高等数学中微积分教学优化与实践研究

Optimization and Practical Research on Calculus Teaching in Higher Mathematics

摘要: 微积分作为高等数学的核心内容，是理工科学生后续专业学习的重要基础。然而，传统微积分教学存在概念抽象化、理论与应用脱节、学生学习主动性不足等问题，导致教学效果不佳。本文结合教学实践，从教学内容重构、教学方法创新、实践教学强化三个维度提出优化策略：通过“问题驱动”重构知识体系，弱化抽象概念的理解难度；引入“案例教学”和“多媒体互动”提升课堂参与度；设计分层实践任务实现理论与应用的衔接。最后，通过教学实验验证优化策略的有效性，结果表明，该策略能显著提高学生的微积分成绩及问题解决能力，为高等数学教学改革提供参考。

Abstract: As the core content of Higher Mathematics, Calculus serves as a crucial foundation for science and engineering students in their subsequent professional studies. However, traditional Calculus teaching has problems such as abstract concepts, disconnection between theory and application, and insufficient learning initiative of students, which lead to poor teaching effects. Combining teaching practice, this paper proposes optimization strategies from three dimensions: reconstruction of teaching content, innovation of teaching methods, and strengthening of practical teaching. Specifically, it reconstructs the knowledge system through “problem-driven” approach to reduce the difficulty of understanding abstract concepts; introduces “case teaching” and “multimedia interaction” to improve classroom participation; and designs hierarchical practical tasks to connect theory with application. Finally, the effectiveness of the optimization strategies is verified through teaching experiments. The results show that these strategies can significantly improve students’ Calculus scores and problem-solving abilities, providing a reference for the teaching reform of Higher Mathematics.

1. 引言

微积分自17世纪由牛顿和莱布尼茨创立以来，始终是数学学科的重要分支，也是物理学、工程学、经济学等领域的核心工具。在高等教育中，《微积分》课程不仅承担着传授数学知识的任务，更肩负着培养学生逻辑思维、抽象思维和应用能力的使命[1] [2]。然而，当前微积分教学仍面临诸多挑战：一方面，微积分中的极限、导数、积分等核心概念具有高度抽象性，传统“定义–定理–证明–例题”的教学模式易使学生陷入“机械记忆”，难以理解概念的本质内涵；另一方面，教学内容与实际应用场景脱节，学生无法将所学知识转化为解决专业问题的能力，导致学习兴趣下降。

1.1. 国内外研究现状与评述

针对传统微积分教学的痛点，国内外学者已开展多维度探索，形成了丰富的研究成果。

1.1.1. 国外研究

从理论建构到实践验证形成完整体系。Dubinsky (2001)提出微积分概念学习的APOS理论，强调学生需通过“动作(Action)-过程(Process)-对象(Object)-图式(Schema)”的认知进阶，才能真正掌握抽象概念，该理论为“问题驱动”教学提供了认知心理学依据[3]；Tall (2013)通过实证研究指出，利用GeoGebra、Mathematica等工具实现微积分可视化，可帮助学生跨越“过程–对象”的认知障碍，其研究数据显示，可视化教学能使概念理解正确率提升35%以上[4]；Sfard (2019)从“数学化”视角出发，主张将微积分教学与真实问题情境结合，认为“情境化学习”可使学生的知识迁移能力提升28% [5]。

1.1.2. 国内研究

聚焦本土化实践与方法创新。张颖等(2022)基于APOS理论，将“生活案例”(如电梯运行速度、人口增长模型)融入微积分教学，实验结果显示，学生对导数概念的理解深度显著提升(后测正确率78% vs对照组52%) [6]；李建国(2023)结合国内高校学情，开发了“数学软件 + 在线平台”的混合教学模式，通过GeoGebra动态演示定积分“分割–求和”过程，使学生的课堂参与度从40%提升至75% [7]；陈建功等(2021)基于情境认知理论，将机械工程中的“应力计算”、经济学中的“边际成本分析”等专业案例融入教学，验证了“学科交叉案例”对应用能力的提升作用[8]；王明亮等(2023)尝试将翻转课堂与问题驱动结合，在多元微积分教学中，通过“课前自主探究 + 课上问题研讨”，使学生的期末应用题得分率提升30% [9]。

现有研究虽取得一定成效，但仍存在两点不足：一是理论支撑碎片化，多数研究仅聚焦单一教学方法(如可视化、案例教学)，未结合建构主义、情境认知等理论形成系统的教学体系；二是实验设计严谨性不足，部分研究缺乏前测验证基线一致性，或未控制教师、课外学习等干扰变量，导致结果的可重复性较弱。基于此，本文在借鉴已有研究的基础上，以建构主义“主动建构”和情境认知“真实情境”为理论核心，从“内容–方法–实践”三个维度构建一体化教学优化方案，并通过严格控制的教学实验验证其有效性。

