细菌降解宿主组织模型波前解的全局稳定性

Global Stability of Traveling Wavefronts for a Model Describing Host Tissue Degradation by Bacteria

摘要: 对于细菌降解宿主组织模型，Yang-Zhang-Tian已研究了波前解的全局稳定性。然而，其稳定性结论需要较为严格的参数条件，导致参数取值范围较小。本文通过采用傅里叶变换以及具有适当加权函数的加权能量方法，证明了在其他参数条件下波前解依然稳定，扩大了参数的可取范围。

Abstract: For a model describing bacterial degradation of host tissues by bacteria, the global stability of the traveling wavefronts were proved by Yang-Zhang-Tian. However, the stability result needs more stronger conditions on the parameters, which may result in a small range of parameters. In this paper, by using Fourier’s transform and the weighted energy method with a suitably selected weighted function, we prove that the wavefronts remain stable under other conditions, which can increase the range of parameters.

1. 引言

本文研究如下的细菌降解宿主组织模型

$\{\begin{array}{l}{u}_t=\Delta u-u+\omega -\gamma ku\left(1-\omega \right),\\ {\omega }_t=ku\left(1-\omega \right),\end{array}$ (1.1)

初值为$u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right)$ ，$\omega \left(x,0\right)={\omega }_0\left(x\right)$ ，其中$\gamma ,k>0$ 为常数，$k>0$ 表示组织降解速率，通常很大，是关注的关键参数。变量$u$ 表示由细菌产生的降解性酶的浓度，而$1-\omega$ 表示健康组织的体积分数。该模型由一个反应扩散方程与一个常微分方程组成。King等人[1]在首次研究了这一模型，刻画了胞外细菌病原体对宿主组织的降解过程。细菌对组织的侵袭表现为以近似常速传播的行波。Hilhorst，King与Röger [2]证明了(1.1)的解的存在唯一性，并建立了当降解率参数$k\to \infty$ 时，原系统的解收敛到一个类似Stefan问题的唯一极限解。

模型(1.1)对应的齐次(空间均匀)系统为

$\{\begin{array}{l}{u}^{\prime }=-u+\omega -\gamma ku\left(1-\omega \right),\\ {\omega }^{\prime }=ku\left(1-\omega \right).\end{array}$ (1.2)

通过简单计算可知，系统(1.2)有两个平衡点：$\left(0,0\right)$ 和$\left(1,1\right)$ 。此外，容易得到$\left(0,0\right)$ 是不稳定的。

模型(1.1)的行波解是形如$\left(u\left(x,t\right),\omega \left(x,t\right)\right)=\left({\phi }_1\left(\xi \right),{\phi }_2\left(\xi \right)\right)$ 的连接$\left(0,0\right)$ 与$\left(1,1\right)$ 的特殊平移不变解，其中$\xi =x+ct$ 。如果行波解是单调的，则称其为波前解。将$\left({\phi }_1,{\phi }_2\right)$ 代入(1.1)，得到如下的波形方程

$\{\begin{array}{l}c{{\phi }^{\prime }}_1={{\phi }^{″}}_1-{\phi }_1+{\phi }_2-\gamma k{\phi }_1\left(1-{\phi }_2\right),\\ c{{\phi }^{\prime }}_2=k{\phi }_1\left(1-{\phi }_2\right)\end{array}$ (1.3)

并满足边界条件：

$\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\left({\phi }_1\left(\xi \right),{\phi }_2\left(\xi \right)\right)=\left(0,0\right),\underset{\xi \to +\infty }{\lim }\left({\phi }_1\left(\xi \right),{\phi }_2\left(\xi \right)\right)=\left(1,1\right).$

Hilhorst、King与Röger [3]证明了波前解的存在性。他们指出当降解速率足够大时，最小传播速度与极限问题的最小传播速度一致。Zhang等人[4]通过构造恰当的上下解，给出了该系统最小波速的线性选择条件。彭和易[5]利用比较原理和渐近分析的方法建立了波前解的局部渐近行为。He、He与Pan [6]基于适当加权函数空间中的谱方法，证明了波前解的局部稳定性。最近，Yang、Zhang与Tian [7]在条件(H)

下(即$\gamma <1$ 且$\frac{1}{2-\gamma }<k<\frac{1}{\gamma }$ )利用加权能量方法与比较原理，建立了大波速情形下波前解的全局指数稳定性。需要指出的是，假设条件$k<\frac{1}{\gamma }$ 比较严格。受文献[8]-[10]的启发，本文采用傅里叶变换与具有适当加

