带有平均曲率算子的拟线性问题在无穷区间上的可解性

Solvability of Quasilinear Problems with Mean Curvature Operator on Infinite Interval

摘要: 运用Leray-Schauder原理讨论无穷区间上带有平均曲率算子的拟线性问题。$\{\begin{array}{l}{\left(\phi \left(u^{\prime }\right)\right)}^{\prime }=f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right),t\in \left[0,\infty \right),\\ \underset{t\to \infty }{\lim }u\left(t\right)=0,\underset{t\to \infty }{\lim }{u}^{\prime }\left(t\right){\text{e}}^t=0,\end{array}$ (1)具有可解性，其中$f:\left[0,\infty \right)\times ℝ\times \left(-1,1\right)\to ℝ$ 连续。$\phi \left(s\right)=\frac{s}{\sqrt{1-s^2}},s\in \left(-1,1\right)$ 。

Abstract: In this paper, by using the Leray-Schauder theory, we are concerned with the solvability of $\{\begin{array}{l}{\left(\phi \left(u^{\prime }\right)\right)}^{\prime }=f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right),t\in \left[0,\infty \right),\\ \underset{t\to \infty }{\lim }u\left(t\right)=0,\underset{t\to \infty }{\lim }{u}^{\prime }\left(t\right){\text{e}}^t=0,\end{array}$ where $f:\left[0,\infty \right)\times ℝ\times \left(-1,1\right)\to ℝ$ is continuous, $\phi \left(s\right)=\frac{s}{\sqrt{1-s^2}},s\in \left(-1,1\right)$ .

1. 引言

对于线性二阶常微分方程的可解性的研究首先是由Il’in和Moiseev开始的。1992年，Gupta运用Leray-Schauder延拓定理在至多线性增长条件下研究了非线性二阶常微分方程三点边值问题，见文[1] [2]，此后出现了很多对于非线性二阶常微分方程的各种不同边值问题的可解性研究的重要结果。

1831年，法国数学家、物理学家索菲·热尔曼最先引入平均曲率的概念。平均曲率是微分几何中一个弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间的曲率。随着平均曲率的提出，其应用广泛涉足于工程技术、物理、数学、计算机、地理等各类应用学科。而无穷区间上非线性边值问题也是一个经典的数学问题，最早是由R. E. Kider给出，它涉及许多重要的数学概念和方法，如变分法、临界点理论、特征值法等。由此引起了越来越多的专家学者的关注，并取得了许多重要的成果，参见文[3]-[5]。近年来，随着经济学、力学、天体力学以及交叉学科的不断发展，Minkowski空间中带有平均曲率算子的拟线性问题引起了学者们的广泛关注，并取得了系统而深刻的成果，参见文[6] [7]。针对这类微分方程问题的研究主要采用分歧理论、压缩映射、原理Leray-Schander拓扑度理论、锥不动点定理、临界点理论、上下解方法、Leray-Schauder延拓定理以及非线性抉择原理等方法。

1995年，Gupta在文[8]中，运用Leray-Schauder延拓定理研究了如下二阶非线性常微分方程m点边值问题

$\{\begin{array}{l}{x}^{″}\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right),x^{\prime }\left(t\right)\right)+e\left(t\right),0<t<1,\\ x^{\prime }\left(0\right)=0,x\left(1\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{m-2}{a}_{i}x\left({\xi }_i\right)}\end{array}$

的可解性，类似问题参见文[9]-[11]。

2019年，Dai运用分歧理论在文[11]中，证明了无穷区间上平均曲率方程问题

$\{\begin{array}{l}{x}^{″}\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right),x^{\prime }\left(t\right)\right)+e\left(t\right),0<t<1,\\ x^{\prime }\left(0\right)=0,x\left(1\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{m-2}{a}_{i}x\left({\xi }_i\right)}\end{array}$

的径向解存在性，不存在性和多重性。

2023年，Chu在文[12]运用Schauder不动点定理研究了半无限区间上二阶非线性微分方程

$\{\begin{array}{l}{x}^{″}\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right)t\ge t_0,\\ x\left(0\right)={\psi }_0,\underset{t\to \infty }{\lim }x\left(t\right)={\psi }_0\end{array}$

