1. 引言
数学建模是将现实世界中的问题抽象为数学模型，并运用数学方法和计算机技术进行求解和分析的过程，在科学研究、工程技术、经济管理等众多领域有着广泛应用。传统的数学建模教学受限于教学资源、教学方法等因素，在激发学生兴趣、提升学生实践能力等方面存在一定不足。而AI技术的飞速发展，为数学建模教学带来了新的机遇和变革，AI赋能的数学建模教学模式应运而生。
2. AI赋能教学对构建数学建模能力发挥着重要的作用
数学建模能力的核心构成要素包括问题理解与简化、模型构建与选择、模型求解与分析以及模型检验与改进等，AI技术(如大语言模型、机器学习工具)为数学建模提供了高效辅助，但也存在技术局限性与应用风险[1]。
2.1. 问题理解与简化
1. AI技术的核心作用
基于AI辅助工具的实践案例，其在数学建模的问题理解与简化中主要通过以下方式发挥价值。数据预处理自动化：自动完成数据清洗(去噪、填补缺失值)、归一化、特征工程(如相关性分析、主成分提取)，生成可视化图表(散点图、热力图)，帮助用户快速洞察数据规律。模型生成与优化：根据问题类型推荐经典模型(如LSTM用于时间序列预测、Dijkstra算法用于路径优化) [2]，并自动生成代码框架(含注释)，支持实时调试和参数调优(如通过单元测试确保逻辑正确性)。跨领域知识迁移：将成熟模型(如金融风险评估的相关性分析)迁移到新场景(如物流仓储优化)，减少重复开发，提升建模效率(案例显示大学生团队半天内完成竞赛模型构建)。
2. 技术边界
尽管AI显著提升了建模效率，但其作用仍受以下边界约束。AI仅擅长结构化、低耦合问题(如单目标优化)，对多变量高度耦合、物理机制不明确的复杂系统(如生态链动态平衡)难以拆解，需人工主导逻辑设计。若输入数据存在偏见(如样本不均衡)或噪声，AI可能生成错误模型(如基于异常金融数据的风险评估结果失真)，需人工介入数据校验。
3. 潜在风险
AI工具的便捷性可能伴随以下风险。过度依赖AI生成代码和模型，可能导致用户数学基础(如微分方程推导、算法原理)和编程能力弱化，尤其对学生群体(如数学建模竞赛参赛者)的长期培养不利。代码逻辑漏洞：尽管工具提供单元测试，但复杂场景下(如多文件联动)可能存在隐性错误(如循环边界条件缺失)，导致模型输出偏差，甚至引发决策失误(如金融投资组合风险误判)。泛化能力不足：AI生成的模型可能过拟合训练数据，在实际应用中因环境变化(如突发政策调整影响物流路径)而失效。数据隐私泄露：处理敏感数据(如用户消费记录、医疗数据)时，AI工具的云端存储或API调用可能导致信息泄露，违反数据安全规范。责任界定模糊：若AI推荐的模型导致损失(如物流优化算法增加运输成本)，用户与工具开发者的责任划分缺乏明确标准。
2.2. 模型构建与选择
1. AI技术的核心作用
在数学建模的模型构建与选择阶段，AI技术通过智能化辅助提升效率、优化决策。基于问题特征(如数据类型、目标函数)自动生成模型框架。例如，针对时间序列预测问题，AI可识别数据的周期性与趋势性，生成含差分、滑动平均的ARIMA模型结构；针对分类问题，推荐决策树、支持向量机(SVM)等算法的数学表达式与约束条件，并自动推导核心公式(如SVM的核函数变换、线性回归的最小二乘参数估计式)。复杂模型模块化拆分：将高维问题(如多目标优化、动态系统仿真)拆解为可解的子模块。例如，在供应链网络优化中，AI可将“生产–仓储–配送”全链条拆分为“产能分配模型”“库存成本模型”“路径规划模型”，并定义模块间的数学耦合关系(如库存水平对配送路径的约束方程)。
2. 技术边界
