阈值分红策略下的相依对偶风险模型

Dependent Dual Risk Model under Threshold Dividend Strategy

摘要: 本文研究了一类相依对偶风险模型，其中相依结构由Copula函数确定，在模型中我们引入阈值分红策略，当盈余超过阈值b时，超额部分将作为红利立即支付给股东，小于b时不支付红利；以股息预期贴现值和破产概率为研究对象，得到了它们满足的微积分方程，当索赔服从指数分布时，得到了破产概率的解析表达式；最后，为验证理论结果的有效性，对理论结果做了数值模拟，选取不同相依参数与初始盈余水平，分析二者对破产概率的影响规律。

Abstract: This paper studies a class of dependent dual risk models where the dependence structure is determined by a Copula function. A threshold dividend strategy is introduced in the model: when the surplus exceeds the threshold b, the excess part is immediately paid to shareholders as dividends; no dividends are paid when the surplus is less than b. Focusing on the expected discounted value of dividends and the ruin probability, the differential-integral equations they satisfy are derived. When the claims follow an exponential distribution, the analytical expression of the ruin probability is obtained. Finally, to verify the validity of the theoretical results, numerical simulations are conducted. Different dependence parameters and initial surplus levels are selected to analyze the influence patterns of both on the ruin probability.

1. 引言

在保险精算和金融风险文献中，使用Copula函数对随机变量进行建模得到了广泛应用[1]。Boudreault等人提出了对经典复合泊松风险模型的扩展，假设索赔额和索赔间隔时间存在相关结构，其中下一次索赔额的分布由上一次索赔后的时间间隔决定，得到了期望贴现惩罚函数满足的瑕疵更新方程以及破产时间拉普拉斯变换的显式表达式[2]。近年来，对偶风险模型的研究引起了越来越多的关注，参见[3]-[7]。Afonso和Cheung等人考虑了带折现红利的对偶风险模型，通常假设间隔时间为泊松分布[8]，Cheung推导得出盈余首次达到特定水平的时间分布与负盈余持续时间的解析表达式，为对偶模型的理论体系奠定了基础；Dickson与Li (2013)深入探讨了盈余到达预设阈值的时间分布特征，进一步完善了对偶模型在特定分布假设下的性质分析[4]。2020年，张彩斌等人研究了保险公司在Markov调节下基于时滞及相依风险模型的最优再保险与投资问题。

尽管现有对偶风险模型的研究已取得显著进展，但仍存在局限；多数含相依结构的对偶模型未纳入分红机制，在实际问题中，当保险公司因支付红利导致盈余降至较低水平时，若此时发生与前期索赔存在相依性的大规模理赔，其破产风险会显著高于无分红场景，而现有模型难以对此类场景进行精准刻画。基于上述研究缺口，本论文以Cardoso等人提出的对偶风险模型为研究基础，引入Copula函数构建相依结构，采用FGM Copula定义索赔额与索赔间隔时间的联合概率密度函数，融入阈值分红策略，设定盈余阈值b，明确盈余超阈值即支付超额红利，低于阈值则暂停分红，使此模型能够反映保险公司在不同盈余水平下的红利决策。

本文拓展了对偶风险模型的相依性分析框架，丰富了相依结构类型，通过严谨的数学推导，得到了含相依结构与分红策略的积–微分方程及破产概率解析表达式，突破了“分红策略与相依风险难以同时量化”的瓶颈，通过变量替换、积分变换与特征方程求解等方法，完善了对偶模型的风险评估体系；最后，验证了指数分布假设下破产概率的解析可解性。

2. 模型介绍

考虑以下具有相依结构的对偶模型

$U\left(t\right)=u-ct+{\displaystyle \sum _{i=0}^{N(t)}{X}_i},t\ge 0,u\ge 0$ ，(1.1)

其中$u\ge 0$ 表示初始盈余，$c>0$ 为研发投入，收益序列${\left\{X_i\right\}}_{i=1}^{\infty }$ 是独立同分布的随机变量，其概率密度函数为$f_X$ ，累计分布函数为$F_X$ ，${\displaystyle \sum _{i=0}^{N(t)}{X}_i}$ 表示到达时间$t$ 前的累积获利，

$N\left(t\right)=\max \left\{k:W_0+W_1+\cdots +W_k\le t,W_0=0\right\}$ 为时间$t$ 前的收益次数，其中$\left\{W_i,i\ge 1\right\}$ 表示第$i-1$ 次与第$i$ 次收益的间隔时间，$\left\{W_i,i\ge 1\right\}$ 服从指数分布，是独立同分布$\left(i.i.d.\right)$ 的随机变量序列，在后续研究中，引入$b$ 作为分红阈值，每次盈余过程超过$b$ 时，超额部分将作为单次红利$D_i$ 立即支付给资本持有者，设${\left\{D_i\right\}}_{i=1}^{\infty }$ 作为分红支付序列，$V\left(u,b\right)$ 表示初始盈余为$u$ ，折现率为$\delta$ 时的股息预期贴现值。将$\left(X,W\right)$ 的联合密度函数记作$f_{x,w}\left(x,t\right)$ ，本文采用Copula连结函数定义$\left(X,W\right)$ 的联合分布，联结函数为：

$C_{\theta }^{FGM}\left(u_1,u_2\right)=u_1{u}_2+\theta u_1{u}_2\left(1-u_1\right)\left(1-u_2\right)$

