一类三维Jerk系统的余维二Bautin分岔分析

Research on Codimensional-2 Bautin Bifurcation of a Three-Dimensional Jerk System

摘要: 针对一类具有三次项的三维Jerk系统，本文致力于分析该系统的余维二Bautin分岔行为。首先，基于Hopf分岔理论，给出了Hopf分岔发生的适当参数条件，并计算了相对应的第一Lyapunov系数；其次，研究了Hopf分岔发生退化后的余维二Bautin分岔行为，给出了对应的分岔参数条件，并计算了第二Lyapunov系数；最后，通过数值仿真，对Bautin分岔平衡点进行了适当的参数扰动，获得了分岔后的不同动力学行为。

Abstract: This paper is devoted to analyzing the codimension-2 Bautin bifurcations of a generalized three-dimensional (3D) jerk system which is jerk function with some cubic terms. First, some adequate parameter conditions for guaranteeing the occurrence of Hopf bifurcation of this jerk system are given, and the first Lyapunov coefficient is obtained. Second, some adequate parameter conditions for guaranteeing the occurrence of Bautin bifurcation of this jerk system are given, and the second Lyapunov coefficient is obtained. Finally, according to the theoretical analyses and numerical simulation, under some certain parameter conditions, the above theoretical analyses are verified.

1. 引言

混沌系统的研究往往需要用到分岔及动力系统等理论，研究其平衡点的稳定性、周期解的稳定性及产生与消失、混沌控制及同步的条件、平衡点的高余维分岔、周期及同宿轨道的分岔、混沌吸引子的产生与毁灭等[1]-[5]。

Hopf分岔定理已成为应用数学中研究微分方程平衡点附近周期解产生与消失的标准工具，而Bautin分岔则可能引起Hopf平衡点附近产生多个周期解的共存行为[1] [6] [7]，这与Hilbert十六问题[8]的第二部分紧密相关，该部分主要考虑二维多项式系统中极限环的个数及稳定性情况。很多复杂的动力系统，从气候、生态到股票市场及应用工程系统等[9] [10]，都存在很多的吸引子共存现象。这类动力系统中的吸引子共存现象被称之为多稳定性，这类性质常常伴随着不可预测吸引子的产生，此类吸引子也被称之为隐藏吸引子[11] [12]。

在经典力学中，如下的三阶微分方程被称之为Jerk系统，用来描述位置$x\left(t\right)$ 随时间变化的演变规律，

$\stackrel{⃛}{x}=J\left(x,\dot{x},\ddot{x},t\right)$ .

Jerk函数$J$ 描述了运动加速度的变化率，$x\left(t\right)$ 上方的点表示对时间$t$ 的导数。Jerk系统在工程中具有大量的应用，尤其是在力学与声学的某些应用中[13]。

令$\dot{x}=y,\ddot{x}=z$ ，则上述三阶微分方程可以转化成如下的三维Jerk系统

$\dot{x}=y,\begin{array}{c}\end{array}\dot{y}=z,\begin{array}{c}\end{array}\dot{z}=J\left(x,y,z,t\right),$

这个系统形式简单，但是却呈现出非常复杂的分岔及动力学行为。针对多种不同类型的特殊Jerk系统，不同类型的分岔行为已被研究[4] [5]，并且一些新的混沌Jerk系统也被仔细的研究。

很多研究者们感兴趣于研究三维Jerk系统的余维二Zero-Hopf分岔行为[4] [5]，但是很少文献研究Jerk系统的其它余维二分岔行为，如Bagdanov-Takens分岔及Bautin分岔。

在本文中，Jerk函数被考虑为具有线性项及两个三次项，具体的三维Jerk系统如下

$\{\begin{array}{l}\dot{x}=y,\\ \dot{y}=z,\\ \dot{z}=b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+c_1{x}^3+c_{2}xyz,\end{array}$ (1.1)

该系统始终具有一个原点平衡点$O\left(0,0,0\right)$ 。

本文主要致力于研究Jerk系统(1.1)的Hopf分岔及余维二Bautin分岔。在第2节中，为了研究的完整性，我们给出了一般的Hopf分岔定理，并且给出了保证Hopf分岔发生的一些参数条件。在第3节中，给出了Jerk系统(1.1)在平衡点$O\left(0,0,0\right)$ 处的Bautin分岔研究，并通过数值仿真方法对理论研究结果进行了验证。最后，在第4节中对本文的工作进行了总结。

