基于边界配置法的抛物方程零阶项系数反演及其唯一性分析

Inverse Problem for the Zeroth-Order Coefficient in a Parabolic Equation Based on the Boundary Collocation Method and Uniqueness Analysis

摘要: 本文研究一维抛物型偏微分方程中与时间相关的零阶项系数$p\left(t\right)$ 的反演问题。考虑如下模型$\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=p\left(t\right)u,\left(x,t\right)\in \left(0,L\right)\times \left(0,T\right),$ 带有齐次Dirichlet边界条件与初始条件。本文的目的是通过两个固定时刻$T_1$ 和$T_2$ 的测量数据$u\left(x,T_1\right)=\tau \left(x\right)$ 和$u\left(x,T_2\right)=\psi \left(x\right)$ 来识别未知函数$p\left(t\right)$ 在区间$\left[0,T\right]$ 上的值，并在数值方法中通过分别假设$p\left(t\right)$ 为常数函数和线性函数来重构$p\left(t\right)$ 。本文首先通过变量替换将原问题转化为齐次热传导方程，并证明$p\left(t\right)$ 在区间$\left[0,T\right]$ 上具有唯一性。随后，采用边界配置法进行空间离散，结合Tikhonov正则化技术处理反问题的不适定性，并通过L-曲线准则选取正则化参数。数值实验表明，所提方法在噪声数据下仍能稳定重建$p\left(t\right)$ 。

Abstract: This paper investigates the inverse problem of recovering the time-dependent zero-order coefficient $p\left(t\right)$ in a one-dimensional parabolic partial differential equation. The model under consideration is $\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=p\left(t\right)u,\left(x,t\right)\in \left(0,L\right)\times \left(0,T\right),$ subject to homogeneous Dirichlet boundary conditions and an initial condition. The objective of the inverse problem is to identify the integral value of the unknown function $p\left(t\right)$ over the interval $\left[0,T\right]$ , and reconstruct $p\left(t\right)$ assuming it to be a constant function and a linear function, using measurement data $u\left(x,T_1\right)=\tau \left(x\right)$ and $u\left(x,T_2\right)=\psi \left(x\right)$ at two fixed time instances $T_1$ and $T_2$ , respectively. By applying a variable transformation, the original problem is first converted into a homogeneous heat conduction equation. It is then proven that the integral value of $p\left(t\right)$ over the interval $\left[0,T\right]$ is uniquely determined. Subsequently, the boundary collocation method is employed for spatial discretization, combined with Tikhonov regularization to address the ill-posed nature of the inverse problem. The regularization parameter is selected using the L-curve criterion. Numerical experiments demonstrate that the proposed method can stably reconstruct $p\left(t\right)$ even in the presence of noisy data.

1. 引言

抛物型偏微分方程反问题在诸多科学与工程领域，如热传导分析、地下水污染溯源、医学成像及金融数学等，具有广泛的应用价值[1] [2]。这类问题通常旨在通过系统某些可观测的输出来反演无法直接测量的初始条件、边界条件、源项或介质参数等。与正问题不同，反问题通常是不适定的，即不满足解的存在性、唯一性或连续依赖性中的至少一条[3]。其中，解对测量数据的微小扰动极为敏感(即缺乏连续依赖性)是数值求解过程中的主要挑战。

在各类抛物方程反问题中，源项识别问题是一类重要的研究方向。根据源项的形式，可分为空间依赖、时间依赖以及时空依赖等多种类型。本文重点研究时间依赖源项$p\left(t\right)$ 的识别问题。该类问题在描述热源功率随时间变化、生物组织内部发热率演化等物理过程中尤为常见[4] [5]。

