基于BOPPPS模式的高等数学课堂学生参与度研究

A Study on Students’ Engagement in Higher Mathematics Classes Based on the BOPPPS Model

摘要: 针对高等数学课堂学生参与度不足的问题，研究基于BOPPPS教学模式，以微分方程章节(传染病SIR模型)为例，设计了系统化的参与式教学策略。通过“导言(情境导入)→目标(明确预期)→前测(诊断起点)→参与式学习(主动探究)→后测(即时反馈)→总结(知识升华)”的闭环设计，结合真实案例，运用DeepSeek，豆包等AI工具辅助教学，显著提升了学生的课堂参与度。实践表明，实验组在行为参与和认知参与方面均优于传统教学组。该模式为高等数学教学改革提供了可复制的实践框架，有效实现了“知识传授”向“能力培养”的转型。

Abstract: To address the issue of insufficient student engagement in advanced mathematics classrooms, we design a systematic participatory teaching strategy based on the BOPPPS teaching model, and take the differential equations chapter (SIR model for infectious diseases) as an example. Through a closed-loop design of “Bridge-in (contextual introduction) → Learning Objectives (clarifying expectations) → Pre-assessment (diagnosing starting points) → Participatory Learning (active exploration) → Post-assessment (immediate feedback) → Summary (knowledge consolidation),” combined with real-world cases and the use of AI tools like DeepSeek and Doubao to assist teaching, student engagement in the classroom has been significantly improved. Practice shows that the experimental group outperformed the traditional teaching group in terms of behavioral and cognitive engagement. This model provides a replicable practical framework for the reform of advanced mathematics teaching, effectively shifting the focus from “knowledge transmission” to “ability cultivation”.

1. 引言

高等数学是理工科专业的一门核心基础课程，其重要性主要体现在两个方面。从学科体系来看，高等数学为后续专业课程(如大学物理、工程力学、信号处理、数据科学等)提供了必要的数学工具和分析方法。以微积分为例，它不仅是描述连续变化现象的基础语言，也是现代工程计算、经济建模和科学研究的通用工具。从能力培养角度看，高等数学训练的逻辑思维、抽象建模和量化分析能力，是构成理工科人才核心素养的关键组成部分。例如，在人工智能领域，梯度下降算法的本质就是多元微分学的应用；在航空航天领域，流体力学方程的求解依赖于微分方程理论。因此，高等数学教学影响着理工科人才的培养质量和未来发展潜力。

然而，传统的讲授式教学模式往往难以有效调动学生的学习主动性，导致课堂参与度普遍不高，教学效果受到制约。在这一背景下，探索如何通过教学模式的创新来提升学生的课堂参与度，已成为高等数学教学改革中的一个重要议题。BOPPPS模型作为一种强调参与和反馈的教学设计框架，为这一问题的解决提供了可能路径。本研究旨在探讨BOPPPS模式在高等数学教学中的应用效果，重点分析其对提升学生行为参与和认知参与的作用，以期为相关教学改革提供参考。

2. 高等数学课堂学生参与度现状及原因分析

2.1. 参与度的多维内涵及其理论基础

学生参与度是一个多维概念，通常涵盖行为、认知和情感三个维度。行为参与指学生在学术活动中的外在表现，如出勤、课堂互动；认知参与涉及学生在学习过程中的心理投入程度，如运用深度学习策略；情感参与则反映学生对学习的情感反应，包括兴趣、价值认同等。从建构主义理论来看，知识不是被动接受的，而是学习者主动建构的结果，这意味着高水平的认知与行为参与是有效学习的前提[1]。同时，认知负荷理论指出，教学设计应优化工作记忆负荷，而明确的数学目标与结构化反馈有助于降低外在认知负荷，使学生将更多认知资源用于概念建构与应用，从而提升参与质量[2] [3]。

2.2. 高等数学课程学生参与度现状

当前高等数学课堂学生参与度普遍偏低，很难实现高等数学的教学效果[4]。主要体现在以下三个方面：

(1) 行为参与缺失：课堂互动响应率低，后排“低头族”现象严重。抽样调查显示，超过80%的学生在课堂上存在走神、玩手机或做其他课程作业的行为。部分学生甚至采取“人到心不到”的消极应对策略，仅以签到为目的，而非深度参与学习。

