具有非局部条件的二阶发展方程解的存在性

Existence of Solutions for Second Order Evolution Equations with Nonlocal Conditions

摘要: 本文讨论一类具有非局部条件的二阶发展方程温和解的存在性和唯一性。基于余弦函数理论、不动点定理与非紧性测度方法，证明了在紧半群或非紧半群情形下温和解的存在性和唯一性。此外，我们还给出了一个具体的应用实例来阐释我们的结果。

Abstract: This paper deals with the existence and uniqueness of mild solutions for a class of second order evolution equations problem with non-local conditions. This discussion is based on the cosine function theory, the fixed point theorem and the noncompact measure method. We prove the existence and uniqueness of mild solutions when the associated semigroup is compact or not. In addition, an example is presented to illustrate our theoretical results.

1. 引言

具有非局部条件的二阶发展方程在化学动力学、生物种群模型及物理过程中具有重要应用。相较于传统Dirichlet或Neumann边界条件，非局部条件通过整合系统整体信息，能更精准地刻画实际问题中的非局部相互作用的情况。

1991年，Byszewski在文献[1]中首次建立了非局部初值问题的理论框架，针对一阶半线性发展方程

$u^{\prime }\left(t\right)=Au\left(t\right)+f\left(t,u\left(t\right)\right),u\left(0\right)=g\left(u\right),$

利用算子半群理论证明了温和解的存在唯一性，其中非局部项$g\left(u\right)$ 满足线性增长条件，该工作突破了传统Cauchy问题的局部性限制，启发了后续研究。自此之后也出现了许多关于非局部条件的一阶和二阶微分方程解的性质研究，参见文献[2]-[5]。尽管非局部问题研究已取得显著进展，仍存在关键挑战。现有结果多依赖于算子半群紧性或非线性项的Lipschitz连续性，但实际物理系统中，非紧性普遍存在，直接导致紧半群理论失效。假设A生成非紧半群，且非线性项f仅满足连续性而非Lipschitz条件，须通过非紧性测度估计与凝聚映射不动点定理克服紧性缺失。另一方面，积分项与非线性耦合的缺失会破坏方程的单调性，使得上下解方法难以应用。

在上述文献的启发下，本文主要研究以下抽象的二阶发展方程非局部问题温和解的存在性

$\{\begin{array}{l}{u}^{″}\left(t\right)=Au\left(t\right)+f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{t}K\left(t,s\right)h\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s,t\in J=\left[0,T\right]}\\ u\left(0\right)=x_0+q\left(u,u^{\prime }\left(t\right)\right),u^{\prime }\left(0\right)=y_0+p\left(u,u^{\prime }\left(t\right)\right)\end{array}$ (1.1)

其中A是Banach空间中强连续余弦簇$\left\{C\left(t\right):t\in ℝ\right\}$ 的无穷小生成元，$f,h:ℝ\times X^2\to X$ 且$p,q:C{\left(J:X\right)}^2\to X$ 是满足某些假设条件的连续函数，$K\in C\left(\Omega ;ℝ\right)$ 且$\Omega =\left\{\left(t,s\right)|0\le s\le t\le T\right\}$ 。在满足Lipschitz假设条件以及假设$K^{\ast }={\max }_{(t,s)\in \Omega }K\left(t,s\right)$ 条件下，得到半线性问题 (1.1) 温和解存在性的相关结果。

2. 预备知识

本文将介绍一些相关的概念、定义以及本文将用到的引理。

设$C\left(J,X\right)$ 为从J到X的连续函数空间，范数定义为$\Vert u\Vert ={\max }_{t\in J}\Vert u\left(t\right)\Vert$ ，$C(\cdot )={\left(C\left(t\right)\right)}_{t\in ℝ}$ 是Banach空间X上有界线性算子的强连续余弦函数，具有无穷小生成元A，对于余弦函数的概念、应用和性质，参见文献[6]-[8]。

Banach空间上的$X$ 映射到自身有界线性算子的单参数族$\left\{C\left(t\right):t\in ℝ\right\}$ 称为强连续余弦族当且仅当以下条件成立：

(a) $C\left(0\right)=I$ (I是恒等算子)；

(b) 对于每一个固定的$x\in X$ ，$C\left(t\right)x$ 在$ℝ$ 上关于t是强连续的；

(c) 对于所有的$t,s\in ℝ$ ，$C\left(t+s\right)+C\left(t-s\right)=2C\left(t\right)C\left(s\right)$ 。

用S(t)表示与C(t)相关的正弦函数，并将其定义为

$S\left(t\right)x={\displaystyle {\int }_0^{t}C\left(s\right)x\text{d}s,x\in }X,t\in ℝ,$

对于闭算子$B:D\left(B\right)\subset X\to X$ ，我们使用$\left[D\left(B\right)\right]$ 表示赋予图范数${\Vert \cdot \Vert }_B$ 空间$D\left(B\right)$ ，事实上，$\left[D\left(B\right)\right]$ 定义为

