完全图删边后的Zagreb指数研究

The Zagreb Indices of Complete Graphs Deleting Some Edges

摘要: 在分子图论中，第一与第二Zagreb指数是Gutman与Trinajstić于1972年提出的重要拓扑指数。第一Zagreb指数$M_1\left(G\right)$ 定义为所有顶点度数的平方和；第二Zagreb指数$M_2\left(G\right)$ 定义为所有相邻顶点对的度数乘积之和。这些指数是表征分子结构的重要工具。设${\mathcal{K}}_n^p$ 表示从完全图$K_n$ 中删去$p$ 条边所得到的所有图的集合，其中$n,p$ 为正整数，且$n\ge 2p,p\ge 2$ 。本文为属于${\mathcal{K}}_n^p$ 的图的Zagreb指数给出了精确的上界与下界，并刻画了达到这些界的极值图。由此，我们确定了在${\mathcal{K}}_n^p$ 中与Zagreb指数相对应的极值图。

Abstract: In molecular graph theory, the first and second Zagreb indices, $M_1\left(G\right)$ and $M_2\left(G\right)$ , are prominent topological descriptors introduced by Gutman and Trinajstić in 1972. The first Zagreb index $M_1\left(G\right)$ is calculated by summing the squares of each vertex’s degree, while the second Zagreb index $M_2\left(G\right)$ involves summing the products of the degrees of pairs of adjacent vertices. These indices serve as important tools in characterizing molecular structures. Let ${\mathcal{K}}_n^p$ be the set of graphs obtained from the complete graph $K_n$ by deleting $p$ edges, where $n,p$ are positive integers with $n\ge 2p$ and $p\ge 2$ . This paper establishes precise upper and lower bounds for the Zagreb indices of graphs from ${\mathcal{K}}_n^p$ , and identifies the extremal graphs where these bounds are achieved. As a result, we identify the extremal graph from ${\mathcal{K}}_n^p$ that corresponds to the Zagreb indices.

1. 引言

本文只讨论有限无向简单图。设图$G$ 的顶点集为$V\left(G\right)$ ，边集为$E\left(G\right)$ 。对任一顶点$v\in V\left(G\right)$ ，记$N_G\left(v\right)$ 为$v$ 在$G$ 中的邻接顶点集合。顶点$v$ 的度记为$d_G\left(v\right)$ ，定义为与$v$ 相邻的顶点数。若$W\subset V\left(G\right)$ ，则记$G-W$ 为从$G$ 中删去$W$ 中所有顶点及其所有关联边所得的子图。类似地，若$E^{\prime }\subset E\left(G\right)$ ，则记$G-E^{\prime }$ 为从$G$ 中删去$E^{\prime }$ 中各边后的子图。特别地，当$W=\left\{v\right\}$ ，$E^{\prime }=\left\{xy\right\}$ 时，分别记为$G-v$ 与$G-xy$ 。$K_n$ 表示阶数为$n$ 的完全图。未在文中另行说明的符号与术语见文献[1]。

20世纪70年代初，化学图论作为研究分子结构的一种重要工具正在兴起，研究人员希望通过量化分子图来预测化合物的化学性质和生物活性。图论中的拓扑指数逐渐成为量化化合物结构的重要工具，特别是在预测分子行为和反应性方面发挥了关键作用。Zagreb指数最初被提出用于描述基于顶点度数的分子图，顶点的度数表示连接到一个原子(顶点)的键(边)的数量。

Zagreb指数的研究由Gutman与Trinajstić于1972年提出，现已成为化学图论和分子图结构分析中的基础课题。他们的开创性工作给出了第一与第二Zagreb指数的定义，并将其用于分子结构分析，为后续研究奠定了基础[2]。对于一个(分子)图$V\left(G\right)$ ，第一Zagreb指数$M_1\left(G\right)$ 与第二Zagreb指数$M_2\left(G\right)$ 分别定义为

$M_1\left(G\right)={\displaystyle \sum _{v\in V\left(G\right)}{d}_G{\left(v\right)}^2},M_2\left(G\right)={\displaystyle \sum _{v\in V\left(G\right)}{d}_G\left(u\right)d_G}\left(v\right).$

