集值优化问题的高阶最优性条件

doi:10.12677/pm.2025.1512295

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集值优化问题的高阶最优性条件
Higher-Order Optimality Conditions for Set-Valued Optimization Problems

DOI: 10.12677/pm.2025.1512295, PDF, HTML, XML, 科研立项经费支持
作者: 朱俊哲：重庆交通大学数学与统计学院，重庆；薛小维^*：重庆文理学院数学与人工智能学院，重庆
关键词: 广义高阶弱切上图导数；最优性条件；向量优化；集优化；Higher-Order Generalized Tangent Epiderivative； Optimality Condition； Vector Optimization； Set Optimization

摘要: 本文利用由高阶切集所构建的高阶导数，建立了向量优化准则下集值优化问题弱极小元的最优性充分条件和必要条件，在上集合少序关系下分别介绍了集值优化问题在集优化准则下弱极大元和严格弱极大元的一些性质，并得到了严格弱极大元的最优性充分条件和必要条件。

Abstract: This article establishes the sufficient and necessary optimality conditions for weakly minimal elements of set-valued optimization problems under the vector optimization criterion, using the higher-order derivatives constructed by higher-order tangent sets. Under the upper set less order relation, it introduces some properties of weakly maximal elements and strictly weakly maximal solutions of set-valued optimization problems under the set optimization criterion respectively, and obtains the sufficient and necessary optimality conditions for strictly weakly maximal elements.

文章引用：朱俊哲, 薛小维. 集值优化问题的高阶最优性条件[J]. 理论数学, 2025, 15(12): 69-76. https://doi.org/10.12677/pm.2025.1512295

1. 引言

集值优化是优化理论的一个重要分支，主要研究目标函数或约束条件为集值映射的优化问题。关于集值优化的理论研究主要包括解的概念、标量化、解的存在性、最优性条件、解集的适定性、连通性、对偶理论等方面[1]-[10]。目前，主要有两种准则定义集值优化问题的解，一种是向量优化准则，另一种是集优化准则。向量优化准则[11]寻找的是集值目标函数在可行域内所有像集的并集的有效点，集优化准则[12]是基于集合之间的某种序关系，寻找的是集值目标函数在可行域内所有像集组成的集合的有效元。

高阶切集[13]和借助高阶切集建立的高阶导数是研究集值优化问题的一个重要工具，文献[14]借助高阶切集提出了集值映射的高阶切上图导数并研究其性质，讨论了该导数在集值优化问题对偶理论中的应用，文献[15]进一步研究了高阶切上图导数的性质，并分析了其灵敏性和稳定性，文献[16]借助高阶切集提出一类集值映射广义高阶切上图导数，对其灵敏性进行了分析并将其应用于无约束复合集值优化问题最优性条件的研究，文献[17]利用高阶切集建立了向量变分不等式问题间隙函数的一类高阶导数。

本文受文献[13]-[17]工作的启发，利用由高阶切集所构建的高阶导数，研究了向量优化准则下一类集值优化问题弱有效解的导数型最优性条件，在集值映射 $C$ 凸的假设下得到了弱有效解的导数型最优性充分条件；分析了集优化准则下集值优化问题弱极大解的一些重要性质，并研究了集优化准则下一类集值优化问题在上集合少序关系下的 $u$ -严格弱极大解的导数型最优性必要条件，在集值映射 $C$ 凸的假设下得到了 $u$ -严格弱极大解的导数型最优性充分条件。

2. 预备知识

设 $X$ 和 $Y$ 是实线性赋范空间， $C \subseteq Y$ 是具有非空内部的闭点凸锥， $int C$ 表示集合 $C$ 的内部， $Y$ 中由锥 $C$ 诱导出的偏序关系 $\leq_{C}$ ， $<_{C}$ ，定义为：

$y_{1} \leq_{C} y_{2} \Leftrightarrow y_{2} - y_{1} \in C;$

$y_{1} <_{C} y_{2} \Leftrightarrow y_{2} - y_{1} \in int C .$

对于集值映射 $F : X \to 2^{Y}$ ，其有效域、图像和上图分别为：

$d o m F : = {x \in X | F (x) \neq \emptyset};$

$g r F : = {(x, y) \in X \times Y | y \in F (x)};$

$e p i_{C} F : = {(x, y) \in X \times Y | y \in F (x) + C} .$

定义2.1 [2] 令集合 $A \subseteq Y$ ， $a_{0} \in Y$ ，

1) 在 $int C$ 非空时，如果满足 $A \cap (a_{0} - int C) = \emptyset$ ，则称 $a_{0}$ 为 $A$ 的一个弱极小点，记为 $a_{0} \in W M i n_{C} A$ ；

