基于SEIQR模型的电商负面信息管控与经济增长研究

Research on E-Commerce Negative Information Management and Economic Growth Based on the SEIQR Model

摘要: 在电子商务蓬勃发展的背景下，负面信息的快速传播严重威胁平台声誉与消费者信任，进而对电商经济的健康运行构成挑战。为量化分析负面信息的传播机制并评估管控策略的经济效益，本文构建了一个电商环境下的SEIQR动力学模型。该模型引入了年龄结构以刻画信息存续时间对其传播效力的影响，并采用Dirichlet边界条件来模拟平台政策(如限流、降权)的空间约束效应。通过定义基本再生数，讨论了基本再生数的阈值范围。数值模拟仿真表明：当基本再生数小于1时，负面信息将逐渐消亡，平台环境得以净化；基本再生数大于1时，负面信息会持续存在并可能扩散，需平台及时干预。并进一步揭示了信息传播动态对平台“空间”形态的依赖性。构建SEIQR模型研究发现，负面信息的传播潜力值越小，传播越容易消亡；不同的空间区域形状会有不同的传播效果。

Abstract: Against the backdrop of booming e-commerce, the rapid spread of negative information poses a serious threat to platform reputation and consumer trust, thereby challenging the healthy operation of the e-commerce economy. To quantitatively analyze the dissemination mechanisms of negative information and evaluate the economic benefits of control strategies, this paper constructs an SEIQR dynamic model within an e-commerce environment. The model innovatively introduces an age structure to characterize the impact of information longevity on its dissemination efficacy, and employs Dirichlet boundary conditions to simulate the spatial constraints of platform policies (e.g., traffic restriction, down-ranking). By defining the basic reproduction number, the threshold range of this number is discussed. Numerical simulations demonstrate that when the basic reproduction number is less than 1, negative information gradually diminishes, leading to a purified platform environment. When the basic reproduction number exceeds 1, negative information persists and may proliferate, requiring timely platform intervention. Furthermore, the results reveal the dependence of information dissemination dynamics on the “spatial” morphology of the platform. The study, based on the constructed SEIQR model, finds that the smaller the propagation potential value of negative information, the more likely it is to die out. Additionally, different spatial domain geometries yield varying dissemination effects.

1. 引言

在全球化的加速背景下，电子商务的快速发展使得信息、促销活动、用户行为等能够迅速传播，对电商平台的运营和经济效益产生重大影响。2020年新冠疫情更是推动了电商的爆发式增长，在此背景下，利用数学模型来理解电商环境中信息的传播机制、预测趋势和评估营销策略的效果变得尤为重要。

李洁[1]等基于扎根理论发现，电商主播特性通过提升感知功能价值与情感价值间接促进消费者购买意愿，而产品信息的调节作用不显著；马艳丽[2]等研究表明，电商主播的可信度，专业知识、道德品质与网络口碑等通过降低感知风险间接促进消费者冲动性购买意愿，且价格促销正向调节主播可信度和消费者冲动购买意愿的关系；傅巧仙[3]等基于S-O-R模型证实，直播电商实时评论的知识性、互动性、利益性与情感性内容，通过提升感知价值与感知信任正向影响消费者购买行为，其中知识性评论驱动作用最强且感知价值的中介效应更显著。

近年来，互联网已经成为各类危机事件中负面情绪和舆情传播的主要场所，其传播特性与传染病在人群中的传播有极大相似。Kermack和McKendrick [4]提出的SIR模型最初用于传染病研究，但可以类比到电商环境中，将人群分为未知信息者(Susceptible)、传播信息者(Infectious)和移除者(Recovered)。Piovella [5]提出的SEIR模型则考虑了一类暴露者(Exposed)，即接收了信息但尚未传播的用户。随着电商平台的复杂化，信息传播的延迟和平台限流，降权等干预使得传播过程更加复杂。因此，引入隔离室(Quarantine)的SEIQR模型能够更准确地刻画电商环境下信息的传播与控制。陈莫凡[6]等将博弈主体的策略互动融入到SEIQR传染病模型，研究地方政府不同监管策略对舆情发展的影响。2020年Abdennasser Chekroun [7]将Dirichlet边界条件和年龄结构同时加入SIR模型当中，通过定义基本再生数，证明基本再生数是全局动力学的阈值，并数值验证了基本再生数对空间域形状的依赖性。2023年吴鹏[8]等将Dirichlet边界条件和年龄结构引入四维的HIV传染病模型中。