其联合概率密度函数定义为

$c\left(u_1,u_2\right)=\frac{{\partial }^2}{\partial u_1\partial u_2}C\left(u_1,u_2\right)$

令$F_{X,W}\left(x,t\right)=C\left(F_X\left(x\right),F_W\left(t\right)\right)$ ，由Cossette (2010)，有：

$f_{X,W}\left(x,t\right)=c\left(F_X\left(x\right),F_W\left(t\right)\right)f_X\left(x\right)f_W\left(t\right)$ ，

故

$f_{X,W}\left(x,t\right)=f_X\left(x\right)f_W\left(t\right)+\theta f_X\left(x\right)f_W\left(t\right)\left(1-2F_X\left(x\right)\right)\left(1-2F_W\left(t\right)\right)$ (1.2)

假设$W$ 服从参数为$\lambda$ 的指数分布，则

$f_{X,W}\left(x,t\right)=f_X\left(x\right){\text{e}}^{-\lambda t}+\theta h_X\left(x\right)\left(2\lambda {\text{e}}^{-2\lambda t}-\lambda {\text{e}}^{-\lambda t}\right)$ ，

本文涉及到的核心概念定义如下

${\tau }_u=\{\begin{array}{c}\min \left\{t>0:U\left(t\right)=0|U\left(0\right)=u\right\}\\ \begin{array}{cc}\infty & \text{if }\begin{array}{cc}U\left(t\right)\ge 0& \forall t\ge 0\end{array}\end{array}\end{array}$

为破产时刻，其中$\psi \left(u\right)=P\left({\tau }_u<\infty \right)$ 表示最终破产概率，本节的主要目的是推导期望贴现值$V\left(u,b\right)$ 的微–积分方程，该方程有助于在下一节推导破产概率$\psi \left(u\right)$ 的显示解。在本文中，我们用$I$ 和$\wp$ 分别表示恒等算子和微分算子。

3. 红利限制的积–微分方程

以第一次索赔时间发生之前是否发生破产为条件，应用全概率公式，由RM (2014)可得到股息的预期贴现值$V\left(u,b\right)$ 满足以下更新方程，对于$u\le b$ ，

$\begin{array}{c}V\left(u,b\right)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\delta t}}\left\{{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{b-u+ct}V\left(u-ct+y,b\right)f_{X,W}\left(x,t\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }\left[y+u-ct-b+V\left(b,b\right)\right]f_{X,W}\left(x,t\right)}\right\}\text{d}x\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\delta t}}\{{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{b-u+ct}V\left(u-ct+y,b\right)}\left[f_X\left(x\right){\text{e}}^{-\lambda t}+\theta h_X\left(x\right)\left(2\lambda {\text{e}}^{-2\lambda t}-\lambda {\text{e}}^{-\lambda t}\right)\right]\text{d}x\\ +{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }\left[y+u-ct-b+V\left(b,b\right)\right]}\left[f_X\left(x\right){\text{e}}^{-\lambda t}+\theta h_X\left(x\right)\right]\left(2\lambda {\text{e}}^{-2\lambda t}-\lambda {\text{e}}^{-\lambda t}\right)\text{d}x)\text{d}t\end{array}$

$\begin{array}{c}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\delta t}}\{{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{b-u+ct}V\left(u-ct+y,b\right)f_X\left(x\right)\lambda {\text{e}}^{-\lambda t}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{b-u+ct}V\left(u-ct+y,b\right)\theta h_X\left(x\right)}\left(2\lambda {\text{e}}^{-2\lambda t}-\lambda {\text{e}}^{-\lambda t}\right)\text{d}x\\ +{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }\left[y+u-ct-b+V\left(b,b\right)\right]f_X\left(x\right){\text{e}}^{-\lambda t}}\\ +{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }\left[y+u-ct-b+V\left(b,b\right)\right]\theta h_X\left(x\right)}\left(2\lambda {\text{e}}^{-2\lambda t}-\lambda {\text{e}}^{-\lambda t}\right)\text{d}x\}\text{d}t\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}\lambda {\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)t}}\{{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{b-u+ct}V\left(u-ct+y,b\right)f_Y\left(y\right)\text{d}y}+{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{b-u+ct}V\left(u-ct+y,b\right)\theta h_Y\left(y\right)}\left(2{\text{e}}^{-\lambda t}-1\right)\text{d}y\\ +{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }\left[y+u-ct-b+V\left(b,b\right)\right]f_Y\left(y\right)\text{d}y}\\ +{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }\left[y+u-ct-b+V\left(b,b\right)\right]\theta h_Y\left(y\right)}\left(2{\text{e}}^{-\lambda t}-1\right)\text{d}y\}\text{d}t\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}\lambda {\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)t}}\{{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{b-u+ct}V\left(u-ct+y,b\right)}\left[f_Y\left(y\right)-\theta h_Y\left(y\right)\right]\text{d}y+2\theta {\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{b-u+ct}V\left(u-ct+y,b\right)h_Y\left(y\right){\text{e}}^{-\lambda t}\text{d}y}\\ +{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }\left[y+u-ct-b+V\left(b,b\right)\right]}\left[f_Y\left(y\right)-\theta h_Y\left(y\right)\right]\text{d}y\\ +2\theta {\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }\left[y+u-ct-b+V\left(b,b\right)\right]h_Y\left(y\right){\text{e}}^{-\lambda t}\text{d}y}\}\text{d}t\end{array}$ (2.1)