2. 传统微积分教学的问题分析

2.1. 概念教学：抽象化程度高，理解门槛高

微积分的核心概念(如极限、导数、定积分)均建立在严格的数学逻辑之上，传统教学中多直接呈现概念的形式化定义，缺乏对概念“生成过程”的解释。例如，在讲解“导数的定义”时，教师通常直接给出极限表达式：

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$ ，

但未充分结合“瞬时速度、切线斜率”等具体背景，导致学生仅能记忆公式，无法理解导数“描述变化率”的本质。这种“重形式、轻本质”的教学方式，使得抽象概念成为学生学习的“第一道障碍”。

2.2. 教学方法：单向灌输为主，互动性不足

传统微积分课堂以教师“讲授”为核心，学生处于被动接受状态。一方面，教师为完成教学进度，常采用“满堂灌”的方式，缺乏对学生学习反馈的关注；另一方面，课堂互动多局限于“提问—回答”的简单形式，且问题多为“是否理解”“公式是否记住”等浅层问题，难以激发学生的深度思考。例如，在讲解“定积分的几何意义”时，教师仅通过PPT展示“曲边梯形面积”的计算过程，未引导学生自主探究“分割–近似–求和–取极限”的思想，导致学生无法体会定积分的本质是“无限累加”。

2.3. 实践环节：理论与应用脱节，能力培养薄弱

传统微积分教学注重理论推导和习题训练，但习题多为“套用公式”的计算题(如求函数的导数、计算定积分)，缺乏与实际问题的结合。例如，学生能熟练计算${\displaystyle {\int }_0^1{x}^2}dx$ ，却无法利用定积分解决“不规则图形面积计算”“变力做功”等实际问题。这种“重理论、轻应用”的教学模式，导致学生的“知识迁移能力”和“问题解决能力”无法得到有效培养，与高等教育“应用型人才培养”的目标脱节[6]。

3. 微积分教学优化策略

针对传统教学的问题，本文从“教学内容重构”“教学方法创新”“实践教学强化”三个维度提出优化策略，构建“低门槛理解、高互动参与、强应用导向”的微积分教学体系[10]。

3.1. 教学内容重构：以“问题驱动”弱化概念抽象性

“问题驱动”[11]教学的核心是将抽象概念转化为“可感知、可探究”的具体问题，通过问题的解决引导学生自主构建知识体系。以“定积分的概念”教学为例，可按以下步骤重构内容。

(一) 提出实际问题，引入概念背景。教师首先提出实际问题：“如何计算由曲线$y=x^2$ 、$x$ 轴、直线$x=1$ 围成的曲边梯形的面积？”引导学生思考：“该图形不是规则图形，无法用矩形、三角形面积公式计算，如何通过‘已知图形’近似求解？”。

(二) 拆解问题步骤，渗透数学思想。引导学生自主探究“分割–近似–求和–取极限”的过程。

(1) 分割。将区间$\left[0,1\right]$ 等分为n个小区间$\left[x_{i-1},x_i\right],x_i=\frac{i}{n},i=1,2,\dots ,n,$ 每个小区间的长度为$\Delta x=\frac{1}{n}$ ；

(2) 近似。在每个小区间$\left[x_{i-1},x_i\right]$ 上，用矩形面积近似曲边梯形的面积，矩形的高取区间右端点的函数值$f\left(x_i\right)={\left(\frac{i}{n}\right)}^2$ ，则第$i$ 个矩形的面积为$\Delta S_i\approx {\left(\frac{i}{n}\right)}^2\cdot \frac{1}{n}$ ；

(3) 求和。总面积的近似值为所有矩形面积之和：$S_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n\Delta }{S}_i\approx {\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2}\cdot \frac{1}{n}$ ；

(4) 取极限。当分割次数$n$ 无限增大(即$n\to \infty$ )时，近似值$S_n$ 趋近于精确值，即$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ 。

(三) 抽象概念定义，强化本质理解

在学生自主探究“曲边梯形面积计算”的基础上，教师进一步抽象出定积分的定义：“对于区间$\left[a,b\right]$ 上的连续函数$f\left(x\right)$ ，通过‘分割–近似–求和–取极限’得到的极限值，称为函数$f\left(x\right)$ 在$\left[a,b\right]$ 上的定积分，记为${\displaystyle {\int }_a^{b}f}\left(x\right)dx$ ”。此时，学生已通过实际问题理解定积分的本质是“无限累加”，再接触形式化定义时，理解门槛显著降低。