综上所述，基于互联网的信息传播与传染病传播具有极大相似性，而消费者的购物意愿也会受到影响，从而导致电商经济下滑。因此，构建一个适配电商环境的SEIQR模型，引入Dirichlet边界条件表示平台政策约束，基本再生数作为信息传播阈值。将抽象的数学模型转化为平台治理的动态预测工具，通过量化分析，平台可以预判不同方案对舆情走势的影响，从而优化决策，最终提升消费者购物意愿和平台电商经济的健康度。

2. 模型建立

电商平台中用户对负面信息的接触与传播行为，与营销场景中的用户分层、政策干预、信息生命周期密切相关。为刻画这一机制，我们构建了如下SEIQR模型，其中引入信息存续时间和Dirichlet边界条件，分别模拟信息传播的时间衰减效应和平台政策的空间约束作用。

假设1：S表示潜在受影响的用户，即平台的全部活跃用户或目标客群，是平台营销活动的根基；E表示接触负面信息但尚未传播的用户可能处于“观望”状态；I表示活跃传播负面信息的用户，此类用户的传播行为会直接影响营销转化效率，如直播间负面评论的扩散会降低实时成交率；Q表示被限制传播的用户，即平台的主动干预策略，例如：对发布不实信息的账号进行禁言、限流，将恶意差评折叠或置于末尾；对刷单评论进行清洗；R表示对负面信息免疫可识别或对平台恢复信任的用户。

假设2：Dirichlet边界条件模拟平台政策的空间约束作用，即边界处人员密度为0，对应电商场景中的“信息分区管控”营销策略，如将某一区域的集中负面评价限制在本地展示，不纳入全局推荐流，避免舆情扩散至全平台。$\overline{\Pi }$ 新用户流入率，反映平台拉新能力，$\overline{\Pi }$ ，$\partial \Pi$ 分别表示有界连通开集合$\Pi \subset {ℝ}^n$ 的闭包和光滑边界；$x$ 表示用户在平台中的“位置”；t表示时间的演化；b代表负面信息存续的时间；因此$S\left(x,t\right)$ ，$E\left(x,t,b\right)$ ，$I\left(x,t,b\right)$ ，$Q\left(x,t\right)$ ，$R\left(x,t\right)$ 分别为表示在时间t和位置x处于b的个体密度；参数$d_i\left(i=1,2,3,4,5\right)$ 表示这5类人群的个体扩散率；参数a表示新用户流入率；$\mu$ 表示用户流失率，反映用户粘性或平台满意度；$\beta \left(b\right)$ 表示负面信息的传播潜力，负面信息(如差评、谣言)具有高$\beta$ 值，${\sigma }_i\left(b\right)\left(i=1,2\right)$ 表示用户状态转换的速率。

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial S\left(x,t\right)}{\partial t}=d_1\Delta S\left(x,t\right)+a-S\left(x,t\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\beta \left(b\right)I\left(x,t,b\right)\text{d}b}-\mu S\left(x,t\right)\\ \frac{\partial E\left(x,t,b\right)}{\partial t}+\frac{\partial E\left(x,t,b\right)}{\partial b}=d_2\Delta E\left(x,t,b\right)-\left[\mu +{\sigma }_1\left(b\right)\right]E\left(x,t,b\right)\\ E\left(x,t,0\right)=S\left(x,t\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\beta \left(b\right)I\left(x,t,b\right)\text{d}b}\underset{{}_{}}{\overset{}{}}\\ \frac{\partial I\left(x,t,b\right)}{\partial t}+\frac{\partial I\left(x,t,b\right)}{\partial b}=d_3\Delta I\left(x,t,b\right)-\left[\mu +{\sigma }_2\left(b\right)\right]I\left(x,t,b\right)\\ I\left(x,t,0\right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\sigma }_1\left(b\right)E\left(x,t,b\right)\text{d}b}\underset{}{\overset{}{}}\\ \frac{\partial Q\left(x,t\right)}{\partial t}=d_4\Delta Q\left(x,t\right)+{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\sigma }_2\left(b\right)I\left(x,t,b\right)\text{d}b}-nQ\left(x,t\right)\\ \frac{\partial R\left(x,t\right)}{\partial t}=d_5\Delta R\left(x,t\right)+nQ\left(x,t\right)-\mu R\left(x,t\right)\end{array}$ (2.1)

初始条件为：$S\left(x,0\right)={\omega }_1\left(x\right)$ ，$E\left(x,0,b\right)={\omega }_2\left(x,b\right)$ ，$I\left(x,0,b\right)={\omega }_3\left(x,b\right)$ ，$Q\left(x,0\right)={\omega }_4\left(x\right)$ ， $R\left(x,0\right)={\omega }_5\left(x\right)$ ，$x\in \overline{\Pi }$ ，$b\ge 0$ 。