$D\left(B\right)=\left\{x\in X:C\left(t\right)x二阶连续可微\right\}，$

赋予图范数${\Vert x\Vert }_B=\Vert x\Vert +\Vert Bx\Vert x\in D\left(B\right)$ 。此外，$M\ge 1$ 和N是正常数，对于每一个$t\in J,\Vert C\left(t\right)\Vert \le M且\Vert S\left(t\right)\Vert \le N$ 。

定义2.1 [9] 设X为Banach空间，${\Omega }_x$ 是X的有界子集，Kuratowski非紧性测度$\alpha :{\Omega }_x\to \left[0,\infty \right)$ 定义为

$\alpha \left(D\right)=\inf \left\{d>0:D\subseteq {\displaystyle {\cup }_{i=1}^n{D}_i,且\left(D_i\right)\le d}\right\},$

其中$D\in {\Omega }_x$ 。

引理2.2 [9] 非紧性测度$\alpha (\cdot )$ 满足：

(i) 对于X的任意有界子集$D_1,D_2$ ，若$D_1\subseteq D_2$ ，则有$\alpha \left(D_1\right)\le \alpha \left(D_2\right)$ ；

(ii) 对于任意的$x\in X$ 和非空集合$D\subseteq X$ ，有$\alpha \left\{\left\{x\right\}\cup D\right\}=\alpha \left(D\right)$ ；

(iii) $\alpha \left(D_1\right)=0$ 当且仅当D₁是X中的相对紧集；

(iv) $\alpha \left(D_1+D_2\right)\le \alpha \left(D_1\right)+\alpha \left(D_2\right)$ ，其中$D_1+D_2=\left\{x+y:x\in D_1,y\in D_2\right\}$ ；

(v) 对于任意$\lambda \in ℝ$ ，都有$\alpha \left(\lambda D\right)\le \left|\lambda \right|\alpha \left(D\right)$ 。

引理2.3 [10] $D\subseteq X$ 是有界集合，则存在D中的可数子集$D_0$ ，使得$\alpha \left(D\right)\le 2\alpha \left(D_0\right)$ 。

引理2.4 [11] $B=\left\{u_n\right\}\subset C\left(J,X\right)$ 是有界集合，那么$\alpha \left(B\left(t\right)\right)$ 是一个可测函数，且

$\alpha \left({\displaystyle {\int }_j{u}_n\left(t\right)\text{d}t|n=1,2,\cdots }\right)\le 2{\displaystyle {\int }_j\alpha \left(B\left(t\right)\right)\text{d}t}$ .

引理2.5 [11] 设$B\subset C\left(J,X\right)$ 是有界且等度连续的，则$\alpha \left(B\left(t\right)\right)$ 在J上是连续的，且

$\alpha \left(B\right)=\underset{t\in J}{\max }\alpha \left(B\left(t\right)\right)=\alpha \left(B\left(J\right)\right)$ .

定义2.6 [12] 若存在正数$k<1$ ，使得对于任意有界闭集$B_0\subset B$ ，都有$\alpha \left(Q\left(B_0\right)\right)\le k\alpha \left(B_0\right)$ ，则称映射$Q:B\subseteq X\to X$ 为凝缩映射。

引理2.7 [9] (Sadovskill不动点定理) 设E是Banach空间X中的非空有界闭的凸集，$Q:E\to E$ 是凝聚算子，则Q在E中至少有一个不动点。

定义2.8 满足积分方程

$\begin{array}{l}u\left(t\right)=C\left(t\right)\left(x_0+p\left(u,u^{\prime }\right)\right)+S\left(t\right)\left(y_0+q\left(u,u^{\prime }\right)\right)\\ +{\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-s\right)\left[f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)}\left(h\left(\tau ,u\left(\tau \right),u^{\prime }\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau \right)\right]\text{d}s},\end{array}$

的函数$u\in C\left(J,X\right)$ 称为问题(1.1)的温和解，其中$f,hp,q$ 是连续函数，$K\in C\left(\Omega ;ℝ\right)$ 且$\Omega =\left\{\left(t,s\right)|0\le s\le t\le T\right\}$ 。

3. 主要定理及其证明

在本文中，我们将在非线性项Lipschitz连续的假设条件下，研究具有非局部条件的抽象二阶微分方程温和解的存在性和唯一性。首先，我们讨论非局部Cauchy问题

$\{\begin{array}{l}{u}^{″}\left(t\right)=Au\left(t\right)+f\left(t,u\left(t\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{t}K\left(t,s\right)h\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s},0\le t\le T,\\ u\left(0\right)=x\left(0\right)+q\left(u\right),u^{\prime }\left(0\right)=y_0+p\left(u\right),\end{array}$ (3.1)

其中$p,q:C\left(J,X\right)\to X$ 和$f,h:J\times X\to X$ 是连续函数。余弦族$\left\{C\left(t\right):t\in ℝ\right\}$ 的无穷小生成元$A:X\to X$ 定义为：

$Ax=\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{t}^2}C\left(t\right)x|{}_{t=0}$ .