2) 在 $int C$ 非空时，如果满足 $A \subseteq W M i n_{C} A + int C \cup {0}$ ，则称 $A$ 具有弱极小性。

注2.1 对于集合 $A \subseteq Y$ ，点 $a_{0} \in Y$ ，

1) 在 $int C$ 非空时，如果满足 $A \cap (a_{0} + int C) = \emptyset$ ，则称 $a_{0}$ 为 $A$ 的一个弱极大点，记为 $a_{0} \in W M a x_{C} A$ ；

2) 在 $int C$ 非空时，如果满足 $A \subseteq W M a x_{C} A - int C \cup {0}$ ，则称 $A$ 具有弱极大性。

定义2.2 [2]给定集值映射 $F : X \to 2^{Y}$ ，若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in X$ ， $λ_{1}$ ， $λ_{2} \in [0, 1]$ ， $λ_{1} + λ_{2} = 1$ ，有

$λ_{1} F (x_{1}) + λ_{2} F (x_{2}) \subseteq F (λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2}) + C,$

那么称 $F$ 是 $C$ 凸的。

注2.2 对集值映射 $F : X \to 2^{Y}$ ， $F$ 是 $C$ 凸的当且仅当 $e p i_{C} F$ 是凸集。

定义2.3 [13] 设 $S \subset X$ 是一个非空集合， $x_{0} \in c l S$ ， $u_{1} \in X$ ， $r \in [0 + \infty)$ ，

1) $S$ 在 $x_{0}$ 处沿方向 $u_{1}$ 关于 $r$ 的高阶切集定义为：

$T_{r}^{h} (S, x_{0}, u_{1}) : = {u \in X | \exists t_{n}, s_{n} \to 0^{+}, t_{n} s_{n}^{- 1} \to 2 r, \exists u_{n} \to u, x_{0} + t_{n} u_{1} + t_{n} s_{n} u_{n} \in S, \forall n \in ℕ};$

2) S在 $x_{0}$ 处沿方向 $u_{1}$ 关于 $r$ 的邻接高阶切集定义为：

$T_{r}^{h i} (S, x_{0}, u_{1}) : = {u \in X | \forall t_{n}, s_{n} \to 0^{+}, t_{n} s_{n}^{- 1} \to 2 r, \exists u_{n} \to u, x_{0} + t_{n} u_{1} + t_{n} s_{n} u_{n} \in S, \forall n \in ℕ} .$

注2.3 [14] 设 $S \subset X$ 是一个非空集合， $x_{0} \in c l S$ ， $u_{1} \in X$ ， $r \in [0 + \infty)$ ，如果集合 $S$ 是凸集且 $u_{1} \in S$ ，那么 $T_{r}^{h} (S, x_{0}, u_{1} - x_{0}) = T_{r}^{h i} (S, x_{0}, u_{1} - x_{0})$ 。

注2.4 高阶切集和邻接高阶切集的另一种定义方式：

1) $T_{r}^{h} (S, x_{0}, u_{1}) : = \underset{s, t \to 0^{+}, t s^{- 1} \to 2 r}{\lim \sup} \frac{1}{s t} (S - x_{0} - t u_{1})$ ；

2) $T_{r}^{h i} (S, x_{0}, u_{1}) : = \underset{s, t \to 0^{+}, t s^{- 1} \to 2 r}{\lim \inf} \frac{1}{s t} (S - x_{0} - t u_{1})$ 。

定义2.4 [14] 给定集值映射 $F : X \to 2^{Y}$ ， $(x_{0}, y_{0}) \in g r F$ ， $(u_{1}, v_{1}) \in X \times Y$ ， $F$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处沿方向 $(u_{1}, v_{1})$ 关于 $r$ 的高阶切导数定义为：

$g r D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1}, v_{1}) : = T_{r}^{h} (g r F, (x_{0}, y_{0}), (u_{1}, v_{1})),$

