人教A版和北师大版教材比较——以三角函数为例

Comparison of People’s Education Press Edition A and Beijing Normal University Edition Textbooks—Taking Trigonometric Functions as an Example

摘要: 选取人教A版和北师大版三角函数部分，分别从教材整体结构和教材知识内容两个大方面进行对比研究。两者都很好地遵循了新课程标准的精神和要求。同时也各自展现出了一些独特的编写特色，在内容安排上既保持了一致性又不乏创新之处。期望能够为广大一线教育工作者提供有价值的借鉴和启示，帮助他们在实际教学工作中更好地体现新课标的理念，引导学生掌握扎实的数学基础。

Abstract: This study compares the trigonometric functions sections of the People’s Education Press Edition A and Beijing Normal University textbooks, examining both the overall structure and the knowledge content. Both editions effectively adhere to the spirit and requirements of the new curriculum standards while showcasing unique editorial characteristics. Their content arrangements maintain consistency while incorporating innovative elements. This study aims to provide valuable insights for frontline educators, helping them better implement the new curriculum standards in their teaching practices and guide students toward mastering solid mathematical foundations.

1. 引言

自《普通高中课程标准(2017版)》(以下简称“课标”)正式发布以来，我国的高中数学教学领域经历了一系列的变革与发展[1]。这份文件不仅为高中数学课程的制定提供了指导方针，也对教科书的编写提出了新的要求。在教育部的新一轮课标更新中，特别强调了核心素养的重要性，要求教材编写要紧密围绕这一核心展开，确保学生能够在数学学习过程中获得必要的能力和素质。为响应这一要求，教材的编写者们纷纷致力于对现行教科书进行修改和完善，力求在新课标框架下实现教育的最优化。

三角函数作为中学数学知识体系中的一个关键板块，它不仅承载着代数、几何等多个数学分支的综合运用，更是历年高考数学科目中的重点考查对象。在这一背景下，我们选取了两个具有代表性的高中数学教材版本——2019年北师大版(以下简称“北师大版”)和2019年人教A版(以下简称“人教A版”)，进行深入分析和对比研究。本研究引入认知负荷理论与课程内容呈现理论作为核心分析框架：认知负荷理论聚焦教材编排与学生工作记忆容量的适配性，强调通过合理知识组织降低无关认知负荷，提升学习效率；课程内容呈现理论则关注知识传递的逻辑性、情境性与探究性，要求内容设计既符合学科知识结构，又契合学生认知发展规律。后续分析将围绕这两大理论展开，从“为什么”的层面解释两版教材设计差异的合理性与待优化方向，使评价标准更具一致性与理论支撑。通过细致的比较研究，我们期望能够为广大一线教育工作者提供有价值的借鉴和启示，帮助他们在实际教学工作中更好地体现新课标的理念，引导学生掌握扎实的数学基础。

2. 研究方法

此文章采用了多种学术研究方法，有文献分析法、内容分析法、比较研究法，以期全面而细致地探究人教版A版与北师大版高中数学教材在三角函数教学方面的异同。文献分析通过检索中国知网、万方等学术数据库，收集“高中数学教材比较”“三角函数教学”“新课标教材编写”等主题的相关文献，梳理现有研究成果与理论框架，为教材对比分析提供理论支撑与研究方向，确保研究的科学性与前瞻性；内容分析法是以两版教材的三角函数章节为分析对象，从教材整体结构与知识内容呈现两个维度，对教材文本分散的信息整合成一个连贯的知识体系，清晰呈现两版教材的编写特色与差异；比较研究法指的是将两种不同版本教材的教材整体结构以及教材知识内容进行对比，识别出各自的优势与不足。通过这些综合的研究手段，揭示两个版本教材中关于三角函数知识点的异同，以及它们如何影响学生的学习体验和数学能力的发展。

3. 研究过程

3.1. 教材整体结构比较

科学的认知是学生对知识的有效接收的先决条件，由于教科书结构的逻辑性、连贯性等都会对学生建构系统的形成以及核心素养产生影响，因此对高中数学教科书的编排结构进行了对比分析[2]。结合认知负荷理论来看，教材结构的逻辑性直接影响学生的认知负荷水平：逻辑连贯的结构可降低内在认知负荷，帮助学生高效建构知识体系；反之则可能增加认知负担，阻碍核心素养发展。