2. Hopf分岔分析

为了研究Jerk系统(1.1)在平衡点$O$ 处的Hopf分岔及其退化行为，我们将文献[1]中的投影方法总结如下，主要用于计算分别对应于Hopf分岔及Bautin分岔的第一及第二Lyapunov系数，即$l_1$ 及$l_2$ 。

考虑如下微分方程

$\dot{X}=f\left(X,\eta \right),$ (2.1)

其中$X\in {\Re }^n$ 及$\eta \in {\Re }^m$ 分别为空间向量及参数向量，$f\left(X,\eta \right)$ 为${\Re }^n\times {\Re }^m$ 空间中的$C^{\infty }$ 类向量函数。假设系统(2.1)在参数$\eta ={\eta }_0$ 时具有平衡点$X=X_0$ ，将变量$X-X_0$ 重新记为$X$ ，并且将向量$F\left(X\right)=f\left(X,{\eta }_0\right)$ 记为

$\begin{array}{c}F\left(X\right)=AX+\frac{1}{2}B\left(X,X\right)+\frac{1}{6}C\left(X,X,X\right)+\frac{1}{24}D\left(X,X,X,X\right)\\ +\frac{1}{120}E\left(X,X,X,X,X\right)+O\left({\Vert X\Vert }^6\right),\end{array}$

其中$A=f_X\left(0,{\eta }_0\right)$ 及

$B_i\left(x,y\right)={{\displaystyle \sum _{j,k=1}^n\frac{{\partial }^2{F}_i\left(\xi \right)}{\partial {\xi }_j\partial {\xi }_k}}|}_{\xi =0}{x}_j{y}_k,\begin{array}{c}\end{array}{C}_i\left(x,y,z\right)={{\displaystyle \sum _{j,k,l=1}^n\frac{{\partial }^3{F}_i\left(\xi \right)}{\partial {\xi }_j\partial {\xi }_k\partial {\xi }_l}}|}_{\xi =0}{x}_j{y}_k{z}_l,$ (2.2)

$D_i,E_i,i=1,\cdots ,n$ 也具有类似的结构，其中$y\in {\Re }^n$ 及$z\in {\Re }^n$ 。

假设上述Jacobian矩阵$A$ 具有一对纯虚特征值${\lambda }_{1,2}=\pm {\omega }_{0}i,{\omega }_0>0$ ，并且其它的特征值均具有非零实部。令$p,q\in C^n$ 为使得如下条件满足的向量

$Aq=i{\omega }_{0}q,A^{\text{T}}p=-i{\omega }_{0}p,\langle p,q\rangle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\overline{p}}_i{q}_i}=1,$ (2.3)

其中$A^{\text{T}}$ 为矩阵$A$ 的转置。

令$T^C$ 为矩阵$A$ 对应于特征值${\lambda }_{1,2}=\pm {\omega }_{0}i,{\omega }_0>0$ 的广义特征空间，任意向量$y\in T^C$ 都可以被表示成$y=wq+\overline{w}\overline{q}$ ，其中$w=\langle p,y\rangle$ 为复数。与特征值${\lambda }_{1,2}$ 相对应的二维中心流形可以通过$w$ 及$\overline{w}$ 进行参数化，即具有如下这种形式的表达

$X=wq+\overline{w}\overline{q}+{\displaystyle \sum _{2\le j+k\le 5}\frac{1}{j!k!}{h}_{jk}{w}^j{\overline{w}}^k}+O\left({\Vert w\Vert }^6\right),$ (2.4)

其中$h_{jk}\in C^n$ 及$h_{jk}={\overline{h}}_{kj}$ 。将表达式(2.4)代入系统(2.1)中，并且求解其中的待定复向量$h_{jk}$ ，于是可得如下关于$w$ 的方程，

$\dot{w}=i{\omega }_{0}w+\frac{1}{2}{G}_{21}w{\left|w\right|}^2+\frac{1}{12}{G}_{32}w{\left|w\right|}^4+O\left({\Vert w\Vert }^6\right),$ (2.5)

