具有小/大扩散系数的二维线性二阶椭圆算子的主特征值的渐近行为

Asymptotic Behavior of the Principal Eigenvalues of Two-Dimensional Linear Second-Order Elliptic Operators with Small/Large Diffusion Coefficients

摘要: 本文研究一类带有强/弱扩散和对流项的二维线性二阶椭圆算子在Neumann边界条件下的主特征值问题：$-D\Delta \phi -2\alpha \nabla m\left(x\right)\cdot \nabla \phi +V\left(x\right)\phi =\lambda \phi$ 。我们重点分析主特征值在扩散系数趋于零或对流强度趋于无穷时的渐近行为，特别关注特征函数的集中位置、局域结构及其与几何特征之间的关系。为此，本文在奇异曲线邻域引入适应局部几何的移动坐标系，并结合一致渐近展开、局部曲率及势函数的精细估计，系统建立了主特征函数在极限情形下出现的结构以及主特征值的显式渐近式。所得结果揭示了扩散、对流与几何曲率之间的潜在耦合机制，为理解参数依赖型椭圆算子的谱性质提供了统一框架，并对已有文献中的相关结论进行了自然推广。

Abstract: This paper investigates the principal eigenvalue problem for a class of two-dimensional linear second-order elliptic operators with strong/weak diffusion and convection terms under Neumann boundary conditions：$-D\Delta \phi -2\alpha \nabla m\left(x\right)\cdot \nabla \phi +V\left(x\right)\phi =\lambda \phi$ . We focus on analyzing the asymptotic behavior of the principal eigenvalues as the diffusion coefficient approaches zero or the convection intensity tends to infinity, paying particular attention to the localization of eigenfunctions, their local structure, and their relationship with geometric parameters. To this end, we introduce a moving coordinate system adapted to the local geometry in the vicinity of singular curves. By combining uniform asymptotic expansions, local curvature estimates, and refined estimates for the potential function, we systematically establish the structure of the principal eigenfunction in the limit cases and derive explicit asymptotic formulas for the principal eigenvalues. The results reveal underlying coupling mechanisms among diffusion, convection, and geometric curvature, providing a unified framework for understanding the spectral properties of parameter-dependent elliptic operators and offering a natural extension of related conclusions in the existing literature.

1. 引言

关于椭圆方程及协同椭圆系统在小或大扩散率极限下主特征值的渐近行为，长期以来一直是研究热点[1]-[7]。从多种视角考察扩散对种群动力学、生态学与进化的影响已有大量研究成果[8]-[18]。主特征值在反应–扩散系统的稳定性分析、模式形成以及长期动力学行为中具有核心作用，是线性算子谱理论与非线性偏微分方程研究中的基本对象[5] [19]。对于具有扩散与对流项的二阶椭圆算子，其主特征值的大小不仅反映势函数的局部结构，还受到扩散尺度、对流强度以及区域几何性质的共同影响。近年来，围绕主特征值对参数的依赖性展开的一系列研究显著推动了多类偏微分方程模型的理论发展，包括抛物方程的时间周期情形[5] [19]、具有漂移项的椭圆问题[18]以及与生态模型相关的扩散–迁移演化问题[11] [12]。其中，在大对流或小扩散极限下给出主特征值的渐近行为[1]，是理解局域化现象与几何影响的重要途径。

对小扩散参数的特征值问题，经典结果可追溯至Friedman [2]与Wentzell [6]，他们证明主特征函数在势函数局部极值点附近集中，并建立了高阶近似的基本框架。随后，Donsker-Varadhan [20]及其后续研究进一步揭示了扩散弱化时特征函数的集中机制，其主特征值的主导项由势函数的局部结构控制。在强对流极限方面，Berestycki-Hamel-Nadirashvili [18]以及Chen-Lou [3]的研究表明，漂移项驱动特征函数沿特征流线或能量最小化路径实现空间集中，主特征值的极限行为可通过漂移场的旋转结构或局部几何不变量进行描述。

然而，现有研究在处理二维区域中“曲线型奇异结构”时仍较为有限。大部分偏微分方程文献主要聚焦于点状或离散奇异集的集中现象[8] [21]，而对于由闭合光滑曲线主导的特征函数集中行为，理论上仍缺少系统性的处理方法。特别是在Neumann边界条件下，当扩散趋于零或对流强度趋于无穷时，主特征值如何由曲线的局部曲率、势函数的切向结构以及对流项的变化共同决定，这一问题目前仅在零星文献中出现，仍有待进一步深入。