用特征线法将模型(2.1)改为一个反应扩散方程组和Voterra方程。由于$U_3\left(x,t\right)$ ，$Q\left(x,t\right)$ 和$R\left(x,t\right)$ 被$U_2\left(x,t\right)$ 所确定，因此接下来本文研究如下的反应扩散方程和Volterra方程组，其中$x\in \Pi$ ，$t>0$ ，有：

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial S\left(x,t\right)}{\partial t}=d_1\Delta S\left(x,t\right)+a-U_2\left(x,t\right)-\mu S\left(x,t\right)\\ U_2\left(x,t\right)=S\left(x,t\right){\displaystyle {\int }_0^t\beta \left(b\right)G_2\left(b\right)}{\displaystyle {\int }_{\Pi }{\Omega }_3\left(x,y,b\right)}{\displaystyle {\int }_0^{t-b}{\sigma }_1\left(s\right)G_1\left(s\right)}\\ {\displaystyle {\int }_{\Pi }{\Omega }_2\left(y,z,s\right)U_2\left(z,t-b-s\right)\text{d}z\text{d}s\text{d}y\text{d}b}+\left[F_{{\omega }_2}\left(x,t\right)+F_{{\omega }_3}\left(x,t\right)\right]S\left(x,t\right)\end{array}$ (2.2)

初始条件：

$S\left(x,0\right)={\omega }_1\left(x\right)$ ，$U_2\left(x,0\right)={\omega }_1\left(x\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\beta \left(a\right){\omega }_3\left(x,b\right)\text{d}b}$ (2.3)

在本论文中，有如下假设：

(B1) $\mu$ ，$n$ ，$a$ ，$d_i>0$ ，即所有相关参数均大于0；

(B2) $\beta (\cdot )\in L_{+}^{\infty }\left({ℝ}_{+}\right)\cap L_{+}^1\left({ℝ}_{+}\right)$ ，存在$0<b_1<b_2<+\infty$ ，使得$\beta \left(b\right)>0$ ，$b\in \left(b_1,b_2\right)$ ；

(B3) ${\sigma }_i(\cdot )\in L_{+}^{\infty }\left({ℝ}_{+}\right)$ ；

(B4) ${\beta }^{\infty }=ess\cdot \underset{b\in {ℝ}_{+}}{\sup }\beta \left(b\right)<+\infty$ ，${\sigma }_i^{\infty }=ess\cdot \underset{b\in {ℝ}_{+}}{\sup }{\sigma }_i\left(b\right)<+\infty$ ，$i=1,2$ 。

定义${\mathrm{Y}}^0=\left\{\varphi \in \mathrm{Y}:\varphi \left(x\right)=0,x\in \partial \Pi \right\}$ ，${{\rm Z}}^0=\left\{\phi \in {\rm Z}:\phi \left(x,\cdot \right)=0,x\in \partial \Pi \right\}$ ，${\mathrm{Y}}_{+}^0$ ，${{\rm Z}}_{+}^0$ 分别为${\mathrm{Y}}^0$ ，${{\rm Z}}^0$ 的正锥。对于$x\in \overline{\Pi }$ ，在${{\rm Z}}^0$ 上定义如下的线性算子：

$\left(\Phi \phi \right)\left(x,t\right)=S\left(x,t\right){\displaystyle {\int }_0^t\beta \left(b\right)G_2\left(b\right)}{\displaystyle {\int }_{\Pi }{\Omega }_3\left(x,y,b\right)}{\displaystyle {\int }_0^{t-a}{\sigma }_1\left(s\right)G_1\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{\Pi }{\Omega }_2\left(y,z,s\right)\phi \left(z,t-b-s\right)\text{d}z\text{d}s\text{d}y\text{d}b}$

由格林函数的性质(A1)~(A5)和(B1)~(B4)的假设可知，$\Phi \left({{\rm Z}}_{+}^0\right)\subset {{\rm Z}}_{+}^0$ 。下开始证明模型解的正定性。

3. 负面信息传播趋势的可预测性与管控边界

引理3.1：假设(B1)~(B3)成立，若$\left(S,U_2\right)$ 是模型(2.2)的一个解，存在区间$\left[0,T\right]$ ，$T>0$ ，模型(2.2)有$S\left(x,t\right)>0$ 且$U_2\left(x,t\right)\ge 0$ ，存在两个正数$A_1$ 和$A_2$ ，使得$0<S\left(x,t\right)\le A_1$ ，$0\le U_2\left(x,t\right)\le A_2$ 。

定理3.1：假设(B1)~(B3)成立，则模型(2.2)存在唯一具有初始条件的正有界解$\left(S,U_2\right)$ ， $\left(x,t\right)\in \Pi \times \left[0,+\infty \right)$ 。