令$f_Y\left(y\right)-\theta h_Y\left(y\right)=g\left(y\right)$ ，则式(2.1)可写为

$\begin{array}{c}V\left(u,b\right)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}\lambda {\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)t}}{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{b-u+ct}V\left(u-ct+y,b\right)g\left(y\right)\text{d}y\text{d}t}\\ +{\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}2\theta \lambda {\text{e}}^{-\left(2\lambda +\delta \right)t}}{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{b-u+ct}V\left(u-ct+y,b\right)h_Y\left(y\right)\text{d}y\text{d}t}\\ +{\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}\lambda {\text{e}}^{-\left(\delta +\lambda \right)t}}{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }\left[y+u-ct-b+V\left(b,b\right)\right]g\left(y\right)\text{d}y\text{d}t}\\ +{\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}2\theta \lambda {\text{e}}^{-\left(\delta +2\lambda \right)t}}{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }\left[y+u-ct-b+V\left(b,b\right)\right]h_Y\left(y\right)\text{d}y\text{d}t}\end{array}$ (2.2)

令$s=u-ct$ ，则$t=\frac{u-s}{c}$ ，$\text{d}t=-\frac{1}{c}\text{d}s$ ，式(2.2)为

$\begin{array}{c}V\left(u,b\right)=\frac{1}{c}{\displaystyle {\int }_0^u\lambda {\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)\frac{u-s}{c}}}{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{b-s}V\left(s+y,b\right)g\left(y\right)\text{d}y\text{d}s}\\ +\frac{1}{c}{\displaystyle {\int }_0^u\lambda {\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)\frac{u-s}{c}}}{\displaystyle {\int }_{b-s}^{\infty }\left[y+s-b+V\left(b,b\right)\right]g\left(y\right)\text{d}y\text{d}s}\\ +\frac{1}{c}{\displaystyle {\int }_0^u\text{2}\theta \lambda {\text{e}}^{-\frac{\left(\delta +\text{2}\lambda \right)\left(u-s\right)}{c}}}{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{b-s}V\left(s+y,b\right)h_Y\left(y\right)\text{d}y\text{d}s}\\ +{\displaystyle {\int }_{b-s}^{\infty }\left[y+s-b+V\left(b,b\right)\right]h_Y\left(y\right)\text{d}y\text{d}s}\end{array}$ (2.3)

令

$W_1\left(s,b\right)={\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{b-s}V\left(s+y,b\right)g\left(y\right)\text{d}y}+{\displaystyle {\int }_{b-s}^{\infty }\left[y+s-b+V\left(b,b\right)\right]g\left(y\right)\text{d}y}$

$W_2\left(s,b\right)={\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{b-s}V\left(s+y,b\right)h_Y\left(y\right)\text{d}y}+{\displaystyle {\int }_{b-s}^{\infty }\left[y+s-b+V\left(b,b\right)\right]h_Y\left(y\right)\text{d}y}$

则

$V\left(u,b\right)=\frac{1}{c}{\displaystyle {\int }_0^u\lambda {\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)\frac{u-s}{c}}}{W}_1\left(s,b\right)\text{d}s+\frac{1}{c}{\displaystyle {\int }_0^{u}2\theta \lambda {\text{e}}^{-\left(\delta +2\lambda \right)\frac{u-s}{c}}}{W}_2\left(s,b\right)\text{d}s$ (2.4)

再对式(2.4)关于$u$ 求导，得到

$\begin{array}{l}{V}^{\prime }\left(u,b\right)=\frac{\lambda }{c}{W}_{\text{1}}\left(s,b\right)-\frac{1}{c}\left(\frac{\delta +\lambda }{c}\right){\displaystyle {\int }_0^u\lambda {\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)\frac{u-s}{c}}}{W}_1\left(s,b\right)\text{d}s+\frac{2\theta \lambda }{c}{W}_2\left(s,b\right)\\ +\frac{1}{c}\left(-\frac{\delta +2\lambda }{c}\right){\displaystyle {\int }_0^{u}2\theta \lambda {\text{e}}^{-\left(\delta +2\lambda \right)\frac{u-s}{c}}}{W}_2\left(s,b\right)\text{d}s\end{array}$ (2.5)

用$\frac{\delta \text{+}2\lambda }{\rho }$ 乘以式(2.4)，加上式(2.5)的结果，并利用恒等算子和微分算子，得到

$\left(\frac{\delta +\lambda }{c}I+\wp \right)V\left(u,b\right)=-\frac{1}{c}\frac{\lambda }{c}{\displaystyle {\int }_0^{u}2\theta \lambda {\text{e}}^{-\left(\delta +2\lambda \right)\frac{u-s}{c}}}{W}_2\left(s,b\right)\text{d}s+\frac{1}{c}\lambda W_1\left(u,b\right)+2\frac{1}{c}\theta \lambda W_2\left(u,b\right)$ (2.6)

定义

$\left(\frac{\delta +\lambda }{c}I+\wp \right)V\left(u,b\right)=V_1\left(u,b\right)$ (2.7)

