关于算子代数上强算子拓扑与弱算子拓扑的一点注记

A Note on the Strong Operator Topology and Weak Operator Topology in Operator Algebras

摘要: 设$\mathscr{H}$ 是复可分的Hilbert空间，是$\mathscr{H}$ 上所有正交投影构成的集合。中的投影不仅具有有界线性算子的线性运算、乘法运算以及*运算，中还有交与并运算。本文讨论了在某些条件下，投影族的交与并运算保持强算子拓扑(弱算子拓扑)的收敛性质。

Abstract: Let $\mathscr{H}$ be a complex Hilbert space, and be the set of all orthogonal projections in $ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ . The projections in not only involve the linear operations, multiplication operations, and * operations of bounded linear operators, but also include the operations of meet and join within . This paper discusses the conditions under which the meet and join operations of projection families preserve strong operator topology (weak operator topology) convergence.

1. 引言

算子范数拓扑、强算子拓扑与弱算子拓扑都是研究算子代数结构中比较重要的工具。设$\mathscr{H}$ 是复可分的Hilbert空间，$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 是$\mathscr{H}$ 上全体有界线性算子构成的集合。若$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 中的算子P满足条件$P^2=P=P^{\ast }$ ，则称$P$ 为正交投影，简称为投影。

$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 中有界线性算子的线性运算、乘法运算以及*运算在算子范数拓扑、强算子拓扑以及弱算子拓扑下的收敛性，已经有了很好的研究，可见文献[1]与[2]。在2004年，严单贵[3]给出了$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 上的强算子拓扑与弱算子拓扑以及δ-强算子拓扑与δ-弱算子拓扑，并讨论了它们的性质以及几种拓扑之间的强弱关系。2008年余宝民与薛社教[4]研究和总结了强算子拓扑与弱算子拓扑之间的关系以及一些运算在这些拓扑下的性质。在C^*-代数与von Neumann代数中，Kadison，R.V.和Ringrose，J.R在[1]与[2]中研究了C^*-代数与von Neumann代数中算子的线性运算、乘法运算以及*运算在算子范数拓扑、强算子拓扑与弱算子拓扑的收敛性质。

投影算子不仅具有有界线性算子的线性运算、乘法运算以及*运算，还具有投影算子特有的交与并运算。我们知道von Neumann代数可以由它的投影族生成，且对投影的交与并运算保持封闭，所以研究投影的交与并运算在强算子拓扑与弱算子拓扑中的收敛性是很有必要的，但是在一般情况下，投影族的交与并运算并不能保持强(弱)算子拓扑的收敛性，具体可见本文的例3.1。因此本文讨论了，在某些条件下，投影族的交与并运算保持强算子拓扑(弱算子拓扑)的收敛性质。

2. 预备知识

为了阅读方便，下面给出了强算子拓扑与弱算子拓扑及其收敛的定义。

定义2.1 [5] 设$\mathscr{H}$ 是一个复可分的Hilbert空间，$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 是$\mathscr{H}$ 上有界线性算子全体构成的集合，其上弱算子拓扑是$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 上的线性泛函族$\left\{T\to \left(Tf,g\right):f,g\in \mathscr{H}\right\}$ 的诱导拓扑。其上的强算子拓扑是从$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 到$\mathscr{H}$ 的线性算子族$\left\{T\to Tf:f\in \mathscr{H}\right\}$ 的诱导拓扑。

定理2.2 [1] $ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 中的元素构成的算子网${\left\{T_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于算子$T$ 当且仅当对$\mathscr{H}$ 中的任意向量$x$ ，以及任意正数$\epsilon$ ，存在一个下标${\lambda }_0$ ，使得当$\lambda \ge {\lambda }_0$ 时，有$\Vert T_{\lambda }x-Tx\Vert <\epsilon$ ，其中$T\in ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 。

定理2.3 [1] $ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 中的元素构成的算子网${\left\{A_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 弱算子拓扑收敛于$A\left(\in ℬ\left(\mathscr{H}\right)\right)$ 当且仅当$\mathscr{H}$ 中的任意给定向量$x$ 与$y$ ，以及任意的正数$\epsilon$ ，存在一个下标${\lambda }_0$ ，使得当$\lambda \ge {\lambda }_0$ 时，$\left|\langle \left(A_{\lambda }-A\right)x,y\rangle \right|<\epsilon$ 。