基于上述背景，本文考虑定义在二维光滑区域上的一类线性二阶椭圆算子，其奇异结构由一条闭合光滑曲线给出。为了捕捉曲线附近的局部几何效应，我们在奇异曲线邻域构造适应曲率变化的移动坐标系，将算子局域化到窄带区域中，并通过一致渐近展开与多尺度分析的方法，推导主特征值在大对流与小扩散极限下的渐近式。所得结果刻画了扩散、对流与曲率之间的耦合机制，并为非自伴算子背景下的参数依赖型谱理论提供了可推广的技术框架。该分析不仅在结构上统一了大对流与小扩散两类极限情形，也对已有文献中关于集中现象的讨论形成自然补充与拓展。

我们考虑如下线性化的特征值问题，

$\{\begin{array}{ll}-D\Delta \phi -2\alpha \nabla m\cdot \nabla \phi +V\phi =\lambda \phi ,\hfill & \text{in }\Omega ,\hfill \\ {\partial }_n\phi =0,\hfill & \text{on }\partial \Omega \hfill \end{array}$ (1)

本文中假设区域$\Omega \subset {ℝ}^2$ 为有界$C^3$ 光滑域，势函数$V,m\in C^3\left(\overline{\Omega }\right)$ ，由经典椭圆正则性理论，文中涉及的泰勒展开、曲率坐标构造等均在上述正则性框架内严格成立。其中常数$D>0$ ，$\alpha$ 为扩散与对流系数；$m\left(x\right)$ 与$v\left(x\right)$ 为定义在闭域$\overline{\Omega }$ 上的光滑函数。

设$\Gamma$ 是${ℝ}^2$ 中一条光滑的闭曲线，其总长度记为$l=\left|\Gamma \right|$ 。曲线上任意一点$x$ 满足条件$\left|\nabla m\left(x\right)\right|=0$ 。我们取$\Gamma$ 的标准参数化$\gamma \left(\theta \right)$ ，一般自然是正向的，且以长度为参数，其中$\theta$ 表示从曲线上某一固定点起量的弧长参数。记$\upsilon \left(\theta \right)$ 为曲线$\Gamma$ 的外侧单位法向量。若点$\left(x,y\right)$ 足够靠近$\Gamma$ ，即距离小于某一充分小的常数${\delta }_0>0$ ，则可表示为

其中$\left|t\right|<{\delta }_0$ ，$\theta \in \left[0,l\right)$ 。同时映射$\left(x,y\right)\mapsto \left(\theta ,t\right)$ 在该邻域内为局部微分同胚。向量${\gamma }^{\prime }\left(\theta \right)$ 与$\upsilon \left(\theta \right)$ 分别为曲线$\Gamma$ 的切向量与法向量。

首先给出一个引理。

引理1.1.切向量${\gamma }_{1^{\prime }}\left(\theta \right),{\gamma }_{2^{\prime }}\left(\theta \right)$ 与法向量${\nu }_1\left(\theta \right),{\nu }_2\left(\theta \right)$ ，满足下述关系：

${\gamma }_{1^{\prime }}\left(\theta \right){\nu }_2\left(\theta \right)-{\gamma }_{2^{\prime }}\left(\theta \right){\nu }_1\left(\theta \right)=1.$

证明.根据叉乘(或二维向量的外积/行列式)定义，有

$\left|{\gamma }^{\prime }\left(\theta \right)\times \nu \left(\theta \right)\right|=\left|{\gamma }^{\prime }\left(\theta \right)\right|\left|\nu \left(\theta \right)\right|\sin \angle \left({\gamma }^{\prime }\left(\theta \right),\nu \left(\theta \right)\right)=1\cdot 1\cdot \sin \frac{\pi }{2}=1,$ (2)

因为切向量与法向量互相垂直且均为单位向量。

用坐标表示有

${\gamma }^{\prime }\left(\theta \right)={\gamma }_{1^{\prime }}\left(\theta \right)i+{\gamma }_{2^{\prime }}\left(\theta \right)j,\nu \left(\theta \right)={\nu }_1\left(\theta \right)i+{\nu }_2\left(\theta \right)j.$ (3)

因此${\gamma }^{\prime }\left(\theta \right)\times \nu \left(\theta \right)=\left({\gamma }_{1^{\prime }}\left(\theta \right){\nu }_2\left(\theta \right)-{\gamma }_{2^{\prime }}\left(\theta \right){\nu }_1\left(\theta \right)\right)\left(i\times j\right)$ 。

注意到$i\times i=j\times j=0,i\times j=-j\times i,i\times j=1$ ，于是得到

$\left|{\gamma }^{\prime }\left(\theta \right)\times \nu \left(\theta \right)\right|={\gamma }_{1^{\prime }}\left(\theta \right){\nu }_2\left(\theta \right)-{\gamma }_{2^{\prime }}\left(\theta \right){\nu }_1\left(\theta \right).$

将(2)与(3)联立，可得所需结论${\gamma }_{1^{\prime }}\left(\theta \right){\nu }_2\left(\theta \right)-{\gamma }_{2^{\prime }}\left(\theta \right){\nu }_1\left(\theta \right)=1$ ，证明完毕。