3.1.1. 章节编排比较

人教版与北师大版章节编排比较如图1所示。在深入分析人教A版和北师大版高中数学教材的三角函数部分时，章节编排的比较是理解两者教学逻辑的关键环节。通过细致的对比研究，我们可以清晰地看到两个版本在整体结构上的共性与差异，这些发现不仅有助教育工作者优化教学策略，还能更好地落实新课标的核心素养要求。

Figure 1. Arrangement of the trigonometric function chapter in people’s education A edition

图1. 人教A版三角函数章节编排

1) 章节编排的共同点

根据图1和图2可知，人教A版和北师大版的数学教材在三角函数领域的教学内容有着明显的共同之处。这两个版本的教材都以单位圆作为出发点，通过引入任意角以及弧度制来阐释三角函数的概念。接着，逐步展开对三角函数图像的展示，并详细讲解其性质，旨在帮助学生们更好地理解和掌握这些复杂的数学概念。通过这样的教学顺序，教材确保了学生能够系统地构建起三角函数的理论基础，为进一步深入学习打下坚实的基础。从课程内容呈现理论来看，这种概念→图像→性质的编排顺序，符合从具体到抽象、从基础到进阶的知识组织逻辑，能够顺应学生的认知发展规律，为后续三角恒等变换与应用奠定稳定的知识基础。

Figure 2. Arrangement of the trigonometric function chapter in the Beijing Normal University edition

图2. 北师大版三角函数章节编排

2) 章节编排的不同点

尽管人教A版和北师大版教材在三角函数部分的内容和逻辑相似，但两者在教学侧重点上存在显著差异。人教A版教材强调章节的整体性，注重知识点的有机整合：通过统一的引入句串联内容，确保学生从全局视角理解三角函数的联系与应用价值，从而减少认知断层。相比之下，北师大版教材聚焦概念形成的过程，采用探究性学习方式：从具体问题情境出发，引导学生逐步推导规则，强调逻辑推理的发展脉络。这种过程导向方法通过“问题提出–抽象概括”模块，培养学生独立思考和问题解决能力，但可能增加初学者的认知负担[3]。

3.1.2. 体例结构比较

人教A版和北师大版教材三角函数部分体例结构如图3、图4所示。教材的体例结构是知识呈现与教学实施的重要载体。通过对比分析人教A版与北师大版高中数学教材三角函数部分的体例设计，可见二者在框架逻辑上既保持高度一致，又因编写理念差异呈现鲜明特色。

Figure 3. The structure of the People’s Education Press edition A

图3. 人教A版体例结构

Figure 4. The structure of the Beijing Normal University edition

图4. 北师大版体例结构

1) 体例结构的共同点

通过对比分析可知，两个版本的教材对三角函数这一部分的内容编排的体例结构在大体框架上保持一致性。具体来说，两版教材均是以章头图和章前言展开，接着是具体的章节，再是拓展栏目，都设置了阅读思考和信息技术应用内容，能拓展学生的发散性思维，促进数学学科核心素养教学活动；最后，两版教材都设置了是小结和习题对本章内容进行巩固。从课程内容呈现理论来看，这种导入–讲解–拓展–巩固的闭环体例，符合知识传递–思维拓展–应用强化的教学逻辑，为学生提供了多层次的学习支持，有助于实现从知识理解到能力提升的转化。

2) 体例结构的不同点

人教A版教材精心设计，每一章节的开始都融入了富有启发性和指导意义的引入句，这些句子不仅为学生提供了明确任务的轮廓，也对他们即将探索的新领域进行了巧妙的铺垫和引导，旨在激发学生的好奇心和学习热情。北师大版教材的栏目设计编排了一系列符合学生学习习惯和需求的学习模块。这些模块巧妙地将教学内容与实际操作相结合，特别是其中的“实例分析”“问题提出”“抽象概括”以及“分析理解”等环节，旨在引导学生主动探究和思考。通过这种“以自学为本”的学习方式，学生们可以在实践中深化理解，从而培养他们解决实际问题的能力。这样的设置不仅有助于提升学习效率，还能激发学生对知识的好奇心和探索欲，使得学习过程变得更加生动有趣[4]。

3.2. 教材知识内容比较

两版教材中，关于三角函数的内容在整体上仍然维持了一种相对统一的结构与框架。但是，具体到某些细节之处，它们之间存在着一些细微的差别和调整。为了更好地理解这些差异，我们将深入探讨两个具有显著代表性的例子。