我们给出以下定义。

定义3.1 设$f:J\times X\to X$ 为连续函数，$x_0\in D\left(A\right),y_0\in X$ 。积分方程

$\begin{array}{l}u\left(t\right)=C\left(t\right)\left(x_0+q\left(u\right)\right)+S\left(t\right)\left(y_0+p\left(u\right)\right)\\ +{\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-s\right)}\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s\end{array}$ (3.2)

的连续解称为初值问题(3.1)的温和解。

在陈述主要结果之前，我们给出如下假设：

(H1) $S\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ 是X中的紧算子半群；

(H2) 对任意的$t\in J$ 和$r>0$ ，存在${\phi }_r(\cdot )\in L^1\left(J,{ℝ}^{+}\right)$ ，${\varphi }_r(\cdot )\in L^1\left(J,{ℝ}^{+}\right)$ ，满足

$\underset{\Vert x\Vert \le r}{\sup }\Vert f\left(t,x\right)\Vert \le {\varphi }_r\left(t\right),\underset{\Vert x\Vert \le r}{\sup }\Vert h\left(t,x\right)\Vert \le {\phi }_r\left(t\right),$

且存在正常数${\sigma }_1$ 和${\sigma }_2$ ，使得

$\underset{r\to +\infty }{\lim \inf }\frac{1}{r}{\displaystyle {\int }_0^t{\varphi }_r\left(s\right)\text{d}s\le {\sigma }_1<+\infty ,}\underset{r\to +\infty }{\lim \inf }\frac{1}{r}{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_0^s{\phi }_r\left(\tau \right)\text{d}s\le {\sigma }_2<+\infty }}$ ；

(H3) $p,q:C\left(J,X\right)\to X$ 且对于$r>0$ ，对任意的$u,v\in B_r=\left\{u\in C\left(J,X\right):\Vert u\left(t\right)\Vert \le r,t\in J\right\}$ ，存在正数$L_1,L_2$ ，使得

$\Vert p\left(u\right)-p\left(v\right)\Vert \le L_2\Vert u-v\Vert ,\Vert q\left(u\right)-q\left(v\right)\Vert \le L_1\Vert u-v\Vert$ .

定理3.2 假设(H1)、(H2)、(H3)成立，如果$x_0\in D\left(A\right),y_0\in X$ 且满足

$M{L}_1+N{L}_2+N\left({\sigma }_1+K^{*}{\sigma }_2\right)<1,$ (3.3)

则问题(3.1)在J上至少有一个温和解。

证明 定义$Q_1$ 和$Q_2$ 如下：

$\begin{array}{l}\left(Q_{1}u\right)\left(t\right)=C\left(t\right)\left(x_0+q\left(u\right)\right)+S\left(t\right)\left(y_0+p\left(u\right)\right)\\ \left(Q_{2}u\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-s\right)\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]}\text{d}s,t\in J\end{array}$

现证明存在一个正数r，使得$u=Q_{1}u+Q_{2}u\in B_r$ 。若不然，则对于任意$r>0$ ，存在$u_r\in B_r$ 和$t_r\in J$ 使得

$\begin{array}{l}r<\Vert \left(Q_1{u}_r\right)\left(t_r\right)+\left(Q_2{u}_r\right)\left(t_r\right)\Vert \\ \le \Vert C\left(t_r\right)\left(x_0+q\left(u_r\right)\right)\Vert +\Vert S\left(t_r\right)\left(y_0+p\left(u_r\right)\right)\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_r}S\left(t_r-s\right)}\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u_r\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s\Vert \\ \le M\Vert x_0+q\left(u_r\right)-q\left(0\right)+q\left(0\right)\Vert +N\Vert y_0+p\left(u_r\right)-p\left(0\right)+p\left(0\right)\Vert \\ +N{\displaystyle {\int }_0^{t_r}\left({\varphi }_r\left(s\right)+K^{*}{\displaystyle {\int }_0^s{\phi }_r\left(\tau \right)\text{d}\tau }\right)\text{d}s}\\ \le M\Vert x_0\Vert +M{L}_{1}r+M\Vert q_0\Vert +N\Vert y_0\Vert +N{L}_{2}r+N\Vert p_0\Vert \\ +N{\displaystyle {\int }_0^{t_r}\left[{\varphi }_r\left(s\right)+K^{*}{\displaystyle {\int }_0^s{\phi }_r\left(\tau \right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s,}\end{array}$

