典型李代数自然表示及相关表示的满射问题

Surjectivity about the Natural Representation and Related Representations of Classical Lie Algebras

摘要: 本文考虑典型李代数的自然表示及其对偶表示、直和表示及张量表示的满射问题，得到$A_l$ 在$l=1$ 时以及$B_l,C_l,D_l$ 型李代数的张量表示不满，其余都是满表示。

Abstract: This paper investigates the surjectivity problem of natural representations, their dual representations, direct sum representations, and tensor representations of classical Lie algebras. It is concluded that the tensor representations of type $A_l$ when $l=1$ and type $B_l,C_l,D_l$ Lie algebras are not surjective, while all the others are surjective representations.

1. 引言

表示是李代数的一个重要研究课题，在量子群、理论物理等领域有重要的应用。称李代数的表示为满表示，是指表示所对应的模运算为满射。确定一个表示是否满，是表示的基本问题。目前表示是否满的研究主要在伴随表示和三维复单李代数的表示。注意到李代数的伴随表示满，实际上就是李括号运算满。文[1] [2]得到了复半单李代数的括号运算满的结论，文[3] [4]讨论了实李代数括号满的若干结果。

典型李代数的概念来自H。Weyl，是一大类重要的线性单李代数，有大量的研究，可参考[5]-[9]。本论文考虑典型李代数的自然表示及对偶表示、直和表示和张量表示的满射问题，得到了

定理1 在典型李代数的自然表示及对偶表示、直和表示和张量表示中，$B_l,C_l,D_l$ 型李代数的张量表示不满，$A_l$ 在$l=1$ 时张量表示不满，其余都是满表示。

2. 预备知识

定义1 设$\left(\rho ,V\right)$ 为有限维复李代数$L$ 的一个复表示，若映射$\rho :L\times V\to V$ 为满射，则称该表示为满表示。

显然有下面的结论：

命题１ 设$\left(\rho ,V\right)$ 为有限维复李代数$L$ 的一个有限维复表示，则

1) 若存在$x\in L$ ，使得$\rho \left(x\right)$ 可逆，则$\left(\rho ,V\right)$ 为满表示。

2) 设$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_s$ 为表示的子表示直和分解，则$\left({\rho |}_{V_i},V_i\right)$ 为满表示。

设$\left(\rho ,V\right)$ 为有限维复李代数$L$ 的一个有限维复表示，则关于此表示有常见的表示构造：对偶表示$\left({\rho }^{\ast },V^{\ast }\right)$ ，直和表示$\left(\rho \oplus \rho ,V\oplus V\right)$ 以及张量表示$\left(\rho \otimes \rho ,V\otimes V\right)$ 。定义分别如下：$\forall x\in L$ ，$v,u\in V$ ，有

$\left({\rho }^{\ast }\left(x\right)\phi \right)\left(v\right)=-\phi \left(\rho \left(x\right)v\right),\phi \in V^{\ast },$

$\left(\left(\rho \oplus \rho \right)\left(x\right)\right)\left(v,u\right)=\left(\rho \left(x\right)v,\rho \left(x\right)u\right),$

$\left(\left(\rho \otimes \rho \right)\left(x\right)\right)\left(v\otimes u\right)=\rho \left(x\right)v\otimes u+v\otimes \rho \left(x\right)u$ .

取$V$ 的一组基，对任意$x\in L$ ，设$\rho \left(x\right)$ 的矩阵为$X$ ，则在对应的基下${\rho }^{*}\left(x\right),\left(\rho \oplus \rho \right)\left(x\right),\left(\rho \otimes \rho \right)\left(x\right)$ 的矩阵分别为$-X^{\text{T}},\text{diag}\left(X,X\right),X\otimes I+I\otimes X$ ，其中$I$ 为单位矩阵。这里用到了矩阵$A$ 和$B$ 的张量积(Kronecker积)：

$A\otimes B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}B& a_{12}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}B& a_{n2}B& \cdots & a_{nn}B\end{array}\right),A=\left(a_{ij}\right)$ .

设$V$ 是复数域$C$ 上的有限维线性空间，一般线性李代数$gl\left(V\right)$ 是$V$ 的线性变换全体关于运算$\left[x,y\right]=xy-yx$ 构成的李代数。特殊线性李代数$sl\left(V\right)=\left\{x\in gl\left(V\right)|tr\left(x\right)=0\right\}$ 为$A_l$ 型李代数。矩阵$s=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& I_l\\ 0& I_l& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& I_l\\ -I_l& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& I_l\\ I_l& 0\end{array}\right)$ 分别定义$V$ 上的非退化双线性型$f$ ，$gl\left(V\right)$ 中关于$f$ 反对称的元素全体，即$\left\{x\in gl\left(V\right)|f\left(x\left(u\right),v\right)+f\left(u,x\left(v\right)\right)=0,\forall v,u\in V\right\}$ ，构成了$B_l$ 、$C_l$ 、$D_l$ 型李代数。空间中取了基后，写成矩阵形式，记作$sl\left(l+1,C\right)$ ，$so\left(2l+1,C\right)$ ，$sp\left(2l,C\right)$ ，$so\left(2l,C\right)$ 。这些称为典型李代数。