我们知道算子范数拓扑强于强算子拓扑，而强算子拓扑强于弱算子拓扑。为方便起见我们记成引理2.4，并给出它的证明。

引理2.4 设$\mathscr{H}$ 为分可分的Hilbert空间，$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 是$\mathscr{H}$ 上有界线性算子全体构成的集合，${\left\{T_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 是$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 中的算子族，$T$ 是$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 中的算子，则下面两个结论成立：

(1) 当算子族${\left\{T_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依算子范数拓扑收敛于算子$T$ 时，算子族${\left\{T_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于算子$T$ ；

(2) 当算子族${\left\{T_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于算子$T$ 时，算子族${\left\{T_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依弱算子拓扑收敛于算子$T$ 。

证明 我们首先来证明(1)，由于算子族${\left\{T_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依算子范数拓扑收敛于算子$T$ ，也即

$\Vert T_{\lambda }-T\Vert \to 0$ 成立。

那么对$\mathscr{H}$ 中的任意向量$x$ ，我们有$\Vert T_{\lambda }x-Tx\Vert \le \Vert T_{\lambda }-T\Vert \Vert x\Vert \to 0$ 成立，所以算子族${\left\{T_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于算子$T$ 。

接下来我们来证明(2)，由于算子族${\left\{T_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于算子$T$ ，也即，对$\mathscr{H}$ 中的任意向量$x$ ，我们有

$\Vert T_{\lambda }x-Tx\Vert \to 0成立.$

现在对$\mathscr{H}$ 中的任意向量$x$ 与$y$ ，我们有

$\left|\langle T_{\lambda }x,y\rangle -\langle Tx,y\rangle \right|=\left|\langle T_{\lambda }x-Tx,y\rangle \right|\le \Vert T_{\lambda }x-Tx\Vert \Vert y\Vert \to 0成立.$

所以算子族${\left\{T_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依弱算子拓扑收敛于算子$T$ 。

下面我们给出算子集合的换位的定义。

定义2.5 设$\mathscr{H}$ 是一个复可分的Hilbert空间，$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 是$\mathscr{H}$ 上有界线性算子全体构成的集合，集合$ℳ\subseteq ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ ，定义集合${ℳ}^{\prime }=\left\{S\in ℬ\left(\mathscr{H}\right):ST=TS,\forall T\in ℳ\right\}$ ，则称${ℳ}^{\prime }$ 为$ℳ$ 的换位。

最后我们给出投影的并与交运算的定义。

定义2.6 设$\mathscr{H}$ 是一个复可分的Hilbert空间，$E$ 与$F$ 是$\mathscr{H}$ 上的两个投影，定义$Y=\left[E\left(\mathscr{H}\right)\cup F\left(\mathscr{H}\right)\right]$ 是空间$E\left(\mathscr{H}\right)$ 与$F\left(\mathscr{H}\right)$ 并集的范数闭包，以及$Z=\left[E\left(\mathscr{H}\right)\cap F\left(\mathscr{H}\right)\right]$ 是空间$E\left(\mathscr{H}\right)$ 与$F\left(\mathscr{H}\right)$ 交集的范数闭包，那么从空间$\mathscr{H}$ 到$Y$ 的投影被称为投影$E$ 与$F$ 的并，记为$E\vee F$ 。从空间$\mathscr{H}$ 到$Z$ 的投影被称为投影$E$ 与$F$ 的交，记为$E\wedge F$ 。

3. 主要定理及其证明

投影相对于一般的有界线性算子而言，有交与并运算。很自然的一个问题是，投影族在交与并运算下是否还保持强(弱)算子拓扑连续性呢？也即，若${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 是中的投影族，$E$ 与$F$ 是中的两个投影，其中$0\ne F\ne I$ ，并满足投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强(弱)算子拓扑收敛于投影$E$ ，那么投影族${\left\{E_{\lambda }\vee F\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 与${\left\{E_{\lambda }\wedge F\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 是否也分别依强(弱)算子拓扑收敛于$E\vee F$ 与$E\wedge F$ 呢？很不幸的是，在一般情况下，这个问题的答案是否定的，见下面的例3.1。

例 3.1 设$\mathscr{H}$ 为复可分的Hilbert空间，是$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 中全体正交投影构成的集合。设$F$ 是中的投影，且$0\ne F\ne I$ 。定义${\left\{P_{\theta }\right\}}_{\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},0\right]}$ 是一个值域包含单位向量$x_{\theta }=\left(\cos \theta \right)y-\left(\sin \theta \right)z$ 的投影族，其中$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le 0$ ，$y$ 是$F\left(\mathscr{H}\right)$ 中的单位向量，$z$ 是$\left(I-F\right)\left(\mathscr{H}\right)$ 中的单位向量。那么当$\theta \to 0$ 时，${\left\{P_{\theta }\right\}}_{\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},0\right]}$ 依强算子拓扑收敛于$P_0$ ，但${\left\{P_{\theta }\vee F\right\}}_{\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},0\right]}$ 不依强算子拓扑收敛于$P_0\vee F$ ，以及${\left\{P_{\theta }\wedge F\right\}}_{\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},0\right]}$ 也不依强算子拓扑收敛于$P_0\wedge F$ 。

