关于M-群的注记

Notes on M-Groups

摘要: 若有限群G的每个不可约(复)特征标均可由子群的线性特征标诱导得到，则G称为M-群。M-群是有限群表示论中重要的研究课题。Huppert证明了，设G有正规可解子群N且G/N为超可解群，若N的Sylow子群是交换的，则G是M-群。本文通过对确定阶数的群进行讨论，利用Huppert定理证明了2024阶群与1892阶群均是M-群。

Abstract: If every irreducible (complex) character of a finite group G can be induced by a linear character of some subgroup, then G is called an M-group, which is an important topic in representation theory of finite groups. Huppert proved that if G has a normal solvable group N with abelian Sylow subgroups such that G/N is supersolvable, then G is an M-group. Groups of determined order are studied in this paper and it is proved that all groups with order 2024 or order 1892 are M-groups by Huppert’s theorem.

1. 引言

设$\chi$ 是有限群G的一个特征标，若存在H的线性特征标$\lambda$ ，使得$\chi ={\lambda }^G$ (即$\chi$ 可从子群的线性特征标诱导得到)，其中H为G的子群，则称$\chi$ 是单项特征标，也称为M-特征标。若G的每个不可约(复)特征标均可由子群的线性特征标诱导得到，则G称为M-群。M-群是有限群表示论中重要的研究课题。由Taketa定理[1]，推论5.13可知，M-群均是可解的。

Dornhoff [2]证明了M-群的每个正规Hall子群仍为M-群，并提出了两个著名猜想：

1) M-群的Hall子群仍为M-群。

2) M-群的正规子群仍为M-群。

2005年，Fukushima找到反例否定了猜想1)，见[3]。关于猜想2)，1973年Dade在[4]中构造了一个反例，素数2在其中起了关键作用，这个反例中的M-群及正规子群均为偶数阶群。Dade称自己找不到关于奇数阶群的反例。于是猜想2)中的M-群被进一步假定为奇数阶，目前已成为M-群中的一个重要猜想。在此方向上，Loukaki在其博士论文[5]中证明了：若M-群G的阶为$p^a{q}^b$ ，其中p，q为两个奇素数，则G的每个正规子群仍为M-群。Loukaki的结果很复杂，2006年Lewis在[6]中给出了Loukaki定理的一个简化证明，但在结果上只做了一点改进，由此可见M-群研究的困难与复杂。国内著名群表示论专家靳平与徐茂智在[7]中构造了一类新的可解群，使得其中的每个成员均不能同构于M-群的正规子群。

研究确定阶数的群的结构与性质已成为众多代数研究者关注的重要课题。2019年，陈松良、石昌梅等在[8]中证明了168阶群共有57个互不同构的类型。2021年，陈松良、石昌梅等在[9]中又证明了120阶群共有47个互不同构的类型。2021年，李德乐和曹慧芹在[10]中利用Sylow定理对40阶群和56阶群进行了完全分类，构造了56阶群的13种同构类型。

因为幂零群是M-群，而M-群是可解的，因此M-群介于幂零群与可解群之间。本文考虑确定阶数的群与M-群之间的关系，特别地，证明了2024阶群与1892阶群均是M-群。

2. 预备知识

在给出主要结果之前，本文先列出一些重要结论。

引理2.1 (Sylow定理) [11]设G是有限群，p是一个素数，${\text{Syl}}_p\left(G\right)$ 是G的Sylow p-子群的集合，则$n_p\left(G\right)=\left|G:N_G\left(S\right)\right|\equiv 1\mathrm{mod}p$ ，其中$n_p\left(G\right)=\left|{\text{Syl}}_p\left(G\right)\right|$ 且$S\in {\text{Syl}}_p\left(G\right)$ 。若$S$ ，$T\in {\text{Syl}}_p\left(G\right)$ ，则存在$g\in G$ ，使得$T=S^g$ (即G的任意两个Sylow子群之间是共轭的)。

引理2.2 [11]设G是一个有限群，那么以下三条是等价的：

(1) G是幂零的。

(2) G的每个非平凡的同态像都有一个非平凡中心。

(3) G作为其上中心列的一员出现。

引理2.3 [1]设G是M-群，$1=f_1<f_2<\cdots <f_k$ 是G的不可约特征标不同的次数，若$\chi \in \text{Irr}\left(G\right)$ 且$\chi \left(1\right)=f_i$ ，则$G^{\left(i\right)}\subseteq \ker \chi$ ，其中$G^{\left(i\right)}$ 表示G的导群链的第i项。由此可得，若G是M-群，则G是可解的。

接下来，本文介绍Huppert定理，它将在主要结果的证明中起到非常重要的作用。

引理2.4 (Huppert定理) [12]设G有正规可解子群N且$G/N$ 为超可解群，若N的Sylow子群是交换的，则G是M-群。

注：N的可解性不能取消。例如，$A_5$ 的Sylow子群均交换，但$A_5$ 不是可解的，$S_5/A_5$ 是超可解的，但$S_5$ 不是M-群。

取$N=1$ ，则可得超可解均为M-群。由引理2.2知，幂零群为超可解群，从而幂零群均为M-群。因此，M-群是介于幂零群与可解群之间的一类群。

3. 主要结果

本文首先考虑群G的阶有两个素因子的情形。

命题3.1若群G的阶为$p^2{q}^a$ 或$p{q}^a$ ，其中$p,q$ 素数，$a\le 2$ 是正整数，则G为M-群。

证明 因为素数幂阶群为幂零群，所以当素数$p,q$ 相同时群G是M-群。注意到，阶为$q^a$ 的群必交换，其中正整数$a\le 2$ 。因而，当群G的阶为$p^2{q}^a$ 或$p{q}^a$ 时，G的Sylow子群均交换。由引理2.4知，G是M-群。证明完成。