证明：在引理3.1中说明了系统(2.2)经典解的全局存在性。现用反证法证明唯一性。

假设存在两个解$\left(\stackrel{⌢}{S},{\stackrel{⌢}{U}}_2\right)$ ，$\left(\widehat{S},{\widehat{U}}_2\right)$ ，通过引理3.1，存在正数$A^{+}>0$ ，使得$0\le {\stackrel{⌢}{U}}_2$ ，${\widehat{U}}_2\le A^{+}$ ，令 $U_2^{*}={\stackrel{⌢}{U}}_2-{\widehat{U}}_2$ ，$\left|{\stackrel{⌢}{U}}_2\left(x,t\right)-{\widehat{U}}_2\left(x,t\right)\right|\le C^{+}{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert U_2^{*}\left(b\right)\Vert }_{\mathrm{Y}}\text{d}b}$，利用Gronwall不等式得：${\Vert U_2^{*}\left(b\right)\Vert }_{\mathrm{Y}}\text{d}b=0$ ，$t>0$ ，意味着${\stackrel{⌢}{U}}_2={\widehat{U}}_2$ 。类似利用最大值原理[9]的可得$S\left(x,t\right)$ 的唯一性。

这一数学性质对电商营销具有重要指导意义：解的唯一性说明对于给定的初始舆情状态，电商平台信息传播的演化路径是唯一确定的。这为电商平台进行预测和干预奠定了理论基础，平台可以通过监测初始数据，利用此模型唯一地预测出负面信息未来的扩散趋势，从而评估不同营销策略或危机公关方案的潜在效果，避免营销决策的盲目性；解的有界性从理论上证明了负面信息的传播不会无限扩张，其影响范围存在一个上限，这为营销干预提供了信心，即使出现负面舆情，通过合理调整策略可将影响控制在可接受范围。

4. 负面信息传播阈值

模型(2.2)的无病平衡态由下式给出：$E_0:\left(S,U_2\right)=\left(S_0,0\right)$ ，$S_0$ 是如下椭圆方程的解：

$\{\begin{array}{l}0=d_1\Delta S_0\left(x\right)+b-\mu S_0\left(x\right),x\in \Pi \\ S_0\left(x\right)=0,x\in \partial \Pi \end{array}$ (4.1)

命题4.1：假设(B1)~(B3)成立，则(4.1)存在唯一的非负解$S_0\in {\mathrm{Y}}_{+}^0\backslash \left\{0\right\}$ ，使得对所有$x\in \Pi$ ，$S_0\left(x\right)>0$ ，对$x\in \overline{\Pi }$ 有：$\underset{t\to +\infty }{\lim }=\sup S\left(x,t\right)\le S_0\left(x\right)$ 。

定义系统(2.2)再生算子：

$\left(\Re \varphi \right)\left(x\right)=S_0\left(x\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\beta \left(b\right)G_2\left(b\right)}{\displaystyle {\int }_{\Pi }{\Omega }_3\left(x,y,b\right)}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\sigma }_1\left(s\right)G_1\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{\Pi }{\Omega }_2\left(y,z,s\right)U_2\left(z,t-b-s\right)\text{d}z\text{d}s\text{d}y\text{d}b}$ (4.2)

再生算子$\Re$ 能反映一个初始传播者在整个生命周期内所能影响的平均易感用户数，是营销干预效果的核心量化指标。由文献[10]基本再生数$R_0$ 定义为$R_0=r\left(\Re \right)$ 。

引理4.2：假设(B1)~(B3)成立，令$\Re$ 由式(4.2)定义，$\Re$ 是强正，有界，紧的。

这一性质意味着，负面信息的传播具有“正向反馈”特征，平台可通过降低传播潜力值，如通过限流、降权，或者提升用户免疫力来控制$R_0$ 。下面将证明$R_0$ 的大小是如何影响信息传播范围。

5. 负面信息自然消亡条件

对于任意大的常数${\rm M}$ ，定义如下集合：

$\begin{array}{l}{F}_{{\rm M}}=\{\left({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3\right)\in {\mathrm{Y}}_{+}^0\times {{\rm Z}}_{+}^0\times {\mathrm{Y}}_{+}^0:{\omega }_1\le S_0\left(x\right),x\in \overline{\Pi },{\omega }_3\left(x,b\right)\le {\rm M}{G}_2\left(b\right)\\ \times {\displaystyle {\int }_{\Pi }{\Omega }_3\left(x,y,b\right)}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\sigma }_1\left(c\right)G_1\left(c\right)}{\displaystyle {\int }_{\Pi }{\Omega }_2\left(y,z,c\right){\gamma }_0\left(z\right)\text{d}y\text{d}c\text{d}z},b\ge 0,x\in \overline{\Pi }\}\end{array}$ (5.1)