权函数的加权能量方法，证明在第2节所给的假设条件(A)下，波前解依然稳定，从而扩大了参数$k$ 的取值范围。

2. 预备知识和主要结果

为证明行波解的稳定性，我们需要作如下假设：

(A) $\gamma <1$ 且$\frac{1}{1-\gamma }<k<\frac{2}{1-\gamma }$ 。

与文献[7]中的假设(H)相比较，我们发现当$\gamma \ge 1/2$ 时，条件(A)可以扩大参数$k$ 的取值范围。

对于单调系统(1.1)，显然成立如下的比较原理。

引理2.1 (比较原理)设$\left(u^{-}\left(x,t\right),{\omega }^{-}\left(x,t\right)\right)$ 与$\left(u^{+}\left(x,t\right),{\omega }^{+}\left(x,t\right)\right)$ 分别为方程(1.1)在初值$\left(u_0^{-}\left(x\right),{\omega }_0^{-}\left(x\right)\right)$ 与$\left(u_0^{+}\left(x\right),{\omega }_0^{+}\left(x\right)\right)$ 下的解。若对一切$x\in R$ 都有

$\left(0,0\right)\le \left(u_0^{-}\left(x\right),{\omega }_0^{-}\left(x\right)\right)\le \left(u_0^{+}\left(x\right),{\omega }_0^{+}\left(x\right)\right)\le \left(1,1\right),$

则对一切$x\in R,t>0$ 都有

$\left(0,0\right)\le \left(u^{-}\left(x,t\right),{\omega }^{-}\left(x,t\right)\right)\le \left(u^{+}\left(x,t\right),{\omega }^{+}\left(x,t\right)\right)\le \left(1,1\right).$

令$C>0$ 表示通用常数，$C_i>0,\left(i=1,2,\cdots \right)$ 表示特定常数。$L^{\infty }\left(R\right)$ 是$R$ 上的本性有界函数空间，其范

数定义为${\left|f\right|}_{L^{\infty }}=\underset{x\in R}{\sup }\left|f\left(x\right)\right|$ 。$L_{\omega }^{\infty }\left(R\right)$ 为加权$L^{\infty }\left(R\right)$ 空间，其权函数为$\omega \left(x\right)>0$ ，范数定义为 ${\left|f\right|}_{L_{\omega }^{\infty }}=\underset{x\in R}{\sup }\left|\omega \left(x\right)f\left(x\right)\right|$ 。$l^2$ 为平方可和函数空间，其范数定义为${\left|z\right|}_2={\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{\left|z_i\right|}^2}\right)}^{1/2}$ ，其中$z=\left(z_1,z_2,\cdots ,z_N\right)$ 。

取$c\ge c_{\min }$ ，设$\left({\phi }_1\left(x+ct\right),{\phi }_2\left(x+ct\right)\right)$ 是系统(1.1)的一个波前解，其中波速为$c$ ，并连接$\left(0,0\right)$ 与$\left(1,1\right)$ 。我们定义如下权函数：

$w\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{\text{e}}^{-{\lambda }^{*}\left(x-{\zeta }_0\right)},\hfill & x\le {\zeta }_0,\hfill \\ 1,\hfill & x>{\zeta }_0,\hfill \end{array}$

其中${\zeta }_0$ 为充分大的常数，且${\lambda }^{*}=\sqrt{2+\left(\gamma -1\right)k}$ 。由于波的稳定性问题的困难在于不稳定平衡点$\left(0,0\right)$ ，因此，在利用能量方法的证明中我们引入指数权函数来克服这个困难。这里${\lambda }^{*}$ 的选取是技术性的。

定理2.2 (稳定性)假设条件(A)成立。任取系统(1.1)的一个连接$\left(0,0\right)$ 与$\left(1,1\right)$ 的波前解

$\left({\phi }_1\left(x+ct\right),{\phi }_2\left(x+ct\right)\right)$ ，其波速满足$c>c^{*}:=\max \left\{c_{\min },\frac{1+\left(\gamma +1\right)k}{2\sqrt{2+\left(\gamma -1\right)k}}\right\}$ 。若初值$\left(u_0\left(x\right),{\omega }_0\left(x\right)\right)$ 满足

$\left(0,0\right)\le \left(u_0\left(x\right),{\omega }_0\left(x\right)\right)\le \left(1,1\right),x\in R,$

且扰动满足

$\left(u_0-{\phi }_1,{\omega }_0-{\phi }_2\right)\in L_w^{\infty }\left(R\right)\times L_w^{\infty }\left(R\right),$

则(1.1)的具有初值$u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),w\left(x,0\right)={\omega }_0\left(x\right)$ 的解$\left(u\left(x,t\right),v\left(x,t\right)\right)$ 整体存在，满足

$\left(0,0\right)\le \left(u\left(x,t\right),\omega \left(x,t\right)\right)\le \left(1,1\right),\forall x\in R,t>0,$