解的存在性、唯一性和稳定性。

受以上文献的启发，本文主要运用Leray-Schauder延拓定理研究在无穷区间上带有平均曲率算子的拟线性问题

$\{\begin{array}{l}{\left(\phi \left(u^{\prime }\right)\right)}^{\prime }=f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right),t\in \left[0,\infty \right),\\ \underset{t\to \infty }{\lim }u\left(t\right)=0,\underset{t\to \infty }{\lim }{u}^{\prime }\left(t\right){\text{e}}^t=0,\end{array}$ (2)

的可解性。其中边界条件$\underset{t\to \infty }{\lim }{u}^{\prime }\left(t\right){\text{e}}^t=0$ 主要源于无穷区间微分方程的研究需求，兼常见于扩散、衰减等动力学系统，通过指数权重${\text{e}}^t$ 对远期变化率$u^{\prime }\left(t\right)$ 施加强约束，确保物理量的变化在长期演化中足够平缓，体现系统的长期稳定性。

本文总假定：

(H1) 函数$f:\left[0,\infty \right)\times ℝ\times \left(-1,1\right)\to ℝ$ 连续。

(H2) $\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{t}f\left(t,u,v\right)=0$ ，关于$u,v$ 一致成立。

(H3) 存在非负函数$p,q,r$ ，使得$tp\left(t\right),tq\left(t\right),tr\left(t\right)\in L^1\left[0,\infty \right)$ ，且对于$t\in \left[0,\infty \right)$ ，$u\left(t\right)\in ℝ$ ，以及$v\in \left(-1,1\right)$ 有

$\left|f\left(t,u,v\right)\right|\le p\left(t\right)\left|u\left(t\right)\right|+q\left(t\right)\left|v\left(t\right)\right|+r\left(t\right),$

其中${\displaystyle {\int }_0^{\infty }tp\left(t\right)\text{d}t}<1$ ，${\displaystyle {\int }_0^{\infty }tq\left(t\right)\text{d}t}<\infty$ ，${\displaystyle {\int }_0^{\infty }tr\left(t\right)\text{d}t}<\infty$ 。

本文的主要结果如下：

定理1 假定(H1)~(H3)成立。则问题(1)在$C^1\left[0,\infty \right)$ 中至少存在一个解。

2. 预备知识

设

$X=\left\{u\in C^1\left[0,\infty \right)|\underset{t\to \infty }{\lim }u\left(t\right)=0,\underset{t\to \infty }{\lim }{u}^{\prime }\left(t\right){\text{e}}^t=0,\underset{b\to \infty }{\lim }\underset{\left[0,b\right]}{\max }\left|u^{\prime }\left(t\right)\right|<+\infty \right\}$

且${\Vert u\Vert }_X=\underset{t\ge 0}{\sup }\left|u\left(t\right)\right|+\underset{t\ge 0}{\sup }\left|u^{\prime }\left(t\right)\right|$ ，则由文献[8]可知，$X$ 在${\Vert \cdot \Vert }_X$ 下构成Banach空间。

引理1 假定(H1)-(H2)成立。则问题(1)的解等价于下列积分方程

$u\left(t\right)={\displaystyle {\int }_t^{\infty }\left[{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_s^{\infty }f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right)\right]\text{d}s},t\in \left[0,\infty \right)$ (3)

的一个不动点。

证明 设$u\in X$ 为(1)解，则$\underset{t\to \infty }{\lim }{u}^{\prime }\left(t\right)=0$ ，否则与$\underset{t\to \infty }{\lim }{u}^{\prime }\left(t\right){\text{e}}^t=0$ 矛盾。将问题(1)中的方程从$t$ 到$\infty$ 进行积分并结合$\underset{t\to \infty }{\lim }{u}^{\prime }\left(t\right)=0$ ，可得

$-\phi \left(u^{\prime }\left(t\right)\right)=\phi \left(-u^{\prime }\left(t\right)\right)={\displaystyle {\int }_t^{\infty }f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s},t\in \left[0,\infty \right)$ .

进一步

$-u^{\prime }\left(t\right)={\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_t^{\infty }f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}\right),t\in \left[0,\infty \right).$ (4)

再对(4)式从$t$ 到$\infty$ 进行积分并结合$\underset{t\to \infty }{\lim }u\left(t\right)=0$ ，即可得到(3)。

另一方面，设$u\in X$ 为满足(3)的解，通过对(3)式左右两边求导可得

$-u^{\prime }\left(t\right)={\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_t^{\infty }f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}\right),t\in \left[0,\infty \right)$ .