由$\left|{\gamma }^{\prime }\left(\theta \right)\right|=1$ ，且满足${\nu }^{\prime }\left(\theta \right)=k\left(\theta \right){\gamma }^{\prime }\left(\theta \right)$ 、${\gamma }^{″}\left(\theta \right)=k\left(\theta \right)\nu \left(\theta \right)$ 及${\gamma }_{1^{\prime }}^2+{\gamma }_{2^{\prime }}^2=1$ ，其中$k\left(\theta \right)$ 表示曲线$\Gamma$ 的曲率，故可以将方程重写为以变量$\theta$ 与$t$ 表示的形式：

$\{\begin{array}{ll}-D\left[{\phi }_{\theta \theta }\frac{1}{{\left(1+kt\right)}^2}+{\phi }_{tt}-{\phi }_{\theta }\frac{k^{\prime }t}{{\left(1+kt\right)}^3}-{\phi }_t\frac{k}{1+kt}\right]+2\alpha \left(m_{\theta }{\phi }_{\theta }\frac{1}{{\left(1+kt\right)}^2}+m_t{\phi }_t\right)+V\phi =\lambda \phi \hfill & \text{in }\Omega ,\hfill \\ {\partial }_n\phi =0\hfill & \text{on }\partial \Omega .\hfill \end{array}$ (4)

将方程(4)乘以${\text{e}}^{2\alpha m/D}$ ，可写成散度形式：

$\{\begin{array}{ll}-D\nabla \cdot \left({\text{e}}^{2\alpha m/D}\nabla \phi \right)+{\text{e}}^{2\alpha m/D}V\phi =\lambda {\text{e}}^{2\alpha m/D}\phi \hfill & \text{in }\Omega ,\hfill \\ {\partial }_n\phi =0\hfill & \text{on }\partial \Omega .\hfill \end{array}$ (5)

定义算子L为$Lu=-D\Delta u-\alpha \nabla m\cdot \nabla u+V\left(x\right)u$ ，通过代换$u=w\psi$ 、$w={\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2D}m}$ ，可将L转化为无一阶

项的算子$\tilde{L}=-D\Delta +\tilde{V}$ ，该算子在$L^2\left(\Omega \right)$ 上是自伴的，因此L与其相似。又问题(5)的所有特征值为实数，其最小特征值记为$\lambda \left(\alpha ,D\right)$ ，并且主特征值具有如下表征：

(6)

2. 当$\alpha \to \infty$ 且$D$ 固定的情形

陈和楼在文献[1]中给出了下述重要结果：

引理2.1. 假设$m\left(x\right)$ 的所有临界点均为非退化的。则当$\frac{\alpha }{\left(1+D\right)\ln \left(2+D\right)}\to \infty$ 时，有

$\lim \lambda \left(\alpha ,D\right)={\min }_{x\in ℳ}V\left(x\right),$

其中$ℳ$ 表示$m$ 的局部极大点集合。

证明. 做变量代换

$\tilde{\theta }=\sqrt{\alpha }\left(\theta -{\theta }_0\right),\tilde{t}=\sqrt{\alpha }\left(t-t_0\right)$ (7)

其中取$t_0=0$ ，在点$\left({\theta }_0,t_0\right)$ 处对二元函数$m\left(\theta ,t\right)$ 以及在${\theta }_0$ 处对曲率函数$k\left(\theta \right)$ 作泰勒展开，并将$m\left(\theta ,t\right)$ 用$\tilde{\theta },\tilde{t}$表示、将$k\left(\theta \right)$ 用$\tilde{\theta }$ 表示，得到：

$\begin{array}{c}m\left(\theta ,t\right)=m\left({\theta }_0,t_0\right)+\frac{1}{2}{m}_{\theta \theta }{\left(\theta -{\theta }_0\right)}^2+\frac{1}{2}{m}_{tt}{\left(t-t_0\right)}^2+m_{\theta t}\left(\theta -{\theta }_0\right)\left(t-t_0\right)\\ =m\left(0,0\right)+\frac{1}{2\alpha }{m}_{\tilde{\theta }\tilde{\theta }}{\tilde{\theta }}^2+\frac{1}{2\alpha }{m}_{\tilde{t}\tilde{t}}{\tilde{t}}^2+\frac{1}{\alpha }{m}_{\tilde{\theta }\tilde{t}}\tilde{\theta }\tilde{t}+O\left({\alpha }^{-3/2}\right)\end{array}$ (8)