即

$\begin{array}{l} D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1}, v_{1}) (u) = {v \in Y | \exists t_{n}, s_{n} \to 0^{+} : t_{n} s_{n}^{- 1} \to 2 r, \exists (u_{n}, v_{n}) \to (u, v), \\ y_{0} + t_{n} v_{1} + t_{n} s_{n} v_{n} \in F (x_{0} + t_{n} u_{1} + t_{n} s_{n} u_{n}), \forall n \in ℕ} . \end{array}$

定义2.5 [16] 给定集值映射 $F : X \to 2^{Y}$ ， $(x_{0}, y_{0}) \in g r F$ ， $(u_{1}, v_{1}) \in X \times Y$ ， $F$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处沿方向 $(u_{1}, v_{1})$ 关于 $r$ 的广义高阶弱切上图导数定义为：

$G - W E_{C} D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1}, v_{1}) (u) : = W M i n_{C} {v \in Y | (u, v) \in T_{r}^{h} (e p i_{C} F, (x_{0}, y_{0}), (u_{1}, v_{1}))} .$

定义2.6 [13] 给定集值映射 $F : X \to 2^{Y}$ ， $(x_{0}, y_{0}) \in g r F$ ， $(u_{1}, v_{1}) \in X \times Y$ ，如果对任意的 $t_{n}, s_{n} \to 0^{+}$ ， $t_{n} s_{n}^{- 1} \to 2 r$ ， $u_{n} \to u$ ，存在 $v_{n} \to v$ 使得

$y_{0} + t_{n} v_{1} + t_{n} s_{n} v_{n} \in F (x_{0} + t_{n} u_{1} + t_{n} s_{n} u_{n}),$

那么称 $F$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处沿方向 $(u_{1}, v_{1})$ 关于 $r$ 高阶半可微。

引理2.1 [16] 如果集值映射 $F : X \to 2^{Y}$ 是 $C$ -凸的， $(x_{0}, y_{0}) \in g r F$ ， $(u_{1}, v_{1}) \in e p i F$ ，且 $P_{F} (u) = {v \in Y | (u, v) \in T_{r}^{h} (e p i_{C} F, (x_{0}, y_{0}), (u_{1}, v_{1}))}$ 具有弱极小性，那么

$F (u) - y_{0} \subseteq G - W E_{C} D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1} - x_{0}, v_{1} - y_{0}) (u - x_{0}) + C, \forall u \in X .$

3. 集值优化问题在向量准则下的最优性条件

本节讨论集值优化问题在向量准则下的导数型高阶最优性条件。

令 $F : X \to 2^{Y}$ 是一个集值映射，设 $M \subseteq X$ 非空，那么向量准则下的集值优化问题可写成如下形式：

$(V O P) \min_{\leq_{C}} F (x) s .t . x \in M .$

定义3.1 给定点 $(x_{0}, y_{0}) \in g r F$ ，如果对任意的 $x \in M$ ，有

$(F (x) - y_{0}) \cap (- int C) = \emptyset,$

即 $y_{0} \in W M i n_{C} F (M)$ ，那么称点 $(x_{0}, y_{0})$ 为 $V O P$ 的一个弱极小元，称 $x_{0}$ 为为 $V O P$ 的一个弱极小解。

定理3.1和定理3.2将分别给出 $V O P$ 弱极小解的必要条件和充分条件。

定理3.1 设 $(x_{0}, y_{0}) \in g r F (x_{0}, y_{0})$ ，如果满足以下条件：

1) 点 $(x_{0}, y_{0})$ 是 $V O P$ 的一个弱极小元；

2) $(u_{1}, v_{1}) \in M \times (- C)$ ；

3) $e p i_{C} F$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处沿方向 $(u_{1}, v_{1})$ 关于 $r$ 高阶半可微，

那么

$(G - W E_{C} D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1}, v_{1}) (u)) \cap (- int C) = \emptyset, \forall u \in T_{r}^{h} (M, x_{0}, u_{1}) .$

证明：假设结论不成立，那么存在 $u \in T_{r}^{h} (M, x_{0}, u_{1})$ ，使得

$(G - W E_{C} D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1}, v_{1}) (u)) \cap (- int C) = \emptyset .$

从而存在 $v \in G - W E_{C} D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1}, v_{1}) (u) \subseteq D_{r}^{h} e p i_{C} F (x_{0}, y_{0}, u_{1}, v_{1}) (u)$ 且 $v \in - int C$ 。