证明 当$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le 0$ 时，由于$P_{\theta }$ 是值域包含单位向量$x_{\theta }=\left(\cos \theta \right)y-\left(\sin \theta \right)z$ 的投影，那么$P_{\theta }\left(\mathscr{H}\right)=\left\{\lambda x_{\theta }:\lambda \in ℂ\right\}$ 。

定义映射为$f\left(\theta \right)=P_{\theta }$ ，对$\mathscr{H}$ 中的任意向量$x$ ，由于$P_{\theta }x=\langle x,x_{\theta }\rangle x_{\theta }$ ，以及$y=\cos \theta$ ，$y=\sin \theta$ ，$y={\cos }^2\theta$ 与$y={\sin }^2\theta$ 都是连续函数，那么当${\theta }_{\lambda }\to {\theta }_0$ 时，我们有

$\begin{array}{c}\Vert P_{{\theta }_{\lambda }}-P_{{\theta }_0}\Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }\Vert \left(P_{{\theta }_{\lambda }}-P_{{\theta }_0}\right)x\Vert \\ =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }\Vert \left(\left({\cos }^2{\theta }_{\lambda }-{\cos }^2{\theta }_0\right)\langle x,y\rangle +\left(\cos {\theta }_0\sin {\theta }_0-\cos {\theta }_{\lambda }\sin {\theta }_{\lambda }\right)\langle x,z\rangle \right)y\\ +\left(\left({\sin }^2{\theta }_{\lambda }-{\sin }^2{\theta }_0\right)\langle x,z\rangle +\left(\cos {\theta }_0\sin {\theta }_0-\cos {\theta }_{\lambda }\sin {\theta }_{\lambda }\right)\langle x,y\rangle \right)z\Vert \\ \to 0,\end{array}$

这也就是说$f\left({\theta }_{\lambda }\right)$ 依算子范数拓扑收敛于$f\left({\theta }_0\right)$ ，再由引理2.4可知，算子范数拓扑强于强算子拓扑，所以$f\left({\theta }_{\lambda }\right)$ 也依强算子拓扑收敛于$f\left({\theta }_0\right)$ 。特别地，当$\theta \to 0$ 时，投影族${\left\{P_{\theta }\right\}}_{\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},0\right]}$ 依强算子拓扑收敛于$P_0$ 。

由$P_{\theta }$ 的定义可知$P_0\left(\mathscr{H}\right)=\left\{\lambda y:\lambda \in ℂ\right\}$ ，所以$\left[P_0\left(\mathscr{H}\right)\cap F\left(\mathscr{H}\right)\right]=P_0\left(\mathscr{H}\right)\cap F\left(\mathscr{H}\right)=P_0\left(\mathscr{H}\right)\subseteq F\left(\mathscr{H}\right)$ ，那么就有$P_0\wedge F:\mathscr{H}\to P_0\left(\mathscr{H}\right)$ ，也即$P_0\wedge F=P_0$ 。

又因为$\left[P_0\left(\mathscr{H}\right)\cup F\left(\mathscr{H}\right)\right]=P_0\left(\mathscr{H}\right)\cup F\left(\mathscr{H}\right)=F\left(\mathscr{H}\right)$ ，所以$P_0\vee F:\mathscr{H}\to F\left(\mathscr{H}\right)$ ，也即有$P_0\vee F=F$ 。

由$P_0\left(\mathscr{H}\right)=\left\{\lambda y:\lambda \in ℂ\right\}$ ，那么我们定义$F\left(\mathscr{H}\right)$ 的闭子空间$E\left(\mathscr{H}\right)$ 为

$E\left(\mathscr{H}\right)={\left(P_0\left(\mathscr{H}\right)\right)}^{\perp }\cap F\left(\mathscr{H}\right)=\left\{a|a\in F\left(\mathscr{H}\right)且\langle a,y\rangle =0,其中y\in P_0\left(\mathscr{H}\right)\right\},$