这些指数，尤其是第一Zagreb指数$M_1\left(G\right)$ 和第二Zagreb指数$M_2\left(G\right)$ ，由于在分子结构建模以及物理、化学性质预测中的作用而受到广泛研究。Miličev等提出了若干等价重述，进一步拓展了这些指数在分子结构分析中的适用性[3]。在此基础上，Xu与Hua提出统一框架，用以计算树、单圈图与双圈图的乘法型Zagreb指数的极值，从而提供了研究极值图指数的通用方法[4]。Furtula与Gutman对该指数族作了系统综述，强调其历史演进及在分子性质建模中的应用[5]。Das等人给出了第一与第二Zagreb指数的严格上下界，突显了这些指标在图论中的重要性[6]。Réti研究了两类指数之间的相互关系，深化了对这些量的理论认识并推动了其实际应用[7]。Xu刻画了团数给定时图的Zagreb指数的极值，包括极大值和极小值[8]。Deng针对特定图类，如树、单圈图、双圈图，给出了极值结果，拓展了其应用范围[9]。Xu等进一步在边数较大的二部图上考察了Zagreb指数，确定了相应的极值并刻画了达到极值的结构[10]。同时，关于不同图类上Zagreb指数极值性质的研究也相当丰富。近年来，研究者们主要致力于确定图的这两个拓扑指数的极值或界限，并刻画相应的极值图[9] [11]-[18]。本文把从完全二部图中删去$p$ 条边的结果推广到从完全图中删去$p$ 条边的情形，进而得到相应的极值与极值图。为了防止删边后出现孤立顶点使得图不连通，要求完全图顶点数$n\ge 2p$ 。

2. 预备知识

设$m=\left(\begin{array}{c}a\\ 2\end{array}\right)+b$ ，其中$0\le b<a$ ，定义拟团图$K_n^m$ 如下：从完全图$K_a$ 出发，添加一个新的顶点，使其与$K_a$ 中恰有$b$ 个顶点相邻；再加入其余$n-a-1$ 个孤立顶点。由此得到的$n$ 阶图记为$K_n^m$ 。

本文中$n$ 与$p$ 为正整数，满足$n\ge 2p,p\ge 2$ 。为便于叙述，先给出若干记号。记${\mathcal{K}}_n^p$ 为从完全图$K_n$ 中删去$p$ 条边所得到的图的集合。我们将在${\mathcal{K}}_n^p$ 内给出Zagreb指数的精确上下界，并刻画达到这些界的极值图。此外，我们还将确定${\mathcal{K}}_n^p$ 中关于Zagreb指数的极值结构。

具体地，记$K_n^k\left(e_1,\cdots ,e_p\right)\in {\mathcal{K}}_n^p$ 为从$K_n$ 删去$p$ 条边$e_1,\cdots ,e_p$ 所得的图，其中${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p}{\cap }}{e}_i}=k$ ，其中$k$ 取0或1。显然，在$K_n^1\left(e_1,\cdots ,e_p\right)$ 中，$e_1,\cdots ,e_p$ 两两独立(任意两条边不相交)；在$K_n^0\left(e_1,\cdots ,e_p\right)$ 中，$e_1,\cdots ,e_p$ 共有一个公共端点。当$k=1$ 时，$K_n^1\left(e_1,\cdots ,e_p\right)$ 即为参数$a=n-1$ 的拟团图。

引理1 ([10])设$G$ 为图，$uv\in E\left(G\right)$ ，令$G^{\prime }=G-uv$ 。则：

1) $M_1\left(G^{\prime }\right)=M_1\left(G\right)-2-2\left(d_{G^{\prime }}\left(u\right)\right)+d_{G^{\prime }}\left(v\right)$

2) $M_2\left(G^{\prime }\right)=M_2\left(G\right)-d_G\left(u\right)d_G\left(v\right)-{\displaystyle \sum _{v_i\in N_G\left(u\right)\backslash \left\{v\right\}}{d}_G\left(v_i\right)}-{\displaystyle \sum _{v_j\in N_G\left(v\right)\backslash \left\{u\right\}}{d}_G\left(u_j\right)}$

其中$N_G\left(u\right)$ 记为$u$ 在$G$ 中的邻接点集。

3. 主要结果

定理1 对任意$G\in {\mathcal{K}}_n^p$ ，有

$n^3-2n^2+\left(1-4p\right)n+6p\le M_1\left(G\right)\le n^3-2n^2+\left(1-4p\right)n+5p+p^2$ (1)

且左端等号当且仅当$G\cong K_n^0\left(e_1,e_2,\cdots ,e_p\right)$ ，右端等号当且仅当$G\cong K_n^1\left(e_1,e_2,\cdots ,e_p\right)$ 。