(2) 认知参与浅层化：多数学生停留在机械记忆公式和解题套路层面，高阶思维能力(如分析、综合、评价)明显不足，大部分学生仍依赖教师示范和固定题型训练。

(3) 情感参与消极：很多学生认为高等数学“抽象枯燥”，学习动机以考试过关为主。部分学生因长期挫败感形成“习得性无助”，表现为课堂沉默、回避提问，甚至放弃课后自主练习，影响学习效果。

2.3. 原因分析

当前高等数学课堂学生参与度不足的问题，其成因可从教学内容、教学方法、评价体系及学生心理四个维度进行深入分析：

(1) 教学内容抽象性强，缺乏现实关联性

高等数学的核心概念(如极限、微分、积分、级数等)具有高度抽象性，传统教材往往直接呈现定义、定理及证明，缺乏直观的几何或物理背景支撑。例如，学生在学习“ε-δ”语言定义极限时，因难以建立直观理解，容易产生认知障碍。此外，教学内容与专业应用的脱节进一步削弱学习动机，许多学生无法理解微积分在工程、经济或数据科学中的实际价值，导致“学而无用”的消极心态。

(2) 教学方法单向灌输，互动设计不足

多数课堂仍采用“教师讲解–学生听记”的线性模式，学生被动接受知识，缺乏主动建构的机会。研究表明，成年学习者的注意力集中时间约为15~20分钟，但传统讲授常持续30~40分钟以上，导致学生疲劳分神。同时，课堂互动形式单一，如仅限个别学生回答简单提问，未能通过小组讨论、案例探究等深度参与方式激活思维。

(3) 评价体系重结果轻过程

现行考核通常以期末考试(占比60%以上)为主导，形成“平时松懈–考前突击”的学习模式。过程性评价(如课堂发言、项目实践)占比不足10%，学生缺乏持续参与的动力。更严重的是，标准化试题侧重计算技巧，忽视概念理解和应用能力，进一步助长应试化学习倾向。

BOPPPS教学模式的引入，正是破解这一困境的关键[4]-[6]。其六大环节构成完整的教学闭环：通过情境化导入(Bridge-in)建立知识关联性，借助明确目标(Objective)聚焦学习方向，依托前测(Pre-test)实现精准教学，利用参与式学习(Participatory Learning)促进深度建构，基于后测(Post-test)确保目标达成，最终通过总结(Summary)强化知识迁移。实践表明，该模式特别强调“学生中心”和“持续参与”[7]-[9]，能有效解决当前高等数学课堂存在的学生参与度不足的问题。

3. BOPPPS教学模式的理论依据及其在提高参与度中的作用

BOPPPS教学模式由六个核心环节构成[6] [7] [9]，每个环节均基于特定的教育学与心理学理论[10]，通过结构化设计确保课堂参与度与教学有效性。

(1) 导言(Bridge-in)的功能是激发学习兴趣，建立新旧知识联结，其理论依据为首因效应和情境认知理论：学习者对初始信息的记忆更深刻，知识需在真实情境中激活。实践时采用“3E原则”：

Engaging (趣味性)：如用“龟兔赛跑”故事引入极限概念。

Explorative (探索性)：提出“如何计算不规则湖泊面积？”引发对积分的思考。

Empowering (赋能性)：展示微分方程在疫情防控预测中的应用。

(2) Objective (目标)的功能是明确学习预期，引导注意力聚焦，其理论依据为目标设定理论：具体目标提升任务投入度，清晰目标减少无关认知负荷，实践时使用ABCD表述法：

Audience (对象)：如“本科学完本节后……”。

Behavior (行为)：能“推导”“证明”“应用”等可观测动词。

Condition (条件)：如“借助拉格朗日中值定理……”。

Degree (标准)：如“正确率超过90%”。

示例：“通过本节学习(A)，你能(B)用格林公式(C)计算曲线积分(D)误差 ≤ 5%”。

(3) Pre-test (前测)的功能是诊断先备知识，调整教学起点，其理论依据是最近发展区理论：精准定位“现有水平→潜在水平”，应注重形式多样化的前侧：如可通过技术工具：学习通限时测验(如判断级数收敛性)；口头提问：“还记得导数的物理意义是什么？”思维导图：小组绘制“微分方程分类”图。实践关键策略：应根据前测结果动态调整后续内容深度。

(4) Participatory Learning (参与式学习)的功能是通过主动建构深化理解，其理论依据是社会建构主义和主动学习理论[1]：知识在协作中生成，学习留存率随参与度提升。实践上进行分层活动设计，活动示例见表1。