其中

$G_{21}=\langle p,C\left(q,q,\overline{q}\right)+B\left(\overline{q},h_{20}\right)+2B\left(q,h_{11}\right)\rangle$ (2.6)

$G_{32}=\langle p,H_{32}\rangle$ (2.7)

及

$\begin{array}{c}{H}_{32}=B\left(h_{02},h_{30}\right)+6B\left(h_{11},h_{21}\right)+3B\left(h_{12},h_{20}\right)+3B\left(q,h_{22}\right)+2B\left(\overline{q},h_{31}\right)\\ +3C\left(q,h_{02},h_{20}\right)+6C\left(q,h_{11},h_{11}\right)+3C\left(q,q,h_{12}\right)+6C\left(q,\overline{q},h_{20}\right)\\ +6C\left(\overline{q},h_{11},h_{20}\right)+C\left(\overline{q},\overline{q},h_{30}\right)+D\left(q,q,q,h_{02}\right)+6D\left(q,q,\overline{q},h_{11}\right)\\ +3D\left(q,\overline{q},\overline{q},h_{20}\right)+E\left(q,q,q,\overline{q},\overline{q}\right)-6G_{21}{h}_{21}-3{\overline{G}}_{21}{h}_{21}.\end{array}$ (2.8)

第一Lyapunov系数$l_1$ 被定义为$l_1=\frac{1}{2}\mathrm{Re}{G}_{21}$ ，而第二Lyapunov系数$l_2$ 被定义为$l_2=\frac{1}{12}\mathrm{Re}{G}_{32}$ 。基于对第一Lyapunov系数$l_1$ 的计算，可得如下关于系统(1.1)在平衡点$O$ 处的Hopf分岔定理：

定理2.1：假设$b_2<0$ 及$b_3\ne 0$ 成立，当参数$b_1$ 穿过临界参数$b_1=-b_2{b}_3\triangleq b_{10}$ 时，系统(1.1)在平衡点$O$ 处发生Hopf分岔，并且有如下结论成立：

1) 如果$3c_1+b_2{b}_3{c}_2>0$ ，在平衡点$O$ 处发生的Hopf分岔为超临界分岔，并且当$b_1<b_{10}$ 时存在一个稳定周期解；

2) 如果$3c_1+b_2{b}_3{c}_2<0$ ，在平衡点$O$ 处发生的Hopf分岔为亚临界分岔，并且当$b_1>b_{10}$ 时存在一个不稳定周期解。

证明：令$X=\left(x,y,z\right)\in {\Re }^2$ ，$\eta =\left(b_1,b_2,b_3,c_1,c_2\right)\in {\Re }^5$ 及

$f\left(X,\eta \right)=\left(y,z,b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+c_1{x}^3+c_{2}xyz\right),$

则系统(1.1)被改写成了系统(2.1)的形式。

系统(1.1)在平衡点$O$ 处的特征方程为

$P\left(\lambda \right)=\left|\lambda I-A\right|={\lambda }^3-b_3{\lambda }^2-b_2\lambda -b_1=0,$ (2.9)

假设方程(2.9)具有一对纯虚特征根${\lambda }_{1,2}=\pm {\omega }_{0}i,{\omega }_0>0$ ，则方程(2.9)即可变成

$-b_1\pm i{b}_2{\omega }_0+b_3{\omega }_0^2\pm i{\omega }_0^3=0,$

也即意味着

${\omega }_0^3+b_2{\omega }_0=0,b_3{\omega }_0^2-b_1=0,$

求解可得

$b_1=-b_2{b}_3,{\omega }_0=\sqrt{-b_2}>0.$

从而可得，系统(1.1)的平衡点$O$ 在如下参数集${\Gamma }_1$ 上将具有一对纯虚特征根及另一个非零实部的特征根，

${\Gamma }_1=\left\{(b_1,b_2,b_3,c_1,c_2)\in {\Re }^5|b_2<0,b_3\ne 0,b_1=-b_2{b}_3\right\}.$

在参数条件${\Gamma }_1$ 下，向量场$f$ 在平衡点$O$ 处的Jacobian矩阵为

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -b_2{b}_3& b_2& b_3\end{array}\right),$ (2.10)