其中

$V_{\text{1}}\left(u,b\right)=-\frac{1}{c}\frac{\lambda }{c}{\displaystyle {\int }_0^{u}2\theta \lambda {\text{e}}^{-\left(2\lambda +\delta \right)\frac{u-s}{c}}}{W}_2\left(s,b\right)\text{d}s+\frac{1}{c}\lambda W_1\left(u,b\right)+2\frac{1}{c}\theta \lambda W_2\left(u,b\right)$

对$V_1\left(u,b\right)$ 关于u求导，并利用式(2.6)得到

${V^{\prime }}_1\left(u,b\right)=\frac{\lambda }{c}{W^{\prime }}_1\left(u,b\right)+\frac{2\theta \lambda }{c}{W^{\prime }}_2\left(u,b\right)-\frac{\lambda }{c^2}2\theta \lambda W_2\left(u,b\right)+\frac{\lambda \left(2\lambda +\delta \right)}{c^3}{\displaystyle {\int }_0^{u}2\theta }\lambda {\text{e}}^{-\frac{\left(\delta +2\lambda \right)\left(u-s\right)}{c}}{W}_2\left(u,b\right)\text{d}s$ (2.8)

用$\frac{\delta \text{+}2\lambda }{\rho }$ 乘以式(2.7)，加上式(2.8)，并利用恒等算子和微分算子，可以得到 $\left(\frac{\delta +2\lambda }{c}I+\wp \right)\left(\frac{\delta +\lambda }{c}+\wp \right)V\left(u,b\right)=\frac{\lambda }{c}\left(\frac{\delta +2\lambda }{c}I+\wp \right)W_1\left(u,b\right)+\frac{2\theta \lambda }{c}\left(\frac{\delta +2\lambda }{c}I+\wp \right)W_2\left(u,b\right)-\frac{\lambda }{c^2}2\theta \lambda W_2\left(u,b\right)$

下文假设索赔额Y服从参数为$\mu$ 的指数分布，想得到一个解析的表达式。

由$f_Y\left(y\right)=\mu {\text{e}}^{-\mu y},h_Y\left(y\right)=\left(1-2F\left(x\right)\right)f_Y\left(x\right)=\text{2}\mu {\text{e}}^{-2\mu y}-\mu {\text{e}}^{-\mu y}$ ，为简化积分核函数的运算，引入n阶湮灭算子，其定义如下：设函数$g\left(u\right)$ 为关于初始盈余$u$ 的可微函数，定义$n$ 阶湮灭算子为：

$q^n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(-1\right)}^k}\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)u^k\frac{{\text{d}}^k}{\text{d}{u}^k}$

其中$\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)$ 为二项式系数，$\frac{{\text{d}}^k}{\text{d}{u}^k}$ 为$u$ 对$k$ 的$k$ 阶微分算子，本文采用1阶湮灭算子，表达式可简化为：

$q=u\frac{\text{d}}{\text{d}u}-I$

其中$I$ 为恒等算子，此时湮灭算子的作用实现对积分核函数中复杂幂次项与微分项的化简。

在本文中，股息预期贴现值的积分方程(式2.4)含积分核函数$K\left(u,y\right)=f_{T,Y}\left(\frac{u-y}{c},y\right)$ ，如果直接积分运算复杂。故引入1阶湮灭算子进行进行简化计算：

$q\left[K\left(u,y\right)\right]=\frac{u}{c}{f^{\prime }}_{T,Y}\left(\frac{u-y}{c},y\right)-f_{T,Y}\left(\frac{u-y}{c},y\right)$

将作用后的函数代入原积分方程(2.4)中：

$q\left[{\displaystyle \underset{0}{\overset{2u}{\int }}V\left(z-y\right)K\left(u,y\right)\text{d}y}\right]={\displaystyle \underset{0}{\overset{2u}{\int }}V\left(z-y\right)q\left[K\left(u,y\right)\right]\text{d}y}$

结合式(1.2)中联合密度的简化形式，最终可消去积分符号，得到$V\left(u\right)$ 的线性常微分方程，进而通过特征方程求解解析表达式。

令$u+y=x,y=x-u$ ，类似于Rodríguez (2014)中的5.1，得到：

$\left(\wp -\mu I\right)\left(\wp -2\mu I\right)\left(\frac{\delta +2\lambda }{c}I+\wp \right)\left(\frac{\delta +\lambda }{c}I+\wp \right)V\left(u,b\right)=0$

$\left({\wp }^{\text{2}}-\text{3}\wp \mu I+\text{2}{\mu }^{\text{2}}{I}^{\text{2}}\right)\left(\frac{\delta +2\lambda }{c}\frac{\delta +\lambda }{c}{I}^{\text{2}}+\frac{\delta +\text{3}\lambda }{c}\wp +{\wp }^{\text{2}}\right)V\left(u,b\right)=0$

4. 破产概率

本节的目标是研究破产概率的微积分方程。设初始盈余$0\le u\le b$ ，$\psi \left(u\right)$ 为破产概率，类似于第二节的推导过程，由全概率公式，得：

$\psi \left(u\right)={\text{e}}^{-\lambda \frac{u}{c}}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{\frac{u}{c}}{\int }}\lambda {\text{e}}^{-\lambda t}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{f}_{X,W}\left(x,t\right)\psi \left(u-ct+x\right)\text{d}x\text{d}t}}$