以及

$\begin{array}{c}k\left(\theta \right)=k\left({\theta }_0\right)+k^{\prime }\left({\theta }_0\right)\left(\theta -{\theta }_0\right)+\frac{1}{2}{k}^{″}\left({\theta }_0\right){\left(\theta -{\theta }_0\right)}^2+O\left({\left(\theta -{\theta }_0\right)}^3\right)\\ =k\left(0\right)+\frac{1}{\sqrt{\alpha }}{k}^{\prime }\left(0\right)\tilde{\theta }+\frac{1}{2\alpha }{k}^{″}\left(0\right){\tilde{\theta }}^2+O\left({\alpha }^{-1}{\tilde{\theta }}^2\right)\end{array}$ (9)

在上述展开中我们利用了$m_{\theta }\left({\theta }_0,t_0\right)=m_t\left({\theta }_0,t_0\right)=0$ 。

将$m\left(\theta ,t\right)$ 与$k\left(\theta \right)$ 的结果代入公式(5)，我们注意到当$\alpha \to \infty$ 时，$\alpha$ 的变化与$k\left(\theta \right)$ 的变化相互独立，因此在闭曲线$\Gamma$ 上仍然得到相同的结论：

$\underset{\alpha \to \infty }{\lim }\lambda \left(\alpha ,D\right)={\min }_{x\in ℳ}V\left(x\right).$

定理2.1. 假设在${\Sigma }_1^{*}$ 上有$D^{2}m<0$ ，则

$\underset{\frac{\alpha }{\left(1+D\right)\ln \left(2+D\right)}\to \infty }{\lim }\lambda \left(\alpha ,D\right)={\min }_{{\Sigma }_1^{*}}V.$

其中${\Sigma }_1^{*}:=\left\{x\in \overline{\Omega }:\left|\nabla m\left(x\right)\right|=0,D^{2}m\left(x\right)\le 0\right\}$。

证明. 我们先来证明上界的部分。

令$x_0\in {\Sigma }_1^{*}$ 。则存在正的常数$c$ 与$R_1$ ，使得

$m\left(x_0\right)-m\left(x\right)\ge c{\left|x-x_0\right|}^2$ (10)

当$x_0\in {\Sigma }_1^{*}$ 且$\forall x\in B\left(x_0,R_1\right)\cap \overline{\Omega }$成立。

事实上，当$x_0\in {\Sigma }_1^{*}$ 时，由于$D^{2}m\left(x_0\right)<0$ ，有

$m\left(x\right)-m\left(x_0\right)=\frac{1}{2}{\left(x-x_0\right)}^{\text{T}}\left(D^{2}m\left(x_0\right)+o\left(1\right)\right)\left(x-x_0\right)\le \left[\frac{{\kappa }^{*}\left(x_0\right)}{2}+o\left(1\right)\right]{\left|x-x_0\right|}^2$

其中${\kappa }^{*}\left(x_0\right)\le 0$ 为$D^{2}m\left(x_0\right)$ 的最大特征值。取$c=-\frac{1}{4}{\kappa }^{*}\left(x_0\right)$ 并选择足够小的$R_1$ ，即可得到上述不等式。

我们还有

$m\left(x\right)-m\left(x_0\right)=\frac{1}{2}{\left(x-x_0\right)}^{\text{T}}\left(D^{2}m\left(x_0\right)+o\left(1\right)\right)\left(x-x_0\right)\ge \left[\frac{\overline{\kappa }\left(x_0\right)}{2}+o\left(1\right)\right]{\left|x-x_0\right|}^2$

其中$\overline{\kappa }\left(x_0\right)\le 0$ 为$D^{2}m\left(x_0\right)$ 的最小特征值。取$C=2\left|\overline{\kappa }\left(x_0\right)\right|$ ，并令$R_1$ 足够小，即得到相应的不等式。

固定任一$R\in \left(0,R_1/2\right]$ 并定义

$\eta \left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1,\hfill & \left|x-x_0\right|<R,\hfill \\ 2-\frac{\left|x-x_0\right|}{R},\hfill & \left|x-x_0\right|\in \left[R,2R\right],\hfill \\ 0,\hfill & \left|x-x_0\right|>2R,\hfill \end{array}$

以及

$\zeta \left(x\right)={\text{e}}^{\alpha \left[m\left(x\right)-m\left(x_0\right)\right]/D}\eta \left(x\right),c_{\alpha ,D}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\zeta }^2}\left(x\right)\text{d}x,w\left(x\right)=\frac{\zeta \left(x\right)}{\sqrt{c_{\alpha ,D}}}.$

注意到

$\nabla w-\frac{\alpha w}{D}\nabla m={\text{e}}^{\alpha \left[m\left(x\right)-m\left(x_0\right)\right]/D}\frac{\nabla \eta }{\sqrt{c_{\alpha ,D}}}.$