AI在模型构建与选择中的作用受限于技术原理与应用场景，主要边界包括：
依赖明确的数学逻辑输入：仅能处理目标函数、约束条件可量化的问题(如“最小化成本”“最大化收益”)，对模糊目标(如“提升系统鲁棒性”“优化用户体验”)或物理机理不明确的复杂系统(如社会舆情传播、生态链动态平衡)，无法自主定义模型核心逻辑，需人工先行拆解为可量化子问题。难以突破“数据–模型”映射的固定范式：若问题超出训练数据覆盖的场景(如用传统经济数据预测突发政策冲击下的市场波动)，AI无法创造性构建新模型(如引入“政策变量”的修正项)，只能依赖用户手动调整假设。
3. 潜在风险
“垃圾进，垃圾出”的数据依赖：若输入数据存在噪声、偏见或缺失(如用“城市样本”训练的模型直接应用于农村场景)，AI会生成“表面合理但实际无效”的模型(如预测农村房价时高估交通因素权重)，且无法自主识别数据质量问题。
过拟合与泛化能力差：为追求训练集性能，AI可能推荐过度复杂的模型(如100层神经网络拟合100个样本)，导致在测试集或实际场景中误差激增(如股票预测模型在回测时盈利，实盘时亏损)。
2.3. 模型求解与分析
1. AI技术的核心作用
在数学建模的模型求解与分析阶段，AI技术通过算法优化、自动化分析和结果解读，显著提升效率与深度。自适应算法选择与优化：根据模型类型(如线性规划、微分方程、整数规划)自动匹配高效求解算法。例如，对高维线性规划问题推荐内点法，对非线性非凸问题调用启发式算法(如遗传算法、模拟退火)，并通过动态调整参数(如种群规模、退火温度)提升收敛速度，将传统需数小时的求解过程压缩至分钟级。多维度结果评估：自动生成求解结果的统计指标(如最优解、误差范围、置信区间)，并通过可视化工具呈现关键结论(如敏感性分析曲线、参数影响热力图)。例如，在物流路径优化模型中，AI可输出“运输成本–时间”帕累托前沿曲线，帮助用户权衡决策目标。
2. 技术边界
AI在模型求解与分析中的作用受限于以下核心边界。对无解析解的NP难问题(如旅行商问题)，AI仅能提供近似解，无法保证全局最优；对强约束物理问题(如量子力学薛定谔方程)，代理模型可能因简化假设导致物理意义失真。仅能求解输入格式明确的结构化模型(如目标函数、约束条件可量化)，对模糊模型(如“提升系统稳定性”)或逻辑矛盾模型(如目标函数与约束冲突)无法自主处理，需人工重构模型。无法理解模型背后的物理/工程机理，例如在航天器轨道设计中，AI可求解轨道方程，但无法自主考虑“大气层摩擦系数”“引力摄动”等隐性物理约束，需领域专家定义参数范围。
3. 潜在风险
为追求速度选择低精度算法(如用梯度下降替代精确线搜索)，可能导致结果偏离真实最优解(如工程优化中因近似误差导致结构强度不足)。
数值稳定性问题：AI自动选择的算法可能对病态矩阵(如条件数过大的线性方程组)敏感，导致求解过程发散或结果震荡，需人工介入调整数值方法(如正则化处理)。AI可能将“相关性”误判为“因果关系”，例如在销售预测模型中，错误将“冰淇淋销量上升”归因于“空调销量增加”(实际两者均受气温影响)，导致决策偏差。
2.4. 模型检验与改进
1. AI技术的核心作用
模型检验与改进是数学建模的“质量控制”环节，AI通过自动化分析、多维度验证和动态反馈，显著提升模型可靠性与迭代效率。AI可自动检查模型数学逻辑的一致性，例如验证目标函数与约束条件是否冲突(如“最大化收益”与“资源总量限制”是否存在可行解)、公式推导是否正确(如微分方程求解过程的符号运算验证)、代码实现是否匹配数学表达(如通过单元测试检测循环边界条件、矩阵维度匹配问题)。自动执行交叉验证(如k-fold验证)、留出法等测试，生成精度指标(RMSE、MAE、准确率)和稳健性报告(如不同数据集划分下的性能波动)，快速定位模型过拟合/欠拟合问题(如训练集精度95%而测试集仅60%)。