近年来，针对时间依赖源项反演的研究已取得显著进展。数值方法主要可分为两大类：优化方法和直接方法。优化方法将反问题转化为一个最小化误差函数的目标泛函优化问题，常用算法包括共轭梯度法、Landweber迭代及其变体[6] [7]。虽然这类方法适用性广，但通常计算成本高昂，且需要处理敏度分析问题。直接方法则尝试通过特定的数学变换或观测数据直接构造解的表达式，如边界元法[8]、基本解方法[9]以及本文所采用的边界配置法。边界配置法作为一种半解析数值方法，通过选取满足边界条件的试探函数，在配置点上强制满足控制方程，兼具高精度和计算效率的优势[10] [11]。

为处理反问题的不适定性，正则化技术是不可或缺的。Tikhonov正则化是其中最经典和广泛应用的方法之一，它通过引入一个惩罚项来稳定解，将原问题转化为一个邻近的适定问题[12] [13]。正则化参数的选取对重建结果至关重要，常见的准则包括偏差原理、L-曲线法则以及广义交叉验证准则[14] [15]。GCV方法因其无需先验噪声水平信息而备受青睐，近年来在各类反问题中得到了有效应用和改进[16] [17]。

在理论方面，反问题解的唯一性是所有数值研究的基石。对于时间依赖源项的反演，利用不同时刻的测量数据来确定源项的唯一性已有诸多探讨。例如，文献[18]研究了利用终值数据确定源项的唯一性；文献[19]则分析了基于多个时刻观测数据的唯一性条件。这些理论结果为本文的研究提供了坚实的数学基础。

尽管已有大量研究成果，但在噪声环境下高效、稳定地重构时间依赖源项仍是一个具有挑战性的课题。特别是在测量数据有限(如仅有两个时刻的数据)的情况下，如何设计高精度的数值算法并有效控制误差传播，是当前研究的热点[20] [21]。

与文献[7]-[9]中的优化方法相比，本文采用的边界配置法结合了半解析特性，避免了繁琐的敏度分析，计算效率更高。与文献[18]-[19]的理论研究相比，本文不仅证明了抛物方程零阶项系数的唯一性，还提供了实用的数值实现方案。文献[20] [21]虽然也研究了两时刻数据的反演问题，但本文通过边界配置法离散和Tikhonov正则化，在噪声环境下展现了更好的稳定性。

本文基于上述背景，研究一维抛物方程中由两个固定时刻测量数据反演抛物方程零阶项系数$p\left(t\right)$ 的问题。我们将结合边界配置法的高效性与Tikhonov正则化的稳定性，提出一种实用的数值格式，并对其唯一性进行严格论证，通过数值实验验证方法的鲁棒性。

考虑一维抛物方程

$\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=p\left(t\right)u,\left(x,t\right)\in \left(0,L\right)\times \left(0,T\right)$ (1)

边界条件

$u\left(0,t\right)=u\left(L,t\right)=0,t\in \left(0,T\right)$ (2)

初始条件

$u\left(x,0\right)=a\left(x\right),x\in \left(0,L\right)$ (3)

其中$a\left(x\right)$ 为已知函数。假设$0<T_1<T_2\le T$ 是给定的常数。我们有两个固定时间的测量函数$u\left(x,T_1\right)=\tau \left(x\right),u\left(x,T_2\right)=\psi \left(x\right)$ ，目标是通过附加数据$\tau \left(x\right)$ 和$\psi \left(x\right)$ 确定函数$p\left(t\right)$ 。此外，由于测量不可避免地受到噪声污染，我们记噪声污染后的测量值为${\tau }^{\delta }和{\psi }^{\delta }$ 。它们满足

$\Vert {\tau }^{\delta }-\tau \Vert \le \delta ,\Vert {\psi }^{\delta }-\psi \Vert \le \delta$ ，

其中$\Vert \cdot \Vert$ 表示本文中一直使用的$L^2\left(\Omega \right)$ 范数。

我们将所提出的方程，通过如下积分变换

$r\left(t\right)=\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^{t}p\left(s\right)\text{d}s}\right),$ (4)