在$\overline{B}\left(x_0,R\right)\cup \left({ℝ}^N\backslash B\left(x_0,2R\right)\right)$ 上有$\left|\nabla \eta \right|=0$ ，而在$\overline{\Omega }\cap B\left(x_0,2R\right)\backslash \overline{B}\left(x_0,R\right)$ 上有$\left|\nabla \eta \right|=1/R$ 。因此，

$\begin{array}{c}D{\left(\nabla w-\frac{\alpha w}{D}\nabla m\right)}^2=\frac{D}{c_{\alpha ,D}}{\text{e}}^{2\alpha \left[m\left(x\right)-m\left(x_0\right)\right]/D}{\left|\nabla \eta \right|}^2=\frac{1}{c_{\alpha ,D}}\frac{D}{R^2}{\text{e}}^{2\alpha \left[m\left(x\right)-m\left(x_0\right)\right]/D}\\ \le \frac{1}{c_{\alpha ,D}}{\text{e}}^{\alpha \left[m\left(x\right)-m\left(x_0\right)\right]/D}{\text{e}}^{-c\alpha R^2/D+\ln \left[D/R^2\right]},x\in \Omega \end{array}$

接下来估计

我们知道在${\Sigma }_1^{*}$ 中$D^{2}m\left(x_0\right)\le 0$ ，因此需要分别估计$D^{2}m\left(x_0\right)<0$ 与$D^{2}m\left(x_0\right)=0$ 两种情况。

首先，当$D^{2}m\left(x_0\right)<0$ 时，

其中$x_0=\left(x_1^0,x_2^0\right)$ ，并令$y=\sqrt{c\alpha }\left(x-x_0\right)$ 。当$\alpha \to \infty$ 且$D$ 固定时，上述给出所需估计。

接下来证明当$D^{2}m\left(x_0\right)=0$ 时也成立。设${\kappa }_i$ 为$D^{2}m\left(x_0\right)$ 的特征值，且假设${\kappa }_1=0$ ，则

同样令$\alpha \to \infty$ ，可得所需估计。

因此，

$\lambda \left(\alpha ,D\right)\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left\{D{\left|\nabla w-\frac{\alpha }{D}w\nabla m\right|}^2+V{w}^2\right\}\text{d}x}\le O\left(1\right){\text{e}}^{-c\alpha R^2/D+\ln \left[D/R^2\right]}+{\max }_{B\left(x_0,2R\right)}V$

于是

$\overline{\underset{\alpha /\left(D\ln \left[D+2\right]\right)\to \infty }{\lim }}\lambda \left(\alpha ,D\right)\le {\max }_{\overline{B}\left(x_0,2R\right)}V.$

令$R\to 0$ ，得

$\overline{\underset{\alpha /\left(D\ln \left[D+2\right]\right)\to \infty }{\lim }}\lambda \left(\alpha ,D\right)\le V\left(x_0\right).$

由于$x_0$ 是${\Sigma }_1^{*}$ 中任意一点，故得

$\underset{\alpha /\left(D\ln \left[D+2\right]\right)\to \infty }{\lim }\lambda \left(\alpha ,D\right)\le {\min }_{{\Sigma }_1^{*}}V.$

在继续证明下界之前，先引入后文将会使用的一些记号。

设${\phi }_{\alpha }$ 为与主特征值${\lambda }_1\left(\alpha \right)$ 对应的特征函数，令$w_{\alpha }={\text{e}}^{\alpha m}{\phi }_{\alpha }$ ，不失一般性，假设对任意$\alpha$ 有。

对每个$\alpha \in ℝ$ ，通过在${ℝ}^2\backslash \Omega$ 上令$w_{\alpha }\equiv 0$ ，将$w_{\alpha }$ 扩展为定义在全空间${ℝ}^2$ 上的函数。定义测度${\mu }_{\alpha }$ 为

则${\mu }_{\alpha }$ 是定义在${ℝ}^2$ 上的Radon测度，且$\mathrm{supp}\left({\mu }_{\alpha }\right)\subset \overline{\Omega }$ 且${\mu }_{\alpha }\left(\overline{\Omega }\right)=1$ ，其中$\mathrm{supp}\left({\mu }_{\alpha }\right)$ 表示${\mu }_{\alpha }$ 的紧支集。

由Radon测度的弱紧性，存在一个序列${\left\{{\alpha }_k\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ 与一个Radon测度$\mu$ ，使得当$k\to \infty$ 时${\alpha }_k\to \infty$ 且${\mu }_{{\alpha }_k}$ 在

弱*意义下收敛到$\mu$ ，即对任意$\zeta \in C\left(\overline{\Omega }\right)$ 有

$\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{w}_{{\alpha }_k}^2}\left(x\right)\zeta \left(x\right)\text{d}x={\displaystyle {\int }_{\overline{\Omega }}\zeta }\left(x\right)\text{d}\mu ,$

并满足$\mathrm{supp}\left(\mu \right)\subset \overline{\Omega }$ 且$\mu \left(\overline{\Omega }\right)=1$ 。