上式两边同时除以r，并令$r\to +\infty$ ，我们得到

$M{L}_1+N{L}_2+N\left({\sigma }_1+K^{\ast }{\sigma }_2\right)\ge 1$

这与式(3.3)矛盾。因此，对于某个$r>0$ 和任意$u\in B_r$ ，都有$Q_{1}u+Q_{2}u\in B_r$ 。

接下来，我们将证明过程分为两步。

第一步：$Q_1$ 是$B_r$ 上的压缩映射：

对任意的$u,v\in B_r$ 与$t\in J$ ，有

$\begin{array}{c}\Vert \left(Q_{1}u\right)\left(t\right)-\left(Q_{1}v\right)\left(t\right)\Vert \le M\Vert q\left(u\right)-q\left(v\right)\Vert +N\Vert p\left(u\right)-p\left(v\right)\Vert \\ \le \left(M{L}_1+N{L}_2\right)\Vert u-v\Vert ,\end{array}$

由式 (3.3)，$Q_1$ 是$B_r$ 上的压缩映射。

第二步：证明$Q_2$ 是$B_r$ 上的全连续算子：

首先证明$Q_2$ 在$B_r$ 上是连续的，令$\left\{u_n\right\}\subset B_r$ 且$u_n\to u\in B_r$ ，当$n\to \infty$ 时，对任意的$t\in J,s\in \left[0,t\right]$ ，有$f\left(s,u_n\left(s\right)\right)\to f\left(s,u\left(s\right)\right),h\left(s,u_n\left(s\right)\right)\to h\left(s,u\left(s\right)\right)$ 且

$\begin{array}{l}\Vert f\left(s,u_n\left(s\right)\right)-f\left(s,u\left(s\right)\right)\Vert \le 2{\varphi }_r\left(s\right),\\ \Vert h\left(s,u_n\left(s\right)\right)-h\left(s,u\left(s\right)\right)\Vert \le 2{\phi }_r\left(s\right),\\ {\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)\Vert h\left(\tau ,u_n\left(\tau \right)\right)-h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\Vert \text{d}\tau }\le 2K^{*}{\Vert {\phi }_r\Vert }_{L^1}.\end{array}$

由此可得

$\begin{array}{l}\Vert \left(Q_2{u}_n\right)\left(t\right)-\left(Q_{2}u\right)\left(t\right)\Vert \\ \le N{\displaystyle {\int }_0^t\Vert f\left(s,u_n\left(s\right)\right)-f\left(s,u\left(s\right)\right)\Vert \text{d}s}\\ +N{K}^{*}{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_0^s\Vert h\left(\tau ,u_n\left(\tau \right)\right)-h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\Vert \text{d}\tau \text{d}s}}\to 0.\end{array}$

因此，当$n\to \infty$ 时，$Q_2$ 在$B_r$ 上是连续的。

接下来，我们证明$\left\{Q_{2}u:u\in B_r\right\}$ 是相对紧的。

首先证明$\left\{Q_{2}u:u\in B_r\right\}$ 是等度连续函数族。对于$t\in \left[0,T\right)$ ，有

$\begin{array}{l}\Vert \left(Q_2{u}_n\right)\left(t_2\right)-\left(Q_{2}u\right)\left(t_1\right)\Vert \\ \le \Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}\left(S\left(t_2-s\right)-S\left(t_1-s\right)\right)\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s}\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}S\left(t_2-s\right)\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s}\Vert \\ \triangleq I_1+I_2.\end{array}$

其中

$\begin{array}{l}{I}_1=\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}\left(S\left(t_2-s\right)-S\left(t_1-s\right)\right)\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s}\Vert ,\\ I_2=\Vert {\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}S\left(t_2-s\right)\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s}\Vert ,\end{array}$

对任意的$\epsilon \in \left(0,t_1\right)$ ，可得

$\begin{array}{c}{I}_1\le {\displaystyle {\int }_0^{t_1-\epsilon }\Vert S\left(t_2-s\right)-S\left(t_1-s\right)\Vert \left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\text{d}\tau \right)}\right]\text{d}s}\\ +{\displaystyle {\int }_{t_1-\epsilon }^{t_1}\Vert S\left(t_2-s\right)-S\left(t_1-s\right)\Vert }\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s\\ \le \underset{s\in \left[0,t_1-\epsilon \right]}{\sup }\Vert S\left(t_2-s\right)-S\left(t_1-s\right)\Vert \\ \times {\displaystyle {\int }_0^{t_1-\epsilon }\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s}\\ +{\displaystyle {\int }_{t_1-\epsilon }^{t_1}\Vert S\left(t_2-s\right)-S\left(t_1-s\right)\Vert }\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s,\end{array}$

当$t_2\to t_1$ 且$\epsilon \to 0$ 时，可得$I_1\to 0$ 与$u\in B_r$ 。由$I_2$ 可得，当$t_2\to t_1$ 时，$I_2\to 0$ 。