Table 1. Hierarchical design of participatory learning

表1. 参与式学习分层设计

认知层次	活动示例
记忆/理解	概念卡牌游戏(如“导数 斜率”)
应用/分析	案例研讨：利用梯度下降法优化数据搜索
评价/创造	辩论：牛顿法与拟牛顿法哪个更优？
互动节奏	每8~12分钟插入一次互动

(5) Post-test (后测)的功能：即时检验学习成效，其理论依据是掌握学习理论(Bloom)：90%达标率方可进入下一阶段。实践上应多样化后侧：比如选择题实时投票(如判断傅里叶级数收敛条件)；又比如迷你白板小组展示解题过程；一句话总结：“今天最让我惊讶的是……”等。

(6) Summary (总结)的功能是强化记忆锚点，促进知识结构化，其理论依据是近因效应：末端信息记忆更牢固。实践上由学生主导：邀请学生总结本节内容，比如核心概念，解决了哪些具体问题，具体应用；教师引导和升华主题：串联本节内容与下节课关联(如“今日的泰勒展开是下周学习微分方程的基石”)。

该模型通过双闭环设计(前测–后测、导言–总结)和高频互动，将学生参与从行为层面(发言、操作)延伸至认知层面(分析、创造)和情感层面(动机、信心)，形成系统性参与度提升方案。

4. 基于BOPPPS模式的“弹簧振动模型”的微分方程教学设计

本节以“二阶常系数线性微分方程”为例，详细阐述基于BOPPPS模式的两个课时(90分钟)教学设计，应用案例为经典的弹簧–质点系统振动模型。

(1) 导言(10分钟)

策略：工程现象可视化 + 认知冲突。

活动设计：

现象观察：播放一段简短的视频，展示各种振动现象：汽车减震器的工作过程、桥梁在风载下的轻微振动(如塔科马海峡大桥垮塌的史料片段)、钟摆的摆动。

提出问题：提出引导性问题：“这些看似不同的运动背后，是否遵循着相同的数学规律？如果我们想精确预测一个挂在弹簧上的重物会如何运动，我们该如何用数学语言来描述它？”

设计目的：运用首因效应，通过广泛的工程和物理现象建立联系，激发学生对探索运动普遍规律的兴趣，明确本课要解决的核心问题。

(2) Objective (目标，5分钟)

策略：基于“工程师”角色的情境目标。

目标陈述：假设你们是机械或土木工程师，在本节课结束后，你们需要能够：

(知识目标)解释弹簧振动模型中每个参数(质量$m$ 、阻尼系数$c$ 、弹性系数$k$ )的物理含义；

(能力目标)协作推导出弹簧振动模型的微分方程($m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+c\frac{dx}{dt}+kx=0$ )，并识别无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼四种运动状态；

(素养目标)使用Python代码或模拟器运行模型，模拟不同参数(如改变阻尼$c$ )对系统振动行为的影响，并评估其工程意义(如舒适性、稳定性)。

(3) Pre-test (前测，15分钟)

策略：多元化诊断工具评估物理学基础与数学基础。

概念前测(学习通限时测验)：发布5道选择题，例如：

“牛顿第二定律的表达式是？(A. $F=m\alpha$ B. $F=mg$ C. $F=kx$ )”

“胡克定律描述了哪两个量之间的关系？(A. 力与加速度B. 力与位移C. 力与速度)”

数学前测(小组白板活动)：要求小组回顾并写出函数$y = e^{\lambda t}$的一阶和二阶导数。

快速联想(思维热身)：提出“列举一个你生活中遇到的‘振动’或‘往复运动’的例子。”让同桌进行1分钟简短交流。

设计目的：评估学生关于牛顿力学和微分计算的先备知识，为建立微分方程模型做铺垫。

(4) Participatory Learning (参与式探究学习，40分钟)

策略：仿真实验驱动的分层探究与角色扮演。

阶段一：模型建构与“专家小组”探究(15分钟)

活动流程：采用“拼图法”。

原始组划分：将学生分为4~6人一组，即为“原始组”。

成立专家组：每组派出代表，组成三个“专家组”：

专家组1 (受力分析组)：分析弹簧质点所受的所有力(弹性恢复力$-kx$ ，阻尼力$-cv$ )，并根据牛顿第二定律建立方程$F=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ 。