且按时间指数收敛到该波前解$\left({\phi }_1\left(x+ct\right),{\phi }_2\left(x+ct\right)\right)$ ，即存在常数$\sigma >0$ 与$C>0$ ，使得

$\underset{x\in R}{\sup }\left|u\left(x,t\right)-{\phi }_1\left(x+ct\right)\right|\le C{\text{e}}^{-\sigma t},$

$\underset{x\in R}{\sup }\left|\omega \left(x,t\right)-{\phi }_2\left(x+ct\right)\right|\le C{\text{e}}^{-\sigma t}$

注记：文献[7]中的$c^{*}$ 为传播速度，与定理2.2中的$c^{*}$ 不同。本文的$c^{*}$ 与文献[7]定理2.6中的$\max \left\{c_{\min },\tilde{c}\right\}$ 角色一致。在参数$\gamma$ 和$k$ 的不同取值下，本文的$c^{*}$ 可能会比文献[7]定理2.6中的$\max \left\{c_{\min },\tilde{c}\right\}$ 小，也可能会大。

3. 行波解的稳定性

在本节中，我们致力于证明(1.1)的行波解的稳定性，即定理2.2。我们首先考虑如下线性(含时滞的)微分系统：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}z\left(t\right)=Az\left(t\right),t>0,\\ z\left(0\right)=z_0,\end{array}$ (3.1)

其中$A\in C^{N\times N}$ ，显然，系统(3.1)的解可表示为

$z\left(t\right)=z_0{\text{e}}^{At},$

这里${\text{e}}^{At}:={\displaystyle \sum }_{m=0}^{\infty }\frac{{\left(At\right)}^m}{m!}$ 。

需要说明的是，在文献[9] [11]中，作者分别在$N=1$ 与$N\ge 2$ 的情况下研究了带时滞的系统(3.1)。我们定义

${\mu }_1\left(A\right)=\underset{\theta \to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|I+\theta A\right|-1}{\theta }=\underset{1\le j\le N}{\max }\left[Re\left(a_{jj}\right)+{\displaystyle \sum }_{j\ne i}^N\left|a_{ij}\right|\right]$

以及

${\mu }_{\infty }\left(A\right)=\underset{\theta \to 0^{+}}{\lim }\frac{{\left|I+\theta A\right|}_{\infty }-1}{\theta }=\underset{1\le i\le N}{\max }\left[Re\left(a_{jj}\right)+{\displaystyle \sum }_{j\ne i}^N\left|a_{ij}\right|\right].$

这些定义见([9]，定理3.1)的证明。

引理3.1 假设矩阵$A$ 的矩阵度量满足

$\mu \left(A\right):=\frac{{\mu }_1\left(A\right)+{\mu }_{\infty }\left(A\right)}{2}<0$ ,

其中${\mu }_1\left(A\right)$ 与${\mu }_{\infty }\left(A\right)$ 分别是由1-范数与∞-范数诱导的矩阵度量。则对系统(3.1)任意解$z\left(t\right)$ ，存在一个常数$C_0>0$ ，使得

$\left|z\left(t\right)\right|\le C_0{\text{e}}^{-\alpha t},t>0,$ (3.2)

其中$\alpha =\left|\mu \left(A\right)\right|>0$ ，特别地

$\left|{\text{e}}^{At}\right|\le C_0{\text{e}}^{-\alpha t},t>0.$

证明：令

$W\left(z(\cdot ),t\right)={\left|z\left(t\right)\right|}_2^2={\displaystyle {\sum }_{i=1}^2{\left|z_i\left(t\right)\right|}^2}.$

则沿着系统(3.1)的方向导数(李雅普诺夫导数) DW为

$\begin{array}{c}DW\left(z(\cdot ),t\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left[{\overline{z}}_i\left(t\right)z\prime \left(t\right)+z_i\left(t\right){{\overline{z}}^{\prime }}_i\left(t\right)\right]}\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{{\overline{z}}_i\left(t\right){\displaystyle \sum _{j=1}^N{a}_{ij}}{z}_j\left(t\right)+z_i\left(t\right){\displaystyle \sum _{j=1}^N{\overline{a}}_{ij}}{\overline{z}}_j\left(t\right)\right\}}\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{a_{ii}{\overline{z}}_i\left(t\right)z_i\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{j\cancel{=}i}^N{a}_{ij}}{\overline{z}}_i\left(t\right)z_j\left(t\right)+{\overline{a}}_{ii}{z}_i\left(t\right){\overline{z}}_i\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{j\cancel{=}i}^N{\overline{a}}_{ij}}{z}_i\left(t\right){\overline{z}}_j\left(t\right)\right\}}\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{2Re\left(a_{ii}\right){\left|z_i\left(t\right)\right|}^2+2{\displaystyle \sum _{j\cancel{=}i}^{N}R}e\left(a_{ij}{\overline{z}}_i\left(t\right)z_j\left(t\right)\right)\right\}}\\ \le {\displaystyle \sum _{i=1}^N\left\{2Re\left(a_{ii}\right){\left|z_i\left(t\right)\right|}^2+{\displaystyle \sum _{j\cancel{=}i}^N\left|a_{ij}\right|}\left({\left|z_i\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_j\left(t\right)\right|}^2\right)\right\}}\\ \le \left({\mu }_1\left(A\right)+{\mu }_{\infty }\left(A\right)\right){\left|z\left(t\right)\right|}_2^2\\ =\left({\mu }_1\left(A\right)+{\mu }_{\infty }\left(A\right)\right)W\left(z(\cdot ),t\right).\end{array}$ (3.3)