接下来我们将证明

$\underset{\alpha \to \infty ,\alpha /D\to \infty }{\lim }\lambda \left(\alpha ,D\right)\ge {\min }_{{\Sigma }_1}V\left(x\right).$

自然地，

$\mathrm{supp}\left(\mu \right)\subset {\Sigma }_1$

于是

从而得到所需的下界结论。

在大对流极限下，主特征值的渐近行为由定理2.1叙述给出。这表明，强烈的对流驱动特征函数沿流线方向局域化，其集中位置由沿切向的势能梯度的极小值决定。在此过程中，尽管几何曲率出现在局部坐标的表达式中，但其影响在对切向变量的变化进行平均后被完全抵消。可以看出在大对流主导的系统中，其主特征值在主导阶上仅依赖于势能函数沿曲线的切向梯度，而与曲线自身的几何曲率无关。

3. 当$D\to 0^{+}$ 且$\alpha$ 固定时的情形

现考虑$m\left(\theta ,t\right)$ 的二阶导数，设

$A=D^{2}m\left(\theta ,t\right)=\left(\begin{array}{cc}{m}_{\theta \theta }& m_{\theta t}\\ m_{t\theta }& m_{tt}\end{array}\right).$

考虑$m\left(x,y\right)$ 的二阶导数，设$B=D^{2}m\left(x,y\right)$ ，有如下形式；

$\left(\begin{array}{cc}{m}_{\theta \theta }{\left(\frac{{\nu }_2}{1+kt}\right)}^2+m_{tt}{\gamma }_{2^{\prime }}^2& m_{\theta \theta }\frac{-{\nu }_1{\nu }_2}{{\left(1+kt\right)}^2}-m_{tt}{\gamma }_{1^{\prime }}{\gamma }_{2^{\prime }}+m_{\theta t}\frac{{\gamma }_{2^{\prime }}{\nu }_1+{\gamma }_{1^{\prime }}{\nu }_2}{1+kt}\\ m_{\theta \theta }\frac{-{\nu }_1{\nu }_2}{{\left(1+kt\right)}^2}-m_{tt}{\gamma }_{1^{\prime }}{\gamma }_{2^{\prime }}+m_{\theta t}\frac{{\gamma }_{2^{\prime }}{\nu }_1+{\gamma }_{1^{\prime }}{\nu }_2}{1+kt}& m_{\theta \theta }{\left(\frac{{\nu }_1}{1+kt}\right)}^2+m_{tt}{\gamma }_{1^{\prime }}^2\end{array}\right)$

当$t=0$ 时，存在过渡矩阵

$C=\left(\begin{array}{cc}-{\nu }_2& {\nu }_1\\ {\gamma }_{2^{\prime }}& {\gamma }_{1^{\prime }}\end{array}\right)$

使得$B=C^{\text{T}}AC$ ，且$\left|C\right|={\gamma }_{1^{\prime }}{\nu }_2-{\gamma }_{2^{\prime }}{\nu }_1=1$ 。

我们注意到当$D\to 0$ 且$\alpha$ 固定时，$D$ 的变化与$k\left(\theta \right)$ 的变化相互独立，因此在闭曲线$\Gamma$ 上得到如下结论。

定理3.1. 假设在$\Gamma$ 上有$\left|\nabla m\right|=0$ ，令$\alpha$ 为一固定的正数。则

$\underset{D\to 0}{\lim }\lambda \left(\alpha ,D\right)={\min }_{x\in \Gamma }\left\{V\left(x\right)+\alpha {\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\left|{\kappa }_i\left(x\right)\right|+{\kappa }_i\left(x\right)\right)}\right\}$

其中${ℳ}^{*}=\left\{x\in \Gamma |V\left(x\right)+\alpha {\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\left|{\kappa }_i\left(x\right)\right|+{\kappa }_i\left(x\right)\right)}=\min \right\}$ 。

证明. 证明分为两部分，我们先来处理上界。

通过在等式(5)中作代换$\phi ={\text{e}}^{-\alpha m/D}w$ 可得到相应方程。注意到$w={\text{e}}^{\alpha m/D}\phi$ 满足

注意主特征值$\lambda \left(\alpha ,D\right)$ 亦可由变分表征给出：

$\lambda \left(\alpha ,D\right)={\min }_{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{w}^2}\text{d}x=1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left\{D{\left|\nabla w-\frac{\alpha }{D}w\nabla m\right|}^2+V{w}^2\right\}\text{d}x}.$ (11)

令$x_0\in \Gamma$ ，并记为$D^{2}m\left(x_0\right)$ 的特征值，$i=1,2$ 。经过适当旋转，可假设$D^{2}m\left(x_0\right)=\mathrm{diag}\left(k_1,k_2\right)$ ，这里$k_i={\kappa }_i\left(x_0\right)$ ，且