在命题3.1中，a换为任意正整数时，结论未必成立。例如，阶为24的SL(2,3)不是M-群。

接下来考虑群G的阶有三个素因子的情形。

命题3.2设群G的阶为$p^a{q}^b{r}^c$ ，其中$p,q,r$ 素数，$a,b,c$ 是正整数，$c\le 2$ 。若$p,q$ 不整除$kr+1$ ，$p$ 不整除$lq+1$ ，$k,l$ 是任意非负整数，则G是M-群。

证明 记

$\left|{\text{Syl}}_r\left(G\right)\right|=n_r\left(G\right)=n_r$ ，

其中${\text{Syl}}_r\left(G\right)$ 是群G的Sylow r-子群构成的集合。由引理2.1知

$n_r\equiv 1\mathrm{mod}r$ 且$n_r|\left|G\right|$

因此$n_r$ 与$r$ 互素，并迫使$n_r|p^a{q}^b$ 。又因$p,q$ 不整除$kr+1$ ，故$n_r=1$ 。从而，$\left|{\text{Syl}}_r\left(G\right)\right|=1$ ，即G只有一个Sylow r-子群，记为R。由引理2.1知，对任意的$g\in G$

$R^g=R$ .

因此$R⊲G$ 。并且注意到，R为交换群。

接下来，考虑商群$H=G/R$ ，从而$\left|H\right|=p^a{q}^b$ 。设$\left|{\text{Syl}}_q\left(H\right)\right|=n_q\left(H\right)$ ，由引理2.1知

$n_q\left(H\right)\equiv 1\mathrm{mod}q$ 且$n_q\left(H\right)|p^a$ .

又因$p$ 不整除$lq+1$ ，故$n_q\left(H\right)=1$ 。因此，H有唯一的Sylow q-子群。于是，H为超可解群。

由引理2.4知，G是M-群。证明完成。

由因数分解得，$2024=2^3\cdot 11\cdot 23$ 。注意到，2024阶群的Sylow 23-子群为正规子群。而且，88阶群在同构意义下有12个，分别是$C_{11}⋊C_8$ ，$C_{88}$ ，$C_{11}⋊Q_8$ ，$C_{11}\times D_{22}$ ，$D_{88}$ ，$C_2\times \left(C_{11}⋊C_4\right)$ ，$\left(C_{22}\times C_2\right)⋊C_2$ ，$C_{44}\times C_2$ ，$C_{11}\times D_8$ ，$C_{11}\times Q_8$ ，$C_2\times C_2\times D_{22}$ ，$C_{22}\times C_2\times C_2$ ，它们均是超可解的。从而2024阶群G满足命题3.2中的条件，因此可推得如下结论。

推论3.3 2024阶群是M-群。

接下来，本文讨论不满足命题3.2条件的$1892=2^2\cdot 11\cdot 43$ 阶群。

推论3.4 1892阶群是M-群。

证明 记

$\left|{\text{Syl}}_{43}\left(G\right)\right|=n_{43}$ ，

其中${\text{Syl}}_{43}\left(G\right)$ 是群G的Sylow 43-子群构成的集合。由引理2.1知

$n_{43}\equiv 1\mathrm{mod}43$ 且$n_{43}|\left|G\right|$

因此$n_{43}=1$ 或44。

若$n_{43}=1$ ，则$\left|{\text{Syl}}_{43}\left(G\right)\right|=1$ ，即G只有一个Sylow 43-子群，记为R。考虑商群$H=G/R$ 。注意到，$\left|H\right|=44$ 。于是，H为超可解群。由引理2.4知，G是M-群。

若$n_{43}=44$ ，则G有44个Sylow 43-子群，且任意两个不同的Sylow 43-子群的交为1。因此，G中除了阶为43的元素外还有$1892-44\cdot 42=44$ 个元素，它们恰好组成G的一个44阶子群N。注意到，N的Sylow子群必交换。由引理2.4知，G是M-群。证明完成。

事实上，所有的1892阶群的Sylow 11-子群均为正规子群，即1892阶群只有一个Sylow 11-子群。从而由上面的证明方法可得出1892阶群是M-群。

本文接下来讨论$2552=2^3\cdot 11\cdot 29$ 阶群。

推论3.4 2552阶群未必是M-群。

证明 记

$\left|{\text{Syl}}_{29}\left(G\right)\right|=n_{29}\left(G\right)=n_{29}$ ，

其中${\text{Syl}}_{29}\left(G\right)$ 是群G的Sylow 29-子群构成的集合。由引理2.1知

$n_{29}\equiv 1\mathrm{mod}29$ 且$n_{29}|\left|G\right|$

因此$n_{29}=1$ 或88。

若$n_{29}=1$ ，则G有唯一的Sylow 29-子群，记为R。考虑商群$H=G/R$ 。注意到，$\left|H\right|=88$ 。于是，由推论3.3上面的分析可知，H为超可解群。由引理2.4知，G是M-群。

若$n_{29}=88$ ，则G有88个Sylow 29-子群，且任意两个不同的Sylow 29-子群的交为1。因此，G有唯一的88阶子群N。因为N的Sylow 2-子群未必交换，所以只能得到G为可解群。证明完成。

基金项目

作者感谢河南工业大学项目(lxycxsy202424, 2024PYJH019, JXYJ2025061)，河南省自然科学面上项目(252300421983)，高校大学数学教学研究与发展中心项目(CMC20240610)以及教学创新项目(2023SJGLX173Y)。

NOTES

^*通讯作者。