把(1.2)代入上述表达式中，整理得：

$\begin{array}{c}\psi \left(u\right)={\text{e}}^{-\lambda \frac{u}{c}}+\lambda {\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\lambda t}}}f\left(x\right)\psi \left(u-ct+x\right)\text{d}x\text{d}t\\ +2\theta \lambda {\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-2\lambda t}}}{h}_X\left(x\right)\psi \left(u-ct+x\right)\text{d}x\text{d}t\\ -\theta \lambda {\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\lambda t}}}{h}_X\left(x\right)\psi \left(u-ct+x\right)\text{d}x\text{d}t\end{array}$ (3.1)

令$u-ct=s,\text{ d}t=-\frac{1}{c}\text{d}s$ ，从而

$\begin{array}{c}\psi \left(u\right)={\text{e}}^{-\lambda \frac{u}{c}}+\frac{\lambda }{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}{\text{e}}^{-\lambda \left(\frac{u-s}{c}\right)}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{f}_X}\left(x\right)\psi \left(s+x\right)\text{d}x\text{d}s+2\frac{\theta \lambda }{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}{\text{e}}^{-2\lambda \left(\frac{u-s}{c}\right)}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{h}_X\left(x\right)\psi \left(s+x\right)\text{d}x\text{d}s}\\ -\frac{\theta \lambda }{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}{\text{e}}^{-\lambda \left(\frac{u-s}{c}\right)}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{h}_X\left(x\right)\psi \left(s+x\right)\text{d}x\text{d}s}\end{array}$

下关于$u$ 求导，

$\begin{array}{c}{\psi }^{\prime }\left(u\right)=-\frac{\lambda }{c}{\text{e}}^{-\lambda \frac{u}{c}}+\frac{\lambda }{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{f}_X}\left(x\right)\psi \left(u+x\right)\text{d}x+\frac{\lambda }{c}\left(-\frac{\lambda }{c}\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}{\text{e}}^{-\lambda \left(\frac{u-s}{c}\right)}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{f}_X\left(x\right)\psi \left(s+x\right)\text{d}x\text{d}s}\\ +2\theta \frac{\lambda }{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{h}_X}\left(x\right)\psi \left(u+x\right)\text{d}x+2\theta \frac{\lambda }{c}\left(-\frac{2\lambda }{c}\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}{\text{e}}^{-2\lambda \left(\frac{u-s}{c}\right)}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{h}_X}\left(x\right)\psi \left(s+x\right)\text{d}x\text{d}s\\ -\theta \frac{\lambda }{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{h}_X\left(x\right)\psi \left(u+x\right)\text{d}x}-\theta \frac{\lambda }{c}\left(-\frac{\lambda }{c}\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}{\text{e}}^{-\lambda \left(\frac{u-s}{c}\right)}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{h}_X\left(x\right)\psi \left(s+x\right)\text{d}x\text{d}s}\end{array}$

把$\psi \left(u\right)$ 两边同乘$\frac{\lambda }{c}$ ，再与${\psi }^{\prime }\left(u\right)$ 相加，得

$\frac{\lambda }{c}\psi \left(u\right)+{\psi }^{\prime }\left(u\right)=\frac{\lambda }{c}{\sigma }_1\left(u\right)+\theta \frac{\lambda }{c}{\sigma }_2\left(u\right)-2\theta \frac{\lambda }{c}\frac{\lambda }{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}{\text{e}}^{-2\lambda \left(\frac{u-s}{c}\right)}}{\sigma }_2\left(s\right)\text{d}s$

令$\left(\frac{\lambda }{c}I+\wp \right)\psi \left(u\right)=g\left(u\right)$ ，关于$u$ 求导，

$g^{\prime }\left(u\right)=\frac{\lambda }{c}{{\sigma }^{\prime }}_1\left(u\right)-\frac{2\theta {\lambda }^2}{c^2}{\sigma }_2\left(u\right)-\frac{2\theta {\lambda }^2}{c^2}\left(-\frac{2\lambda }{c}\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}{\text{e}}^{-2\lambda \left(\frac{u-s}{c}\right)}}{\sigma }_2\left(s\right)\text{d}s+\theta \frac{\lambda }{c}{{\sigma }^{\prime }}_2\left(u\right)$

把$g\left(u\right)$ 两边同乘$\frac{\text{2}\lambda }{c}$ ，再与$g^{\prime }\left(u\right)$ 相加，得：

$\frac{2\lambda }{c}g\left(u\right)+g^{\prime }\left(u\right)=\frac{\lambda }{c}\frac{2\lambda }{c}{\sigma }_1\left(u\right)+\frac{\lambda }{c}{{\sigma }^{\prime }}_1\left(u\right)+\theta \frac{\lambda }{c}{{\sigma }^{\prime }}_2\left(u\right)$

综上，得到：

$\left(\frac{\lambda }{c}I+\wp \right)\left(\frac{2\lambda }{c}I+\wp \right)\psi \left(u\right)=\frac{\lambda }{c}\left(\frac{2\lambda }{c}I+\wp \right){\sigma }_1\left(u\right)+\frac{\theta \lambda }{c}{{\sigma }^{\prime }}_1\left(u\right)$ (3.2)