其中${\gamma }_0$ 是算子$\Re$ 的正特征向量，对应特征值为$R_0=r\left(\Re \right)$ 。

引理5.1：假设(B1)~(B3)成立，令$F_{{\rm M}}$ 如(5.1)定义所示。如果$\left({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3\right)\in F_{{\rm M}}$ 且$R_0<1$ ，那么对$t>0$ ，$x\in \overline{\Pi }$ ，有$0\le S\left(x,t\right)\le S_0\left(x\right)$ ，$0\le U_2\left(x,t\right)\le {\rm M}{\gamma }_0\left(x\right)$ 。

定理5.1：假设(B1)~(B3)成立，$F_{{\rm M}}$ 如(5.1)定义所示。如果$\left({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3\right)\in F_{{\rm M}}$ 且$R_0<1$ ，那么 $\underset{t\to +\infty }{\lim }={\Vert S\left(·,t\right)\Vert }_{\mathrm{Y}}=0$ ，$\underset{t\to +\infty }{\lim }={\Vert U_2\left(·,t\right)\Vert }_{\mathrm{Y}}=0$ 。

证明：令$U_2^{\infty }\left(x\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\sup U_2\left(x,t\right)$ ，$x\in \overline{\Pi }$ ，由引理5.1可知，$U_2^{\infty }\left(x\right)\le {\rm M}{\gamma }_0\left(x\right)$ ，$x\in \overline{\Pi }$ ，因此对任意$x\in \overline{\Pi }$ 有：$U_2^{\infty }\left(x\right)\le R_0{\rm M}{\gamma }_0\left(x\right)$ 。

因为$R_0<1$ ，从而$U_2^{\infty }=0$ 。因此$\underset{t\to +\infty }{\lim }={\Vert U_2\left(·,t\right)\Vert }_{\mathrm{Y}}=0$ 。由以上结论可知，对任意$\xi >0$ ，存在$T>0$ ，${\Vert U_2\left(·,t\right)\Vert }_{\mathrm{Y}}\le \xi$ ，$t\ge T$ 。进而$t\ge T$ ，$x\in \overline{\Pi }$ ，有：

$S\left(x,t\right)\ge \left(a-\xi \right){\displaystyle {\int }_0^{t-T}{\text{e}}^{-\mu b}}{\displaystyle {\int }_{\Pi }{\Omega }_1\left(x,y,b\right)\text{d}y\text{d}b}=S_0^{\xi }\left(x\right)$

由于$\xi >0$ ，当$\xi \to 0^{+}$ ，$S_0^{\xi }\to S_0$ ，有$\underset{t\to +\infty }{\lim }={\Vert S\left(·,t\right)-S_0\left(x\right)\Vert }_{\mathrm{Y}}=0$ 。证明完成。

定理5.1从数学上严格证明了当基本再生数$R_0<1$ 时，无论初始的负面信息规模如何，系统都将全局收敛于无病平衡态$E_0$ ，即平台信息生态达到健康状态。表明$R_0<1$ 是电商平台信息生态系统的一个临界阈值，$R_0<1$ 时，负面信息不会持续存在和扩散，最终会彻底消亡这为平台评估自身环境的健康度提供了一个明确的、可量化的目标：即通过一切手段将有效再生数控制在1以下。具体路径包括：

1) 精准拉新与信任前置：针对高潜力客群开展拉新营销，通过产品卖点拆解、用户口碑合集等方式建立初始信任，降低易感者转化率，从源头减少负面信息的影响基础。

2) 舆情窗口期快速干预：建立暴露者$\left(E\right)$ 识别机制，通过用户行为数据监测到用户浏览负面信息后，立即推送针对性内容，比如客服一对一答疑、同类型用户的正面评价，阻止其向感染者$\left(I\right)$ 转化，降低传播潜力$\beta$ 。

3) 长期信任资产建设：将品牌信任作为核心营销资产，通过持续的产品质量保障、售后服务优化、社会责任践行，比如公益营销，扩大康复者$\left(R\right)$ 规模，提升用户对负面信息的“免疫力”，从根本上降低$R_0$ 。

6. 负面信息持续扩散的临界状态

定义如下的集合：

$\mathbb{Q}=\left\{\left({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3\right)\in {\mathrm{Y}}_{+}^0\times {{\rm Z}}_{+}^0\times {{\rm Z}}_{+}^0,{\omega }_1\left(x\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\beta \left(b\right){\omega }_3}\left(x,b\right)\text{d}b>0,x\in \Pi \right\}$