再对上式左右两边作用$\phi$ 后求导得

${\left(\phi \left(u^{\prime }\right)\right)}^{\prime }=f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right)$ .

由(H1)~(H2)可知，存在$T_0>0$ ，使得对于任意$t>T_0$ 有

$\left|f\left(t,u,v\right)\right|<\epsilon {\text{e}}^{-t},u\in ℝ,t\in \left[0,\infty \right)$ .

则

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}<{\displaystyle {\int }_0^{T}f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}{u}^{\prime }\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_T^{\infty }\epsilon {\text{e}}^{-t}\text{d}s}$ , (5)

右侧第一项为有限值，第二项积分收敛，故整个积分有界。

对于边界条件

$\begin{array}{c}\underset{t\to \infty }{\lim }{u}^{\prime }\left(t\right){\text{e}}^t=-\underset{t\to \infty }{\lim }{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_t^{\infty }f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}\right){\text{e}}^t\\ =-\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_t^{\infty }f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)}{{\text{e}}^{-t}},\end{array}$

由于${\phi }^{-1}\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ ，当$x\to 0$ 时，${\phi }^{-1}\left(x\right)~x$ 。再运用L'Hospital法则并结合(H2)可得

$\begin{array}{c}\underset{t\to \infty }{\lim }{u}^{\prime }\left(t\right){\text{e}}^t=-\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_t^{\infty }f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}}{{\text{e}}^{-t}}\\ =-\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right)}{{\text{e}}^{-t}}=-\underset{t\to \infty }{\lim }f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right){\text{e}}^t=0.\end{array}$

而对于

$\underset{t\to \infty }{\lim }u\left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_t^{\infty }\left[{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_s^{\infty }f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right)\right]\text{d}s},$

当$t\to \infty$ 时，被积函数中的${\displaystyle {\int }_s^{\infty }f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\to 0$ ，故${\phi }^{-1}(\cdot )\to 0$ 。根据反常积分收敛性，整个积分值趋于0，即$\underset{t\to \infty }{\lim }u\left(t\right)=0$ 。因此，$u$ 是原问题(1)的解。

引理2 定义算子$T$ ，

$Tu\left(t\right)={\displaystyle {\int }_t^{\infty }\left[{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_s^{\infty }f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right)\right]\text{d}s},u\in X$ , (6)

则算子$T:X\to X$ 且$T$ 为紧算子。

证明 首先由引理1可知$T:X\to X$ 。下证$T\left(B\right)$ 是$X$ 中的相对紧集。设$B$ 是$X$ 中任意的有界子集，则对于任意的$u\in B,t\in \left[0,\infty \right)$ ，存在$M_0>0$ 使得

$\left|u\left(t\right)\right|<M_0$ . (7)

对于$\left|Tu\left(t\right)\right|$ ，由于${\phi }^{-1}\left(\left|s\right|\right)\le s$ ，由(H3)及(7)式可得

$\begin{array}{c}\left|\left[Tu\right]\left(t\right)\right|\le {\displaystyle {\int }_t^{\infty }\left|\left[{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_s^{\infty }f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right)\right]\right|\text{d}s}\\ \le {\displaystyle {\int }_t^{\infty }{\displaystyle {\int }_s^{\infty }\left|f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\right|\text{d}\tau }}\text{d}s\\ \le {\displaystyle {\int }_t^{\infty }\left(s-t\right)\left|f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\right|ds}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\infty }s\left|f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\right|\text{d}s}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\infty }sp\left(s\right)\left|u\left(s\right)\right|+sq\left(s\right)\left|u^{\prime }\left(s\right)\right|+sr\left(s\right)\text{d}s}\\ \le M_0{\displaystyle {\int }_0^{\infty }sp\left(s\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^{\infty }sq\left(s\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^{\infty }sr\left(s\right)\text{d}s}\\ <\infty .\end{array}$ (8)

另一方面，由于(H2)及(5)式得

$\begin{array}{c}\left|{\left[Tu\right]}^{\prime }\left(t\right)\right|=\left|-{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_t^{\infty }f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\right|\\ \le {\phi }^{-1}\left(\left|{\displaystyle {\int }_t^{\infty }f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}\right|\right)\\ \le {\displaystyle {\int }_t^{\infty }\left|f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\right|\text{d}s}\\ <\infty .\end{array}$ (9)