从而，任取向量$w\in F\left(\mathscr{H}\right)$ ，总可以找到向量$a\in E\left(\mathscr{H}\right)$ ，以及$ℂ$ 中的某个标量$\lambda$ ，使得$w=a+\lambda y$ ，这里的$a\perp y$ ，也即向量$a$ 与向量$y$ 正交。

当$-\frac{\pi }{2}\le \theta <0$ 时，由于$P_{\theta }\left(\mathscr{H}\right)=\left\{\lambda \left(y\cos \theta -z\sin \theta \right):\lambda \in ℂ\right\}$ ，那么对任意的向量$\omega \in P_{\theta }\left(\mathscr{H}\right)\cap F\left(\mathscr{H}\right)$ ，就可以在$ℂ$ 中找到两个标量${\lambda }_1$ 与$\mu$ ，使得

$\omega ={\lambda }_1\left(y\cos \theta -z\sin \theta \right)=\mu y+a,$

其中向量$a,y,z$ 都是两两正交的。那么对上述的等式整理可得

$\left({\lambda }_1\cos \theta -\mu \right)y=a+{\lambda }_1\left(\sin \theta \right)z$ ，

由它们的正交性可知，${\lambda }_1\cos \theta -\mu =0,{\lambda }_1\left(\sin \theta \right)=0$ 以及$a=0$ 。

又因$-\frac{\pi }{2}\le \theta <0$ ，故$\sin \theta \ne 0$ ，从而${\lambda }_1=0$ 与$\mu ={\lambda }_1\cos \theta =0$ ，因此$\omega =0,$ 也即$P_{\theta }\left(\mathscr{H}\right)\cap F\left(\mathscr{H}\right)=\left\{0\right\}$ 。那么当$-\frac{\pi }{2}\le \theta <0$ 时，就有$\left[P_{\theta }\left(\mathscr{H}\right)\cap F\left(\mathscr{H}\right)\right]=P_{\theta }\left(\mathscr{H}\right)\cap F\left(\mathscr{H}\right)=\left\{0\right\}$ ，从而投影$P_{\theta }\wedge F:\mathscr{H}\to \left\{0\right\}$ ，也即投影$P_{\theta }\wedge F=0$ 。

由$P_{\theta }$ 的定义$P_{\theta }\left(\mathscr{H}\right)=\left\{\left(\lambda \cos \theta \right)y+\left(-\lambda \sin \theta \right)z:\lambda \in ℂ\right\}$ 可知，$P_{-\pi /2}\left(\mathscr{H}\right)=\left\{\lambda z:\lambda \in ℂ\right\}.$

由于$y$ 是$F\left(\mathscr{H}\right)$ 中的向量，以及$z$ 是$\left(I-F\right)\left(\mathscr{H}\right)$ 中的单位向量，并且当$-\frac{\pi }{2}\le \theta <0$ 时，有$\sin \theta \ne 0$ ，那么我们有

$\left[P_{\theta }\left(\mathscr{H}\right)\cup F\left(\mathscr{H}\right)\right]=\left[F\left(\mathscr{H}\right)+\left\{\left(\lambda \sin \theta \right)z:\lambda \in ℂ\right\}\right]=\left[F\left(\mathscr{H}\right)+\left\{\lambda z:\lambda \in ℂ\right\}\right]=F\left(\mathscr{H}\right)+P_{-\pi /2}\left(\mathscr{H}\right)$ ，

所以$P_{\theta }\vee F=F+P_{-\pi /2}$ 。

当$\theta \to 0$ 时，有$\Vert \left(P_{\theta }\wedge F-P_0\wedge F\right)x\Vert =\Vert \left(0-P_0\right)x\Vert =\Vert P_{0}x\Vert =\Vert \langle x,y\rangle y\Vert$ 。由$P_{\theta }$ 的定义，当$x=y$ 时，我们有$\Vert \left(P_{\theta }\wedge F-P_0\wedge F\right)x\Vert =\Vert \langle y,y\rangle y\Vert =1\nrightarrow 0$ ，所以${\left\{P_{\theta }\wedge F\right\}}_{\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},0\right]}$ 就不会依强算子拓扑收敛于$P_0\wedge F$ 。

当$\theta \to 0$ 时，有$\Vert \left(P_{\theta }\vee F-P_0\vee F\right)x\Vert =\Vert \left(F+P_{-\pi /2}-F\right)x\Vert =\Vert P_{-\pi /2}x\Vert =\Vert \langle x,z\rangle z\Vert$ 。由$P_{\theta }$ 的定义，当$x=z$ 时，我们有$\Vert \left(P_{\theta }\vee F-P_0\vee F\right)x\Vert =\Vert \langle z,z\rangle z\Vert =1\nrightarrow 0$ ，所以${\left\{P_{\theta }\vee F\right\}}_{\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},0\right]}$ 也不会依强算子拓扑收敛于$P_0\vee F$ 。