引理6.1：假设(B1)~(B3)成立，定义一个集合$\mathbb{Q}$ 如上，那么存在一个紧的连续解半流 $\sum \left(t,{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3\right)=\left(S\left(·,t\right),U_2\left(·,t\right)\right)\in {\mathrm{Y}}_{+}^0\times {{\rm Z}}_{+}^0$ ，若$R_0>1$ ，则存在${\xi }_1>0$ ，使得$\underset{t\to +\infty }{\lim }\sup {\Vert U_2\left(·,t\right)\Vert }_{\mathrm{Y}}>{\xi }_1$ 。

定理6.1：若$R_0>1$ ，(B1)~(B3)成立，则系统一致持久的，存在$\xi =\xi \left(x,b\right)>0$ ，使得$\underset{t\to +\infty }{\lim }\inf E\left(x,t,b\right)>\xi$ 。此外，系统至少存在一个空间依赖的正平衡态$E_1=\left(S^{*},U_2^{*}\right)$ 。

证明：由引理6.1可知，当$R_0>1$ ，存在一个常数${\xi }_1>0$ ，使得$U_2\left(x,t\right)$ 的上极限满足 $\underset{t\to +\infty }{\lim }\sup {\Vert U_2\left(·,t\right)\Vert }_{\mathrm{Y}}>{\xi }_1$ 。这表明负面信息不会完全消失。而：

$E\left(x,t,b\right)=G_1\left(b\right){\displaystyle {\int }_{\Pi }{\Omega }_2\left(x,y,b\right)U_2\left(y,t-b\right)\text{d}y}$

这个公式表明，当前时刻的暴露者数量是由过去时刻的传播者数量所决定的，$U_2\left(x,t\right)$ 长期保持正的水平，通过这个“历史依赖”关系，可以推断出$E\left(x,t,b\right)$ 也必然长期保持在一个正的水平上，即由文献[11]可知存在一个$\xi =\xi \left(x,b\right)>0$ 使得：

$\underset{t\to +\infty }{\lim }\inf E\left(x,t,b\right)>\xi$

说明如果通过监测数据估算出$R_0>1$ ，则负面信息已经获得了自我维持的能力，平台应启动应急响应机制比如大规模限流、官方辟谣、正面信息引导等，而不能指望负面信息自行消亡。

下证系统存在空间依赖的正稳态$E_1$ 。在平衡态下时间导数项为0，因此，模型(2.2)简化为一个关于空间变量$x$ 的椭圆型方程组：

$\{\begin{array}{l}0=d_1\Delta S^{*}\left(x\right)+a-\left(\mu +\left(\Upsilon U_2^{*}\right)\left(x\right)\right)S^{*}\left(x\right)\\ U_2^{*}\left(x\right)=S^{*}\left(x\right)\left(\Upsilon U_2^{*}\right)\left(x\right)\end{array}$

其中：$\left(\Upsilon U_2\right)\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\beta \left(b\right)G_2\left(b\right)}{\displaystyle {\int }_{\Pi }{\Omega }_3\left(x,y,b\right)}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\sigma }_1\left(s\right)G_1\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{\Pi }{\Omega }_2\left(y,z,s\right)\varphi \left(z\right)\text{d}z\text{d}s\text{d}y\text{d}b}$ 。

定义非线性算子：

$\psi \left(\varphi \right)\left(x\right)=E^x\left[a{\displaystyle {\int }_0^{\tau \Pi }{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_0^s\left[\mu +\left(\psi \varphi \right)\left(\chi U_2\right)\right]\text{d}{U}_2}}\text{d}s}\right]\left(\psi \varphi \right)\left(x\right)$ ，$\varphi \in L_{+}^1\left(\Pi \right)$ ，$x\in \overline{\Pi }$

为了处理边界条件的复杂性，我们首先在一个稍微缩小的区域${\Pi }_{\zeta }$ ，满足$d\left({\Pi }_{\zeta },\partial \Pi \right)>0$ ，我们定义如下的一些算子：

$\left({\Upsilon }_{\zeta }\varphi \right)\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\beta \left(b\right)G_2\left(b\right)}{\displaystyle {\int }_{\Pi }{\Omega }_3\left(x,y,b\right)}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\sigma }_1\left(s\right)G_1\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_{\Pi }{\Omega }_2\left(y,z,s\right)\varphi \left(z\right)\text{d}z\text{d}s\text{d}y\text{d}b}$