对不等式(3.3)两边积分可得

$W\left(z(\cdot ),t\right)\le W\left(z(\cdot ),0\right){\text{e}}^{2\mu \left(A\right)t},t\ge 0$

注意到对某个$N>0$ 常数有$\left|z\left(t\right)\right|\le N{\left|z\left(t\right)\right|}_2$ 于是立刻推出式(3.2)成立。证明完毕。

为得到所需结论，我们需要先对系统(1.1)解的差建立先验估计。设$\left(u\left(x,t\right),\omega \left(x,t\right)\right)$ 是系统(1.1)在初值$\left(u_0\left(x\right),{\omega }_0\left(x\right)\right)$ 下的解。定义(对所有$x\in R$ )：

$u_0^{-}\left(x\right)=\min \left\{u_0\left(x\right),{\phi }_1\left(x\right)\right\},{\omega }_0^{-}\left(x\right)=\max \left\{{\omega }_0\left(x\right),{\phi }_2\left(x\right)\right\},$

$u_0^{+}\left(x\right)=\min \left\{u_0\left(x\right),{\phi }_1\left(x\right)\right\},{\omega }_0^{+}\left(x\right)=\max \left\{{\omega }_0\left(x\right),{\phi }_2\left(x\right)\right\}.$

容易得出对所有$x\in R$ ，有

$0\le u_0^{-}\left(x\right)\le u_0\left(x\right)\le u_0^{+}\left(x\right)\le 1,$

$0\le u_0^{-}\left(x\right)\le {\phi }_1\left(x\right)\le u_0^{+}\left(x\right)\le 1,$

$0\le {\omega }_0^{-}\left(x\right)\le {\omega }_0\left(x\right)\le {\omega }_0^{+}\left(x\right)\le 1,$

$0\le {\omega }_0^{-}\left(x\right)\le {\phi }_2\left(x\right)\le {\omega }_0^{+}\left(x\right)\le 1.$

令$\left(u^{\pm }\left(x,t\right),{\omega }^{\pm }\left(x,t\right)\right)$ 分别是初值为$\left(u_0^{\pm }\left(x\right),{\omega }_0^{\pm }\left(x\right)\right)$ 的系统(1.1)的解。由引理2.1的比较原理得，对于所有$x\in R,t>0$ ，有

$0\le u^{-}\left(x,t\right)\le u\left(x,t\right)\le u^{+}\left(x,t\right)\le 1,$

$0\le u^{-}\left(x,t\right)\le {\phi }_1\left(x+ct\right)\le u^{+}\left(x,t\right)\le 1,$

$0\le {\omega }^{-}\left(x,t\right)\le \omega \left(x,t\right)\le {\omega }^{+}\left(x,t\right)\le 1,$

$0\le {\omega }^{-}\left(x,t\right)\le {\phi }_2\left(x+ct\right)\le {\omega }^{+}\left(x,t\right)\le 1.$

接下来，我们将分三步完成定理2.2的证明。

步骤1：当任意给定$c\ge c^{*}$ 时，$\left(u^{+}\left(x,t\right),{\omega }^{+}\left(x,t\right)\right)$ 收敛到$\left({\phi }_1\left(x+ct\right),{\phi }_2\left(x+ct\right)\right)$ 。

令$\xi :=x+ct$ ，并设

$U_1\left(\xi ,t\right)=u^{+}\left(x,t\right)-{\phi }_1\left(x+ct\right),V_1\left(\xi ,t\right)={\omega }^{+}\left(x,t\right)-{\phi }_2\left(x+ct\right)$ ,

其初值为$U_{10}\left(\xi ,0\right)=u_0^{+}\left(x\right)-{\phi }_1\left(x\right)$ 且$V_{10}\left(\xi ,0\right)={\omega }_0^{+}\left(x\right)-{\phi }_2\left(x\right)$ 。