3.2.1. 三角公式导入的比较

两角和与差的余弦公式在三角函数知识体系中堪称基石性存在。它上承基本三角函数的定义与性质，下启倍角公式、和差化积等复杂变换，是串联知识网络的动态纽带。其推导中蕴含的角度拆分思想与代数恒等变形技巧，不仅为后续学习三角函数图像分析、解三角形等内容提供方法支撑，更能潜移默化培养逻辑推理与数学建模能力。作为从基础到进阶的重要过渡，对该公式的研究既是完善知识体系的必然要求，也是发展数学核心素养的关键环节，如表1是对两版教材中三角公式导入的比较。

Table 1. Comparison of the introduction of trigonometric formulas in People’s Education Press and Beijing Normal University edition

表1. 人教版和北师大版三角公式导入的比较

教材版本	导入方式
人教A版	情景导入：以教材本章开头的电视塔为实际问题引出两角和差三角函数值计算
北师大版	复习导入：由已学过的向量数量积引出两角差的三角函数值计算

根据表1并结合教材内容对比发现，人教版A版的教材对于三角函数公式和定理的阐述更详尽，不仅注重理论知识的引入，更注重将抽象概念与实际应用相结合。以电视塔作为教学案例，巧妙地引出了关于两个角和差如何计算出三角函数值的问题。借助单位圆，在单位圆的中建立起两个角的差值，进而画出余弦线，教师引导学生通过向量法来推导出三角函数的计算公式，让学生们体会到数学学习不仅仅是记忆公式，更重要的是理解背后的逻辑和思想。这种教学策略不仅加深了学生对三角函数的理解，也提升了他们解决实际问题的能力。

北师大版教材在处理三角公式的导入时，直接使用向量法进行公式推导。与人教A版教材相比，它在呈现过程中显得不够明确和细致，缺乏对逻辑推理和论证过程的充分解释。这种做法可能会让学生感到困惑，难以把握公式背后的本质含义，也无法从中学习到更深层次的数学思想和方法。因此，北师大版在表达上存在一定程度的不严谨之处，这对于期望通过教科书来深入理解数学概念的学生来说，可能是一种挑战[5]。

3.2.2. 函数$y=Asin\left(\omega x+\phi \right)$ 的图像变换的内容比较

研究函数的图像不仅是学习函数理论的基础，更是深入理解函数本质的关键路径。函数图像以直观的几何形式，将抽象的函数关系具象化，能清晰呈现函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等核心性质。尤其在三角函数领域，通过图像可直观观察周期性、对称性及参数变化对函数形态的影响，这不仅帮助学生快速把握三角函数的本质特征，更为后续解决实际问题、推导相关公式提供了可视化的思维支撑。通过分析比较，人教A版和北师大版在函数$y=A\sin \left(\omega x+\phi \right)$ 的图像变换的内容大致相同，但在呈现顺序和素材选取两个方面有所不同。

1) 呈现顺序

Table 2. Comparison of presentation methods for graphical transformation of functions

表2. 函数的图像变换内容呈现方式的比较

教材版本	呈现顺序
人教A版	j、w、A对函数的图像的影响→振幅、周期、频率、相位、初相位等含义
北师大版	正弦函数→正弦型函数→振幅、周期、频率、相位、初相位等含义→j、w、A对函数的图像的影响

函数图像变换的内容在呈现顺序上的比较如表2所示。人教A版的教材中，直接深入探讨了三个参数j、w、A如何影响函数图像的特征，紧接着是对这些物理术语的命名和解释，包括振幅、周期、频率以及相位等概念的详细阐释。但是这种组织顺序可能会给学生造成困惑，使得学生在学习过程中难以把握整个章节的核心思想，从而影响他们对此章节内容的理解和掌握。

北师大版教材中，在完成了正弦函数的学习之后，就给出了正弦型函数的概念。然后还对周期、频率、初始相位的意义进行了简要的解释。然后，通过例题将这些参数对图像的影响进行了详细的分析，并在对它们进行了分析之后给出名称。这种呈现顺序层次更为清晰，学生容易理解[6]。

2) 素材选取

Table 3. Comparison of the selection of content materials for the transformation of the image of a function

表3. 函数的图像变换内容素材选取的比较

教材版本	三角函数参数
	j	w	A
人教A版	$y=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ $y=\sin x$	$y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$	$y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$
北师大版	$y=\sin x$ $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$	$y=\sin x$ $y=\sin 2x$ $y=\sin \frac{1}{2}x$	$y=\sin x$ $y=2\sin x$ $y=\frac{1}{2}\sin x$