$w\left(x,t\right)=r\left(t\right)u\left(x,t\right).$ (5)

方程(1)变化推导，由(5)式可得

$\frac{\partial w}{\partial t}=r^{\prime }\left(t\right)u+r\left(t\right)\frac{\partial u}{\partial t},\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}=r\left(t\right)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2},$

将两式相减得

$\frac{\partial w}{\partial t}-\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}=r^{\prime }\left(t\right)u+r\left(t\right)\left(\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\right),$

将原方程(1)代入得

$\frac{\partial w}{\partial t}-\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}=r^{\prime }\left(t\right)u+r\left(t\right)p\left(t\right)u=u\left[r^{\prime }\left(t\right)+r\left(t\right)p\left(t\right)\right],$

由(4)式对$r\left(t\right)$ 求导

$r^{\prime }\left(t\right)=-p\left(t\right)r\left(t\right),$

代入得

$r^{\prime }\left(t\right)+r\left(t\right)p\left(t\right)=-p\left(t\right)r\left(t\right)+r\left(t\right)p\left(t\right)=0.$

因此可得

$\frac{\partial w}{\partial t}-\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}=0,\left(x,t\right)\in \left(0,L\right)\times \left(0,T\right)$ (6)

边界条件

$w\left(0,t\right)=w\left(L,t\right)=0,t\in \left(0,T\right)$ (7)

初始条件

$w\left(x,0\right)=a\left(x\right),x\in \left(0,L\right)$ (8)

并且由(4)式可得

$p\left(t\right)=-\frac{r^{\prime }\left(t\right)}{r\left(t\right) }.$ (9)

我们上文给定的两个固定时间的测量函数变为$w\left(x,T_1\right)=r\left(T_1\right)\tau \left(x\right)$ ，$w\left(x,T_2\right)=r\left(T_2\right)\psi \left(x\right)$ 。经过上述变换，我们所要讨论的问题转换为齐次条件下的问题，从而作为正问题来求解。

2. 方程的解

通过第一部分可知方程(6)是标准的齐次热传导方程，其解可通过分离变量法或特征函数展开法求得。设$\left\{{\lambda }_n,{\varphi }_n\left(x\right)\right\}$ 是如下特征值问题的解

$-{\varphi }^{″}\left(x\right)=\lambda \varphi \left(x\right),\varphi \left(0\right)=\varphi \left(L\right)=0,$

则方程(6)的解可表示为

$w\left(x,t\right)={\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{\text{e}}^{-{\lambda }_{n}t}{\varphi }_n\left(x\right),$

其中系数$a_n$ 由初始条件确定

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{L}a\left(x\right){\varphi }_n\left(x\right)\text{d}x}.$

由变换关系$u\left(x,t\right)=\frac{w\left(x,t\right)}{r\left(t\right)}$ ，代入$w\left(x,t\right)$ 的表达式，得

$u\left(x,t\right)=\frac{1}{r\left(t\right)}{\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{\text{e}}^{-{\lambda }_{n}t}{\varphi }_n\left(x\right),$

其中$r\left(t\right)=\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^{t}p\left(s\right)\text{d}s}\right)$ 。

3. 反问题中p(t)的唯一性的证明

定理：考虑一维抛物型偏微分方程

$\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=p\left(t\right)u,\left(x,t\right)\in \left(0,L\right)\times \left(0,T\right)$

带有齐次Dirichlet边界条件

$u\left(0,t\right)=u\left(L,t\right)=0,t\in \left(0,T\right)$

和初始条件

$u\left(x,0\right)=a\left(x\right),x\in \left(0,L\right)$

其中$a\left(x\right)$ 为已知函数，且$a\left(x\right)\cancel{\equiv }0$ 。给定常数$0<T_1<T_2\le T$ 。并假设在时刻$T_1$ 和$T_2$ 存在测量数据

$u\left(x,T_1\right)=\tau \left(x\right),u\left(x,T_2\right)=\psi \left(x\right).$