对应的特征值为${\lambda }_{1,2}=\pm {\omega }_{0}i$ 及${\lambda }_3=b_3$ 。

通过计算，选取向量

$q={\left(1,i{\omega }_0,b_2\right)}^{\text{T}},p={\left(i{\omega }_0{b}_3,-i{\omega }_0-b_3,1\right)}^{\text{T}},$ (2.11)

它们可以使得条件(2.3)成立。

由(2.2)可得

$\begin{array}{l}B\left(x,y\right)={\left(0,0,0\right)}^{\text{T}},\\ C\left(x,y,z\right)={\left(0,0,6c_1{x}_1{y}_1{z}_1+c_2\left(x_1{y}_2{z}_3+x_1{y}_3{z}_2+x_2{y}_1{z}_3+x_2{y}_3{z}_1+x_3{y}_1{z}_2+x_3{y}_2{z}_1\right)\right)}^{\text{T}}.\end{array}$ (2.12)

基于(2.10)，(2.11)及(2.12)，可计算得

$h_{11}=h_{20}=h_{02}={\left(0,0,0\right)}^{\text{T}}.$

进一步使用(2.6)，可计算得第一Lyapunov系数$l_1$ 为

$l_1=\frac{1}{2}\mathrm{Re}{G}_{21}=\frac{3c_1+b_2{b}_3{c}_2}{2b_2-2b_3^2}.$ (2.13)

当$b_2<0$ 时，$l_1$ 的分母$2b_2-2b_3^2$ 显然为负数，因此第一Lyapunov系数$l_1$ 的符号完全由分子$3c_1+b_2{b}_3{c}_2$ 决定。如果$3c_1+b_2{b}_3{c}_2<0$ ，可得${l_1|}_{{\Gamma }_1}>0$ ，从而发生在$O$ 处的Hopf分岔为亚临界分岔。否则，如果$3c_1+b_2{b}_3{c}_2>0$ ，可得${l_1|}_{{\Gamma }_1}<0$ ，从而发生在$O$ 处的Hopf分岔为超临界分岔。

由于${l_1|}_{{\Gamma }_1}\ne 0$ 只是在$O$ 处发生Hopf分岔的非退化条件，为了验证该Hopf分岔的横截条件，考虑方程(2.9)中复特征值${\lambda }_{1,2}=\mu \left(b_1\right)\pm \omega \left(b_1\right)i$ 的实部$\mu \left(b_1\right)$ ，它满足

${\left(\mu \left(b_1\right)+i\omega \left(b_1\right)\right)}^3-b_3{\left(\mu \left(b_1\right)+i\omega \left(b_1\right)\right)}^2-b_2\left(\mu \left(b_1\right)+i\omega \left(b_1\right)\right)-b_1=0,$

即

$\begin{array}{l}-b_1-b_2\mu \left(b_1\right)-b_3\mu {\left(b_1\right)}^2+\mu {\left(b_1\right)}^3+b_3\omega {\left(b_1\right)}^2-3\mu \left(b_1\right)\omega {\left(b_1\right)}^2=0,\\ b_2\omega \left(b_1\right)+2b_3\mu \left(b_1\right)\omega \left(b_1\right)-3\mu {\left(b_1\right)}^2\omega \left(b_1\right)+\omega {\left(b_1\right)}^3=0.\end{array}$

在临界参数条件$b_1=b_{10}$ 下，可得$\mu \left(b_{10}\right)=0$ 及$\omega \left(b_{10}\right)=\sqrt{-b_2}$ ，从而有

${\frac{\partial \mu \left(b_1\right)}{\partial b_1}|}_{b_1=b_{10}}={-\frac{b_2+2b_3\mu \left(b_1\right)-3\mu {\left(b_1\right)}^2+3\omega {\left(b_1\right)}^2}{\xi \left(b_1\right)}|}_{b_1=b_{10}}=\frac{1}{2\left(b_2-b_3^2\right)}<0,$

其中

$\begin{array}{c}\xi \left(b_1\right)=b_2^2+b_2\left(4b_3\mu \left(b_1\right)-6\mu {\left(b_1\right)}^2+6\omega {\left(b_1\right)}^2\right)\\ +\left(\mu {\left(b_1\right)}^2+\omega {\left(b_1\right)}^2\right)\left(4b_3^2-12b_3\mu \left(b_1\right)+9\left(\mu {\left(b_1\right)}^2+\omega {\left(b_1\right)}^2\right)\right).\end{array}$