由(8)~(9)式可得${\Vert T\left(u\right)\Vert }_X<\infty$ 。即证$T\left(B\right)$ 一致有界。

设$\left\{u_n\right\}\subset B,u_n\to u,\left(n\to \infty \right)$ ，则由(H1)中$f$ 连续

$\begin{array}{c}\left|\left[T{u}_n\right]\left(t\right)-\left[Tu\right]\left(t\right)\right|=\left|{\displaystyle {\int }_t^{\infty }\left[{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_s^{\infty }f\left(\tau ,u_n\left(\tau \right),{u^{\prime }}_n\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right)\right]\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_t^{\infty }\left[{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_s^{\infty }f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right)\right]\text{d}s}\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_t^{\infty }\left|{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_s^{\infty }f\left(\tau ,u_n\left(\tau \right),{u^{\prime }}_n\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right)-{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_s^{\infty }f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right)\right|}\\ \le {\displaystyle {\int }_t^{\infty }{\displaystyle {\int }_s^{\infty }\left|f\left(\tau ,u_n\left(\tau \right),{u^{\prime }}_n\left(\tau \right)\right)-f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\right|\text{d}\tau }}\text{d}s\\ \le {\displaystyle {\int }_t^{\infty }\left(s-t\right)\left|f\left(\tau ,u_n\left(\tau \right),{u^{\prime }}_n\left(\tau \right)\right)-f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\right|\text{d}s}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\infty }s\left|f\left(\tau ,u_n\left(\tau \right),{u^{\prime }}_n\left(\tau \right)\right)-f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\right|\text{d}s}\to 0,\left(n\to \infty \right).\end{array}$

对于

$\begin{array}{c}\left|{\left[T{u}_n\right]}^{\prime }\left(t\right)-{\left[Tu\right]}^{\prime }\left(t\right)\right|\le \left|{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_t^{\infty }f\left(s,u_n\left(s\right),{u^{\prime }}_n\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)-{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_t^{\infty }f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_t^{\infty }\left|f\left(s,u_n\left(s\right),{u^{\prime }}_n\left(s\right)\right)-f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\right|\text{d}s}\to 0,\left(n\to \infty \right).\end{array}$

则有T连续。

又由(9)可知，存在一个$M_1>0$ ，使得$\left|{\left[Tu\right]}^{\prime }\left(t\right)\right|\le M_1$ 。借助Lagrange中值定理，可得

$\left|\left[T{u}_n\right]\left(t_1\right)-\left[T{u}_n\right]\left(t_2\right)\right|\le M_1\left|t_1-t_2\right|,\underset{}{}\underset{}{}{t}_1,t_2\ge 0,\underset{}{}\underset{}{}n\ge 1$ . (10)

对于任意$t_1,t_2\ge 0$ ，不妨设$t_1\le t_2$ ，则同样使用Lagrange中值定理，有

$\begin{array}{c}\left|{\left[T{u}_n\right]}^{\prime }\left(t_1\right)-{\left[T{u}_n\right]}^{\prime }\left(t_2\right)\right|\le \left|{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_{t_1}^{\infty }f\left(s,u_n\left(s\right),{u^{\prime }}_n\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)-{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_{t_2}^{\infty }f\left(s,u_n\left(s\right),{u^{\prime }}_n\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\right|\\ \le \left|{\displaystyle {\int }_{t_1}^{\infty }f\left(s,u_n\left(s\right),{u^{\prime }}_n\left(s\right)\right)\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_{t_2}^{\infty }f\left(s,u_n\left(s\right),{u^{\prime }}_n\left(s\right)\right)\text{d}s}\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\left|f\left(s,u_n\left(s\right),{u^{\prime }}_n\left(s\right)\right)\right|\text{d}s}.\end{array}$ (11)

因此由(10)~(11)可得当$\left|t_1-t_2\right|\to 0$ 时，

$\left|\left[T{u}_n\right]\left(t_1\right)-\left[T{u}_n\right]\left(t_2\right)\right|\le M_1\left|t_1-t_2\right|\to 0,$

$\left|{\left[T{u}_n\right]}^{\prime }\left(t_1\right)-{\left[T{u}_n\right]}^{\prime }\left(t_2\right)\right|\to 0$ .