只需证明对于任意$t\in J$ ，集合$W\left(t\right)=\left\{\left(Q_{2}u\right)\left(t\right):u\in B_r\right\}$ 是相对紧的。显然，$W\left(0\right)$ 是相对紧的。

设$0<t\le T$ ，对于给定的$\epsilon \to 0$ ，取$\delta >0$ ，以及$u\in B_r$ ，我们定义

$\begin{array}{c}\left(Q_2^{\epsilon ,\delta }u\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t-\delta }S\left(t-s\right)\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s}\\ =S\left(\epsilon \right){\displaystyle {\int }_0^{t-\delta }S\left(t-\epsilon -s\right)\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s},\end{array}$

因为$S\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ 是紧算子半群，则集合$W_{\epsilon ,\delta }\left(t\right)=\left\{\left(Q_2^{\epsilon ,\delta }u\right)\left(t\right):u\in B_r\right\}$ 是相对紧的。此外，对于任意的$u\in B_r$ ，有

$\begin{array}{l}\Vert \left(Q_{2}u\right)\left(t\right)-\left(Q_2^{\epsilon ,\delta }u\right)\left(t\right)\Vert \\ ={\displaystyle {\int }_{t-\delta }^{t}S\left(t-s\right)\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s}\\ \le N{\displaystyle {\int }_{t-\delta }^t\left[{\varphi }_r\left(s\right)+K^{*}{\displaystyle {\int }_0^s{\phi }_r\left(\tau \right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s}.\end{array}$

因此，存在任意接近$W\left(t\right)$ 的相对紧集合，由Ascoli-Arzela定理，集合$\left\{Q_{2}u:u\in B_r\right\}$ 是相对紧的，由$Q_2$ 的连续性和集合$\left\{Q_{2}u:u\in B_r\right\}$ 的相对紧性可得$Q_2$ 是一个全连续算子。由Krasnoselskii不动点定理，算子方程$u=Q_{1}u+Q_{2}u$ 在$B_r$ 中有一个解，即问题(3.1)至少有一个温和解，证明完成。

基于Banach压缩成像原理，对于问题(3.1)，我们还需要给出以下假设：

(H4) 对任意的$r>0$ 以及$x,y\in B_r$ ，存在函数${\rho }_1,{\rho }_2\in L^1\left(J,{ℝ}^{+}\right)$ ，使得

$\begin{array}{l}\Vert f\left(t,x\right)-f\left(t,y\right)\Vert \le {\rho }_1\left(t\right)\Vert x-y\Vert ,\\ \Vert h\left(t,x\right)-h\left(t,y\right)\Vert \le {\rho }_2\left(t\right)\Vert x-y\Vert .\end{array}$

定理3.3 假设(H3)、(H4)成立，若$\mu =M{L}_1+N{L}_2+NT{\Vert {\rho }_1\Vert }_{L^1}+N{K}^{*}{T}^2{\Vert {\rho }_2\Vert }_{L^1}<1$ ，则问题(3.1)存在唯一的温和解。

证明 在空间$Y=C\left(J,X\right)$ 上，我们定义映射

$\begin{array}{c}Qu\left(t\right)=C\left(t\right)\left(x_0+q\left(u\right)\right)+S\left(t\right)\left(y_0+p\left(u\right)\right)\\ +{\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-s\right)}\left[f\left(s,u\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s,\end{array}$ (3.4)

可以看出，Q在Y存中是良定的。此外，对于$u,v\in Y$ ，可得

$\begin{array}{c}\Vert \left(Qu\right)\left(t\right)-\left(Qv\right)\left(t\right)\Vert \\ \le \Vert C\left(t\right)\left(q\left(u\right)-q\left(v\right)\right)\Vert +\Vert S\left(t\right)\left(p\left(u\right)-p\left(v\right)\right)\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-s\right)\left(f\left(s,u\left(s\right)\right)-f\left(s,v\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-s\right){\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)}\left(h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)-h\left(\tau ,v\left(\tau \right)\right)\right)\text{d}\tau \text{d}s}\Vert \\ \le M{L}_1\Vert u-v\Vert +N{L}_2\Vert u-v\Vert +N{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\rho }_1\Vert }_{L^{{}_1}}\Vert u-v\Vert \text{d}s}\\ +N{K}^{*}{{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_0^s\Vert {\rho }_2\Vert }}}_{L^{{}_1}}\Vert u-v\Vert \text{d}\tau \text{d}s\\ \le M{L}_1\Vert u-v\Vert +N{L}_2\Vert u-v\Vert +N{\Vert {\rho }_1\Vert }_{L^{{}_1}}T\Vert u-v\Vert +N{K}^{*}{T}^2{\Vert {\rho }_2\Vert }_{L^{{}_1}}\Vert u-v\Vert \\ \le \left(M{L}_1+N{L}_2+NT{\Vert {\rho }_1\Vert }_{L^{{}_1}}+N{K}^{*}{T}^2{\Vert {\rho }_2\Vert }_{L^{{}_1}}\right)\Vert u-v\Vert ,\end{array}$