容易验证

$\{\begin{array}{l}{U}_{1t}+c{U}_{1\xi }=\Delta U_1-U_1+V_1-\gamma k{U}_1+\gamma k{U}_1\left(V_1+{\phi }_2\right)+\gamma k{\phi }_1{V}_1,\\ V_{1t}+c{V}_{1\xi }=k{U}_1-k{U}_1\left(V_1+{\phi }_2\right)-k{\phi }_1{V}_1.\end{array}$ (3.4)

由于$V_1+{\phi }_2\in \left(0,1\right)$ 且${\phi }_1\in \left(0,1\right)$ ，有

$-U_1+V_1-\gamma k{U}_1+\gamma k{U}_1\left(V_1+{\phi }_2\right)+\gamma k{\phi }_1{V}_1\le -U_1+\left(1+\gamma k\right)V_1,$

$k{U}_1-k{U}_1\left(V_1+{\phi }_2\right)-k{V}_1{\phi }_1\le k{U}_1.$

由(3.4)得

$\{\begin{array}{l}{U}_{1t}+c{U}_{1\xi }\le \Delta U_1-U_1+\left(1+\gamma k\right)V_1,\\ V_{1t}+c{V}_{1\xi }\le k{U}_1.\end{array}$ (3.5)

令$\left(U_1^{+}\left(\xi ,t\right),V_1^{+}\left(\xi ,t\right)\right)$ 为下述柯西问题的解

$\{\begin{array}{l}{U}_{1t}^{+}+c{U}_{1\xi }^{+}=\Delta U_1^{+}-U_1^{+}+\left(1+\gamma k\right)V_1^{+},\\ V_{1t}^{+}+c{V}_{1\xi }^{+}=k{U}_1^{+},\\ \left(U_1^{+}\left(\xi ,0\right),V_1^{+}\left(\xi ,0\right)\right)=\left(U_{10}\left(\xi ,0\right),V_{10}\left(\xi ,0\right)\right).\end{array}$ (3.6)

由比较原理得

$\left(U_1\left(\xi ,t\right),V_1\left(\xi ,t\right)\right)\le \left(U_1^{+}\left(\xi ,t\right),V_1^{+}\left(\xi ,t\right)\right),\forall \left(\xi ,t\right)\in R\times \left[0,+\infty \right).$ (3.7)

令

$\tilde{U}\left(\xi ,t\right)={\text{e}}^{-{\lambda }^{*}\left(\xi -{\zeta }_0\right)}{U}_1^{+}\left(\xi ,t\right),\tilde{V}\left(\xi ,t\right)={\text{e}}^{-{\lambda }^{*}\left(\xi -{\zeta }_0\right)}{V}_1^{+}\left(\xi ,t\right)$,

其中${\zeta }_0$ 为充分大的常数(具体取值稍后给出)。由(3.6)可得$\left(\tilde{U}\left(\xi ,t\right),\tilde{V}\left(\xi ,t\right)\right)$ 满足

$\{\begin{array}{l}{\tilde{U}}_t+\left(c-2{\lambda }^{*}\right){\tilde{U}}_{\xi }={\tilde{U}}_{\xi \xi }+\left({\lambda }^{*}{}^2-c{\lambda }^{*}-1\right)\tilde{U}+\left(1+\gamma k\right)\tilde{V},\\ {\tilde{V}}_t+c{\tilde{V}}_{\xi }=k\tilde{U}-c{\lambda }^{*}\tilde{V}.\end{array}$ (3.8)

对系统(3.8)作傅里叶变换，得

$\{\begin{array}{l}{\widehat{U}}_t\left(\eta ,t\right)=-\left[-{\eta }^2-i\eta \left(c-2{\lambda }^{*}\right)+{\lambda }^{*2}-c{\lambda }^{*}-1\right]\widehat{U}\left(\eta ,t\right)+\left(1+\gamma k\right)\widehat{V}\left(\eta ,t\right),\\ {\widehat{V}}_t\left(\eta ,t\right)=k\widehat{U}\left(\eta ,t\right)-\left(c{\lambda }^{*}+ic\eta \right)\widehat{V}\left(\eta ,t\right),\end{array}$ (3.9)

其中

$\widehat{U}\left(\eta ,t\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\tilde{U}\left(\xi ,t\right){\text{e}}^{-i\eta \xi }\text{d}\xi },\widehat{V}\left(\eta ,t\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\tilde{V}\left(\xi ,t\right){\text{e}}^{-i\eta \xi }\text{d}\xi }.$

令

$Z\left(\xi ,t\right)={\left(\tilde{U}\left(\xi ,t\right),\tilde{V}\left(\xi ,t\right)\right)}^{\text{T}},\widehat{Z}\left(\eta ,t\right)={\left(\widehat{U}\left(\eta ,t\right),\widehat{V}\left(\eta ,t\right)\right)}^{\text{T}}.$