证明：对从$K_n$ 中删除的边数$p$ 作归纳。先看$p=2$ ，此时${\mathcal{K}}_n^2=\left\{K_n^0\left(e_1,e_2\right),K_n^1\left(e_1,e_2\right)\right\}$ ，结论显然成立。设当$p=k-1$ 时命题成立。现考虑$p=k$ 。取$G\in K_n^k$ ，并取$u,v\in V\left(G\right)$ 使得$uv\notin E\left(G\right)$ 。注意到存在对应的图$G^{*}\in {\mathcal{K}}_n^{k-1}$ 使得$G^{*}=G+uv$ 。

由引理1，得

$M_1\left(G\right)=M_1\left(G^{*}\right)-2\left(d_G\left(u\right)+d_G\left(v\right)\right)-2.$ (2)

由于$G^{*}=G+uv$ ，故$d_G\left(u\right)=d_{G^{*}}\left(u\right)-1$ 且$d_G\left(v\right)=d_{G^{*}}\left(v\right)-1$ 。设在图$G$ 中，与顶点$u$ 和$v$ 相邻的边分有$k_1$ 条和$k_2$ 条从$K_n$ 中被删除其中$0\le k_1+k_2\le k-1$ 。

因此有

$d_G\left(u\right)+d_G\left(v\right)=2n-4-\left(k_1+k_2\right).$ (3)

由式(2)与式(3)可得

$M_1\left(G\right)=M_1\left(G^{*}\right)-4n+2\left(k_1+k_2\right)+6.$

根据归纳假设并注意到$k_1+k_2\ge 0$ ，可得

$\begin{array}{c}{M}_1\left(G\right)=M_1\left(G^{*}\right)-4n+6+2\left(k_1+k_2\right)\\ \ge n^3-2n^2+\left(1-4\left(k-1\right)\right)n+6\left(k-1\right)-4n+6\\ \ge n^3-2n^2+\left(1-4k\right)n+6k\\ =M_1\left(K_n^0\left(e_1,e_2,\cdots ,e_k\right)\right)\end{array}$

当且仅当$G^{*}\cong K_n^0\left(e_1,e_2,\cdots ,e_{k-1}\right)$ 且$k_1=k_2=0$ 时，以上等式取等。

即，$G\cong K_n^0\left(e_1,e_2,\cdots ,e_k\right)$ ，其中$e_k=uv$ 。

由归纳假设以及$k_1+k_2\le k-1$ ，可得

$\begin{array}{c}{M}_1\left(G\right)=M_1\left(G^{*}\right)-4n+6+2\left(k_1+k_2\right)\\ \ge n^3-2n^2+\left(1-4\left(k-1\right)\right)n+5\left(k-1\right)+{\left(k-1\right)}^2-4n+6+2\left(k-1\right)\\ \ge n^3-2n^2+\left(1-4k\right)n+5k+k^2=M_1\left(K_n^1\left(e_1,e_2,\cdots ,e_k\right)\right)\end{array}$

当且仅当$G^{*}\cong K_n^1\left(e_1,e_2,\cdots ,e_{k-1}\right)$ 且$k_1+k_2=k-1$ ，即$k_1=k-1,k_2=0$ 或$k_1=0,k_2=k-1$ 时，上述等号成立。亦即，当且仅当$G\cong K_n^1\left(e_1,e_2,\cdots ,e_k\right)$ ，其中$e_k=uv$ 时，等式取等。

在证明定理2之前，为使叙述更清晰简洁，我们定义如下两个函数：

$\begin{array}{l}{F}_1\left(n,p\right)=\frac{1}{2}\left[n^4-3n^3-\left(6p-3\right)n^2+\left(16p-1\right)n+4p^2-14p\right]\\ F_2\left(n,p\right)=\frac{1}{2}\left[n^4-3n^3-\left(6p-3\right)n^2+\left(2p^2+14p-1\right)n-p^2-9p\right].\end{array}$

定理2 对任意$G\in {\mathcal{K}}_n^p$ ，有

$F_1\left(n,p\right)\le M_2\left(G\right)\le F_2\left(n,p\right)$ (4)

当且仅当$G\cong K_n^0\left(e_1,e_2,\cdots ,e_p\right)$ 时，左端等号成立；当且仅当$G\cong K_n^1\left(e_1,e_2,\cdots ,e_p\right)$ 时，右端等号成立。