3.2. 教学方法创新：融合“案例教学”与“多媒体互动”

3.2.1. 案例教学：搭建理论与应用的桥梁

案例教学以“真实问题”为载体，将微积分知识与专业场景结合。例如，在讲解“导数的应用—极值问题”时，可引入经济学案例：“某企业生产某产品的成本函数为$C\left(x\right)=2x^2+3x+10$ ($x$ 为产量)，销售收入函数为$R\left(x\right)=10x-0.1x^2$ ，如何确定产量$x$ ，使企业的利润最大？”

教学过程中，教师引导学生完成以下步骤。

(1) 建立利润函数。利润$L\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)$ ，代入函数表达式得$L\left(x\right)=-2.1x^2+7x-10$ ；

(2) 求导数找临界点。计算$L\text{'}\left(x\right)=-4.2x+7$ ，令$L\text{'}\left(x\right)=0$ ，解得$x=\frac{7}{4.2}\approx 1.67$ ；

(3) 判断极值类型。通过二阶导数$L\text{'}\text{'}\left(x\right)=-4.2<0$ ，确定该临界点为极大值点，即产量为1.67时利润最大。

通过该案例，学生不仅掌握了“利用导数求极值”的方法，还理解了微积分在经济学中的应用，实现了“知识学习”与“应用能力”的同步提升。

3.2.2. 多媒体互动：实现抽象知识的可视化

利用数学软件(如GeoGebra、Mathematica)实现微积分过程的可视化，帮助学生直观理解抽象概念。例如，在讲解“极限的概念”时，教师可通过GeoGebra动态展示函数$f\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}$ 当$x\to 0$ 时的变化过

程：当$x$ 从左侧趋近于0时，函数值逐渐趋近于1；当$x$ 从右侧趋近于0时，函数值同样逐渐趋近于1；随着$x$ 与0的距离不断缩小，函数图像逐渐逼近直线$y=1$ 。

通过动态演示，学生能直观看到“极限是函数的趋势”，而非“函数在某点的取值”，从而突破传统教学中“仅靠想象理解极限”的难点。此外，教师还可利用在线互动平台(如雨课堂、学习通)设计“即时测验”“小组讨论”等环节，实时获取学生的学习反馈，调整教学节奏。

3.3. 实践教学强化：设计分层实践任务

为满足不同基础学生的需求，设计“基础型–综合型–创新型”三层实践任务，逐步提升学生的应用能力。

3.3.1. 基础型任务：巩固理论知识

基础型任务以“验证性”为主，要求学生利用微积分知识解决简单问题，例如：

(1) 计算函数$f\left(x\right)=x^3-3x^2+2x$ 的导数，并找出其单调区间；

(2) 利用定积分计算由曲线$y=\sin x$ 、$x$ 轴、直线$x=0$ 和$x=\pi$ 围成的图形面积。

此类任务旨在帮助学生巩固理论知识，掌握基本方法。

3.3.2. 综合型任务：培养知识迁移能力

综合型任务以“应用性”为主，要求学生结合专业背景解决实际问题，例如：

(1) (物理方向)已知物体的速度函数$v\left(t\right)=t^2+2t$ ($t$ 为时间)，求物体在$t=0$ 到$t=3$ 内的位移；

(2) (工程方向)某圆柱形储罐的底面半径为2 m，高为5 m，若以$0.1{\text{m}}^3/\text{s}$ 的速度向储罐内注水，求水位上升速度(提示：利用相关变化率)。

此类任务旨在培养学生的“知识迁移能力”，实现理论与应用的衔接。

3.3.3. 创新型任务：提升问题解决能力

创新型任务以“探究性”为主，要求学生自主设计方案解决复杂问题，例如：

(1) 设计一个“利用微积分计算不规则零件体积”的方案，包括测量方法、公式推导、数值计算(可借助数学软件)；

(2) 调研“微积分在人工智能中的应用”(如梯度下降算法)，撰写一篇小型研究报告，阐述微积分在其中的作用。

此类任务旨在提升学生的“自主探究能力”和“创新能力”，符合高等教育“高素质人才培养”的目标。

4. 教学实验与效果分析

为验证教学优化策略的有效性，本文以某高校2024级理工科两个班级为实验对象，其中实验班(52人)采用本文提出的优化策略，对照班(50人)采用传统教学模式，实验周期为一学期(16周)。