于是，系统(3.9)可改写为如下微分系统：

$\frac{\partial \widehat{Z}\left(\eta ,t\right)}{\partial t}=A\left(\eta \right)\widehat{Z}\left(\eta ,t\right),$ (3.10)

其中，

$A\left(\eta \right)=\left(\begin{array}{cc}-{\eta }^2-i\eta \left(2{\lambda }^{*}+c\right)+{\lambda }^{*2}-c{\lambda }^{*}-1& 1+\gamma k\\ k& -c{\lambda }^{*}-ic\eta \end{array}\right).$

(3.10)的解可表示为

$\widehat{Z}\left(\eta ,t\right)={\text{e}}^{A\left(\eta \right)t}{\widehat{Z}}_0\left(\eta \right).$

因此，取逆傅里叶变换可得

$Z\left(\xi ,t\right)=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{i\eta \xi }{\text{e}}^{A\left(\eta \right)t}{\widehat{Z}}_0\left(\eta \right)\text{d}\eta }.$

引理3.2 成立如下结论

${\left|U_1\left(\cdot ,t\right)\right|}_{L^{\infty }\left({\Omega }_{-}\right)}+{\left|V_1\left(\cdot ,t\right)\right|}_{L^{\infty }\left({\Omega }_{-}\right)}\le C{\text{e}}^{-\alpha t},$

其中，${\Omega }_{-}:=\left(-\infty ,{\zeta }_0\right]$ 。

证明：由于${\lambda }^{*}=\sqrt{2+\left(\gamma -1\right)k}$ ，且条件(A)成立，故经计算可得

${\mu }_1\left(A\left(\eta \right)\right)=\max \left\{-{\eta }^2+{\lambda }^{*2}-c{\lambda }^{*}-1+k,-c{\lambda }^{*}+1+\gamma k\right\}=-c{\lambda }^{*}+1+\gamma k$

以及

${\mu }_{\infty }\left(A\left(\eta \right)\right)=\max \left\{-{\eta }^2+{\lambda }^{*2}-c{\lambda }^{*}+\gamma k,-c{\lambda }^{*}+k\right\}=-c{\lambda }^{*}+k.$

因此

$\mu \left(A\left(\eta \right)\right)=\frac{{\mu }_1\left(A\left(\eta \right)\right)+{\mu }_{\infty }\left(A\left(\eta \right)\right)}{2}=-c{\lambda }^{*}+\frac{1+\left(\gamma +1\right)k}{2}<0,$

由于

$c>c^{*}>\frac{1+\left(\gamma +1\right)k}{2{\lambda }^{*}}=\frac{1+\left(\gamma +1\right)k}{2\sqrt{2+\left(\gamma -1\right)k}},$

故由引理3.1可得

$\left|{\text{e}}^{A\left(\eta \right)t}\right|\le C_0{\text{e}}^{-\alpha t},t>0.$ (3.11)

进一步，利用(3.11)得

$\begin{array}{c}\underset{\xi \in R}{\sup }Z\left(\xi ,t\right)=\underset{\xi \in R}{\sup }\Vert \frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\text{e}}^{i\xi \eta }{\text{e}}^{A\left(\eta \right)t}{\widehat{Z}}_0\left(\eta \right)\text{d}\eta }\Vert \\ \le C_0{\text{e}}^{-\alpha t}\underset{\xi \in R}{\sup }\Vert \frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\text{e}}^{i\xi \eta }{\widehat{Z}}_0\left(\eta \right)\text{d}\eta }\Vert \\ \le C_0{\text{e}}^{-\alpha t}\underset{\xi \in R}{\sup }\Vert Z_0\left(\xi ,t\right)\Vert .\end{array}$

由此可以推出

${\left|\tilde{U}\left(\cdot ,t\right)\right|}_{L^{\infty }\left(R\right)}+{\left|\tilde{V}\left(\cdot ,t\right)\right|}_{L^{\infty }\left(R\right)}\le C_1{\text{e}}^{-\alpha t},$ (3.12)

其中$C_1:=C_0\left({\left|U_0\right|}_{L^{\infty }\left({\Omega }_{-}\right)}+{\left|V_0\right|}_{L^{\infty }\left({\Omega }_{-}\right)}\right)$ 。由(3.7)以及当$\xi \le {\zeta }_0$ 时，${\text{e}}^{{\lambda }^{*}\left(\xi -{\zeta }_0\right)}\le 1$ ，得到

$0\le U_1\left(\xi ,t\right)\le U_1^{+}\left(\xi ,t\right)={\text{e}}^{{\lambda }^{*}\left(\xi -{\zeta }_0\right)}\tilde{U}\left(\xi ,t\right)\le \tilde{U}\left(\xi ,t\right),$