证明：我们将对从$K_n$ 中删除的边数$p$ 进行归纳。当$p=2$ 时，${\mathcal{K}}_n^2=\left\{K_n^0\left(e_1,e_2\right),K_n^1\left(e_1,e_2\right)\right\}$ 。

根据第二Zagreb指数的定义，有

$\begin{array}{l}{F}_1\left(n,2\right)=M_2\left(K_n^0\left(e_1,e_2\right)\right)=\frac{1}{2}\left(n^4-3n^3-9n^2+31n-12\right)\\ F_2\left(n,2\right)=M_2\left(K_n^1\left(e_1,e_2\right)\right)=\frac{1}{2}\left(n^4-3n^3-9n^2+35n-22\right).\end{array}$

容易验证，$M_2\left(K_n^1\left(e_1,e_2\right)\right)>M_2\left(K_n^0\left(e_1,e_2\right)\right)$ ，因此在$p=2$ 的情形下结论成立。

设当$p=k-1$ 时命题成立。现考虑$p=k$ 的情形。取$G\in {\mathcal{K}}_n^k$ ，并设$u,v\in V\left(G\right)$ ，且$uv\notin E\left(G\right)$ 。注意到必存在一个图$G^{*}\in {\mathcal{K}}_n^{k-1}$ ，使得通过在$G$ 中添加边$uv$ 可以得到$G^{*}$ 。

由引理1可得

$M_2\left(G\right)=M_2\left(G^{*}\right)-d_{G^{*}}\left(u\right)d_{G^{*}}\left(v\right)-{\displaystyle \sum _{v_i\in N_{G^{*}}\left(u\right)\backslash \left\{v\right\}}{d}_{G^{*}}}\left(v_i\right)-{\displaystyle \sum _{u_j\in N_{G^{*}}\left(v\right)\backslash \left\{u\right\}}{d}_{G^{*}}}\left(u_j\right).$ (5)

其中$N_{G^{*}}\left(u\right)$ 表示顶点$u$ 在图$G^{*}$ 中的邻点集合。设在顶点$u$ 与$v$ 处分别从完全图$K_n$ 删除的边数为$k_1,k_2$ ，其中$0\le k_1+k_2\le k-1$ 。因此有$d_{G^{*}}\left(u\right)=n-1-k_1$ ，$d_{G^{*}}\left(v\right)=n-1-k_2$ 。

为了计算顶点$u$ 与$v$ 在$G^{*}$ 中的邻点度数，现引入以下记号。

设$X_1=N_{G^{*}}\left(u\right)\backslash \left\{v\right\}$ ，$X_2=N_{G^{*}}\left(v\right)\backslash \left\{u\right\}$ ，$X_3=N_{K_n}\left(u\right)\backslash N_{G^{*}}\left(u\right)$ ，$X_4=N_{K_n}\left(v\right)\backslash N_{G^{*}}\left(v\right)$ 。

显然，$\left|X_3\right|=k_1$ ，$\left|X_4\right|=k_2$ 。记$X_5=X_1\cap X_2$ ，$X_6=X_3\cap X_4$ 。这样划分顶点集是为了方便描述后续删边时，顶点在不同点集里的边删去后对顶点$u$ 与$v$ 造成的度数的影响(图1)。

Figure 1. Structure of the constructed graph

图1. 构造图的结构

设$F\left(G^{*}\right)$ 为从完全图$K_n$ 中删除的边集。定义

$\begin{array}{l}{F}_1=\left\{e=\left\{x,y\right\}|e\in F\left(G^{*}\right),x\in X_1\backslash X_5,y\in X_2\backslash X_5\right\};\\ F_2=\left\{e=\left\{x,y\right\}|e\in F\left(G^{*}\right),x,y\in X_1\backslash X_5\right\};\\ F_3=\left\{e=\left\{x,y\right\}|e\in F\left(G^{*}\right),x,y\in X_2\backslash X_5\right\};\\ F_4=\left\{e=\left\{x,y\right\}|e\in F\left(G^{*}\right),x,y\in X_5\right\};\\ F_5=\left\{e=\left\{x,y\right\}|e\in F\left(G^{*}\right),x,y\in X_6\right\};\\ F_6=\left\{e=\left\{x,y\right\}|e\in F\left(G^{*}\right),x\in X_1\backslash X_5,y\in X_6\right\};\\ F_7=\left\{e=\left\{x,y\right\}|e\in F\left(G^{*}\right),x\in X_2\backslash X_5,y\in X_6\right\};\\ F_8=\left\{e=\left\{x,y\right\}|e\in F\left(G^{*}\right),x\in X_1\backslash X_5,y\in X_5\right\};\\ F_9=\left\{e=\left\{x,y\right\}|e\in F\left(G^{*}\right),x\in X_2\backslash X_5,y\in X_5\right\};\\ F_{10}=\left\{e=\left\{x,y\right\}|e\in F\left(G^{*}\right),x\in X_5,y\in X_6\right\}.\end{array}$