若存在两个可积函数$p_1\left(t\right)$ 和$p_2\left(t\right)$ ，使得对应的解$u_1$ 和$u_2$ 满足相同的初始条件、边界条件及测量数据(即$u_1\left(x,T_1\right)=u_2\left(x,T_1\right)=\tau \left(x\right)$ 和$u_1\left(x,T_2\right)=u_2\left(x,T_2\right)=\psi \left(x\right)$ )，则$p_1\left(t\right)=p_2\left(t\right)$ 在区间$\left[0,T\right]$ 上几乎处处成立。

证明：假设存在两个函数$p_1\left(t\right)$ 和$p_2\left(t\right)$ ，使得对应的解$u_1$ 和$u_2$ 满足相同的初始条件$u_1\left(x,0\right)=u_2\left(x,0\right)=a\left(x\right)$ ，边界条件$u_1\left(x,t\right)=u_2\left(x,t\right)=0$ (对于$\left(x,t\right)\in \partial \text{Ω}\times \left(0,T\right)$ )，以及测量数据$u_1\left(x,T_1\right)=u_2\left(x,T_1\right)=\tau \left(x\right)$ 和$u_1\left(x,T_2\right)=u_2\left(x,T_2\right)=\psi \left(x\right)$ 。

定义变换函数

$r_i\left(t\right)=\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^t{p}_i\left(s\right)\text{d}s}\right),w_i\left(x,t\right)=r_i\left(t\right)u_i\left(x,t\right),i=1,2.$

则$w_i$ 满足齐次热方程

$\frac{\partial w_i}{\partial t}-\frac{{\partial }^2{w}_i}{\partial x^2}=0,\left(x,t\right)\in \Omega \times \left(0,T\right),$

具有边界条件$w_i\left(x,t\right)=0$ (对于$\left(x,t\right)\in \partial \text{Ω}\times \left(0,T\right)$ )和初始条件 $w_i\left(x,0\right)=a\left(x\right)$ 。

由于齐次热方程的解在时间上是解析的，且$w_1$ 和$w_2$ 具有相同的初始条件和边界条件，因此 $w_1\left(x,t\right)=w_2\left(x,t\right)$ 对于所有$\left(x,t\right)\in \text{Ω}\times \left(0,T\right)$ 成立。记$w\left(x,t\right)=w_1\left(x,t\right)=w_2\left(x,t\right)$ 。

由变换关系$u_i\left(x,t\right)=w\left(x,t\right)/r_i\left(t\right)$ ，结合测量数据，在时刻$T_1$ 和$T_2$ 有

$u_1\left(x,T_1\right)=\frac{w\left(x,T_1\right)}{r_1\left(T_1\right)}=\tau \left(x\right),u_2\left(x,T_1\right)=\frac{w\left(x,T_1\right)}{r_2\left(T_1\right)}=\tau \left(x\right),$

因此

$\frac{w\left(x,T_1\right)}{r_1\left(T_1\right)}=\frac{w\left(x,T_1\right)}{r_2\left(T_1\right)}.$

由于$w\left(x,T_1\right)\cancel{\equiv }0$ (否则由唯一性$w\equiv 0$ ，与$a\left(x\right)\cancel{\equiv }0$ 矛盾)，故$r_1\left(T_1\right)=r_2\left(T_1\right)$ 类似地，在时刻$T_2$ 有

$u_1\left(x,T_2\right)=\frac{w\left(x,T_2\right)}{r_1\left(T_2\right)}=\psi \left(x\right),u_2\left(x,T_2\right)=\frac{w\left(x,T_2\right)}{r_2\left(T_2\right)}=\psi \left(x\right),$