由 $u \in T_{r}^{h} (M, x_{0}, u_{1})$ ，存在 $t_{n}, s_{n} \to 0^{+}$ ， $t_{n} s_{n}^{- 1} \to 2 r$ 及 $u_{n} \to u$ ，使得对所有的n，

$x_{0} + t_{n} u_{1} + t_{n} s_{n} u_{n} \in M .$ (1)

又由于 $e p i_{C} F$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处沿方向 $(u_{1}, v_{1})$ 关于 $r$ 高阶半可微，因此对上述的 $t_{n}, s_{n}, u_{n}$ ，存在 $v_{n} \to v$ ，使得

$y_{0} + t_{n} v_{1} + t_{n} s_{n} v_{n} \in F (x_{0} + t_{n} u_{1} + t_{n} s_{n} u_{n}) + C .$

从而存在 $c_{0} \in C$ ，使得

$t_{n} v_{1} + t_{n} s_{n} v_{n} - c_{0} \in F (x_{0} + t_{n} u_{1} + t_{n} s_{n} u_{n}) - y_{0} .$ (2)

由于 $v \in - int C$ ，对于充分大的n，有 $v_{n} \in - int C$ ，又 $v_{1} \in - C$ ，且 $- C - int C - C \subseteq - int C$ ，故

$t_{n} v_{1} + t_{n} s_{n} v_{n} - c_{0} \in - int C .$ (3)

通过(2)和(3)可得

$(F (x_{0} + t_{n} u_{1} + t_{n} s_{n} u_{n}) - y_{0}) \cap (- int C) \neq \emptyset,$

再由(1)可得，存在 $u \in M$ ，使得 $(F (u) - y_{0}) \cap (- int C) \neq \emptyset$ ，与点 $(x_{0}, y_{0})$ 是 $V O P$ 的弱极小元矛盾。

下面举出一个例子来说明定理3.1。

例3.1 令 $X = R$ ， $Y = R^{2}$ ， $C = R_{+}^{2}$ ， $M = [- 1, 1]$ ，定义集值映射 $F : X \to 2^{Y}$ 为

$F (x) = {\begin{cases} {(y_{1}, y_{2}) y_{1} = 2 x, y_{2} \geq y_{1}^{2}}, x \in [- 1, 0), \\ {(y_{1}, y_{2}) y_{1} = 2 x, y_{2} \geq 0}, x \in [0, 1] . \end{cases}$

不难得到，集值映射 $F$ 的一个弱有效元为 $(x_{0}, y_{0}) = (0, (0, 0))$ 。令起始方向 $(u_{1}, v_{1}) = (- 1, (- 1, 0))$ ，那么它的高阶切集为：

$T_{r}^{h} (e p i_{C} F, (- 1, 0), (0, (- 1, 0))) = {(x, (y_{1}, y_{2})) | x \in R, y_{1} \in R, y_{2} \geq 0} .$

它的高阶弱切上图导数为：

$G - W E_{C} D_{r}^{h} F (0, (0, 0), - 1, (- 1, 0)) (u) = {(y_{1}, y_{2}) | y_{1} \in R, y_{2} = 0} .$

我们得到 $(G - W E_{C} D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1}, v_{1}) (u)) \cap (- int C) = \emptyset$ ， $\forall u \in T_{r}^{h} (M, x_{0}, u_{1})$ 。

定理3.2 设 $F$ 是 $C$ 凸的， $(x_{0}, y_{0}) \in g r F$ ， $(u_{1}, v_{1}) \in e p i F$ ，如果以下条件均满足：

1) $P_{F} (u) = {v \in Y | (u, v) \in T_{r}^{h} (e p i_{C} F, (x_{0}, y_{0}), (u_{1}, v_{1}))}$ 满足弱极小性；

2) $(G - W E_{C} D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1} - x_{0}, v_{1} - y_{0}) (u - x_{0}) + C) \cap (- int C) = \emptyset$ , $\forall u \in M$ ，

那么 $(x_{0}, y_{0})$ 是 $V O P$ 的一个弱极小元。

证明：假设 $(x_{0}, y_{0})$ 不是 $V O P$ 的弱极小元，那么存在 $u \in M$ ，使得

$(F (u) - y_{0}) \cap (- int C) \neq \emptyset,$ (4)