函数的图像变换的内容在素材选取上的比较如表3所示。人教A版教材在素材选取上遵循了一个由浅入深、由简到繁的原则。教材首先选择了最基本的函数图像$y=\sin x$ ，然后逐步过渡到$y=A\sin \left(\omega x+\phi \right)$ ，这一变化过程中涉及到了三个关键因素：j (正弦波函数的幅度)、w (对应于x轴的横截距)以及A (常数项系数)。这些因素共同影响着函数图像的形状和走势，为学生提供了一个从直观理解到复杂推理的学习路径。但是这种方式侧重于整体图像的变换，但是关于某个参数对图像的影响表达不够清晰[7]。

北师大版本中采用“五点作图法”，旨在让学生通过实践操作来直接体验变量对所研究函数图像特征的具体影响。随后，教师会引导学生运用其他类似例子来证明这些点的存在以及它们的作用。然而，这种教学方式虽然直观且有助于学生理解，却在呈现整体函数图像随参数变化的动态过程时显得不够充分和详细。因此，尽管它为学生提供了动手实践的机会，但在探讨更复杂的变换时，可能需要更为丰富和直观的展示手段来加强学习效果。

4. 研究结论及启示

4.1. 研究结论

两版教材均以《普通高中课程标准(2017版)》为遵循，围绕三角函数构建完整知识体系，体例结构有共性框架：以章头图与章引言开启章节，按主体知识讲解–拓展栏目–小结与习题流程，形成知识传递、思维拓展与巩固应用的闭环，为学生核心素养培养提供基础载体。

但两版教材编写逻辑与内容呈现差异突出：一是结构编排与体例设计不同，人教A版强调整体性与系统性，借章节开头引导性问题、统一引入句串联知识点，减少认知断层以建立知识全局关联；北师大版侧重过程性与探究性，用问题提出–实例分析–抽象概括–分析理解模块引导学生自主推导概念，却可能增加初学者认知负担。二是知识内容呈现不同，三角公式导入上，人教A版以电视塔实际问题创设情景，结合单位圆与向量法完整推导公式，兼顾应用性与逻辑性，北师大版以向量数量积复习导入，推导简洁但中间逻辑解释不足；函数图像变换上，人教A版先分析参数对图像影响再阐释术语，素材由简到繁但单个参数影响不直观，北师大版先衔接正弦函数引出正弦型函数，借五点作图法分析参数，虽直观但整体动态变换展示不足。

4.2. 研究启示

1) 对一线教师的教学启示

教师需把握两版教材编写特色，结合教学实际与学生认知灵活调整策略，落实新课标理念。一方面，挖掘教材优势资源：依托人教A版的情境创设与信息技术融合设计，搭建理论与实践桥梁，让学生感受数学应用价值；借助北师大版探究式模块，激发学生主动思考，培养逻辑推理与自主探究能力。另一方面，针对教材不足补充优化，用多样化教学手段平衡知识传递的系统性与探究性、直观性与严谨性，助力学生高效构建三角函数知识体系，促进数学核心素养发展。

2) 对教材编写者的优化启示

编写者可依新课标，借鉴两版优势提升教材质量。整体框架设计上，兼顾知识整体性与探究过程性，既保证三角函数知识逻辑连贯，又预留学生自主探究空间；内容呈现上，平衡知识应用性与严谨性，用生活情境增强数学亲和力，完善关键知识点逻辑推导以保准确性。同时，结合学生认知规律优化素材选取与内容组织，让教材适配不同基础学生需求，为核心素养培养提供优质载体，助力高中数学教育质量提升。

4.3. 研究局限性

本研究存在多方面局限。其一，研究范围较窄，仅聚焦两版教材三角函数单一章节，未涉及高中数学其他知识模块及教材配套资源，结论普适性受限。其二，实证支撑不足，主要依赖教材文本分析与理论推导，缺乏学生学习体验问卷、教师教学反馈及课堂观察等实践数据，难以精准验证教材对教学效果的实际影响。其三，变量控制欠缺，未考虑教师对教材的二次开发及学校教学资源、学生认知基础差异，无法清晰区分教材设计与外部因素的作用。其四，分析视角单一，侧重教材静态文本特征，未从核心素养落地效果、与高考评价体系适配度等维度深入分析，对教材价值评估不够全面。