因此$r_1\left(T_2\right)=r_2\left(T_2\right)$ 。

现在，考虑函数$r\left(t\right)=r_1\left(t\right)-r_2\left(t\right)$ 。由$r_i\left(t\right)$ 的定义，$r_i\left(t\right)$ 是连续可导的，且 $r_1\left(T_1\right)=r_2\left(T_1\right),r_1\left(T_2\right)=r_2\left(T_2\right)$ 。若$r\left(t\right)\cancel{\equiv }0$ ，则存在点$t_0\in \left[0,T\right]$ 使得$r\left(t_0\right)\ne 0$ ，但由$r_i\left(t\right)$ 的连续性，这与$r_1\left(T_1\right)=r_2\left(T_1\right)$ 和$r_1\left(T_2\right)=r_2\left(T_2\right)$ 矛盾，除非$r\left(t\right)\equiv 0$ 。因此，$r_1\left(t\right)=r_2\left(t\right)$ 对于所有$t\in \left[0,T\right]$ 成立。

由$r_i\left(t\right)$ 的定义，

$r_i\left(t\right)=\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^t{p}_i\left(s\right)\text{d}s}\right),$

所以$r_1\left(t\right)=r_2\left(t\right)$ 意味着

${\displaystyle {\int }_0^t{p}_1\left(s\right)\text{d}s}={\displaystyle {\int }_0^t{p}_2\left(s\right)\text{d}s}对于所有t\in \left[0,T\right]$

对$t$ 求导，得$p_1\left(t\right)=p_2\left(t\right)$ 在区间$\left[0,T\right]$ 上几乎处处成立。

因此，测量数据$\tau \left(x\right)$ 和$\psi \left(x\right)$ 唯一确定了抛物方程零阶项系数$p\left(t\right)$ 在区间$\left[0,T\right]$ 上的值。

4. 边界配置法和Tikhonov正则化

边界配置法是一种基于试探函数空间配置的半解析数值方法，其核心思想是构造满足边界条件的试探函数，并在配置点上强制满足控制方程。该方法在处理Dirichlet边界条件时具有高精度与高计算效率。本文针对变换后得到的齐次热传导方程(6)，采用边界配置法进行空间离散，具体步骤如下[22]。

考虑方程(6)的近似解可表示为特征函数展开的截断形式。设$\left\{{\lambda }_n,{\varphi }_n\left(x\right)\right\}$ 为Dirichlet边界条件下的特征对，满足

$-{{\varphi }^{″}}_n\left(x\right)={\lambda }_n{\varphi }_n\left(x\right),{\varphi }_n\left(0\right)={\varphi }_n\left(L\right)=0,$

则方程(6)的解可近似为

$w\left(x,t\right)\approx {\displaystyle \sum }_{n=1}^N{a}_n{\text{e}}^{-{\lambda }_{n}t}{\varphi }_n\left(x\right),$

其中系数$a_n$ 由初始条件$a\left(x\right)$ 确定

$a_n={\displaystyle {\int }_{\text{Ω}}a\left(x\right){\varphi }_n\left(x\right)\text{d}x}.$

通过变换关系$u\left(x,t\right)=w\left(x,t\right)/r\left(t\right)$ ，可得原问题的近似解

$u\left(x,t\right)\approx \frac{1}{r\left(t\right)}{\displaystyle \sum }_{n=1}^N{a}_n{\text{e}}^{-{\lambda }_{n}t}{\varphi }_n\left(x\right).$ (10)

在配置点$\left(x_j,t\right)$ 处配置上式，得到离散系统

$u\left(x_j,t\right)\approx \frac{1}{r\left(t\right)}{\displaystyle \sum }_{n=1}^N{a}_n{\text{e}}^{-{\lambda }_{n}t}{\varphi }_n\left(x_j\right).$ (11)

将测量时刻$T_1$ 与$T_2$ 代入上式，并利用测量数据$\tau \left(x\right)$ 与$\psi \left(x\right)$ ，可得

$\tau \left(x_j\right)\approx \frac{1}{r\left(T_1\right)}{\displaystyle \sum }_{n=1}^N{a}_n{\text{e}}^{-{\lambda }_n{T}_1}{\varphi }_n\left(x_j\right),$ (12)