因此，发生在$O$ 处Hopf分岔的横截条件成立，并且在对应的二维中心流形上，当$b_1>b_{10}$ 时$O$ 为稳定平衡点，当$b_1<b_{10}$ 时$O$ 为不稳定平衡点。从而，当把系统(1.1)限制在平衡点$O$ 的相应二维中心流形上时，具有如下的动力学行为：

1) 如果$3c_1+b_2{b}_3{c}_2>0$ ，在平衡点$O$ 处发生的Hopf分岔为超临界分岔，并且当$b_1<b_{10}$ 时存在一个稳定周期解；

2) 如果$3c_1+b_2{b}_3{c}_2<0$ ，在平衡点$O$ 处发生的Hopf分岔为亚临界分岔，并且当$b_1>b_{10}$ 时存在一个不稳定周期解。

3. Bautin分岔及数值仿真

由公式(2.13)可知，当且仅当参数条件$c_1=-\frac{1}{3}{b}_2{b}_3{c}_2$ 成立时，才有第一Lyapunov系数$l_1=0$ 。在本节中，我们将通过计算第二Lyapunov系统$l_2$ ，来研究系统(1.1)在平衡点$O$ 处的余维二Bautin分岔，为此特引入记号

${\Gamma }_2=\left\{\left(b_1,b_2,b_3,c_1,c_2\right)\in {\Re }^5|b_2<0,b_3\ne 0,b_1=-b_2{b}_3,c_1=-\frac{1}{3}{b}_2{b}_3{c}_2\right\}.$

定理3.1. 当系统(1.1)的参数落于参数集${\Gamma }_2$ 时，该系统在平衡点$O$ 处的第二Lyapunov系数为

${l_2|}_{{\Gamma }_2}=\frac{b_2{b}_3{c}_2^2}{3\left(b_2-b_3^2\right)}.$

由于$b_2{c}_2^2<0$ ，$b_2-b_3^2<0$ 及$b_3\ne 0$ ，因此系统(1.1)当参数满足${\Gamma }_2$ 时，具有一个横截Hopf分岔平衡点$O$ 。如果$b_3>0$ ，则有$l_2>0$ ，从而Hopf分岔平衡点$O$ 为不稳定的，而若$b_3<0$ ，则有$l_2<0$ ，从而Hopf分岔平衡点$O$ 为稳定的。

证明：针对系统(1.1)，当参数满足${\Gamma }_2$ 时，可得在平衡点$O$ 处的Jacobian矩阵及向量$q,p$ 分别如定理2.1中的(2.10)及(2.11)所示，并且向量$h_{11}=h_{20}=h_{02}={\left(0,0,0\right)}^{\text{T}}$ ，$G_{21}=0$ 及$l_1=0$ 。

通过一系列直接而繁琐的计算，可得

$h_{30}={\left(\frac{c_2}{4},\frac{b_2\left(9i{\omega }_0-3b_3\right)c_2}{12b_2-4i{\omega }_0{b}_3},\frac{9b_2{c}_2}{4}\right)}^{\text{T}},$

$\begin{array}{l}{h}_{21}=(\frac{b_2\left(3{\omega }_0{b}_2+7i{b}_2{b}_3+5{\omega }_0{b}_3^2+i{b}_3^3\right)c_2}{2\left({\omega }_0+i{b}_3\right){\left(i{b}_2+{\omega }_0{b}_3\right)}^2},\frac{b_2\left(b_2-b_3^2\right)c_2}{2i{\omega }_0^3+4b_2{b}_3-2i{\omega }_0{b}_3^2},\\ {-\frac{b_2^2\left(b_2\left({\omega }_0+5i{b}_3\right)+\left(7{\omega }_0+3i{b}_3\right)b_3^2\right)c_2}{2\left({\omega }_0+i{b}_3\right){\left(i{b}_2+{\omega }_0{b}_3\right)}^2})}^{\text{T}},\end{array}$

$h_{03}={\overline{h}}_{30}$ ，$h_{21}={\overline{h}}_{12}$ 及$h_{22}=h_{31}=h_{13}={\left(0,0,0\right)}^{\text{T}}$ 。