显然，

${\displaystyle \sum _{i=1}^{10}{F}_i=k-1-k_1-k_2}.$ (6)

从$G^{*}$ 变到$G$ 只需要删除一条边。在删边过程中，从集合$F_2$ 、$F_3$ 、$F_4$ 中删除一条边，将导致顶点$u$ 与$v$ 的邻接顶点的度减少4；从集合$F_8$ ，$F_9$ 中删除一条边，将使顶点$u$ 与$v$ 的邻接顶点的度减少3。同样地，从集合$F_1$ ，$F_{10}$ 中删除一条边，将使顶点$u$ 与$v$ 的邻接顶点的度减少2；而从集合$F_6$ ，$F_7$ 中删除一条边，则会使顶点$u$ 与$v$ 的邻接顶点的度减少1。

令$m_{G^{*}}\left(u\right)$ 表示图$G^{*}$ 中顶点$u$ 的所有邻接点的平均度，即

${\displaystyle \sum _{v_i\in N_{G^{*}}\left(u\right)}{d}_{G^{*}}}\left(v_i\right)=d_{G^{*}}\left(v\right)+{\displaystyle \sum _{v_i\in N_{G^{*}}\left(u\right)\setminus \left\{v\right\}}{d}_{G^{*}}}\left(v_i\right)=d_{G^{*}}\left(u\right)m_{G^{*}}\left(u\right).$

此外，我们有

$\begin{array}{c}\left(n-1-k_1\right)m_{G^{*}}\left(u\right)=\left(n-1-k_1\right)\left(n-1\right)-k_2-\left(k_2-\left|X_6\right|\right)\\ -\left(\left|F_1\right|+2\left|F_2\right|+2\left|F_4\right|+\left|F_{10}\right|+\left|F_6\right|+2\left|F_8\right|+\left|F_9\right|\right).\end{array}$

同理，

$\begin{array}{c}\left(n-1-k_2\right)m_{G^{*}}\left(v\right)=\left(n-1-k_2\right)\left(n-1\right)-k_1-\left(k_1-\left|X_6\right|\right)\\ -\left(\left|F_1\right|+2\left|F_3\right|+2\left|F_4\right|+\left|F_{10}\right|+\left|F_7\right|+\left|F_8\right|+2\left|F_9\right|\right).\end{array}$

结合以上三式与式(5)，可得

$\begin{array}{c}{M}_2\left(G\right)=M_2\left(G^{*}\right)-d_{G^{*}}\left(u\right)d_{G^{*}}\left(v\right)-{\displaystyle \sum _{v_i\in N_{G^{*}}\left(u\right)\backslash \left\{v\right\}}{d}_{G^{*}}}\left(v_i\right)-{\displaystyle \sum _{u_j\in N_{G^{*}}\left(v\right)\backslash \left\{u\right\}}{d}_{G^{*}}}\left(u_j\right)\\ =M_2\left(G^{*}\right)-d_{G^{*}}\left(u\right)d_{G^{*}}\left(v\right)-\left(d_{G^{*}}\left(u\right)m_{G^{*}}\left(u\right)-d_{G^{*}}\left(v\right)\right)-\left(d_{G^{*}}\left(v\right)m_{G^{*}}\left(v\right)-d_{G^{*}}\left(u\right)\right)\\ =M_2\left(G^{*}\right)-3n^2+8n+\left(2n-1\right)\left(k_1+k_2\right)-k_1{k}_2-5-2\left|X_6\right|+4\left(\left|F_2\right|+\left|F_3\right|+\left|F_4\right|\right)\\ +2\left(\left|F_1\right|+\left|F_{10}\right|\right)+\left|F_6\right|+\left|F_7\right|+3\left(\left|F_8\right|+\left|F_9\right|\right).\end{array}$