2. 技术边界
AI在模型检验与改进中的作用受限于以下核心边界，无法替代人类主导地位。仅能通过数据规律判断模型“是否好用”，无法验证模型是否符合客观规律。例如，AI可能认为“用太阳黑子数量预测股票价格”的模型精度很高，但无法识别其“伪相关性”本质；在物理建模中，AI无法自主判断“能量守恒定律是否被违反”。对多因素耦合导致的错误(如“数据偏差 + 参数错误 + 结构缺陷”共同引发的模型失效)，AI仅能定位表层问题(如“参数设置不合理”)，无法追溯深层逻辑矛盾(如“目标函数定义偏离实际业务需求”)，需人工介入全局分析。
3. 潜在风险
AI可能生成“统计指标合格但实际无效”的模型。例如，在医疗诊断模型中，AI通过优化准确率指标将“罕见病样本”全部预测为“健康”(因样本占比仅0.1%，不影响整体准确率)，但该模型在实际应用中会漏诊致命疾病。过度依赖自动化检验可能忽略“软约束”(如模型的可解释性、伦理合规性)。例如，AI推荐的高精度神经网络模型因“黑箱特性”无法用于司法量刑辅助(需明确逻辑推导过程)。
AI基于历史数据推荐的改进方案可能过度适配训练数据分布，导致“改进后短期性能提升但长期泛化能力下降”。例如，在金融预测模型中，AI为降低误差加入过多“历史偶然因素”(如某次政策突发调整的特殊变量)，导致模型在新形势下失效。
3. AI赋能数学建模教学的优势
3.1. 个性化学习支持
AI能够通过分析学生的学习数据，如学习进度、答题正确率、在建模各环节的表现，为每个学生制定个性化的学习路径[3]。对于在模型假设环节存在困难的学生，AI可以推送相关的理论知识和案例分析；对于求解算法掌握不牢的学生，提供针对性的算法练习和讲解视频。这种个性化学习支持能够满足不同学生的学习需求，提高学习效率。
3.2. 丰富的教学资源
AI可以整合海量的数学建模相关资源，包括经典案例库、前沿研究成果、各类建模工具和软件教程等[4]。例如，通过自然语言处理技术，AI能够从大量的学术文献中提取有价值的建模方法和思路，并以简洁易懂的方式呈现给学生。同时，AI还能生成虚拟的建模场景和问题，为学生提供更多实践机会，拓宽学生的视野。
3.3. 智能辅导与反馈
在数学建模过程中，学生难免会遇到各种问题。AI智能辅导系统可以实时解答学生的疑问，提供详细的解题思路和步骤。当学生构建的模型出现逻辑错误或不符合实际情况时，AI能够及时指出问题所在，并给出改进建议。此外，AI还可以对学生的建模作业和报告进行自动批改和评价，从模型的合理性、求解的准确性、结果的实用性等多个维度给出客观反馈，帮助学生及时了解自己的学习情况。
3.4. 模拟与预测功能
AI具有强大的模拟和预测能力，这在数学建模教学中非常有用。例如，在建立经济预测模型或环境变化模型时，AI可以根据输入的初始数据和参数，快速模拟出不同条件下的发展趋势和结果。学生可以通过观察这些模拟结果，深入理解模型的运行机制和影响因素，同时也可以对模型的准确性进行验证和优化。
4. AI赋能的数学建模教学模式构建
结合建构主义学习理论、认知负荷理论与OBE (成果导向教育)理念，可设计“AI赋能–人类主导”的混合式教学模式。
4.1. 课前准备阶段