$m_{x_i}\left(x\right)=k_i{\left(x-x_0\right)}_i+O\left({\left|x-x_0\right|}^2\right)$

选择一固定且足够小的正数$\delta$ ，令

$\epsilon =\sqrt{\frac{D}{\alpha }},\zeta \left(x\right)=\frac{1}{{\epsilon }^{N/2}}\exp \left(-\frac{1}{2{\epsilon }^2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\left|k_i\right|+\delta \right){\left(x-x_0\right)}_i^2}\right),$

并设$c_{\epsilon ,\delta }={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\zeta }^2}\left(x\right)\text{d}x,w\left(x\right)=\frac{\zeta \left(x\right)}{\sqrt{c_{\epsilon ,\delta }}}.$

由于$x_0$ 为内点，有

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{c}_{\epsilon ,\delta }={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\exp }\left(-{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\left|k_i\right|+\delta \right)y_i^2}\right)\text{d}y={\displaystyle \prod _{i=1}^N\sqrt{\frac{\pi }{\left|k_i\right|+\delta }}}=:c\left(\delta \right).$

由(6)，有

设$y=\left(x-x_0\right)/\epsilon$ ，并定义${\Omega }_{\epsilon }=\left\{\left(x-x_0\right)/\epsilon :x\in \Omega \right\}$ ，则

$\begin{array}{c}\overline{\underset{D\to 0}{\lim }}\lambda \left(\alpha ,D\right)\le \underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{\epsilon }}\frac{{\zeta }^2\left(x_0+\epsilon y\right)}{c_{\epsilon ,\delta }}}\left\{V\left(x_0+\epsilon y\right)+\alpha {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\left(\left|k_i\right|+\delta +k_i\right)}^2{y}_i^2}+O\left(\epsilon \right){\left|y\right|}^3\right\}{\epsilon }^N\text{d}y\\ =\frac{1}{c\left(\delta \right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\exp }\left(-{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\left|k_i\right|+\delta \right)y_i^2}\right)\left\{V\left(x_0\right)+\alpha {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\left(\left|k_i\right|+\delta +k_i\right)}^2{y}_i^2}\right\}\text{d}y\\ =V\left(x_0\right)+\frac{\alpha }{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N\frac{{\left(\left|k_i\right|+\delta +k_i\right)}^2}{\left|k_i\right|+\delta }}.\end{array}$

最后令$\delta \to 0$ ，并在求和时分别考虑$k_i>0$ 与$k_i\le 0$ 的情形，可得

$\overline{\underset{D\to 0}{\lim }}\lambda \left(\alpha ,D\right)\le V\left(x_0\right)+\alpha {\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\left|{\kappa }_i\left(x_0\right)\right|+{\kappa }_i\left(x_0\right)\right)}.$

下面来证明下界，为方便起见，记

$\Theta \left(x\right):={\displaystyle \sum _{i=1}^2\left(\left|{\kappa }_i\left(x\right)\right|+{\kappa }_i\left(x\right)\right)},\forall x\in \Sigma .$

这里${\Sigma }_1=\left\{x\in \overline{\Omega }:\left|\nabla m\left(x\right)\right|=0\right\}$ ，若$x\in {\Sigma }_1$ ，则${\kappa }_1,{\kappa }_2$ 为$D^{2}m\left(x\right)$ 的特征值。

定义3.1. {离散临界集}

假设集合

${ℳ}^{*}=\left\{x\in \Gamma :V\left(x\right)+\alpha {\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\left|{\kappa }_i\right|+{\kappa }_i\right)}={\lambda }^{*}\right\}$

仅含单一点$x_0$ ，且$x_0$ 是我们所取上界的最小值点。

令$\omega$ 为归一化的特征函数，满足，并取一个小常数$R>0$ 。用开球$B\left(x_0,\frac{R}{3}\right)$ 覆盖$x_0$ ，并取与该开覆盖相适应的分区单位${\left\{{\zeta }_k\right\}}_{k=0,1}$ ，满足

在${ℝ}^2\backslash B\left(x_0,R\right)$ 中${\displaystyle \sum _{k=0}^1{\zeta }_k^2}=1,{\zeta }_1\equiv 0$ ，这里$\left|\nabla {\zeta }_1\right|\le C/R$ 。

在${ℝ}^2\backslash B\left(x_0,R/2\right)$ 中${\zeta }_0\equiv 0$ 。

注意对任意$x\in {ℝ}^2$ 至少存在一个${\zeta }_k\ne 0$ 。因此对任意$x\in {ℝ}^2$ ，

${\displaystyle \sum _{k=0}^1{\left(\nabla {\zeta }_k\right)}^2}\le \frac{C\left(N\right)}{R^2}$