可以容易验证，当$k_1=k_2=0$ 时，项$\left(2n-1\right)\left(k_1+k_2\right)-k_1{k}_2$ 取得最小值0，此时$X_1=X_2=X_5$ 且$X_3=X_4=X_6=\varnothing$ 。此外，除$F_4$ 外所有集合$F_i$ 均为空集，故$\left|F_i\right|=0$ ，而$\left|F_4\right|=k-1$ 。

由归纳假设可得

$\begin{array}{c}{M}_2\left(G\right)\ge M_2\left(G^{*}\right)-3n^2+8n-5+4\left(k-1\right)\\ \ge \frac{1}{2}\left[n^4-3n^3-\left(6\left(k-1\right)-3\right)n^2+\left(16\left(k-1\right)-1\right)n+4{\left(k-1\right)}^2-14\left(k-1\right)\right]-3n^2+8n+4k-9\\ =\frac{1}{2}\left[n^4-3n^3-\left(6k-3\right)n^2+\left(16k-1\right)n+4k^2-14k\right]\\ =M_2\left(K_n^0\left(e_1,e_2,\cdots ,e_k\right)\right)\end{array}$

因此，当且仅当$G^{*}\cong K_n^0\left(e_1,e_2,\cdots ,e_{k-1}\right)$ 且$k_1=k_2=0$ 时，上述等式取等。亦即，当且仅当$G\cong K_n^0\left(e_1,e_2,\cdots ,e_k\right)$ 时，等号成立。其中$e_k=uv$ ，且它与$\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_{k-1}\right\}$ 中任意一条边相互独立。同理，可以验证当$k_1=k-1,k_2=0$ 或$k_1=0,k_2=k-1$ 时，项$\left(2n-1\right)\left(k_1+k_2\right)-k_1{k}_2$ 取最大值。

由式(6)可得${\displaystyle \sum _{i=1}^{10}\left|F_i\right|}=0$ ，即所有$\left|F_i\right|=0$ 。再由归纳假设可得

$\begin{array}{c}{M}_2\left(G\right)\le M_2\left(G^{*}\right)-3n^2+8n+\left(2n-1\right)\left(k-1\right)-5\\ \le \frac{1}{2}\left[n^4-3n^3-\left(6\left(k-1\right)-3\right)n^2+\left(2{\left(k-1\right)}^2+14\left(k-1\right)-1\right)n-{\left(k-1\right)}^2-9\left(k-1\right)\right]\\ -3n^2+8n+\left(2n-1\right)\left(k-1\right)-5\\ =\frac{1}{2}\left[n^4-3n^3-\left(6k-3\right)n^2+\left(2k^2+14k-1\right)n-k^2-9k\right]\\ =M_2\left(K_n^1\left(e_1,e_2,\cdots ,e_k\right)\right)\end{array}$

因此，上述等号当且仅当$G^{*}\cong K_n^1\left(e_1,e_2,\cdots ,e_{k-1}\right)$ 且$k_1=k-1,k_2=0$ 或$k_1=0,k_2=k-1$ 时成立。即当且仅当$G\cong K_n^1\left(e_1,e_2,\cdots ,e_k\right)$ ，其中$e_k=uv$ ，且$uv$ 与$\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_{k-1}\right\}$ 共享一个公共端点。

4. 结论与展望

本文系统研究了从完全图中删除若干条边后所得图的Zagreb指数特性。通过建立边删除操作与顶点度变化之间的数学关系，本研究获得了Zagreb指数在给定删边数条件下的极值及其对应的极值图结构。结果不仅推广了二部图情形下的结论，也为完全图类的Zagreb指数研究提供了系统的理论框架。研究表明，随着边的逐步删除，图中顶点度分布的均衡性被打破，从而导致Zagreb指数呈现出可预测的递减趋势，这一发现为理解图的不均质性对Zagreb指数的影响提供了新的视角。从化学图论的角度看，完全图可视为理想化的高连通分子模型，其中每个顶点代表一个原子、每条边对应一个可能的原子间相互作用。Zagreb指数在该框架下反映了分子结构的连通度与分支复杂性，其变化趋势可关联于能量分布、化学稳定性以及分子反应性的差异。因此，本文的研究结果对分析分子拓扑特征、预测化学性质及优化结构模型具有潜在意义。未来可推广至高阶Zagreb指数(例如三阶、四阶推广形式)，研究其在完全图及相关子图中的极值性质。