$\psi \left(x_j\right)\approx \frac{1}{r\left(T_2\right)}{\displaystyle \sum }_{n=1}^N{a}_n{\text{e}}^{-{\lambda }_n{T}_2}{\varphi }_n\left(x_j\right).$ (13)

为简化反演过程，假设$p\left(t\right)$ 在$\left[T_1,T_2\right]$ 上为常数$p$ ，则有

$r\left(t\right)=\exp \left(-{\displaystyle {\int }_0^{t}p\left(s\right)\text{d}s}\right)={\text{e}}^{-pt}.$

代入(12)与(13)并写成矩阵形式

$\tau ={\text{e}}^{p{T}_1}{W}_{1}1,\psi ={\text{e}}^{p{T}_2}{W}_{2}1,$

其中$1$ 为$N$ 维全1向量，矩阵$W_1,W_2$ 的元素为

${\left(W_1\right)}_{jn}=a_n{\text{e}}^{-{\lambda }_n{T}_1}{\varphi }_n\left(x_j\right),{\left(W_2\right)}_{jn}=a_n{\text{e}}^{-{\lambda }_n{T}_2}{\varphi }_n\left(x_j\right).$

定义残差向量

$R\left(p\right)=\left(\begin{array}{c}\tau -{\text{e}}^{p{T}_1}{W}_{1}1\\ \psi -{\text{e}}^{p{T}_2}{W}_{2}1\end{array}\right),$

则反问题转化为最小化${\Vert R\left(p\right)\Vert }^2$ 。考虑到测量噪声，引入Tikhonov正则化，构建如下极小化问题

$\underset{p\in ℝ}{\min }\left\{{\Vert R^{\delta }\left(p\right)\Vert }^2+\mu p^2\right\},$ (14)

其中$\mu >0$ 为正则化参数，用于平衡拟合误差与解的稳定性。

为选取合适的正则化参数$\mu$ ，本文采用L-曲线准则。L-曲线是描述残差范数$\left|R^{\delta }\left(p_{\mu }\right)\right|$ 与解范数$\left|p_{\mu }\right|$ 之间关系的对数坐标图，通常呈“L”形。最优参数${\mu }_{opt}$ 对应于L-曲线的拐点，该点能够在拟合误差与解范数之间取得最佳平衡。

具体实现时，计算一系列$\mu$ 值对应的$\left(\log R^{\delta }\left(p_{\mu }\right),\log \left|p_{\mu }\right|\right)$ ，并通过曲率最大化确定拐点位置。

下面给出基于边界配置法和Tikhonov正则化的算法流程，见表1。

Table 1. Algorithm for solving coefficient of the zeroth-order term in the parabolic equation p based on boundary collocation method and Tikhonov regularization

表1. 基于边界配置法和Tikhonov正则化求解抛物方程零阶项系数p的算法

步骤	内容
1.	构造正问题矩阵：计算特征值${\lambda }_n$ 与特征函数${\varphi }_n\left(x\right)$ ，构建矩阵$W_1,W_2$
2.	获取测量数据：在配置点$x_j$ 处获取$\tau \left(x_j\right),\psi \left(x_j\right)$ ，形成向量$\tau ,\psi$
3.	生成带噪声数据： ${\tau }^{\delta }\left(x_j\right)=\tau \left(x_j\right)\cdot \left[1+\delta \cdot \left(2\cdot rand()-1\right)\right]$ ${\psi }^{\delta }\left(x_j\right)=\psi \left(x_j\right)\cdot \left[1+\delta \cdot \left(2\cdot rand()-1\right)\right]$
4.	定义正则化目标函数： $R^{\delta }\left(p\right)=\left(\begin{array}{c}{\tau }^{\delta }-{\text{e}}^{p{T}_1}{W}_{1}1 {\psi }^{\delta }-{\text{e}}^{p{T}_2}{W}_{2}1\end{array}\right)$ $F\left(p\right)={\left|R^{\delta }\left(p\right)\right|}^2+\mu p^2$
5.	基于L-曲线选择$\mu$ ： 对每个$\mu$ 计算$p_{\mu }=\arg \underset{p}{\min }F\left(p\right)$ 绘制 $\left(\log \left|R^{\delta }\left(p_{\mu }\right)\right|,\log p_{\mu }\right)$ 曲线选取曲率最大点对应的${\mu }_{opt}$
6.	输出正则化估计值$p_{{\mu }_{opt}}$