${\psi }_{\zeta }\left(\varphi \right)\left(x\right)={E^x\left[a{\displaystyle {\int }_0^{\tau \Pi }{\text{e}}^{-{\displaystyle {\int }_0^s\left[\mu +\left(\psi \varphi \right)\left(\chi U_2\right)\right]\text{d}{U}_2}}\text{d}s}\right]\left({\psi }_{\zeta }\varphi \left(x\right)\right)|}_{{{\rm T}}_{\zeta }}$

$\left({\Re }_{\zeta }\varphi \right)\left(x\right)={E^x\left[a{\displaystyle {\int }_0^{\iota \Pi }{\text{e}}^{-\mu s}}\text{d}s\right]\left({\psi }_{\xi }\varphi \right)\left(x\right)|}_{{\Pi }_{\zeta }}={S_0\left(x\right)\left({\psi }_{\zeta }\varphi \right)\left(x\right)|}_{{\Pi }_{\zeta }}$

当${\psi }_{\zeta }$ 在$L_{+}^1\left({\Pi }_{\zeta }\right)/0$ 中具有正定点${\varphi }_{\zeta }^{+}$ 时，则$\psi$ 有一个正定点。

一方面，由于$R_0=r\left(R\right)>1$ ，显然存在一个足够小的常数$\zeta >0$ ，使得$r\left({\Re }_{\zeta }\right)>1$ 。对于固定的$\zeta$ ，知${\psi }_{\zeta }\left(L_{+}^1\left({\Pi }_{\zeta }\right)\right)\subset L_{+}^1\left({\Pi }_{\zeta }\right)$ 和${\psi }_{\zeta }\left(0\right)=0$ 。另一方面，由[7]可知${{\psi }^{\prime }}_{\zeta }\left(0\right)=R_{\zeta }$ ，${{\psi }^{\prime }}_{\zeta }\left(\infty \right)=0$ 相对于$L_{+}^1\left({\Pi }_{\zeta }\right)$ ，以及${{\psi }^{\prime }}_{\zeta }\left(\infty \right)$ 的谱是0，并位于以0为中心的半径小于1的圆内。由Kerm-Rutman定理，由于$r\left({\Re }_{\zeta }\right)>1$ ，${\psi }^{\prime }\left(0\right)$ 无特征函数对应特征值1，应用krasnoselskii不动点定理，可得${\psi }_{\zeta }$ 至少有一个非平凡不动点${\varphi }_{\zeta }^{+}>0$ 。因此系统至少有一个空间依赖的正稳态解$E_1=\left(S^{*},U_2^{*}\right)$ 。

定理6.1从数学上证明了当基本再生数$R_0>1$ 时，负面信息将在平台内一致持久地存在，即无论初始状态如何，其影响最终都将持续地维持在一个正的水平之上。这表明$R_0>1$ 是平台信息生态恶化的一个临界点，一旦突破此阈值，意味着负面信息的传播动力已足够强大，这为平台设立了风险预警指标：监测并估算$R_0$ 的值。当$R_0$ 逼近或超过1时，平台应立即启动应急响应机制，通过一系列组合策略降低损失：

1) 空间分区域管控：利用Dirichlet边界条件的空间约束特性，将负面信息集中的区域，如某类产品的评论区、特定直播间等进行分区隔离，限制其向全局推荐流扩散，避免舆情蔓延至全平台。

2) 精准流失挽回：针对易感者$\left(S\right)$ 中的高价值用户，开展专属营销，如发放大额无门槛优惠券、提供免费升级服务等，防止其因负面信息流失，维持$S\left(t,x\right)$ 的稳定。

3) 对负面信息进行转化：对部分真实不满的感染者$\left(I\right)$ ，通过客服专属对接、问题快速解决、补偿方案个性化等方式，将其转化为康复者$\left(R\right)$ ，比如某用户因物流延迟发布负面评论后，平台快速补发并赠送优惠券，使其主动删除负面内容并发布正面评价，降低传播潜力$\beta$ 。

7. 数值模拟

结合电商营销场景设定参数，验证不同营销策略对负面信息传播的影响，为实际决策提供量化参考。与文献[7]类似，考虑矩形区域$\Pi \in \left(\text{0,}{w}_1\right)\times \left(\text{0,}{w}_2\right)\subset R^2$ ，$w_1,w_2>0$ ，对系统(2.2)进行数值模拟，定义如下的格林函数：

${\Omega }_i=\left(x_1,x_2,y_1,y_2,t\right)=\frac{4}{w_1{w}_1}{\displaystyle \sum _{m,n=1}^1\sin \frac{p\pi x_1}{w_1}\sin }\frac{q\pi x_2}{w_2}\sin \frac{p\pi y_1}{w_1}\sin \frac{q\pi y_2}{w_2}{\text{e}}^{-d_i\left(\frac{p^2}{w_1^2}+\frac{q^2}{w_2^2}\right){\pi }^{2}t}$

