利用形心坐标公式计算曲面积分

Calculating the Surface Integral Using the Centroid Coordinate Formula

摘要: 形心坐标(几何中心坐标)在计算多元函数积分中是一个非常有用的工具，但是具体的使用场景较为模糊，本文给出形心坐标公式在计算曲面积分上的应用情况。

Abstract: Centroid coordinates (geometric center coordinates) are a very useful tool in calculating integrals of multivariate functions, but the specific usage scenarios are relatively vague. This article presents the application of centroid coordinate formulas in calculating surface integrals.

1. 预备知识

形心坐标的定义：

设有一平面薄片，占有$xoy$ 面上的闭区域D，在点$\left(x,y\right)$ 处的面密度为$\mu \left(x,y\right)$ ，且在D上连续。利用微元法的静距元素[1]：$\text{d}{M}_y=x\mu \left(x,y\right)\text{d}\sigma$ ，$\text{d}{M}_x=y\mu \left(x,y\right)\text{d}\sigma$

所以薄片的质心坐标为：$\overline{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{{\displaystyle \underset{D}{\iint }x\mu \left(x,y\right)\text{d}\sigma }}{{\displaystyle \underset{D}{\iint }\mu \left(x,y\right)\text{d}\sigma }}$，$\overline{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{{\displaystyle \underset{D}{\iint }y\mu \left(x,y\right)\text{d}\sigma }}{{\displaystyle \underset{D}{\iint }\mu \left(x,y\right)\text{d}\sigma }}$

当薄片是均匀的，即面密度为常量，由

$\overline{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{{\displaystyle \underset{D}{\iint }x\mu \left(x,y\right)\text{d}\sigma }}{{\displaystyle \underset{D}{\iint }\mu \left(x,y\right)\text{d}\sigma }}=\frac{1}{A}{\displaystyle \underset{D}{\iint }x\text{d}\sigma }$, ${\displaystyle \underset{D}{\iint }x\text{d}\sigma }=A\overline{x}$,

$\overline{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{{\displaystyle \underset{D}{\iint }y\mu \left(x,y\right)\text{d}\sigma }}{{\displaystyle \underset{D}{\iint }\mu \left(x,y\right)\text{d}\sigma }}=\frac{1}{A}{\displaystyle \underset{D}{\iint }y\text{d}\sigma }$, ${\displaystyle \underset{D}{\iint }yd\sigma }=A\overline{y}$

其中$A={\displaystyle \underset{D}{\iint }\text{d}\sigma }$ 为闭区域D的面积。此时薄片的质心完全由闭区域D的形状所决定，将均匀薄片的质心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心[2]-[4]。

则对于曲面积分有：

$\overline{x}=\frac{{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }x\mu \left(x,y,z\right)\text{d}S}}{{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }\mu \left(x,y,z\right)\text{d}S}}$,

$\overline{y}=\frac{{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }y\mu \left(x,y,z\right)\text{d}S}}{{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }\mu \left(x,y,z\right)\text{d}S}}$,

$\overline{z}=\frac{{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }z\mu \left(x,y,z\right)\text{d}S}}{{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }\mu \left(x,y,z\right)\text{d}S}}$

2. 当被积函数是线性函数时

如果积分区域D (对于二重积分)或$\Omega$ (对于三重积分)的形心$\left(\overline{x},\overline{y}\right)$ 或$\left(\overline{x},\overline{y},\overline{z}\right)$ 已知，并且被积函数$f\left(x,y\right)$ 或$f\left(x,y,z\right)$ 是一个线性函数，那么积分值等于形心处的函数值乘以区域的面积$S_D$ 或体积$V_{\Omega }$ [4]。

下面给出证明：

定理一(二重积分) ${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(ax+by+c\right)\text{d}\sigma }=\left(a\overline{x}+b\overline{y}+c\right)\cdot S_D$，其中：$\left(\overline{x},\overline{y}\right)$ 是区域D的形心坐标，$S_D$ 是区域的面积，被积函数$f\left(x,y\right)=ax+by+c$ 是线性函数。

证明 ${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(ax+by+c\right)\text{d}\sigma }={\displaystyle \underset{D}{\iint }ax}\text{d}\sigma +{\displaystyle \underset{D}{\iint }by}\text{d}\sigma +{\displaystyle \underset{D}{\iint }c\text{d}\sigma }=a{S}_D\overline{x}+b{S}_D\overline{y}+c{S}_D$

则对于曲面积分：${\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }\left(ax+by+cz+d\right)\text{d}S}=\left(a\overline{x}+b\overline{y}+c\overline{z}+d\right)\cdot S$，其中：$\left(\overline{x},\overline{y},\overline{z}\right)$ 是曲面$\Sigma$ 的形心坐标，$S$ 是曲面$\Sigma$ 的表面积，$f\left(x,y,z\right)=ax+by+cz+d$ 是线性函数[5] [6]。

3. 示例

问题：设$\Sigma$ 是$x^2+y^2+z^2=2ax$ ，计算曲面积分${\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }\left(x^2+y^2+z^2\right)\text{d}S}$ 。

解法一(常规积分)

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }\left(x^2+y^2+z^2\right)\text{d}S}={\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }\left(2ax\right)\text{d}S}\\ =2{\displaystyle \underset{x^2+y^2\le 2ax}{\iint }2ax}\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\text{d}x\text{d}y\\ =2{\displaystyle \underset{x^2+y^2\le 2ax}{\iint }2ax}\sqrt{1+{\left(\frac{a-x}{\sqrt{2ax-x^2-y^2}}\right)}^2+{\left(\frac{a-y}{\sqrt{2ax-x^2-y^2}}\right)}^2}\text{d}x\text{d}y\\ =2{\displaystyle \underset{x^2+y^2\le 2ax}{\iint }2ax}\sqrt{\frac{2a^2-2ay}{2ax-x^2-y^2}}\text{d}x\text{d}y\end{array}$

此积分难以计算。

解法二(利用形心坐标)

${\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }\left(x^2+y^2+z^2\right)\text{d}S}={\displaystyle \underset{\Sigma }{\iint }\left(2ax\right)\text{d}S}=2a\overline{x}S=2a\cdot a\cdot 4\pi a^2=8\pi a^4$,

其中球面$x^2+y^2+z^2=2ax$ 的形心坐标$\overline{x}=a$ ，$S$ 为球面表面积，则$S=4\pi a^2$ 。

显然解法二更加容易。

4. 结论

利用形心坐标计算线性函数的积分，只需要知道形心坐标和面积/表面积，将形心坐标代入线性函数再乘以面积/表面积即可得到积分结果，避免了繁琐的积分运算，极大地简化了过程。