由于 $F$ 是 $C$ 凸的，且 $P_{F} (u)$ 满足弱极小性，故根据引理2.1可以得到

$F (u) - y_{0} \subseteq G - W E_{C} D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1} - x_{0}, v_{1} - y_{0}) (u - x_{0}) + C,$ (5)

由(4)和(5)可得

$(G - W E_{C} D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1} - x_{0}, v_{1} - y_{0}) (u - x_{0}) + C) \cap (- int C) \neq \emptyset,$

与条件2)相矛盾。

4. 集值优化问题在集优化准则下的最优性条件

本节讨论集值优化问题在集优化准则下的高阶最优性条件。

定义4.1 [18] 设集合 $A, B \subseteq Y$ ，

1) 如果满足 $\forall a \in A$ ， $\exists b \in B$ 使得 $a \leq_{C} b$ ，即 $A \subseteq B - C$ ，那么称这种集合关系为上集合少序关系，记为 $A \leq_{C}^{u} B$ ；

2) 如果满足 $\forall a \in A$ ， $\exists b \in B$ 使得 $a <_{C} b$ ，即 $A \subseteq B - int C$ ，那么称这种集合关系为上集合弱少序关系，记为 $A <_{C}^{u} B$ 。

定义4.2 设 $A'$ 是包含 $Y$ 中子集的一个集合族，

1) 对任意的 $B \in A^{'}$ ，如果 $A \leq_{C}^{u} B$ ，则有 $B \leq_{C}^{u} A$ ，那么称 $A$ 是 $A^{'}$ 的一个 $u$ -极大集；

2) 对任意的 $B \in A^{'}$ ，如果 $A <_{C}^{u} B$ ，则有 $B <_{C}^{u} A$ ，那么称 $A$ 是 $A^{'}$ 的一个 $u$ -弱极大集。

令 $F : X \to 2^{Y}$ 是一个集值映射，设 $M \subseteq X$ 非空，那么集优化准则下的集值优化问题可写成如下形式：

$(S O P) \max_{\leq_{C}^{u}} {F (x)} s .t . x \in M .$

定义4.3 设像集 $F^{'} = {F (x) : x \in M}$ ，

1)如果 $F (x_{0})$ 是 $F^{'}$ 的一个 $u$ -极大集，那么称 $x_{0}$ 是 $S O P$ 的一个 $u$ -极大解，记为 $u - M a x_{C} F$ ，称 $(x_{0}, F (x_{0}))$ 为 $S O P$ 的一个 $u$ -极大元；

2)如果 $F (x_{0})$ 是 $F^{'}$ 的一个 $u$ -弱极大集，那么称 $x_{0}$ 是 $S O P$ 的一个 $u$ -弱极大解，记为 $u - W M a x_{C} F$ ，称 $(x_{0}, F (x_{0}))$ 为 $S O P$ 的一个 $u$ -弱极大元。

定义4.4 设 $x_{0} \in M$ ，如果存在点 $x_{0}$ 的邻域 $U (x_{0})$ 使得对任意的 $x \in U (x_{0}) \cap M$ ， $F (x_{0}) �_{C}^{u} F (x)$ ，那么称 $(x_{0}, F (x_{0}))$ 是 $S O P$ 的一个 $u$ -严格弱极大元。

引理4.1 令 $x_{0} \in M$ ，那么 $x_{0} \in u - W M a x_{C} F$ 当且仅当对任意的 $x \in M$ ，下列条件之一成立：

1) $F (x_{0}) <_{C}^{u} F (x)$ 且 $F (x) <_{C}^{u} F (x_{0})$ ；

2) 存在 $y_{0} \in F (x_{0})$ ，使得 $(F (x) - y_{0}) \cap int C = \emptyset$ 。

证明：假设条件1)和2)均不成立，那么存在 $x \in M$ ，对所有的 $y_{0} \in F (x_{0})$ ，存在 $y \in F (x)$ ，使得 $y - y_{0} \in int C$ 。从而 $F (x_{0}) \subseteq F (x) - int C$ ，即 $F (x_{0}) <_{C}^{u} F (x)$ ，由于1)不成立，故 $F (x) �_{C}^{u} F (x_{0})$ ，与 $x_{0} \in u - W M a x_{C} F$ 矛盾。