3. Kronecker积的一些结论

引理1 [11] 设$X\in C^{n\times n}$ ，则$\det \left(X\otimes I+I\otimes X\right)={\displaystyle \prod _{i,j}\left({\lambda }_i+{\lambda }_j\right)}$ ，其中${\lambda }_i$ 为$X$ 的所有特征值。

引理2 $B_l$ 、$C_l$ 、$D_l$ 型李代数自然表示的张量表示有平凡子表示。

证明 设$e_1,\cdots ,e_{2l+1}$ 为$C^{2l+1}$ 的自然基，对任意$X=\left(\begin{array}{ccc}0& a& b\\ -b^{\text{T}}& m& p\\ -a^{\text{T}}& n& -m^{\text{T}}\end{array}\right)\in so\left(2l+1,C\right)$ ，其中$a=\left(a_2,\cdots ,a_{l+1}\right)$ ，$b=\left(b_{l+2},\cdots ,b_{2l+1}\right)$ ，$m={\left(m_{i+1,j+1}\right)}_{i,j=1}^l$ ，$n={\left(n_{1+l+i,1+j}\right)}_{i,j=1}^l$ ，$p={\left(p_{1+i，1+\text{l}+j}\right)}_{i,j=1}^l$ ，有

$X{e}_1=-{\displaystyle \sum _{i=1}^l{b}_{1+l+i}{e}_{1+i}-{\displaystyle \sum _{i=1}^l{a}_{1+i}{e}_{1+l+i}}},$

$X{e}_{1+i}=a_{1+i}{e}_1+{\displaystyle \sum _{j=1}^l{m}_{1+j,1+i}{e}_{1+j}+{\displaystyle \sum _{j=1}^l{n}_{1+j+l,1+i}{e}_{1+j+l}}},1\le i\le l,$

$X{e}_{1+l+i}=b_{1+i+l}{e}_1+{\displaystyle \sum _{j=1}^l{p}_{1+j,1+l+i}{e}_{1+j}-{\displaystyle \sum _{j=1}^l{m}_{1+i,1+j}^{}{e}_{1+j+l}}},1\le i\le l.$

令

$\epsilon =e_1\otimes e_1+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{e}_{1+i}\otimes e_{1+l+i}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{e}_{1+l+i}\otimes e_{1+i}},$

计算

$\begin{array}{l}X\epsilon =-{\displaystyle \sum _{i=1}^l{b}_{1+l+i}{e}_{1+i}\otimes e_1-{\displaystyle \sum _{i=1}^l{a}_{1+i}{e}_{1+l+i}\otimes e_1-{\displaystyle \sum _{i=1}^l{b}_{1+l+i}{e}_1\otimes e_{1+i}-{\displaystyle \sum _{i=1}^l{a}_{1+i}{e}_1\otimes e_{1+l+i}}}}}\\ +{\displaystyle \sum _{i=1}^l{a}_{1+i}{e}_1\otimes e_{1+l+i}+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{m}_{1+j,1+i}{e}_{1+j}\otimes e_{1+l+i}}}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{n}_{1+j+l,1+i}{e}_{1+j+l}}}\otimes e_{1+l+i}\\ +{\displaystyle \sum _{i=1}^l{b}_{1+i+l}{e}_{1+i}\otimes e_1+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{p}_{1+j,1+l+i}{e}_{1+i}\otimes e_{1+j}}}}-{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{m}_{1+i,1+j}^{}{e}_{1+i}\otimes e_{1+j+l}}}\\ +{\displaystyle \sum _{i=1}^l{b}_{1+l+i}{e}_1\otimes e_{1+i}+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{p}_{1+j,1+l+i}{e}_{1+j}\otimes e_{1+i}}}}-{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{m}_{1+i,1+j}^{}{e}_{1+j+l}}}\otimes e_{1+i}\\ +{\displaystyle \sum _{i=1}^l{a}_{1+i}{e}_{1+i+l}\otimes e_1+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{m}_{1+j,1+i}{e}_{1+l+i}\otimes e_{1+j}}}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{n}_{1+j+l,1+i}{e}_{1+i+l}}}\otimes e_{1+j+l}.\end{array}$

整理后得到

$X\epsilon ={\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l(n_{1+j+l,1+i}+n_{1+i+l,1+j})e_{1+j+l}}}\otimes e_{1+i+l}+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l(p_{1+j,1+i+l}+p_{1+i,1+j+l})e_{1+j}\otimes e_{1+i}}}.$