专家组2 (数学整理组)：负责将专家组1得到的方程整理成标准形式的二阶线性常微分方程：$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+c\frac{dx}{dt}+kx=0$ 。

专家组3 (分类预研组)：预先研究该微分方程的解的可能类型(实数根、复数根)，并与四种阻尼状态建立初步联系。

专家返回教学：专家组成员讨论清楚后，返回各自“原始组”，将自己负责部分的推导过程和含义讲授给组内其他成员。

整合模型：原始组协作，共同完成模型的最终形式和物理意义的完整解释。

教师角色：巡回指导，确保专家组讨论方向正确。

阶段二：参数探究–“工程师”决策(15分钟)

活动流程：小组内成员扮演不同角色的工程师，利用提供的参数表进行探究：

角色1：设计工程师

任务：确定弹性系数$k$ 。为达到特定的系统固有频率，应如何选择$k$ 和质量$m$ ？

工具：提供固有频率公式$\begin{array}{c}{\omega }_n=\sqrt{\frac{k}{m}}\end{array}$ 。

角色2：测试工程师

任务：估算阻尼系数$c$ 。根据提供的振幅衰减测试数据图，估算阻尼比。

工具：提供对数衰减率公式或阻尼比估算指南。

角色3：应用工程师

任务：选择阻尼类型。针对“汽车减震”(追求舒适)和“建筑抗震”(追求稳定)两种不同场景，应追求何种阻尼状态？参数$c$ 应如何调整？

工具：四种阻尼状态的动态效果模拟图。

教师角色：提供数据支持，引导学生进行基于工程需求的决策。

阶段三：模拟预测与“人机交互”验证(10分钟)

活动流程：

教师演示：使用Python编写简单的振动模型求解程序，输入一组参数，展示位移–时间曲线。

小组探索：各小组将本组设定的参数输入教师提供的在线模拟器(如PhET交互式仿真中的“Masses & Springs”实验)。

观察对比：要求小组分别模拟无阻尼($c=0$ )、小阻尼、临界阻尼和大阻尼四种情况，观察并记录振动曲线的差异。

任务挑战：最快为“精密仪器运输包装”选择合适的阻尼参数(目标是让仪器在受到冲击后最快停止晃动)的小组分享其策略。

AI工具辅助：

学生使用：鼓励学生使用DeepSeek等AI工具辅助思考。例如，学生可以输入Prompt：“请用简单的语言解释为什么临界阻尼状态能使系统最快恢复到平衡位置而没有振荡。”AI生成的解释可作为学生验证自己理解的参考。

教师使用：教师利用AI快速生成不同阻尼比下的响应曲线对比图，用于课堂即时展示和讨论。

(5) Post-test (后测，15分钟)

策略：多层级、多模态能力检验。

活动设计：

基础层(概念辨析)：通过学习通进行实时投票：“临界阻尼状态的振动系统具有以下哪个特点？(A. 持续振荡B. 以最快速率无振荡地回归平衡C. 缓慢回归平衡)”

应用层(模型求解)：给定一组参数($m=1,c=1,k=1$ )，要求判断系统处于何种阻尼状态，并描述其大致的运动图像。

创新层(模型迁移)：提出新问题：“请尝试将上述模型和分析思路，迁移到一个简单的RLC电路振荡问题中，并指出物理量的对应关系。”(此题为开放挑战，供学有余力的小组课后探究)

(6) Summary (总结，5分钟)

策略：学生主导，意义升华。

活动设计：

学生分享：邀请学生用一句话总结“微分方程如何帮助我们理解和设计振动系统”。

意义升华：教师总结：“今天我们所学习的微分方程，是连接物理世界与数学描述的桥梁。从机械振动到电磁振荡，相同的数学模型揭示了不同现象背后统一的规律，这正是数学作为科学语言的威力所在。”

布置作业：以小组为单位，调研一种实际工程中的振动系统(如无人机悬吊云台的减振)，分析其可能使用的数学模型和参数特点，撰写一份简短报告。

5. 研究设计与实践效果评估

5.1. 实验设计

为验证BOPPPS模式的有效性，本研究采用准实验研究方法，设置了实验组与对照组进行对比。

样本选择与分配：本研究于2024~2025学年秋季学期，选取本校2024级数据科学与大数据技术专业两个自然班的学生作为研究对象(总人数N = 72)。两个班级的高考数学成绩无显著差异(p > 0.05)，具有可比性。出于教学管理的现实可行性，采用整群抽样方式，将2405班确定为实验组(n = 36)，实施基于BOPPPS模式的教学；将2406班确定为对照组(n = 36)，采用传统讲授式教学。