相反地，假设 $x_{0} \notin u - W M a x_{C} F$ ，那么存在 $x \in M$ 使得 $F (x_{0}) <_{C}^{u} F (x)$ ，且 $F (x) �_{C}^{u} F (x_{0})$ ，与条件1)矛盾，并且对任意的 $y_{0} \in F (x_{0})$ ，存在 $y \in F (x)$ ，使得 $y_{0} \in y - int C$ 即 $y - y_{0} \in int C$ ，因此 $(F (x) - y_{0}) \cap int C \neq \emptyset$ ，与条件2)矛盾。

引理4.2 令 $x_{0}, x \in M$ ，如果以下条件均满足：

1) $F (x_{0}) �_{C}^{u} F (x)$ ；

2) $F (x_{0})$ 具有弱极大性且 $W m a x_{C} F (x_{0}) = {y_{0}}$ 。

那么 $(F (x) - y_{0}) \cap int C = \emptyset$ 。

证明：假设 $(F (x) - y_{0}) \cap int C \neq \emptyset$ ，那么存在 $y \in F (x)$ ，使得 $y - y_{0} \in int C$ ，即 $y_{0} \in F (x) - int C$ 。由于 $F (x_{0})$ 具有弱极大性且 $W m a x_{C} F (x_{0}) = {y_{0}}$ ，因此对任意的 ${y^{'}}_{0} \in F (x_{0})$ ，存在 $c \in int C \cup {0}$ 使得 ${y^{'}}_{0} = y_{0} - c$ ，可以得到 ${y^{'}}_{0} \in F (x) - int C$ ，因此 $F (x_{0}) \subseteq F (x) - int C$ ，即 $F (x_{0}) <_{C}^{u} F (x)$ ，与条件1)相矛盾。

定理4.1和定理4.2将分别给出 $S O P$ 弱极小解的必要条件和充分条件。

定理4.1 对于 $x_{0} \in M$ ，如果以下条件均满足：

1) $(x_{0}, F (x_{0}))$ 是 $S O P$ 的一个 $u$ -严格弱极大元；

2) $(u_{1}, v_{1}) \in M \times C$ ；

3) $F (x_{0})$ 具有弱极大性且 $W m a x_{C} F (x_{0}) = {y_{0}}$ ；

4) $F$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处，沿方向 $(u_{1}, v_{1})$ 关于 $r$ 高阶半可微，

那么

$D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1}, v_{1}) (u) \cap int C = \emptyset, \forall u \in T_{r}^{h} (M, x_{0}, u_{1}) .$

证明：已知 $(x_{0}, F (x_{0}))$ 是 $S O P$ 的一个 $u$ -严格弱极大元，由定义4.4可得，存在点 $x_{0}$ 的邻域 $U (x_{0})$ ，对任意的 $x \in U (x_{0}) \cap M$ ，使得 $F (x_{0}) �_{C}^{u} F (x)$ 。

由于 $u \in T_{r}^{h} (M, x_{0}, u_{1})$ ，因此存在 $t_{n}$ ， $s_{n} \to 0^{+}$ ， $t_{n} s_{n}^{- 1} \to 2 r$ ，存在 $u_{n} \to u$ ，对充分大的 $n$ ，有

$x_{0} + t_{n} u_{1} + t_{n} s_{n} u_{n} \in M .$

设 $v \in D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1}, v_{1}) (u)$ ，由于 $F$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处，沿方向 $(u_{1}, v_{1})$ 关于 $r$ 高阶半可微，因此对上述的 $t_{n}$ ， $s_{n}$ ， $u_{n}$ ，存在 $v_{n} \to v$ 使得

$y_{0} + t_{n} v_{1} + t_{n} s_{n} v_{n} \in F (x_{0} + t_{n} u_{1} + t_{n} s_{n} u_{n}),$

记 $w_{n} = y_{0} + t_{n} v_{1} + t_{n} s_{n} v_{n}$ ，当 $n$ 充分大时，有 $x_{0} + t_{n} u_{1} + t_{n} s_{n} u_{n} \in U (x_{0}) \cap M$ ，由 $(x_{0}, F (x_{0}))$ 是 $S O P$ 的一个 $u$ -严格弱极大元知 $F (x_{0}) �_{C}^{u} F (x_{0} + t_{n} u_{1} + t_{n} s_{n} u_{n})$ ，又由于 $F (x_{0})$ 具有弱极大性且 $W m a x_{C} F (x_{0}) = {y_{0}}$ ，因此根据引理4.2，

$(F (x_{0} + t_{n} u_{1} + t_{n} s_{n} u_{n}) - y_{0}) \cap int C = \emptyset .$ (6)