$T\left(u_n\right)$ 在$B$ 中等度连续。由(8)~(9)也可得$T\left(u_n\right)$ 在$B$ 中一致有界。

由$\underset{t\to \infty }{\lim }\left|\left[T{u}_n\right]\left(t\right)\right|=0$ ，则对于任意的$\epsilon >0$ ，存在$t_{\epsilon }>0$ ，使得

$\left|\left[T\left(u_n\right)\right]\left(t\right)\right|<\epsilon ,t>t_{\epsilon },n\ge 1,$

类似地可得

$\left|{\left[T\left(u_n\right)\right]}^{\prime }\left(t\right)\right|<\epsilon ,t>t_{\epsilon },n\ge 1,$

则$\left\{T\left(u_n\right)\right\}$ 在$B$ 上是等度收敛的。

综上，由Arzela-Ascoli定理可知，$\left\{T\left(u_n\right)\right\}$ 在X中是相对紧的，T将X中的有界子集映为X中的相对紧集。因此T是一个紧算子。

3. 主要结果的证明

本文所使用的工具为文[8]中Leray-Schauder延拓定理，下面我们将利用Leray-Schauder延拓定理来证明算子T存在不动点，从而证明了问题(1)解的存在性。

定理1的证明 由引理1可知，(1)的解等价于其对应算子方程存在不动点。

为了证明T存在不动点，只需要证明同论族问题

$\{\begin{array}{l}{\left(\phi \left(u^{\prime }\right)\right)}^{\prime }=\lambda f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right),t\in \left[0,\infty \right),\\ \underset{t\to \infty }{\lim }u\left(t\right)=0,\underset{t\to \infty }{\lim }{u}^{\prime }\left(t\right){\text{e}}^t=0,\end{array}$

即

$u\left(t\right)={\displaystyle {\int }_t^{\infty }\left[{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_s^{\infty }\lambda f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right)\right]\text{d}s},t\in \left[0,\infty \right)$

所有可能解在$C^1\left[0,\infty \right)$ 中有一个不依赖于$\lambda \in \left[0,1\right]$ 的先验界。则有

$\begin{array}{c}\left|u\left(t\right)\right|=\left|{\displaystyle {\int }_t^{\infty }\left[{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_s^{\infty }\lambda f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right)\right]\text{d}s}\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_t^{\infty }{\displaystyle {\int }_s^{\infty }\lambda \left|f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\right|\text{d}\tau }}\text{d}s\\ \le {\displaystyle {\int }_t^{\infty }{\displaystyle {\int }_s^{\infty }\left|\lambda f\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\right|\text{d}\tau }}\text{d}s\\ \le {\displaystyle {\int }_t^{\infty }\left(s-t\right)\left|f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\right|\text{d}s}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\infty }sp\left(s\right)\left|u\left(s\right)\right|+sq\left(s\right)\left|u^{\prime }\left(s\right)\right|+sr\left(s\right)\text{d}s}\\ \le \underset{t\ge 0}{\sup }\left|u\left(t\right)\right|\le \frac{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }sq\left(s\right)ds}+{\displaystyle {\int }_0^{\infty }sr\left(s\right)ds}}{1-sp(s)ds}:=c.\end{array}$

故

$\underset{t\ge 0}{\sup }\left|u\left(t\right)\right|\le \frac{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }sq\left(s\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^{\infty }sr\left(s\right)ds}}{1-sp\left(s\right)ds}:=c.$

由于$\left|u^{\prime }\left(t\right)\right|<1$ 故存在不依赖于$\lambda \in \left[0,1\right]$ 的常数$c$ 使得

${\Vert u\Vert }_X=\underset{t\ge 0}{\sup }\left|u\left(t\right)\right|+\underset{t\ge 0}{\sup }\left|u^{\prime }\left(t\right)\right|\le c+1.$ .

所以，同伦族方程的所有可能解在$C^1\left[0,\infty \right)$ 中有一个不依赖于$\lambda \in \left[0,1\right]$ 的先验界。

因此，由Leray-Schauder原理可知，(1)在$C^1\left[0,\infty \right)$ 上至少存在一个解$u$ 。