我们定义$W_k={\zeta }_k\omega$ ，$k=0,1$ 。

定理3.2. 假设$B\left(x_0,R\right)\subset \Omega$ ，且记 $W=\Omega \backslash B\left(x_0,R\right)$ 。设${\kappa }_1\left(x_0\right),\cdots ,{\kappa }_N\left(x_0\right)$ 为$D^{2}m\left(x_0\right)$ 的特征值。令

常数$C=2N{\Vert D^{3}m\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}$ ，则有

(12)

证明. 设$\left\{e_1\left(x_0\right),\cdots ,e_N\left(x_0\right)\right\}$ 为$D^{2}m\left(x_0\right)$ 的一组正交归一特征基，对应的特征值为${\kappa }_1\left(x_0\right),\cdots ,{\kappa }_N\left(x_0\right)$ 。引入符号函数

$\mathrm{sgn}\left(s\right)=\{\begin{array}{ll}1,\hfill & s>0,\hfill \\ -1,\hfill & s\le 0.\hfill \end{array}$

由定义有

$\begin{array}{c}E\left[W\right]={\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle {\int }_{\Omega }D}}{\left(e_i\cdot \left(\nabla W-\frac{\alpha W}{D}\nabla m\right)\right)}^2\text{d}x\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}D}}{\left(e_i\cdot \nabla W+\text{sgn}\left({\kappa }_i\right)\frac{\alpha W}{D}{e}_i\cdot \nabla m\right)}^2\text{d}x+J\ge J\end{array}$

其中

记$e_i\cdot \nabla W=W_i$ ，类似地定义$m_i$ ，并处理$m_{ii}$ ：

由矩阵理论可知

${\kappa }_i\left(x_0\right)=e_i^{\text{T}}{D}^{2}m\left(x_0\right)e_i.$

利用散度定理，并结合$\nabla m$ 在边界上的性质，可导出

因此

其中$\Theta \left(x_0\right)$ 是与${\kappa }_i\left(x_0\right)$ 相关的代量。由此得出所述不等式。

我们据此完成$\lambda$ 的分离估计，先做如下计算：

(13)

整理上述公式可得

(14)

应用上述结论，我们得到

(15)

由上式估计可得

因此

于是

令$D\to 0$ 且$R\to 0$ ，得到

${\underset{\_}{\lim }}_{D\to 0}\lambda \left(\alpha ,D\right)\ge \underset{x\in B\left(x_0,R\right)}{\min }\left\{\Theta \left(x_0\right)+V\left(x_0\right)\right\}$

在小扩散极限下，主特征值的渐近行为由定理3.1给出。分析得到，极弱的扩散导致了一个“吸附”过程：特征函数被紧紧束缚在势能最高点附近的极小邻域内。其沿法向的分布由扩散与势能的局域平衡所主导，而曲率在此局域化过程中的贡献在积分后被吸收为一个全局常数。因此，在弱扩散主导的系统中，主特征值在主导阶上由势函数在局部极大值点处的函数值及其Hessian矩阵在法向上的形式共同决定，而几何曲率仅贡献一个整体的尺度因子。

4. 总结与展望

本文旨在探究二维线性二阶椭圆算子的主特征值在奇异极限下如何受区域几何影响。研究表明，尽管在大对流与小扩散两种极限下，主特征值的渐近主项均不明显依赖于曲线的几何曲率，但本文采用的基于曲率的移动坐标法却是得出这一结论所不可或缺的理论工具。为提供直观阐释，考虑这样一个例子：在椭圆区域Ω中，其内奇异曲线Γ为一同心圆，势函数在Γ上非均匀分布。在大对流情况下，主特征函数并不集中于势能最高处，而是在势能沿流向下降最快的位置变得尖锐，系统行为由势能梯度主导，与曲线几何形状无关。在小扩散的情况下，主特征函数表现为环绕Γ的完整窄带，最大值位于势能最高点。系统行为由势能极值点控制，几何曲率的影响被吸收到常数中。在这样的系统里，扩散导致基于势能极值的全局集中，而对流引发基于势能梯度的局部集中。

本工作构建的统一理论框架，不仅严格推导了渐近公式，更阐明了几何曲率在移动坐标系中的基础性作用及其在极限下的特殊表现，统一了对两类极限行为的理解，揭示了曲率贡献如何在不同物理机制下被吸收或压制的规律。

未来值得进一步研究的方向包括：弱扩散与强对流同时变化时的耦合极限；时间周期性或随机对流场下的主特征值行为；多曲线结构或更高维流形上的局域化机制；以及将本文方法拓展到非线性模型，以分析由主特征值主导的稳定性与分岔行为。上述问题的深入研究将有助于推动参数依赖型椭圆算子谱理论的发展，并加深对复杂扩散–对流系统长期动力学特征的理解。