假设 $v \in int C$ ，由于 $v_{n} \to v$ ，因此当 $n$ 充分大时， $v_{n} \in int C$ 。注意到 $t_{n}$ ， $s_{n} \to 0^{+}$ ， $v_{1} \in C$ ，可以得到

$w_{n} - y_{0} = t_{n} v_{1} + t_{n} s_{n} v_{n} \in C + int C \subseteq int C .$

因此

$w_{n} - y_{0} \in (F (x_{0} + t_{n} u_{1} + t_{n} s_{n} u_{n}) - y_{0}) \cap int C,$

与(6)矛盾，我们得到对于任意的 $u \in T_{r}^{h} (M, x_{0}, u_{1})$ ，

$D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1}, v_{1}) (u) \cap int C = \emptyset .$

下面举出一个例子来说明定理4.1。

例4.1 考虑集优化问题 ${F (x)}$ ，令 $X = R$ ， $Y = R^{2}$ ， $C = R_{+}^{2}$ ， $M = [- 1, 1]$ 。定义集值映射 ${F (x)} = {(y_{1}, y_{2}) | y_{1}^{2} + {(y_{2} + x^{2} + 1)}^{2} \leq 1}$ ， $x \in M$ 。

不难得出，该集优化问题的 $u$ -严格弱极大元为 $(0, F (0))$ ， $W m a x_{C} F (0) = (0, 0)$ ，那么 $g r F$ 在点 $(0, (0, 0))$ 处沿方向 $(0, (1, 0))$ 的高阶切集为：

$T_{r}^{h} (g r F, (0, (0, 0)), (0, (1, 0))) = {(x, (y_{1}, y_{2})) | y_{1} \in R, y_{2} = 0, x \in R} .$

高阶弱切上图导数为：

$D_{r}^{h} F (0, (0, 0), 0, (1, 0)) (u) = {(y_{1}, y_{2}) | y_{1} \in R, y_{2} = 0}, u \in [- 1, 1] .$

我们得到 $D_{r}^{h} F (0, (0, 0), 0, (1, 0)) (u) \cap int C = \emptyset$ 。

定理4.2 设 $F$ 是 $C$ 凸的， $y_{0} \in F (x_{0})$ ， $(u_{1}, v_{1}) \in e p i F$ 。如果以下条件均满足：

1) $P_{F} (u) = {v \in Y | (u, v) \in T_{r}^{h} (e p i_{C} F, (x_{0}, y_{0}), (u_{1}, v_{1}))}$ 满足弱极小性；

2) $(G - W E_{C} D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1} - x_{0}, v_{1} - y_{0}) (u - x_{0}) + C) \cap int C \neq \emptyset$ , $\forall u \in M$ ，

那么 $(x_{0}, F (x_{0}))$ 是 $S O P$ 的的 $u$ -弱极大元。

证明：假设 $(x_{0}, F (x_{0}))$ 不是 $S O P$ 的 $u$ -弱极大元，根据引理4.1可得，存在 $u \in M$ ，使得对任意的 $y_{0} \in F (x_{0})$ ，都有 $(F (u) - y_{0}) \cap int C \neq \emptyset$ ，即存在 $v^{'} \in F (u)$ ，使得

$v^{'} - y_{0} \in int C .$

由于 $F$ 是 $C$ 凸的，且 $P_{F} (u) = {v \in Y | (u, v) \in T_{r}^{h} (e p i_{C} F, (x_{0}, y_{0}), (u_{1}, v_{1}))}$ 满足弱极小性，故根据引理2.1可得

$F (u) - y_{0} \subseteq G - W E_{C} D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1} - x_{0}, v_{1} - y_{0}) (u - x_{0}) + C,$

从而

$v^{'} - y_{0} \in G - W E_{C} D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1} - x_{0}, v_{1} - y_{0}) (u - x_{0}) + C + C,$

因此

$(G - W E_{C} D_{r}^{h} F (x_{0}, y_{0}, u_{1} - x_{0}, v_{1} - y_{0}) (u - x_{0}) + C) \cap int C \neq \emptyset,$

与定理条件2)矛盾。

基金项目

重庆市教委科学技术研究资助项目(KJQN202201343; KJZD-K202401304)资助；重庆交通大学研究生科研创新项目(2025S0089)。

NOTES

^*通讯作者。

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