目(2024J01361)。