综上，当$\theta \to 0$ 时，${\left\{P_{\theta }\right\}}_{\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},0\right]}$ 依强算子拓扑收敛于$P_0$ ，但${\left\{P_{\theta }\vee F\right\}}_{\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},0\right]}$ 不依强算子拓扑收敛于$P_0\vee F$ ，以及${\left\{P_{\theta }\wedge F\right\}}_{\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},0\right]}$ 也不依强算子拓扑收敛于$P_0\wedge F$ 。

因此，我们需要考虑，在一定条件下，投影族的交与并运算在强(弱)算子拓扑下的连续性。下面是证明本文主要定理所需的两个引理。

引理3.2 [3] 设$\mathscr{H}$ 是复可分的Hilbert空间，$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 是$\mathscr{H}$ 上全体有界线性算子构成的集合，是$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 中全体投影的集合，$E$ 与$F$ 是中的两个投影，且$EF=FE$ ，则

$E\vee F=E+F-EF$ 与$E\wedge F=EF$ 成立。

引理3.3 设$\Re$ 是作用在复可分的Hilbert空间$\mathscr{H}$ 上的von Neumann代数，${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 是von Neumann代数$\Re$ 中的投影族，$E$ 与F是$\Re$ 中的两个投影，投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于投影$E$ ，且对$\Gamma$ 中的任意下标$\lambda$ ，有$E_{\lambda }F=F{E}_{\lambda }$ ，那么$EF=FE$ 。

证明 由于投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于投影$E$ ，那么根据引理2.4可知，强算子拓扑强于弱算子拓扑，所以投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 也依弱算子拓扑收敛于投影$E$ ，也即对$\mathscr{H}$ 中的任意向量$x$ 与$y$ ，向量$Fx$ 与$Fy$ 都在$\mathscr{H}$ 中，且有

$\langle E_{\lambda }Fx,y\rangle \to \langle EFx,y\rangle$ 以及$\langle E_{\lambda }x,Fy\rangle \to \langle Ex,Fy\rangle$ 成立。

又因为对$\Gamma$ 中的任意下标$\lambda$ ，$E_{\lambda }F=F{E}_{\lambda }$ ，那么就有

$\langle E_{\lambda }Fx,y\rangle =\langle F{E}_{\lambda }x,y\rangle =\langle E_{\lambda }x,Fy\rangle \to \langle Ex,Fy\rangle =\langle FEx,y\rangle$ 成立，

故对$\mathscr{H}$ 中的任意向量$x$ 与$y$ ，有$\langle EFx,y\rangle =\langle FEx,y\rangle$ 成立，再由[3]中的定理2.4.1可知，有$EF=FE$ 成立。

定理 3.4 设$\Re$ 是作用在复可分的Hilbert空间$\mathscr{H}$ 上的von Neumann代数，${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 是von Neumann代数$\Re$ 中的投影族，$E$ 与F是$\Re$ 中的两个投影，投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于投影$E$ ，若$F\in {\left({\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }\right)}^{\prime }$ ，其中${\left({\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }\right)}^{\prime }$ 表示集合${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 的换位，那么有以下结论成立：

(1) 投影族${\left\{E_{\lambda }\wedge F\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛到投影$E\wedge F$ ；

(2) 投影族${\left\{E_{\lambda }\vee F\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛到投影$E\vee F$ 。

证明 因为投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于投影$E$ ，也即对$\mathscr{H}$ 中的任意向量$x$ ，有

$\Vert E_{\lambda }x-Ex\Vert \to 0成立.$

由条件$F\in {\left({\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }\right)}^{\prime }$ ，也即有$E_{\lambda }F=F{E}_{\lambda }$ ，其中$\lambda \in \Gamma$ ，那么由引理3.3，我们有$EF=FE$ 成立。再由引理3.2可知，有$E\wedge F=EF$ 与$E\vee F=E+F-EF$ 且$E_{\lambda }\wedge F=E_{\lambda }F$ 与$E_{\lambda }\vee F=E_{\lambda }+F-E_{\lambda }F$ 都成立，其中$\lambda \in \Gamma$ 。

现在来证明(1)，对$\mathscr{H}$ 中的任意向量$x$ 来说，向量$Fx$ 在$\mathscr{H}$ 中。那么对于$\Gamma$ 中的任意下标$\lambda$ ，有