$0\le V_1\left(\xi ,t\right)\le V_1^{+}\left(\xi ,t\right)={\text{e}}^{{\lambda }^{*}\left(\xi -{\zeta }_0\right)}\tilde{V}\left(\xi ,t\right)\le \tilde{V}\left(\xi ,t\right)$

对所有$\xi \in {\Omega }_{-}:=\left(-\infty ,{\zeta }_0\right]$ 成立。由(3.12)立即得到

${\Vert U_1\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left({\Omega }_{-}\right)}+{\Vert V_1\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left({\Omega }_{-}\right)}\le C{\text{e}}^{-\alpha t},$

其中$C>0$ 为常数。证明完毕。

引理3.3 若$c>c^{*}$ ，则存在一个足够大的数${\zeta }_0>0$ ，使得

$\underset{\xi \in \left[{\zeta }_0,+\infty \right)}{\sup }{U}_1\left(\xi ,t\right)\le C{\text{e}}^{-\beta t},\underset{\xi \in \left[{\zeta }_0,+\infty \right)}{\sup }{V}_1\left(\xi ,t\right)\le C{\text{e}}^{-\beta t},t>0,$ (3.13)

其中，$\beta =\min \left\{1,\left(1-\gamma \right)k-1\right\}$ 。

证明：注意到$\left(U_1,V_1\right)$ 满足

$\{\begin{array}{l}{U}_{1t}+c{U}_{1\xi }\le \Delta U_1-U_1+\left(1+\gamma k\right)V_1,\\ V_{1t}+c{V}_{1\xi }\le k{U}_1-k{U}_1{\phi }_2-k{\phi }_1{V}_1.\end{array}$ (3.14)

对(3.14)的第一个不等式取极限$\xi \to \infty$ ，并注意到由于$\left(\xi ,t\right)\in R\times \left[0,+\infty \right)$ 上$U_1\left(\xi ,t\right)$ 有界，故$U_{1\xi }\left(\infty ,t\right)=0$ ，$\Delta U_1\left(\infty ,t\right)=0$ ，于是得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{U}_1\left(\infty ,t\right)\le -U_1\left(\infty ,t\right)+\left(1+\gamma k\right)V_1\left(\infty ,t\right)$ (3.15)

对(3.15)在区间$\left[0,t\right]$ 上积分，得到

$U_1\left(\infty ,t\right)\le U_1\left(\infty ,0\right)-{\displaystyle {\int }_0^t{U}_1}\left(\infty ,s\right)\text{d}s+\left(1+\gamma k\right){\displaystyle {\int }_0^t{V}_1}\left(\infty ,s\right)\text{d}s.$ (3.16)

同理，对(3.14)的第二条不等式令$\xi \to \infty$ ，并注意到$V_1\left(\xi ,t\right)$ 在$\left(\xi ,t\right)\in R\times \left[0,+\infty \right)$ 有界从而$V_{1\xi }\left(\infty ,t\right)=0$ ，且${\phi }_i\left(\infty \right)=1,i=1,2$ ，于是得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{V}_1\left(\infty ,t\right)\le -k{V}_1\left(\infty ,t\right)$ (3.17)

对(3.17)在区间$\left[0,t\right]$ 上积分得

$V_1\left(\infty ,t\right)\le V_1\left(\infty ,0\right)-k{\displaystyle {\int }_0^t{V}_1\left(\infty ,s\right)\text{d}s}$ (3.18)

将(3.16)与(3.18)相加可得

$U_1\left(\infty ,t\right)+V_1\left(\infty ,t\right)\le \left[U_1\left(\infty ,0\right)+V_1\left(\infty ,0\right)\right]-{\displaystyle {\int }_0^t{U}_1}\left(\infty ,s\right)\text{d}s-\left(k-1-\gamma k\right){\displaystyle {\int }_0^t{V}_1}\left(\infty ,s\right)\text{d}s.$ (3.19)

由条件(A)有$k>\frac{1}{1-\gamma }$ 。显然，$k-1-\gamma k=\left(1-\gamma \right)k-1>0$ ，选取$\beta =\min \left\{1,\left(1-\gamma \right)k-1\right\}>0$ ，由(3.19)推得

$U_1\left(\infty ,t\right)+V_1\left(\infty ,t\right)\le -\beta \left[{\displaystyle {\int }_0^t{U}_1\left(\infty ,s\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^t{V}_1\left(\infty ,s\right)\text{d}s}\right]+C_2$ (3.20)

其中$C_2=U_1\left(\infty ,0\right)+V_1\left(\infty ,0\right)$ ，由Gronwall不等式，(3.20)推出

$U_1\left(\infty ,t\right)+V_1\left(\infty ,t\right)\le C_3{\text{e}}^{-\beta t}.$ (3.21)