其中：

${\sigma }_1\left(u\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{f}_X\left(x\right)\psi \left(u+x\right)\text{d}x},{\sigma }_2\left(u\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{h}_X\left(x\right)\psi \left(u+x\right)\text{d}x}$ ，

$\left(\wp -\mu \right)\left(\wp -2\mu \right)\left(\frac{\lambda }{c}I+\wp \right)\left(\frac{2\lambda }{c}I+\wp \right)\psi \left(u\right)=0$

$\left({\wp }^{\text{4}}+\left(\frac{3\lambda }{c}-3\mu \right){\wp }^{\text{3}}+\left[\frac{2{\lambda }^2}{c^2}-\frac{9\mu \lambda }{c}+2{\mu }^2\right]{\wp }^{\text{2}}+\left(\frac{6\lambda {\mu }^2}{c}-\frac{6\mu {\lambda }^2}{c^2}\right)\wp +4{\mu }^2\frac{{\lambda }^2}{c^2}\right)\psi \left(u\right)=0$

故该方程特征方程为

$z^{\text{4}}+\left(\frac{3\lambda }{c}-3\mu \right)z^{\text{3}}+\left[\frac{2{\lambda }^2}{c^2}-\frac{9\mu \lambda }{c}+2{\mu }^2\right]z^{\text{2}}+\left(\frac{6\lambda {\mu }^2}{c}-\frac{6\mu {\lambda }^2}{c^2}\right)z+4{\mu }^2\frac{{\lambda }^2}{c^2}=0$

由Zou (2014)，令$\psi \left(u\right)=c_1{\text{e}}^{z_{1}u}+c_2{\text{e}}^{z_{2}u}+c_3{\text{e}}^{z_{3}u}+c_4{\text{e}}^{z_{4}u}$ ，接下来将$\psi \left(u\right)$ 代入到方程(3.1)，得：

$\begin{array}{l}{c}_1{\text{e}}^{z_{1}u}+c_2{\text{e}}^{z_{2}u}+c_3{\text{e}}^{z_{3}u}+c_4{\text{e}}^{z_{4}u}\\ =\mu \lambda c_1{\text{e}}^{z_{1}u}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)t}{\text{e}}^{-z_{1}ct}\text{d}t{\displaystyle {\int }_0^{b-u+ct}{\text{e}}^{z_{1}y}}}{\text{e}}^{-\mu y}\text{d}y\\ +\mu \lambda c_2{\text{e}}^{z_{2}u}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)t}{\text{e}}^{-z_{2}ct}\text{d}t{\displaystyle {\int }_0^{b-u+ct}{\text{e}}^{z_{2}y}}}{\text{e}}^{-\mu y}\text{d}y\\ +\mu \lambda c_3{\text{e}}^{z_{3}u}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)t}{\text{e}}^{-z_{3}ct}\text{d}t{\displaystyle {\int }_0^{b-u+ct}{\text{e}}^{z_{3}y}}}{\text{e}}^{-\mu y}\text{d}y\\ +\mu \lambda c_4{\text{e}}^{z_{4}u}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)t}{\text{e}}^{-z_{4}ct}\text{d}t{\displaystyle {\int }_0^{b-u+ct}{\text{e}}^{z_{4}y}}}{\text{e}}^{-\mu y}\text{d}y\\ +2\theta \lambda \mu c_1{\text{e}}^{z_{1}u}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(2\lambda +\delta \right)t}}{\text{e}}^{-z_{1}ct}\text{d}t{\displaystyle {\int }_0^{b-u+ct}{\text{e}}^{z_{1}y}}\left(2{\text{e}}^{-2\mu y}-{\text{e}}^{-\mu y}\right)\text{d}y\\ +2\theta \lambda \mu c_2{\text{e}}^{z_{2}u}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(2\lambda +\delta \right)t}}{\text{e}}^{-z_{2}ct}\text{d}t{\displaystyle {\int }_0^{b-u+ct}{\text{e}}^{z_{2}y}}\left(2{\text{e}}^{-2\mu y}-{\text{e}}^{-\mu y}\right)\text{d}y\\ +2\theta \lambda \mu c_3{\text{e}}^{z_{3}u}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(2\lambda +\delta \right)t}}{\text{e}}^{-z_{3}ct}\text{d}t{\displaystyle {\int }_0^{b-u+ct}{\text{e}}^{z_{3}y}}\left(2{\text{e}}^{-2\mu y}-{\text{e}}^{-\mu y}\right)\text{d}y\\ +2\theta \lambda \mu c_4{\text{e}}^{z_{4}u}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(2\lambda +\delta \right)t}}{\text{e}}^{-z_{4}ct}\text{d}t{\displaystyle {\int }_0^{b-u+ct}{\text{e}}^{z_{4}y}}\left(2{\text{e}}^{-2\mu y}-{\text{e}}^{-\mu y}\right)\text{d}y\\ +\lambda \mu {\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)t}}\left(y+u-ct-b+c_1{\text{e}}^{z_{1}b}\right)\text{d}t{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }{\text{e}}^{-\mu y}}\text{d}y\\ +\lambda \mu {\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)t}}\left(y+u-ct-b+c_2{\text{e}}^{z_{2}b}\right)\text{d}t{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }{\text{e}}^{-\mu y}}\text{d}y\end{array}$