控制额外变量：为最大限度控制无关变量干扰，确保实验效度，本研究采取了以下措施：

(1) 教师效应控制：两组课程由同一位教师授课。该教师具有超过10年的高等数学教学经验，并在实验前接受了系统的BOPPPS模式培训，以确保两种教学模式均能得到有效实施。

(2) 教学内容与进度控制：两组使用相同的教材(房少梅，郭军《高等数学》，科学出版社)、相同的教学大纲和相同的授课学时(均为2学时/次，共16次课)，仅教学方法不同。

(3) 前测基线水平：在实验干预前，对两个班级进行了前测，测试内容为微分方程前置知识(如导数、积分的基本概念与应用)。独立样本t检验结果显示，两组前测成绩无显著差异(实验组：76.3 ± 8.5，对照组：75.1 ± 9.2；t (70) = 0.58，p = 0.564)，表明两组学生在实验前的知识基础相近。

5.2. 测量工具与指标

本研究采用课堂观察与课后测验相结合的方式收集数据，所有测量工具均具有良好的信效度。

课堂参与度观测：

指标定义：

课堂应答频次：指单位课时(45分钟)内，学生主动或被动回应教师提问的平均次数。

高阶问题占比：指教师提出的所有问题中，需要运用分析、评价、创造等高层级认知思维才能回答的问题所占的比例。

测量工具：运用学习通平台对课堂活动进行统计和记录。

概念理解准确率：指在课后测验中，考查核心概念理解(如导数的几何意义，线面积分的物理应用等)而非纯计算题目的得分率。

测量工具：采用自编后测试卷进行测量。试卷包含5道概念选择题和2道简答题。试卷内容经由两位高等数学教学专家评审，认为能有效反映教学目标，具有较好的内容效度。运用学习通平台进行批改和统计。

5.3. 实践效果与分析

经过一个教学周期的干预，对两组学生的后测数据进行分析(独立样本t检验/卡方检验)，结果如下表2所示。

Table 2. Practical effect evaluation form

表2. 实践效果评估表

指标	实验组(n = 36)	对照组(n = 36)	统计值	p值
课堂应答频次	12.3 ± 2.1	5.2 ± 1.8	t = 16.21	p < 0.001
高阶问题占比	43%	19%	χ^2 = 15.73	p < 0.001
概念理解准确率	87%	64%	t = 5.87	p < 0.001

数据表明，实验组在课堂应答频次、高阶问题参与度及概念理解准确率上均显著优于对照组(p < 0.001)。这表明基于BOPPPS模式的教学设计能有效提升学生在行为、认知和概念理解层面的参与度与学习成效。

6. 总结

本研究基于BOPPPS教学模式，针对高等数学课堂学生参与度低的问题，以微分方程章节(如传染病SIR模型)为例，设计了系统化的参与式教学策略。实践表明，该模式通过情境导入(Bridge-in)→目标导向(Objective)→前测诊断(Pre-test)→互动探究(Participatory Learning)→即时反馈(Post-test)→总结升华(Summary)的闭环设计，显著提升了学生的行为参与(课堂互动率提升40%)和认知参与(高阶问题解决正确率提高24%，概念理解正确率提高了23%)。特别是将抽象的数学概念(如微分方程)与真实世界问题(如疫情预测)结合，有效激发了学习动机，培养了数学建模能力。

基金项目

(1) 广东省本科高校教学质量与教学改革工程项目：高等数学课程教研室(粤教高函[2023] 4号)；

(2) 广东省本科高校教学质量与教学改革工程项目：基于“问题驱动 + BOPPPS”模式的高等数学混合式教学改革与实践(粤教高函[2024] 30号)；

(3) 广东省一流本科课程：高等数学(粤教高函[2023] 33号)；

(4) 广东工业大学校级本科教学工程项目：基于拔尖人才基础能力培养的《常微分方程》课程教学改革与实践(广工大教字[2024] 75号)；

广东工业大学校级本科教学工程项目“5I”专项：常微分方程课程的跨学科融合教学改革：培养复合型创新人才(2025年)革与实践(广工大教字[2024] 75号)；

(5) 嘉应学院课程思政示范课程：高等数学(嘉院教[2023] 29号)。

NOTES

^*通讯作者。