$\Vert \left(E_{\lambda }\wedge F-E\wedge F\right)x\Vert =\Vert \left(E_{\lambda }F-EF\right)x\Vert =\Vert \left(E_{\lambda }-E\right)Fx\Vert \to 0$ ，

所以投影族${\left\{E_{\lambda }\wedge F\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于投影$E\wedge F$ 。

接下来证明(2)，对$\mathscr{H}$ 中的任意向量$x$ 来说，向量$Fx$ 在$\mathscr{H}$ 中。那么对于$\Gamma$ 中的任意下标$\lambda$ ，由引理3.2有

$\begin{array}{c}\Vert \left(E_{\lambda }\vee F-E\vee F\right)x\Vert =\Vert \left(\left(E_{\lambda }+F-E_{\lambda }F\right)-\left(E+F-EF\right)\right)x\Vert \\ =\Vert \left(E_{\lambda }-E+F-F+EF-E_{\lambda }F\right)x\Vert \\ \le \Vert \left(E_{\lambda }-E\right)x\Vert +\Vert \left(EF-E_{\lambda }F\right)x\Vert \\ =\Vert \left(E_{\lambda }-E\right)x\Vert +\Vert \left(E-E_{\lambda }\right)Fx\Vert \\ \to 0,\end{array}$

因此投影族${\left\{E_{\lambda }\vee F\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛到投影$E\vee F$ 。

定理3.5 设$\Re$ 是作用在复可分的Hilbert空间$\mathscr{H}$ 上的von Neumann代数，${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 与${\left\{F_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 是von Neumann代数$\Re$ 中的两个投影族，$E$ 与$F$ 是$\Re$ 中的投影，且投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 与${\left\{F_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 分别依强算子拓扑收敛于投影$E$ 与$F$ 。设集合$\mathcal{A}=\left\{E_{\lambda }|\lambda \in \Gamma \right\}$ ，集合$ℬ=\left\{F_{\lambda }|\lambda \in \Gamma \right\}$ ，且集合$\mathcal{A}$ 与集合$ℬ$ 可交换，也即对$\mathcal{A}$ 中的任意投影$E_{\lambda }$ 以及$ℬ$ 中的任意投影$F_{\mu }$ ，都有$E_{\lambda }{F}_{\mu }=F_{\mu }{E}_{\lambda }$ ，其中$\lambda$ 与$\mu$ 都在$\Gamma$ 中。那么有以下结论成立：

(1) $\underset{{}_{\lambda \in \Gamma }}{\lim }\left(E_{\lambda }\wedge F_{\lambda }\right)=E\wedge F$ ，这里的收敛是强算子拓扑意义下的收敛；

(2) $\underset{{}_{\lambda \in \Gamma }}{\lim }\left(E_{\lambda }\vee F_{\lambda }\right)=E\vee F$ ，这里的收敛是强算子拓扑意义下的收敛。

证明 由于投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 与${\left\{F_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 分别依强算子拓扑收敛于投影$E$ 与$F$ ，也即对$\mathscr{H}$ 中的任意向量$x$ ，有

$\Vert E_{\lambda }x-Ex\Vert \to 0$ 与$\Vert F_{\lambda }x-Fx\Vert \to 0$ 成立。

由于集合$\mathcal{A}$ 与集合$ℬ$ 可交换，那么对于$\Gamma$ 中的任意取定的下标$\mu$ ，有$E_{\lambda }{F}_{\mu }=F_{\mu }{E}_{\lambda }$ 成立，其中$\lambda \in \Gamma$ ，以及投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于投影$E$ ，那么由引理3.4，有$F_{\mu }E=E{F}_{\mu }$ 成立，又因为投影族${\left\{F_{\mu }\right\}}_{\mu \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于投影$F$ ，那么再次使用引理3.4，就有$FE=EF$ 成立。

现在来证明(1)，由于投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 与${\left\{F_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 可交换且投影$E$ 与$F$ 可交换，那么由引理3.2，就有$E_{\lambda }\wedge F_{\lambda }=E_{\lambda }{F}_{\lambda }=F_{\lambda }{E}_{\lambda }$ 以及$E\wedge F=EF=FE$ 成立，其中$\lambda \in \Gamma$ 。

对$\mathscr{H}$ 中的任意向量$x$ ，$Fx$ 就是$\mathscr{H}$ 中的向量，且对$\Gamma$ 中的任意下标$\lambda$ ，有$\Vert F_{\lambda }\Vert \le 1$ 。由引理3.2，有