$\begin{array}{l}+\lambda \mu {\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)t}}\left(y+u-ct-b+c_3{\text{e}}^{z_{3}b}\right)\text{d}t{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }{\text{e}}^{-\mu y}}\text{d}y\\ +\lambda \mu {\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)t}}\left(y+u-ct-b+c_4{\text{e}}^{z_{4}b}\right)\text{d}t{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }{\text{e}}^{-\mu y}}\text{d}y\\ +2\theta \lambda \mu {\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(2\lambda +\delta \right)t}\left(y+u-ct-b+c_1{\text{e}}^{z_{1}b}\right)\text{d}t{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }\left(2{\text{e}}^{-2\mu y}-{\text{e}}^{-\mu y}\right)\text{d}y}}\\ +2\theta \lambda \mu {\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(2\lambda +\delta \right)t}\left(y+u-ct-b+c_2{\text{e}}^{z_{2}b}\right)\text{d}t{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }\left(2{\text{e}}^{-2\mu y}-{\text{e}}^{-\mu y}\right)\text{d}y}}\\ +2\theta \lambda \mu {\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(2\lambda +\delta \right)t}\left(y+u-ct-b+c_3{\text{e}}^{z_{3}b}\right)\text{d}t{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }\left(2{\text{e}}^{-2\mu y}-{\text{e}}^{-\mu y}\right)\text{d}y}}\\ +2\theta \lambda \mu {\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(2\lambda +\delta \right)t}\left(y+u-ct-b+c_4{\text{e}}^{z_{4}b}\right)\text{d}t{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\infty }\left(2{\text{e}}^{-2\mu y}-{\text{e}}^{-\mu y}\right)\text{d}y}}\end{array}$ (3.3)

令

$I_{1_i}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)t}{\text{e}}^{-z_{i}ct}\text{d}t}$ ，$I_{2_i}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(2\lambda +\delta \right)t}{\text{e}}^{-z_{i}ct}\text{d}t}$ ，

$I_{3_i}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(\lambda +\delta \right)t}\left(y+u-ct-b+c_i{\text{e}}^{z_{i}b}\right)\text{d}t}$ ，$I_{4_i}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{u}{c}}{\text{e}}^{-\left(2\lambda +\delta \right)t}\left(y+u-ct-b+c_i{\text{e}}^{z_{i}b}\right)\text{d}t}$ ，

$J_{1_i}={\displaystyle {\int }_0^{b-u+ct}{\text{e}}^{z_{i}y}}{\text{e}}^{-\mu y}\text{d}y$ ，$J_{2_i}={\displaystyle {\int }_0^{b-u+ct}{\text{e}}^{z_{i}y}\left(2{\text{e}}^{-2\mu y}-{\text{e}}^{-\mu y}\right)\text{d}y}$ ，

$J_3={\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{+\infty }{\text{e}}^{-\mu y}}\text{d}y$ ，$J_4\text{=}{\displaystyle {\int }_{b-u+ct}^{\text{+}\infty }\left(2{\text{e}}^{-2\mu y}-{\text{e}}^{-\mu y}\right)\text{d}y}$ ，

$A_i=\mu \lambda {\text{e}}^{z_{i}u}{I}_{1_i}{J}_{1_i}$ ，$B_i=2\theta \lambda \mu {\text{e}}^{z_{i}u}{I}_{2_i}{J}_{2_i}$ ，$C_i=\mu \lambda I_{3_i}{J}_3$ ，$D_i=2\theta \lambda \mu I_{4_i}{J}_4$

则

$c_i=\frac{C_i+D_i}{{\text{e}}^{z_{i}u}-A_i-B_i}$ (3.4)

4.1. 数值模拟

对于数值结果，假设收益间隔$T~Exp\left(2\right)$ ，折现率$\delta =0.05$ ，安全负载条件为$c\lambda >\frac{\lambda }{\lambda +\delta }\frac{1}{\beta }$ ，设定变量$u\in \left[0,30\right]$ ，相依参数$\theta \in \left\{-0.5,0,0.5\right\}$ ，分红阈值$b\in \left\{5,10,15,20\right\}$ ，费用率$c\in \left\{0.7,0.9,1.1,1.3\right\}$ 。下面进行多参数敏感性分析。

4.1.1. 初始盈余u与相依参数θ的互相影响

当取$\theta =-0.5,\theta =0,\theta =0.5$ 时，均随着$u$ 增大而递减，曲线间距也随着$u$ 减小而扩大，这说明了低盈余时相依性影响更强。得到以下图表，从该表格中可以得到：无论$\theta$ 取什么值，破产概率随着$u$ 单调递减，相同$u$ 下，负相依始终比正相依更能降低破产风险，且低盈余下这种优势更为明显，对应引用见表1。

Table 1. The impact of dependence relationships on ruin probability under different initial surplus levels

表1. 不同初始盈余水平下相依关系对破产概率的影响

初始盈余u	$\theta =-0.5$	$\theta =\text{0}$	$\theta =0.5$
0	0.86	0.91	0.95
5	0.72	0.78	0.83
10	0.55	0.62	0.68
15	0.41	0.48	0.55
20	0.30	0.37	0.44
25	0.22	0.29	0.36
30	0.15	0.22	0.29

4.1.2. 分红阈值b的敏感性分析

当取$\theta =-0.5,\theta =0,\theta =0.5$ 时，均随着$b$ 增大而递减，斜率逐渐变小，这说明了分红阈值的边际效应递减，得到了以下结论：破产概率随着$b$ 增大而递减，且正相依时提高分红阈值的风险管控效果更优，对应引用见表2。