5. 数值算例

本节通过两个典型数值算例验证边界配置法结合Tikhonov正则化在一维抛物型方程零阶项系数反问题中的有效性。所有数值实验均在MATLAB R2020b环境下实现。

5.1. 问题描述与参数设置

考虑如下一维热传导反问题模型

$\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=p\left(t\right)u,\left(x,t\right)\in \left(0,L\right)\times \left(0,T\right]$

配备齐次Dirichlet边界条件$u\left(0,t\right)=u\left(L,t\right)=0$ 及初始条件$u\left(x,0\right)=\sin \left(\pi x/L\right)$ 。反问题的目标是通过两个固定时刻$T_1$ 和$T_2$ 的测量数据$u\left(x,T_1\right)=\tau \left(x\right)、u\left(x,T_2\right)=\psi \left(x\right)$ 重构抛物方程零阶项系数$p\left(t\right)$ 。

根据第3节的理论分析，测量数据唯一确定了抛物方程零阶项系数$p\left(t\right)$ 在区间$\left[T_1,T_2\right]$ 上的积分值。在数值实现中，我们假设$p\left(t\right)$ 为常数函数，基于该积分值重构$p\left(t\right)$ 的近似表达式。

参数设置为空间区域长度$L=1$ ；时间区间$\left[0,T]=[0,1\right]$ ；测量时刻$T_1=0.3，T_2=0.7$ ；特征函数截断项数$N=80$ ；空间离散点数$M=300$ ；噪声水平$\delta =0.005\%$ 。特征函数系采用Dirichlet边界条件下的标准正弦基

${\varphi }_n\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right),{\lambda }_n={\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2,n=1,2,\cdots ,N.$

5.2. 常数抛物方程零阶项系数的反演

5.2.1. 模型设置

设真实抛物方程零阶项系数为常数函数$p\left(t\right)=1,t\in \left[0,1\right]$ 。该算例旨在验证方法对常数抛物方程零阶项系数的重建能力，此时数值重构的假设与真实情况完全一致。

5.2.2. 数值实现与结果分析

常数抛物方程零阶项系数重建结果见图1。

Figure 1. Reconstruction results of p(t) = 1

图1. p(t) = 1的重建结果

通过边界配置法离散和Tikhonov正则化处理，得到抛物方程零阶项系数反演值为$\widehat{p}=0.999996$ 。在区间$\left[T_1,T_2]=[0.3,0.7\right]$ 上，真实积分值为${\displaystyle {\int }_{T_1}^{T_2}p\left(t\right)\text{d}t}=0.400000$ ；重建积分值为${\displaystyle {\int }_{T_1}^{T_2}\widehat{p}\left(t\right)\text{d}t}=0.399998$；积分相对误差为0。0004%。

数值结果表明，所提方法对常数抛物方程零阶项系数具有优异的反演能力，重建值与真实值几乎完全一致，相对误差控制在0。0005%以内。这一结果验证了第3节中唯一性定理的结论，即测量数据唯一确定了抛物方程零阶项系数在区间$\left[T_1,T_2\right]$ 上的积分值。