根据$n,p$ 为反对称矩阵，得到$X\epsilon =0$ 。令$V_0=C\epsilon$ ，则$V_0$ 为$B_l$ 的一维子表示，因而是平凡表示。

在$D_l$ 情形，设$e_1,\cdots ,e_{2l}$ 为$C^{2l}$ 的自然基，对任意$X=\left(\begin{array}{cc}m& n\\ p& -m^{\text{T}}\end{array}\right)\in so\left(2l,C\right)$ ，其中$m={\left(m_{ij}\right)}_{i,j=1}^l$ ，$n={\left(n_{i,l+j}\right)}_{i,j=1}^l$ ，$p={\left(p_{l+i,j}\right)}_{i,j=1}^l$ ，令

$V_0=spa{n}_C\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^l{e}_i\otimes e_{l+i}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{e}_{l+i}\otimes e_i}\right\}$ ，

计算

$\begin{array}{l}X\left({\displaystyle \sum _{i=1}^l{e}_i\otimes e_{l+i}+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{e}_{l+i}\otimes e_i}}\right)\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{m}_{ji}{e}_j\otimes e_{i+l}}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{p}_{l+j,i}{e}_{j+l}\otimes e_{i+l}}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{n}_{j,i+l}{e}_i\otimes e_j}}-{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{m}_{ij}{e}_i\otimes e_{j+l}}}\\ +{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{n}_{j,i+l}{e}_j\otimes e_i}}-{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{m}_{ij}{e}_{j+l}\otimes e_i}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{m}_{ji}{e}_{i+l}\otimes e_j}+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l{p}_{l+j,i}{e}_{i+l}\otimes e_{j+l}}}}\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l\left(p_{l+j,i}+p_{l+i,j}\right)e_{j+l}\otimes e_{i+l}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\displaystyle \sum _{j=1}^l\left(n_{j,i+l}+n_{i,j+l}\right)e_i\otimes e_j}}}.\end{array}$

根据$n,p$ 为反对称矩阵，得到$X\epsilon =0$ 。令$V_0=C\epsilon$ ，则$V_0$ 为$C_l$ 的一维子表示，因而是平凡表示。

类似地，在$C_l$ 情形，同理令

$V_0=spa{n}_C\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^l{e}_i\otimes e_{l+i}}-{\displaystyle \sum _{i=1}^l{e}_{l+i}\otimes e_i}\right\}$ ，

计算过程同$D_l$ ，易验证它们各自都是平凡子表示。证毕。

注 $B_l$ 中$\epsilon$ 的构造源于$C_1$ 情形的猜想。

4. 定理的证明

分别取$X=\text{diag}\left(1,1,\cdots ,1,-l\right)\in sl\left(l+1,C\right)$ ，$\left(\begin{array}{cc}{I}_l& 0\\ 0& -I_l\end{array}\right)\in sp\left(2l,C\right)\cap so\left(2l,C\right)$ ，这些都是可逆阵，由命题1知$A_l$ 、$C_l$ 、$D_l$ 型李代数的自然表示及直和表示都满。考虑$A_l$ 的张量表示，当$l>1$ 时，由引理1，知

$\det \left(X\otimes I+I\otimes X\right)=-2^{l^2+1}{\left(l-1\right)}^{2l}l\ne 0$ ，

此时张量表示满。当$l=1$ 时，有${\rho }_{A_1}\otimes {\rho }_{A_1}=V\left(1\right)\otimes V\left(1\right)=V\left(2\right)\oplus V\left(0\right)$ 。这里$V\left(n\right)$ 是$sl\left(2,C\right)$ 的最高权为$n$ 的不可约表示空间(见[12])。这说明此张量表示有平凡子表示，因而不满。由引理2，可得$B_l$ 、$C_l$ 、$D_l$ 型李代数的张量表示都不满。

下面考虑$B_l=so\left(2l+1,C\right)$ 的自然表示：$\forall v={\left(\lambda ,{\beta }_1,{\beta }_2\right)}^{\text{T}}\in C^{2l+1}$ ，其中$\lambda \in C$ ，${\beta }_1,{\beta }_2\in C^l$ ，取$X=\left(\begin{array}{ccc}0& a& b\\ -b^{\text{T}}& I_l& 0\\ -a^{\text{T}}& 0& -I_l\end{array}\right)\in so\left(2l+1,C\right)$ ，考虑线性方程组$X\xi =v$ 是否有解。对增广矩阵$\left(X,v\right)$ 做初等行变换得到$\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& \lambda -a{\beta }_1+b{\beta }_2\\ -b^{\text{T}}& I_l& 0& {\beta }_1\\ -a^{\text{T}}& 0& -I_l& {\beta }_2\end{array}\right)$ ，于是线性方程组有解当且仅当$\lambda -a{\beta }_1+b{\beta }_2=0$ 。