因此，$\Vert Qu-Qv\Vert \le \mu \Vert u-v\Vert$ ，这意味着Q是压缩映射，应用Banach压缩映像原理，可得Q在$B_r$ 上有唯一不动点，它是问题(3.1)的唯一温和解。

接下来，我们给出问题(3.1)在半群${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 非紧情形下的存在性结果。为研究$C_0$ −半群非紧情形下的存在性结果，我们需提出以下假设：

(H5) 存在常数$\widehat{L},\tilde{L}>0$ ，使得对于任何有界子集$D\subset B_r$ ，都有

$\begin{array}{l}\alpha \left(f\left(t,D\left(t\right)\right)\right)\le \widehat{L}\alpha \left(D\left(t\right)\right),\\ \alpha \left(h\left(t,D\left(t\right)\right)\right)\le \tilde{L}\alpha \left(D\left(t\right)\right).\end{array}$

定理3.4 假设(H2)、(H3)、(H4)成立，若$8N\left(T\widehat{L}+T^2{K}^{*}\tilde{L}\right)<1$ ，则问题(3.1)至少有一个温和解。

证明 根据定理3.2的证明，可得Q将$B_r$ 映射到自身。此外，$Q\left(D\right)$ 是等度连续的。

接下来，我们将证明$Q:B_r\to B_r$ 是一个凝缩映射，对于任意的$B\subset D$ ，由引理2.3，存在可数子集$B_1=\left\{u_n\right\}\subset B$ ，使得$\alpha \left(Q\left(B\right)\right)\le 2\alpha \left(Q\left(B_1\right)\right)$ 。因为$Q\left(B_1\right)\subset Q\left(D\right)$ 是等度连续的，所以

$\alpha \left(Q\left(B_1\right)\right)=\underset{t\in J}{\text{max}}\alpha \left(Q\left(B_1\right)\left(t\right)\right),$

则对于$t\in J$ ，可得

$\begin{array}{c}\alpha \left(Q\left(B\right)\left(t\right)\right)\\ \le 2\alpha \left(C\left(t\right)\left(x_0+q\left(u_n\right)\right)\right)+\alpha \left(S\left(t\right)\left(y_0+p\left(u_n\right)\right)\right)\\ +\alpha \left({\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-s\right)}\left[f\left(s,u_n\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u_n\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau \text{d}s}\right]\right),\end{array}$

以及

$\alpha \left(C\left(t\right)\left(x_0+q\left(u\right)\right)\right)+\alpha \left(S\left(t\right)\left(y_0+p\left(u\right)\right)\right)=0$ .

我们注意到

$\begin{array}{l}\alpha \left(Q\left(B\right)\left(t\right)\right)\\ \le 2\alpha \left(\left\{{\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-s\right)\left(f\left(s,u_n\left(s\right)\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)}\left(h\left(\tau ,u_n\left(\tau \right)\right)\right)\text{d}\tau \text{d}s}\right\}\right)\\ \le 4N{\displaystyle {\int }_0^t\alpha \left(f\left(s,u_n\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}+8N{K}^{*}{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_0^s\alpha }}\left(h\left(\tau ,u\left(\tau \right)\right)\right)\text{d}\tau \text{d}s\\ \le 4NT\widehat{L}\alpha \left(B\right)+8N{T}^2{K}^{*}\tilde{L}\alpha \left(B\right),\end{array}$

则有$\alpha \left(Q\left(B\right)\left(t\right)\right)\le 8N\left(T\widehat{L}+T^2{K}^{*}\tilde{L}\right)\alpha \left(B\right)$ ，因此算子Q是凝聚算子。由引理2.7可知，Q在B中至少有一个不动点，这意味着问题(3.1)在B中至少有一个温和解，证明完成。

接下来，我们研究问题(1.1)解的存在性。我们提出以下假设条件。

(H6) f是连续函数，存在正数$L_f^i,i=1,2$ ，使得

$\Vert f\left(t,x_1,y_1\right)-f\left(t,x_2,y_2\right)\Vert \le L_f^1\Vert x_1-x_2\Vert +L_f^2\Vert y_1-y_2\Vert ,$

(H7) 存在正数$L_h^i,i=1,2$ ，使得

$\Vert h\left(s,x_1,y_1\right)-h\left(s,x_2,y_2\right)\Vert \le L_h^1\Vert x_1-x_2\Vert +L_h^2\Vert y_1-y_2\Vert ,$

(H8) 函数$q(\cdot ),p(\cdot ):C{\left(J:X\right)}^2\to X$ 是连续的，且对于任意的$u,v,w,z\in C\left(J:X\right)$ ，存在正数$L_p^i,L_q^i,i=1,2$ ，使得