$\begin{array}{c}\Vert \left(E_{\lambda }\wedge F_{\lambda }\right)x-\left(E\wedge F\right)x\Vert =\Vert E_{\lambda }{F}_{\lambda }x-EFx\Vert \\ =\Vert E_{\lambda }{F}_{\lambda }x-E{F}_{\lambda }x+E{F}_{\lambda }x-EFx\Vert \\ =\Vert F_{\lambda }{E}_{\lambda }x-F_{\lambda }Ex+E{F}_{\lambda }x-EFx\Vert \\ \le \Vert F_{\lambda }\left(E_{\lambda }-E\right)x\Vert +\Vert E\left(F_{\lambda }x-Fx\right)\Vert \\ \le \Vert F_{\lambda }\Vert \Vert \left(E_{\lambda }-E\right)x\Vert +\Vert E\Vert \Vert \left(F_{\lambda }x-Fx\right)\Vert \\ \le \Vert \left(E_{\lambda }-E\right)x\Vert +\Vert \left(F_{\lambda }x-Fx\right)\Vert \\ \to 0,\end{array}$

也即投影族${\left\{E_{\lambda }\wedge F_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于投影$E\wedge F$ 。故$\underset{{}_{\lambda \in \Gamma }}{\lim }\left(E_{\lambda }\wedge F_{\lambda }\right)=E\wedge F$ 。

接下来证明(2)，由引理3.2，我们有$E_{\lambda }\vee F_{\lambda }=E_{\lambda }+F_{\lambda }-E_{\lambda }{F}_{\lambda }$ 以及$E\vee F=E+F-EF$ 成立，$\lambda \in \Gamma$ 。对$\mathscr{H}$ 中的任意向量$x$ ，向量$Fx$ 在$\mathscr{H}$ 中，对$\Gamma$ 中的任意下标$\lambda$ ，有$\Vert E_{\lambda }\Vert \le 1$ ，那么我们有

$\begin{array}{c}\Vert \left(E_{\lambda }\vee F_{\lambda }\right)x-\left(E\vee F\right)x\Vert =\Vert \left(E_{\lambda }+F_{\lambda }-E_{\lambda }{F}_{\lambda }\right)x-\left(E+F-EF\right)x\Vert \\ =\Vert \left(E_{\lambda }x-Ex\right)+\left(F_{\lambda }x-Fx\right)+\left(EFx-E_{\lambda }{F}_{\lambda }x\right)\Vert \\ =\Vert \left(E_{\lambda }x-Ex\right)+\left(F_{\lambda }x-Fx\right)+\left(EFx-E_{\lambda }Fx+E_{\lambda }Fx-E_{\lambda }{F}_{\lambda }x\right)\Vert \\ \le \Vert E_{\lambda }x-Ex\Vert +\Vert F_{\lambda }x-Fx\Vert +\Vert EFx-E_{\lambda }Fx+E_{\lambda }Fx-E_{\lambda }{F}_{\lambda }x\Vert \\ \le \Vert E_{\lambda }x-Ex\Vert +\Vert F_{\lambda }x-Fx\Vert +\Vert EFx-E_{\lambda }Fx\Vert +\Vert E_{\lambda }Fx-E_{\lambda }{F}_{\lambda }x\Vert \\ \le \Vert E_{\lambda }x-Ex\Vert +\Vert F_{\lambda }x-Fx\Vert +\Vert \left(E-E_{\lambda }\right)Fx\Vert +\Vert E_{\lambda }\Vert \Vert Fx-F_{\lambda }x\Vert \\ \le \Vert E_{\lambda }x-Ex\Vert +\Vert F_{\lambda }x-Fx\Vert +\Vert \left(E-E_{\lambda }\right)Fx\Vert +\Vert Fx-F_{\lambda }x\Vert \\ \to 0.\end{array}$

也即投影族${\left\{E_{\lambda }\vee F_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于投影$E\vee F$ 。故$\underset{{}_{\lambda \in \Gamma }}{\lim }\left(E_{\lambda }\vee F_{\lambda }\right)=E\vee F$ 。

为了讨论投影族的交与并运算在弱算子拓扑下的连续性，我们需要下面的引理3.6。

引理3.6 设是$ℬ\left(\mathscr{H}\right)$ 中全体投影构成的集合，${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 是中的投影族，$E$ 是中的投影。那么投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于投影$E$ 当且仅当投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 也依弱算子拓扑收敛于投影$E$ 。