4.1. 实验指标

实验指标包括“学业成绩”和“能力评价”两类。学业成绩包括期中、期末考试成绩(满分100分)，考查学生对微积分知识的掌握程度；能力评价通过“实践任务完成质量”和“问卷调查”评估学生的应用能力和学习兴趣，其中实践任务完成质量由3名教师按“优秀(90~100分)、良好(80~89分)、合格(60~79分)、不合格(<60分)”四级评分，问卷调查采用李克特5点量表(1 = 非常不同意，5 = 非常同意)。

4.2. 实验结果

4.2.1. 学业成绩对比

Table 1. Academic performance comparison table

表1. 学业成绩对照表

班级	人数	期中平均分(标准差)	期末平均分(标准差)	总平均分(标准差)
实验班	52	78.6 (8.2)	81.2 (7.9)	80.0 (7.5)
对照班	50	70.3 (9.5)	72.5 (9.1)	71.4 (8.8)

由表1可知，实验班的期中、期末及总平均分均显著高于对照班，且标准差更小，说明优化策略能有效提升学生的学业成绩，且成绩分布更稳定。

4.2.2. 能力评价对比

实践任务完成质量：实验班优秀率为42.3% (22人)，良好率为46.2% (24人)，合格率为11.5% (6人)，不合格率为0；对照班优秀率为18.0% (9人)，良好率为36.0% (18人)，合格率为40.0% (20人)，不合格率为6.0% (3人)。实验班的实践任务完成质量显著高于对照班。

问卷调查结果：实验班在“对微积分学习感兴趣”“能将微积分知识应用于实际问题”“认为微积分对专业学习有帮助”三个维度的平均分分别为4.2、4.1、4.3，均显著高于对照班的3.1、2.8、3.0，说明优化策略能有效提升学生的学习兴趣和应用能力。

4.3. 结果分析

实验结果表明，本文提出的教学优化策略能有效解决传统微积分教学的问题。

(1) “问题驱动”的内容重构弱化了抽象概念的理解门槛，使学生能通过实际问题理解概念本质，从而提升学业成绩；

(2) “案例教学”与“多媒体互动”增强了课堂互动性，激发了学生的学习兴趣，使学生从“被动接受”转变为“主动探究”；

(3) 分层实践任务强化了实践教学，使学生的“应用能力”和“创新能力”得到有效培养，符合高等教育的人才培养目标。

5. 研究局限性与未来展望

5.1. 研究局限性

尽管本研究通过严格的实验设计验证了优化策略的有效性，但仍存在以下不足，需在后续研究中改进。

(1) 样本代表性不足。仅选取某高校2024级两个理工科班级(n = 102)，样本量较小，且局限于江西地区的应用型高校，结果可能无法推广到其他类型院校(如综合性大学、高职院校)或非理工科专业(如经济学、管理学)。

(2) 研究周期较短。实验仅持续一学期(聚焦一元函数微积分)，无法验证优化策略对长期学习效果的影响(如后续“多元微积分”“微分方程”课程中的知识迁移，或专业课程中的应用)。

(3) 评价工具单一。能力评价以定量数据(考试、问卷、评分)为主，缺乏质性数据(如学生访谈、学习反思日志、课堂观察记录)，难以全面捕捉学生的认知变化和学习体验(如“问题驱动如何影响思维方式”)。

(4) 控制变量不全面。虽控制了教师、进度等变量，但未完全控制学生的“个体差异变量”(如数学学习焦虑、自主学习能力)和“环境变量”(如家庭支持、同伴影响)，这些因素可能对实验结果产生潜在干扰。

5.2. 未来展望

基于上述局限性，未来研究可从以下方向展开。

(1) 扩大研究范围。增加样本量(如选取多所高校、不同专业的学生)，验证策略在不同学情、不同专业中的适用性，形成“分专业、分层级”的差异化教学方案。

(2) 延长研究周期。开展“追踪研究”(如持续2~3年)，关注学生在后续课程(如《工程力学》《微观经济学》)中对微积分知识的应用情况，评估策略的长期效果。

(3) 丰富评价方法。结合“定量 + 质性”方法，通过半结构化访谈(如“你认为案例教学对你的帮助是什么？”)、学习日志分析(如“记录探究定积分的思考过程”)、课堂录像编码(如“分析学生的互动频率和深度”)，更全面地评估策略的作用机制。

(4) 融合新型教学模式。将优化策略与“翻转课堂”“混合式教学”“人工智能辅助教学”结合，例如，利用AI平台为学生推送个性化的分层实践任务，或通过翻转课堂实现“课前自主探究问题–课上深度研讨”，进一步提升教学效果。

(5) 强化理论深度。结合更多教育理论(如认知负荷理论、自我决定理论)，优化策略设计(如“如何控制问题驱动的认知负荷，避免学生焦虑”)，构建更完善的微积分教学理论体系。