$\begin{array}{l}\Vert q\left(u,w\right)-q\left(v,z\right)\Vert \le L_q^1\Vert u-v\Vert +L_q^2\Vert w-z\Vert ,\\ \Vert p\left(u,w\right)-p\left(v,z\right)\Vert \le L_p^1\Vert u-v\Vert +L_p^2\Vert w-z\Vert .\end{array}$

定理3.5 若假设条件(H6)-(H8)成立，设${\mu }_1={\max }_{i=1,2}\left(M{L}_q^i+N{L}_p^i+N\left(L_f^{i}T+L_h^{i}T{K}^{*}\right)\right)$ ，${\mu }_2={\max }_{i=1,2}\left(N{L}_p^i+N\left(L_f^{i}T+L_h^{i}T{K}^{*}\right)\right)$ 。若$\mu ={\mu }_1+{\mu }_2<1$ ，则问题(1.1)存在唯一的温和解。

证明 在空间$Y=C^2\left(J,X\right)$ 上赋予范数$\Vert \left(u,v\right)\Vert =\Vert u\Vert +\Vert v\Vert$ ，定义$\Phi :Y\to Y,\Phi \left(u,v\right)=\left({\phi }_1\left(u,v\right),{\phi }_2\left(u,v\right)\right)$ ，则

$\begin{array}{c}{\phi }_1\left(u,v\right)\left(t\right)\\ =C\left(t\right)\left(x_0+q\left(u,v\right)\right)+S\left(t\right)\left(y_0+p\left(u,v\right)\right)\\ +{\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-s\right)}\left[f\left(s,u\left(s\right),v\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right),v\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s,\end{array}$

$\begin{array}{c}{\phi }_2\left(u,v\right)\left(t\right)\\ =AS\left(t\right)\left(x_0+q\left(u,v\right)\right)+C\left(t\right)\left(y_0+p\left(u,v\right)\right)\\ +{\displaystyle {\int }_0^{t}C\left(t-s\right)}\left[f\left(s,u\left(s\right),v\left(s\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{s}K\left(s,\tau \right)h\left(\tau ,u\left(\tau \right),v\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right]\text{d}s.\end{array}$

由假设条件可得，每一个${\varphi }_i$ 都是良定的，对于$\left(u,v\right)\left(w,z\right)\in Y$ 我们得到

$\begin{array}{c}\Vert {\phi }_1\left(u,v\right)-{\phi }_1\left(w,z\right)\Vert \\ \le \left(M{L}_q^1+N{L}_p^1+N\left(L_f^{1}T+L_h^{1}T{K}^{*}\right)\right)\Vert u-w\Vert \\ +\left(M{L}_q^2+N{L}_p^2+N\left(L_f^{2}T+L_h^{2}T{K}^{*}\right)\right)\Vert u-z\Vert ,\end{array}$

以及

$\begin{array}{l}\Vert {\phi }_1\left(u,v\right)-{\phi }_1\left(w,z\right)\Vert \\ \le \underset{\text{i}=\text{1,2}}{\text{max}}\left\{M{L}_q^i+N{L}_p^i+N\left(L_f^{i}T+L_h^{i}T{K}^{*}\right)\right\}\begin{array}{c}\Vert \left(u,v\right)-\left(w,z\right)\Vert \end{array},\end{array}$ (3.5)

另一方面，由条件(H3)可得

$\begin{array}{c}\Vert {\phi }_2\left(u,v\right)-{\phi }_2\left(w,z\right)\Vert \\ \le \Vert q\left(u,v\right)-q\left(w,z\right)\Vert +\left(N{L}_q^1+N\left(L_f^{1}T+L_h^{1}T{K}^{*}\right)\right)\Vert u-w\Vert \\ +\left(M{L}_q^2+N{L}_p^2+N\left(L_f^{2}T+L_h^{2}T{K}^{*}\right)\right)\Vert v-z\Vert ,\end{array}$

因此

$\begin{array}{l}\Vert {\phi }_2\left(u,v\right)-{\phi }_2\left(w,z\right)\Vert \\ \le \underset{\text{i}=\text{1,2}}{\text{max}}\left\{N{L}_q^i+N\left(L_f^{i}T+L_h^{i}T{K}^{*}\right)\right\}\Vert \left(u,v\right)-\left(w,z\right)\Vert .\end{array}$ (3.6)

结合式(3.5)和式(3.6)可以得出

$\Vert \Phi \left(u,v\right)-\Phi \left(w,z\right)\Vert \le \mu \Vert \left(u,v\right)-\left(w,z\right)\Vert ,$