证明 设投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于投影$E$ ，根据引理2.4可知，强算子拓扑强于弱算子拓扑，那么投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 也依弱算子拓扑收敛于投影$E$ 。

反过来，当投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依弱算子拓扑收敛于投影$E$ 时，也即对$\mathscr{H}$ 中的任意向量$x$ ，向量$Ex$ 也在$\mathscr{H}$ 中，那么有

$\langle E_{\lambda }x,x\rangle \to \langle Ex,x\rangle$ 以及$\langle E_{\lambda }x,Ex\rangle \to \langle Ex,Ex\rangle$ 成立。

下面我们证明投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 也依强算子拓扑收敛于投影$E$ 。

因为对$\Gamma$ 中的任意下标$\lambda$ ，我们有

$\langle E_{\lambda }x,x\rangle =\langle E_{\lambda }^{2}x,x\rangle =\langle E_{\lambda }x,E_{\lambda }x\rangle ={\Vert E_{\lambda }x\Vert }^2$ 以及$\langle Ex,x\rangle =\langle E^{2}x,x\rangle =\langle Ex,Ex\rangle ={\Vert Ex\Vert }^2$ 成立。

又因为$\langle E_{\lambda }x,x\rangle \to \langle Ex,x\rangle$ ，那么就有${\Vert E_{\lambda }x\Vert }^2\to {\Vert Ex\Vert }^2$ 成立。

现在，我们有

$\begin{array}{c}{\Vert E_{\lambda }x-Ex\Vert }^2=\langle \left(E_{\lambda }-E\right)x,\left(E_{\lambda }-E\right)x\rangle \\ =\langle E_{\lambda }x,E_{\lambda }x\rangle -\langle Ex,E_{\lambda }x\rangle -\langle E_{\lambda }x,Ex\rangle +\langle Ex,Ex\rangle \\ ={\Vert E_{\lambda }x\Vert }^2-2\mathrm{Re}\langle E_{\lambda }x,Ex\rangle +{\Vert Ex\Vert }^2\\ \to {\Vert Ex\Vert }^2-2\langle Ex,Ex\rangle +{\Vert Ex\Vert }^2\\ =0,\end{array}$

故投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依强算子拓扑收敛于投影$E$ 。这样我们就完成了这个引理的证明。

由定理3.4、定理3.5以及引理3.6，我们可以得到以下两个推论。

推论 3.7 设$\Re$ 是作用在Hilbert空间的von Neumann代数，${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 是von Neumann代数$\Re$ 中的投影族，$E$ 与$F$ 是$\Re$ 中的两个投影，投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依弱算子拓扑收敛于投影$E$ ，若$F\in {\left({\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }\right)}^{\prime }$ ，其中${\left({\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }\right)}^{\prime }$ 表示集合${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 的换位，那么有以下结论成立：

(1) 投影族${\left\{E_{\lambda }\wedge F\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依弱算子拓扑收敛到投影$E\wedge F$ ；

(2) 投影族${\left\{E_{\lambda }\vee F\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 依弱算子拓扑收敛到投影$E\vee F$ 。

推论3.8设$\Re$ 是作用在Hilbert空间的von Neumann代数，${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 与${\left\{F_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 是von Neumann代数$\Re$ 中的投影族，$E$ 与$F$ 是$\Re$ 中的两个投影，且投影族${\left\{E_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 与${\left\{F_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 分别依弱算子拓扑收敛于投影$E$ 与$F$ 。设集合$\mathcal{A}=\left\{E_{\lambda }|\lambda \in \Gamma \right\}$ ，集合$ℬ=\left\{F_{\lambda }|\lambda \in \Gamma \right\}$ ，若集合$\mathcal{A}$ 与集合$ℬ$ 可交换，也即对$\mathcal{A}$ 中的任意投影$E_{\lambda }$ 以及$ℬ$ 中的任意投影$F_{\mu }$ ，都有$E_{\lambda }{F}_{\mu }=F_{\mu }{E}_{\lambda }$ 成立，其中$\lambda$ 与$\mu$ 都在$\Gamma$ 中。那么有以下结论成立：

(1) $\underset{{}_{\lambda \in \Gamma }}{\lim }\left(E_{\lambda }\wedge F_{\lambda }\right)=E\wedge F$ ，这里的收敛是弱算子拓扑意义下的收敛；

(2) $\underset{{}_{\lambda \in \Gamma }}{\lim }\left(E_{\lambda }\vee F_{\lambda }\right)=E\vee F$ ，这里的收敛是弱算子拓扑意义下的收敛。