显然当${\beta }_1,{\beta }_2$ 不全为零时，存在$a,b$ 满足$\lambda -a{\beta }_1+b{\beta }_2=0$ ，此时方程组$X\xi =v$ 有解。

当${\beta }_1={\beta }_2=0$ 时，另取$X=\left(\begin{array}{ccc}0& a& 0\\ 0& 0& 0\\ -a^{\text{T}}& 0& 0\end{array}\right)\in so\left(2l+1,C\right)$ ，其中$a\ne 0$ ，此时方程组$X\xi =v$ 也有解，故$B_l$ 的自然表示为满表示。

再考虑$B_l$ 的直和表示：$\forall v={\left({\lambda }_1,{\beta }_1,{\beta }_2,{\lambda }_2,{\beta }_3,{\beta }_4\right)}^{\text{T}}\in C^{4l+2}$ ，其中${\lambda }_1,{\lambda }_2\in C$ ，${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4\in C^l$ ，取$X=\left(\begin{array}{ccc}0& a& b\\ -b^{\text{T}}& I_l& 0\\ -a^{\text{T}}& 0& -I_l\end{array}\right)\in so\left(2l+1,C\right)$ 。对增广矩阵$\left(\begin{array}{cc}X& \\ & X\end{array}v\right)$ 进行初等行变换得到

$\left(\begin{array}{cc}X& \\ & X\end{array}v\right)\to \left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& {\lambda }_1-a{\beta }_1+b{\beta }_2\\ -b^{\text{T}}& I_l& 0& 0& 0& 0& {\beta }_1\\ -a^{\text{T}}& 0& -I_l& 0& 0& 0& {\beta }_2\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& {\lambda }_2-a{\beta }_3+b_{}{\beta }_4\\ 0& 0& 0& -b^{\text{T}}& I_l& 0& {\beta }_3\\ 0& 0& 0& -a^{\text{T}}& 0& -I_l& {\beta }_4\end{array}\right)$ 。

由此知，线性方程组$\text{diag}\left(X,X\right)\xi =v$ 有解当且仅当$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1-a{\beta }_1-b{\beta }_2=0\\ {\lambda }_2-a{\beta }_3-b{\beta }_4=0\end{array}$ ，即

$\left(\begin{array}{cc}{\beta }_1^{\text{T}}& {\beta }_2^{\text{T}}\\ {\beta }_3^{\text{T}}& {\beta }_4^{\text{T}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}^{\text{T}}\\ b^{\text{T}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\end{array}\right).$

易见，若$r\left(\begin{array}{cc}{\beta }_1^{\text{T}}& {\beta }_2^{\text{T}}\\ {\beta }_3^{\text{T}}& {\beta }_4^{\text{T}}\end{array}\right)=2$ ，则存在$a,b$ ，使得上式成立。若$r\left(\begin{array}{cc}{\beta }_1^{\text{T}}& {\beta }_2^{\text{T}}\\ {\beta }_3^{\text{T}}& {\beta }_4^{\text{T}}\end{array}\right)\ne 2$ ，当${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4$ 全为零时，取$X=\left(\begin{array}{ccc}0& a& 0\\ 0& 0& 0\\ -a^{\text{T}}& 0& 0\end{array}\right)$ ，其中$a\ne 0$ ；当${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4$ 不全为零时，${\beta }_1,{\beta }_2$ 与${\beta }_3,{\beta }_4$ 对称，不妨设${\beta }_1,{\beta }_2$ 不全为零，取$X=\left(\begin{array}{ccc}0& {\beta }_2^{\text{T}}& {\beta }_1^{\text{T}}\\ -{\beta }_1& 0& 0\\ -{\beta }_2& 0& 0\end{array}\right)$ ：此时均存在$X\in so\left(2l+1,C\right)$ ，使得线性方程组

$\text{diag}\left(X,X\right)\xi =v$

有解，故$B_l$ 的直和表示为满表示。

下面考虑对偶表示。设$L$ 为典型李代数的矩阵形式，即$L$ 为$sl\left(l+1,C\right)$ ，$so\left(2l+1,C\right)$ ，$sp\left(2l,C\right)$ ，或

$so\left(2l,C\right)$ ，则$L$ 自然表示的矩阵表达为$L\times C^n\to C^n,\left(X,v\right)\mapsto Xv$ ，其中$n$ 为表示的维数。于是其对偶表示的矩阵表达为$\tilde{L}\times C^n\to C^n$ ，其中$\tilde{L}=\left\{-X^{\text{T}}|X\in L\right\}$。注意到关于典型李代数，我们有$\tilde{L}=L$ 。因而$L$ 的自然表示与其对偶表示有相同的映射性质。由$L$ 的自然表示满，知其对偶表示也满。

综上，定理得证。