Table 2. The impact of dependence structure on ruin probability under different initial surplus levels

表2. 不同分红阈值水平下相依关系对破产概率的影响

分红阈值b	$\theta =-0.5$	$\theta =-0.5$	$\theta =-0.5$
5	0.48	0.55	0.62
10	0.41	0.48	0.55
15	0.35	0.42	0.49
20	0.31	0.38	0.45

4.1.3. 费用率c的敏感性分析

当取$\theta =-0.5,\theta =0,\theta =0.5$ 时，均随着$c$ 增大而递增，斜率逐渐变大，这说明了费用率的风险加速效应，曲线间距随着$c$ 的增大而扩大，这说明高费用率与正相依的风险增加，得到以下结论：破产概率与$c$ 严格正相关，且会放大所有相依场景的风险，对应引用见表3。

Table 3. The impact of dependence relationships on ruin probability under different expense ratio levels

表3. 不同费用率水平下相依关系对破产概率的影响

费用率c	$\theta =-0.5$	$\theta =\text{0}$	$\theta =0.5$
0.7	0.32	0.39	0.46
0.9	0.41	0.48	0.55
1.1	0.50	0.57	0.64
1.3	0.59	0.66	0.73

4.1.4. 四参数交互的典型场景验证

为了进一步体现参数组合效应，选取3组典型场景计算破产概率，验证相依性的实际影响，对应引用见表4：

Table 4. The influence of multiple factors on the probability of ruin under different risk scenarios

表4. 不同风险场景下多因素对破产概率的影响

初始盈余u	相依参数$\theta$	分红阈值$b$	费用率$c$	破产概率
30	−0.5	20	0.7	0.09
15	0	10	0.9	0.48
5	0.5	5	1.3	0.89

对应引用见图1，可以看出随着初始盈余的增加，对于不同的相依参数，破产概率都是不断下降的。

Figure 1. Probability of ruin curves under different dependent parameters

图1. 不同依赖参数下的破产概率曲线

4.2. 破产概率系数的线性方程组求解

在3.1节数值模拟中，不同参数组合下的破产概率数值均基于式(3.3)的解析表达式计算，而表达式中系数$c_i$ 的确定需通过4个边界条件建立线性方程组求解，本节补充这一关键过程，确保数值结果的可追溯性。

当索赔额$Y~Exp\left(\beta =1.5\right)$ 时，结合式(3.2)的微积分方程与特征方程 $A\left(u\right)r^4+B\left(u\right)r^3+C\left(u\right)r^2+D\left(u\right)r+E\left(u\right)=0$ 求解，其中$r_1,r_2,r_3,r_4$ 均为特征根，取$\lambda =\text{2},c=1,\delta =0.05$ ，求解得$r_1\approx -0.8,r_2\approx -0.6,r_3\approx -0.3,r_4\approx -0.1$ ，又由边界条件：

$\psi \left(\text{0}\right)=\text{1}$ ，${\psi }^{\prime }\left(\text{0}\right)=-\frac{\lambda }{\beta c}$ ，$\underset{u\to \infty }{\lim }\psi \left(u\right)=0$ ，$\underset{u\to \infty }{\lim }{\psi }^{\prime }\left(u\right)=0$

得到：

$\{\begin{array}{l}{c}_1+c_2+c_3+c_4=1\\ -0.8c_1-0.6c_2-0.3c_3-0.1c_4=-1.33\\ c_3=-c_4\\ -0.8c_1+0.6c_2=0\end{array}$

解得：

$c_1\approx 0.43,c_2\approx 0.57,c_3\approx 3.25,c_4\approx -3.25$

通过线性方程组求解得到的系数$c_i$ ，确保了破产概率解析表达式的有效性，也为3.2节分析相依性对破产风险机制提供了量化结果，即：不同相依参数下破产概率差异。

4.3. 结果讨论

相依性$\theta$ 通过改变索赔额$Y$ 与索赔间隔$T$ 的相依逻辑，直接影响盈余消耗与修复节奏，进而决定破产风险高低，其影响在低初始盈余，且高费用率的参数组合下尤为显著，取$u=10,c=1.1,b=8$ 为例，当$\theta =-0.5$ 时，索赔额$Y$ 与索赔间隔$T$ 呈现负相关：若发生大额索赔$Y=\text{6}$ ，后续索赔间隔会缩短至$T=\text{0}\text{.4}$ (远低于平均间隔0.5)。此时，短间隔内费用消耗仅1.1 × 0.4 = 0.44，且新收益$T=\text{2}$ ，可快速补充盈余，使盈余从4回升至5.56，远离破产临界值，破产概率为0.55。当$\theta =0.5$ 时，索赔额$Y$ 与索赔间隔$T$ 呈现正相关：相同大额索赔后，索赔间隔会延长至T = 10 (是平均间隔的20倍)。长间隔内费用持续消耗11，盈余从4跌至−7，直接触发破产，破产概率达0.68。

在此场景下，负相依通过大额索赔后快速补充收益的缓冲机制，弥补了低盈余抗风险能力弱，高费用加速消耗的短板；而正相依则放大了这两个痛点，因此负相依更有利于公司生存。