这意味着

$\underset{\xi \to \infty }{\lim }{U}_1\left(\xi ,t\right)\le C{\text{e}}^{-\beta t},\underset{\xi \to \infty }{\lim }{V}_1\left(\xi ,t\right)\le C{\text{e}}^{-\beta t},t>0.$

因此，存在一个足够大的数${\zeta }_0>0$ ，使得(3.13)成立。证明完毕。

基于引理3.2与引理3.3，立即得到如下引理。

引理3.4 对任意，有

${\Vert U_1\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(R\right)}+{\Vert V_1\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(R\right)}\le C{\text{e}}^{-\sigma t},t>0,$

其中，$0<\sigma <\min \left\{\alpha ,\beta \right\}$ 。

由$U_1\left(\xi ,t\right)$ 和$V_1\left(\xi ,t\right)$ 的定义，可得解$\left(u^{+}\left(x,t\right),{\omega }^{+}\left(x,t\right)\right)$ 具有如下收敛性。

引理3.5 当$c>c^{*}$ ，

$\underset{x\in R}{\sup }\left|u^{+}\left(x,t\right)-{\phi }_1\left(x+ct\right)\right|\le C{\text{e}}^{-\sigma t},t>0,$

$\underset{x\in R}{\sup }\left|{\omega }^{+}\left(x,t\right)-{\phi }_2\left(x+ct\right)\right|\le C{\text{e}}^{-\sigma t},t>0,$

其中，$0<\sigma <\min \left\{\alpha ,\beta \right\}$ 。

步骤2：$\left(u^{-}\left(x,t\right),{\omega }^{-}\left(x,t\right)\right)$ 收敛到$\left({\phi }_1\left(x+ct\right),{\phi }_2\left(x+ct\right)\right)$ 。

对任意给定$c>c^{*}$ ，令$\xi =x+ct$ ，并设

$U_2\left(\xi ,t\right)={\phi }_1\left(x+ct\right)-u^{-}\left(x,t\right),V_2\left(\xi ,t\right)={\phi }_2\left(x+ct\right)-{\omega }^{-}\left(x,t\right),$

其初值为$U_{20}\left(\xi ,0\right)={\phi }_1\left(x\right)-u_0^{-}\left(x\right),V_{20}\left(\xi ,0\right)={\phi }_2\left(x\right)-{\omega }_0^{-}\left(x\right)$ ，其中$t>0,\xi \in R$ 。与步骤1同理，可类似证明$\left(u^{-}\left(x,t\right),{\omega }^{-}\left(x,t\right)\right)$ 收敛到$\left({\phi }_1\left(x+ct\right),{\phi }_2\left(x+ct\right)\right)$ 。

引理3.6 对于任意$c>c^{*}$ ，存在一个正数$\sigma$ ，使得

$\underset{x\in R}{\sup }\left|u^{-}\left(x,t\right)-{\phi }_1\left(x+ct\right)\right|\le C{\text{e}}^{-\sigma t},t>0,$

$\underset{x\in R}{\sup }\left|{\omega }^{-}\left(x,t\right)-{\phi }_2\left(x+ct\right)\right|\le C{\text{e}}^{-\sigma t},t>0,$

其中$0<\sigma <\min \left\{\alpha ,\beta \right\}$ 。

步骤3：$\left(u\left(x,t\right),\omega \left(x,t\right)\right)$ 收敛到$\left({\phi }_1\left(x+ct\right),{\phi }_2\left(x+ct\right)\right)$ 。

定理2.2的证明：因为

$\left(0,0\right)\le \left(u^{-}\left(x,t\right),{\omega }^{-}\left(x,t\right)\right)\le \left(u\left(x,t\right),\omega \left(x,t\right)\right)\le \left(u^{+}\left(x,t\right),{\omega }^{+}\left(x,t\right)\right)\le \left(1,1\right)$

且

$\left(0,0\right)\le \left(u^{-}\left(x,t\right),{\omega }^{-}\left(x,t\right)\right)\le \left({\phi }_1\left(x+ct\right),{\phi }_2\left(x+ct\right)\right)\le \left(u^{+}\left(x,t\right),{\omega }^{+}\left(x,t\right)\right)\le \left(1,1\right),$

其中$x\in R,t>0$ ，所以由引理3.5与引理3.6并利用夹逼准则论证，可立即得到：对任意$c>c^{*}$ ，存在常数$\sigma >0,C>0$ 使得

$\underset{x\in R}{\sup }\left|u\left(x,t\right)-{\phi }_1\left(x+ct\right)\right|\le C{\text{e}}^{-\sigma t},t>0,$

$\underset{x\in R}{\sup }\left|\omega \left(x,t\right)-{\phi }_2\left(x+ct\right)\right|\le C{\text{e}}^{-\sigma t},t>0.$

定理2.2证毕。

基金项目

国家自然科学基金(12261081, 11861056)。

NOTES

^*通讯作者。