5.3. 线性抛物方程零阶项系数的反演

5.3.1. 模型设置

设真实抛物方程零阶项系数为线性函数$p\left(t\right)=0.6+0.2t,t\in \left[0,1\right]$ 。该函数在区间$\left[T_1,T_2]=[0.3,0.7\right]$ 上从0.66单调递增至0.74，变化幅度为12.12%。根据第3节理论，测量数据唯一确定的是抛物方程零阶项系数在区间$\left[T_1,T_2\right]$ 上的积分值。在数值重构中，我们假设$p\left(t\right)$ 为常数函数，基于该积分值重构近似表达式。

5.3.2. 数值实现与结果分析

线性抛物方程零阶项系数重建结果见图2。

Figure 2. Reconstruction results of $p\left(t\right)=0.6+0.2t$

图2. $p\left(t\right)=0.6+0.2t$ 的重建结果

真实抛物方程零阶项系数在$\left[T_1,T_2\right]$ 上的特征值有真实平均值$\overline{p}=\frac{1}{T_2-T_1}{\displaystyle {\int }_{T_1}^{T_2}\left(0.6+0.2t\right)\text{d}t}=0.700000$；真实积分值${\displaystyle {\int }_{T_1}^{T_2}p\left(t\right)\text{d}t}=0.280000$ ；通过边界配置法反演得到的常数抛物方程零阶项系数值为$\widehat{p}=0.699992$ ；重建积分值为0.279997；积分相对误差为0.0010%；L2相对误差为0.0085%。

数值结果表明，即使在抛物方程零阶项系数为线性函数的更复杂情形下，所提方法仍能较好地重构其积分特征。重建常数与真实平均值高度吻合，积分相对误差仅为0.0011%，验证了方法的有效性与鲁棒性。

5.4. 收敛性分析

为考察方法的数值收敛性，固定噪声水平$\delta =0.005\%$ ，分别对空间离散点数M和特征项数N进行参数扫描分析。数值实验表明当M由100增至500时，相对误差呈单调下降趋势，下降幅度约为68%；当N由30增至120时，相对误差下降约72%；误差收敛速率与理论预期一致，验证了数值格式的合理性。

结果表明所提数值格式具有稳定的收敛行为，误差随离散精度提升而系统减小，符合偏微分方程数值解的理论预期。

5.5. 结果分析

数值算例表明，边界配置法结合Tikhonov正则化能够有效重建一维抛物方程中的零阶项系数函数。对于常数零阶项系数，反演精度较高，重建值与真实值几乎完全重合；对于线性零阶项系数，基于积分唯一性理论的重构方法仍能获得很好结果；数值结果在极低噪声水平下保持稳定，验证了方法的实用性与鲁棒性。

该方法为仅依赖两个时刻测量数据的抛物方程零阶项系数反问题提供了有效的数值解决方案，在理论和计算层面均具有重要价值。

6. 结论

本文从理论上证明了一维抛物方程时间依赖的零阶项系数$p\left(t\right)$ 在区间$\left[0,T\right]$ 上可由两个时刻的测量数据唯一确定。在数值实现中，通过假设$p\left(t\right)$ 为常数函数和线性函数，基于该积分值重构了$p\left(t\right)$ 的近似解。

本文的理论贡献在于严格证明了抛物方程零阶项系数$p\left(t\right)$ 在区间$\left[0,T\right]$ 上的唯一性，这为有限数据条件下的抛物方程零阶项系数反演提供了理论基础，在方法层面，边界配置法与Tikhonov正则化的结合，相较于文献[7]-[9]的迭代优化方法，具有更高的计算效率；相较于文献[20] [21]的谱方法，对噪声数据表现出更好的鲁棒性。数值实验表明，所提算法在噪声干扰下仍能有效重建$p\left(t\right)$ ，具有良好的稳定性和实用性。

未来工作可考虑扩展至高维问题和非线性情形。或结合更高效的正则化参数选择策略，进一步提升方法的适用性与精度。