这意味着$\Phi$ 是压缩的。因此，问题(1.1)存在唯一的温和解。

4. 应用

在最后一节，为了证明结果的适用性，我们给出了带结构阻尼的弹性梁振动方程的存在性结果，带结构阻尼的弹性梁两端为简支撑，其振动状态可以用初始边界值问题来描述。

为证明结果的适用性，我们考虑了非局部条件下的边界值问题：

$\begin{array}{l}\frac{{\partial }^2\omega \left(t,\xi \right)}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^2\omega \left(t,\xi \right)}{\partial {\xi }^2}+F\left(t,\xi ,\omega \left(t,\xi \right),\frac{\partial \omega \left(t,\xi \right)}{\partial {\xi }^2}\right)\\ +{\displaystyle {\int }_0^{t}K\left(t,s\right)h\left(s,\xi \right)}\cos s\text{d}s,\left(t,\xi \right)\in \left[0,T\right]\times \left[0,\pi \right]\end{array}$ (4.1)

$\omega \left(t,0\right)=\omega \left(t,\pi \right)=0,t\in J=\left[0,T\right];$ (4.2)

$\omega \left(0,\xi \right)=x_0\left(\xi \right)+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }Q\left(\omega \left(s,\cdot \right)\right)}\left(\xi \right)\text{d}s,\xi =\left[0,\pi \right];$ (4.3)

$\frac{\omega \left(0,\xi \right)}{\partial t}=y_0\left(\xi \right)+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }P\left(\frac{\partial \omega \left(s,\cdot \right)}{\partial s}\right)}\left(\xi \right)\text{d}s,\xi =\left[0,\pi \right].$ (4.4)

其中，$P,Q:X\to X$ 是Lipschitzl连续函数。

我们考虑空间$X=L^2\left(\left[0,\pi \right]\right)$ 和由$A:D\left(A\right)\subset X\to X$ 定义的算子$A\omega ={\omega }_{\xi \xi }$ ，其中$D\left(A\right)=\left\{\omega (\cdot )\in X:\omega \left(0\right)=\omega \left(\pi \right)=0\right\}$ 。根据上文可以得到，A是X上强连续余弦函数$\left\{C\left(t\right):t\in ℝ\right\}$ 的生成元。此外，A具有离散谱，其特征值为$-n^2$ ，$n\in ℝ$ ，相应的化特征向量为

$z_n\left(\xi \right)={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{\frac{1}{2}}\sin \left(n\xi \right),n=1,2,3,\cdots ,$

且以下条件成立：

(i) 集合$\left\{{\omega }_n:n\in ℝ\right\}$ 是X的正交基；

(ii) 若$\varphi \in D\left(A\right)$ ，那么

$A\phi =-{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^2\langle \phi {\omega }_n\rangle {\omega }_n}$ ；

(iii) 对于任意的$\phi \in X,C\left(t\right)\phi =-{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }\cos \left(nt\right)\langle \phi ,z_n\rangle z_n}$ 。此外，

$S\left(t\right)\phi ={\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin \left(nt\right)}{n}\langle \phi ,z_n\rangle z_n}$ .

对于每一个$t>0$ ，$S\left(t\right)$ 都是紧的，且对于每一个$t\in \left[0,T\right]$ ，$\Vert C\left(t\right)\Vert \le 1$ ，$\Vert S\left(t\right)\Vert \le 1$ ；

(iv) 如果G表示X上的平移群，即$G\left(t\right)x\left(\xi \right)=\tilde{x}\left(\xi +t\right)$ ，其中$\tilde{x}$ 是x的开拓，周期为$2\pi$ ，$G\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(G\left(t\right)+G\left(-t\right)\right)$ 。

由文献[13]可得$A=B^2$ ，其中B是群G的无穷小生成元，并且$E=\left\{\omega \in L^1\left(0,\pi \right):\omega \left(0\right)=\omega \left(\pi \right)=0\right\}$ 。

令$u\left(t\right)=\omega \left(t,\cdot \right),f\left(t,u\left(t\right)\right)=F\left(\cdot ,t,\omega \left(t,\cdot \right)\right)$ ，以及

$p\left(u,v\right)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }P\left(v\left(s\right)\right)\text{d}s},q\left(u,v\right)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }Q\left(u\left(s\right)\right)\text{d}s},$

在上述条件下，带有非局部条件的边界值问题(4.1)~(4.4)可以重述为

$\{\begin{array}{l}{u}^{″}\left(t\right)=Au\left(t\right)+f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{t}K\left(t,s\right)h\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ u\left(0\right)=x_0+q\left(u,u^{\prime }\left(t\right)\right),u^{\prime }\left(0\right)=y_0+p\left(u,u^{\prime }\left(t\right)\right)\end{array}$

假设这些函数满足假设要求，则可以应用定理3.6来得到非线性积分微分方程(4.1)~(4.4)解的存在性。

基金项目

新疆自治区自然科学基金(No.2024D01B38)；新疆自治区高校基本科研业务费项目(No.XJEDU2024P041)。