根据公式(2.7)及(2.8)，可计算得

$\begin{array}{l}{H}_{32}=(\frac{3i{b}_2^2\left(3{\omega }_0{b}_2+7i{b}_2{b}_3+5{\omega }_0{b}_3^2+i{b}_3^3\right)c_2^2}{2{\left(b_2-i{\omega }_0{b}_3\right)}^3},\frac{3b_2\left({\omega }_0+i{b}_3\right)\left(b_2-b_3^2\right)c_2^2}{2{\omega }_0{b}_2+6i{b}_2{b}_3+6{\omega }_0{b}_3^2+2i{b}_3^3},\\ {\frac{b_2^2{\left(b_2-b_3^2\right)}^2\left(48i{\omega }_0^7+25b_2^3{b}_3+153i{\omega }_0^5{b}_3^2+26b_2^2{b}_3^3+62i{\omega }_0^3{b}_3^4-3b_2{b}_3^5+5i{\omega }_0{b}_3^6\right)c_2^2}{2{\left(b_2-i{\omega }_0{b}_3\right)}^3{\left(b_2+i{\omega }_0{b}_3\right)}^2\left(3b_2^2-b_3^4+2b_2{b}_3\left(4i{\omega }_0+3b_3\right)\right)})}^{\text{T}},\end{array}$

及

$\begin{array}{c}{G}_{32}=\langle p,H_{32}\rangle \\ =\frac{b_2^3{\left(b_2-b_3^2\right)}^4\left(39i{b}_2^3+b_2^2\left(139{\omega }_0+162i{b}_3\right)b_3+b_2\left(58{\omega }_0-9i{b}_3\right)b_3^3-5{\omega }_0{b}_3^5\right)c_2^2}{4{\left(b_2-i{\omega }_0{b}_3\right)}^4{\left(b_2+i{\omega }_0{b}_3\right)}^2\left(b_2\left({\omega }_0+3i{b}_3\right)+\left(3{\omega }_0+i{b}_3\right)b_3^2\right)\left(3b_2^2-b_3^4+2b_2{b}_3\left(4i{\omega }_0+3b_3\right)\right)},\end{array}$

从而可计算第二Lyapunov系数$l_2$ 为

${l_2|}_{{\Gamma }_2}=\frac{b_2{b}_3{c}_2^2}{3\left(b_2-b_3^2\right)}.$

通过简单而直接的计算可以发现，参数平面$b_1=-b_2{b}_3$ 及$c_1=-\frac{1}{3}{b}_2{b}_3{c}_2$ 的法向量沿着参数集${\Gamma }_2$ 是线性无关的，这意味着Bautin分岔的横截性条件满足。

当参数属于参数集${\Gamma }_2$ 时，系统(1.1)在平衡点$O$ 附近的动力学行为类似于文献[1]中的图8.7。

为了验证上述理论结果，通过数值仿真方法，系统(1.1)在平衡点$O$ 处经过Bautin分岔所产生的稳定及不稳定周期解将在本段呈现出来。初始条件选在系统(1.1) Bautin分岔平衡点的中心流形附近，数值积分则选择Matlab软件中的“ode113”命令。

选取系统(1.1)的参数$b_2=-1$ ，$b_3=-1$ ，$c_2=1$ 及$b_1=-b_2{b}_3+0.01$ 为固定参数，而选取参数$c_1=-\frac{1}{3}{b}_2{b}_3{c}_2+\epsilon$ $\left(\left|\epsilon \right|\ll 1\right)$ 为变化参数。当$\epsilon >0$ 时，由定理2.1的结论(1)可知，系统(1.1)在平衡点$O$ 处发

生超临界Hopf分岔，并且在当$b_1>b_{10}$ 时$O$ 为稳定平衡点，附近没有分岔出的周期解；当$\epsilon <0$ 时，由定理2.1的结论(2)可知，系统(1.1)在平衡点$O$ 处发生亚临界Hopf分岔，并且在当$b_1>b_{10}$ 时$O$ 为稳定平衡点，附近存在一个Hopf分岔产生的不稳定周期解，除此之外，由于参数选取在Bautin分岔附近，在更外侧还存在着一个由Bautin分岔产生的稳定周期解。