学习资源推送：教师利用AI教学平台，根据教学大纲和学生的前期学习情况，推送与本次建模主题相关的预习资料，如基础知识讲解视频、简单案例分析等[5]。AI系统可以根据学生的浏览记录和反馈，调整后续资源的推送内容和难度。
问题情境创设：AI生成具有现实背景和挑战性的数学建模问题情境，以图文、视频或虚拟场景的形式呈现给学生。例如，通过虚拟现实技术让学生身临其境地感受城市交通拥堵问题，激发学生对问题的兴趣和探索欲望。
4.2. 课堂教学阶段
小组协作学习：将学生分成小组，利用AI协作工具进行建模讨论和合作。AI可以实时记录小组讨论的内容和进度，分析每个学生的参与度和贡献，为教师提供评估依据。同时，AI还可以在小组遇到困难时，提供一些启发性的问题和建议，促进小组内部的交流和合作[6]。
实时互动与指导：教师在课堂上通过AI教学平台与学生进行实时互动，解答学生的疑问，引导学生深入思考。AI可以辅助教师进行课堂管理，如统计学生的出勤情况、监控学生的注意力集中程度等。当发现学生出现注意力不集中或理解困难时，及时提醒教师调整教学节奏和方法。
模型构建与演示：学生利用AI支持的建模软件和工具进行模型构建。AI可以提供模型构建的模板和示例，帮助学生快速上手。同时，AI还可以实时展示模型的运行过程和结果，让学生直观地观察模型的变化和影响。例如，在建立物理运动模型时，AI可以动态演示物体的运动轨迹和受力情况。
4.3. 课后实践与拓展阶段
项目实践：教师布置具有实际意义的数学建模项目，让学生运用所学知识和AI工具进行独立实践。AI可以为学生提供项目实践的指导和反馈，帮助学生解决在实践中遇到的问题。同时，AI还可以对学生的项目成果进行评估和排名，激励学生积极参与实践。
知识拓展与更新：AI持续跟踪数学建模领域的最新研究成果和发展动态，为学生推送相关的学术文章、研究报告和前沿技术介绍。鼓励学生利用AI工具进行自主研究和探索，培养学生的创新能力和终身学习意识。
5. AI赋能数学建模教学面临的挑战及应对策略
5.1. 技术依赖问题
过度依赖AI技术可能导致学生缺乏独立思考和解决问题的能力。应对策略是在教学过程中，注重引导学生理解数学建模的基本原理和方法，让学生明白AI只是一种辅助工具，而不能替代人类的思维和创造力。同时，合理安排AI技术在教学中的应用环节和程度，避免学生过度依赖。
5.2. 数据隐私与安全
AI教学需要收集和分析学生的大量学习数据，这就涉及到数据隐私和安全问题[7]。学校和教师应建立健全的数据管理制度，确保学生数据的保密性和安全性。在收集和使用学生数据时，应获得学生的明确同意，并严格按照相关法律法规进行操作。
5.3. 教师技术能力要求
AI赋能的数学建模教学对教师的技术能力提出了更高的要求。学校应加强对教师的培训，提高教师运用AI技术和工具的能力[8]。同时，鼓励教师开展教学研究和创新实践，探索更适合AI赋能的数学建模教学方法和模式。
6. 结论
AI赋能的数学建模教学模式为传统数学教学带来了新的活力和变革。通过个性化学习支持、丰富的教学资源、智能辅导与反馈以及模拟与预测功能等优势，能够有效提高学生的学习兴趣和实践能力，培养学生的创新思维和解决实际问题的能力。然而，在实施过程中也面临着技术依赖、数据隐私与安全以及教师技术能力要求等挑战。只有通过合理的应对策略，充分发挥AI技术的优势，克服其带来的问题，才能实现AI赋能的数学建模教学的可持续发展，为培养适应时代需求的高素质人才做出贡献。
基金项目
岭南师范学院2021年度校级教育教学研究和改革资助项目；岭南师范学院2022年度校级教育教学研究和改革资助项目；岭南师范学院2023年度校级教育教学研究和改革资助项目。