当$\epsilon =0.01>0$ 时，系统(1.1)的平衡点$O$ 为稳定平衡点，选取平衡点$O$ 附近的初始条件$\left(\text{0}\text{.2955,0}\text{.0045,}-\text{0}\text{.3045}\right)$ ，所对应的轨线趋向于系统(1.1)的平衡点$O$ ，如图1所示。

Figure 1. The phase diagram of system (1.1): $b_2=-1$ , $b_3=-1$ , $c_2=1$ , $b_1=-0.99$ and $c_1=-0.3233$

图1. 系统(1.1)的相图：$b_2=-1$ ，$b_3=-1$ ，$c_2=1$ ，$b_1=-0.99$ 及$c_1=-0.3233$

当$\epsilon =-0.06<0$ 时，系统(1.1)的平衡点$O$ 依然为稳定平衡点，此时在Bautin平衡点$O$ 附近存在一条不稳定周期解${\Omega }_1$ 及一条稳定周期解${\Omega }_2$ ，如图2(a)所示。当选取初始条件$P_1=\left(0.5656,0.0364,-0.6384\right)$ 时，对应的轨线${\phi }_t\left(P_1\right)$ (蓝色)远离系统(1.1)的不稳定周期解${\Omega }_1$ 而趋向于稳定平衡点$O$ ；而当选取初始条件$P_2=\left(0.5689,0.0371,-0.6431\right)$ 时，对应的轨线${\phi }_t\left(P_2\right)$ (红色)远离系统(1.1)的不稳定周期解${\Omega }_1$ 而趋向于稳定周期解${\Omega }_2$ ，由此数值仿真可见，轨线${\phi }_t\left(P_1\right)$ 及${\phi }_t\left(P_2\right)$ 具有相同的$\alpha$ 极限集${\Omega }_1$ ，即$\alpha \left({\phi }_t\left(P_1\right)\right)=\alpha \left({\phi }_t\left(P_2\right)\right)={\Omega }_1$ ，如图2(b)所示。当选取初始条件$Q_1=\left(0.7147,0.0853,-0.8853\right)$ 及$Q_2=\left(0.8333,0.1667,-1.1667\right)$ 时，对应的轨线${\phi }_t\left(Q_1\right)$ 及${\phi }_t\left(Q_2\right)$ 分别从不同的方向趋向于系统(1.1)的稳定周期解${\Omega }_2$ ，由此数值仿真可见，轨线${\phi }_t\left(Q_1\right)$ 及${\phi }_t\left(Q_2\right)$ 具有相同的$\omega$ 极限集${\Omega }_2$ ，即$\omega \left({\phi }_t\left(Q_1\right)\right)=\omega \left({\phi }_t\left(Q_2\right)\right)={\Omega }_2$ ，如图2(c)所示。

(a)

(b) (c)

Figure 2. The phase diagram of system (1.1): $b_2=-1$ , $b_3=-1$ , $c_2=1$ , $b_1=-0.99$ and $c_1=-0.3933$

图2. 系统(1.1)的相图：$b_2=-1$ ，$b_3=-1$ ，$c_2=1$ ，$b_1=-0.99$ 及$c_1=-0.3933$

4. 总结

经典力学中Jerk系统，起源于描述位置随时间变化的演变规律，在工程中具有大量的应用，尤其是在力学与声学的某些应用中。本文针对一类具有两个三次项的三维Jerk系统，致力于分析该系统的余维二Bautin分岔行为。首先，基于Hopf分岔及退化Hopf分岔的相关理论知识，给出了Hopf分岔及其退化后的余维二Bautin分岔发生的适当参数条件，并分别计算了相对应的第一Lyapunov系数及第二Lyapunov系数；然后，通过数值仿真，对Bautin分岔平衡点进行了适当的参数扰动，获得了分岔后的不同动力学行为，发现其中一侧，系统(1.1)在平衡点处发生超临界Hopf分岔；另一侧则为系统(1.1)在平衡点处发生亚临界Hopf分岔，并且在附近存在一个Hopf分岔产生的不稳定周期解，除此之外，由于参数选取在Bautin分岔附近，在更外侧还存在着一个由Bautin分岔产生的稳定周期解。

基金项目

国家自然科学基金(12261005)，广东省自然科学基金(2021A1515010043)。