其中$x_1,y_1\in \left[0,w_1\right]$ ，$x_2,y_2\in \left[0,w_2\right]$ ，$i=2,3$ 。假设系统(2.2)的参数如下：

$a=1$ ，$\mu =1$ ，${\sigma }_1=1$ ，${\sigma }_2=1$ ，${\omega }_1\left(x\right)=S_0\left(x\right)$ ，$d_1=0.05$ ，$d_2=0.05$ ，$d_3=0.05$ ，$d_3=0.05$

${\omega }_i\left(x,b\right)=\{\begin{array}{l}{U}_i\left(0\right){\text{e}}^{-\left(\mu +{\sigma }_i\right)b}{\displaystyle \prod _{s=1}^2\left(x_s-0.3w_s\right)}\left(0.7w_s-x_s\right)\begin{array}{cc},& \left(x_1,x_2\right)\in {\Pi }_0\end{array}\\ 0\begin{array}{cc},& 其他\end{array}\end{array}$ ，$\beta \left(b\right)=\{\begin{array}{cc}\beta ,& b\le 1\\ 0,& b>1\end{array}$

其中$i=2,3$ ，$U_2\left(0\right)=100$ ，$U_3\left(0\right)=100$ ，${\Pi }_0=\left(0.3w_1,07w_2\right)\times \left(0.3w_1,07w_2\right)\subset \Pi$ 。

对于$R_0$ 的计算利用文献[12]中的Fredholm的离散化方法进行计算。首先考虑正方形区域的情况，使$w_1=w_2=1$ ，可计算出$S_0\left(x\right)=S_0\left(x_1,x_2\right)$ ，如图1所示。当$\beta =4$ ，$R_0\approx 0.8422<1$ 时，由图2可看到$U_2\left(x,t\right)$ 随着时间逐渐收敛于零平面，这表明当$R_0<1$ 时，平台可采用常规营销和轻度风控策略，无需过度投入应急资源。例如，维持日常的内容审核强度，持续开展品牌信任营销，如用户口碑征集等，即可实现负面信息的自然消亡。

Figure 1. $S_0\left(x\right)$ , the density of susceptible individuals at the disease-free equilibrium $E_0$

图1. 易感个体在无病稳态$E_0$ 下的密度$S_0\left(x\right)$

Figure 2. The evolutionary behavior of $U_2\left(x,t\right)$ when $\beta =4$ and $R_0\approx 0.8244<1$

图2. $\beta =4$ ，$R_0\approx 0.8244<1$ 时$U_2\left(x,t\right)$ 演化行为

当$\beta =6$ ，$R_0\approx 1.1236>1$ 时，由图3可看到$U_2\left(x,t\right)$ 会持续存在不会消亡，此时需启动强化风控和精准营销组合策略。例如，加强恶意评论折叠力度、降低$\beta$ 值，如发布官方澄清视频、针对高价值易感用户推送专属权益等，通过多维度干预将$R_0$ 降至1以下，避免负面信息持续侵蚀营销效果。图3和图4表明了不同的$\beta$ 值会导致$R_0$ 的范围，从而决定模型是全局吸引或持续存在。

Figure 3. The evolutionary behavior of $U_2\left(x,t\right)$ when $\beta =6$ and $R_0\approx 1.1236>1$

图3. $\beta =6$ ，$R_0\approx 1.1236>1$ 时$U_2\left(x,t\right)$ 演化行为

接下来考虑非正方形区域，$w_1=p$ ，$w_2=\frac{1}{p}$ ，$p>0$ ，其余参数设置与前面一致。对于$p=1.2$ ，

$R_0\approx 1.1943>1$ 时，图4表明$U_2\left(x,t\right)$ 会持续存在；$p=1.6$ ，$R_0\approx 0.8909<1$ 时，图5表明$U_2\left(x,t\right)$ 最终会消亡。由此得知，合理的平台空间形态设计，能进一步提升负面信息管控效率。例如，在直播电商中，可将直播间评论区按已购买用户和未购买用户分区，未购买用户的信息流中优先展示正面评价，对于已购买用户的负面评论次展示，既保证信息真实性，又降低负面信息对营销转化的影响。

Figure 4. The evolutionary behavior of $U_2\left(x,t\right)$ when $\beta =6$ , $p=1.2$ and $R_0\approx 1.1943>1$

图4. $\beta =6$ ，$p=1.2$ ，$R_0\approx 1.1943>1$ 时$U_2\left(x,t\right)$ 演化行为

Figure 5. The evolutionary behavior of $U_2\left(x,t\right)$ when $\beta =6$ , $p=1.6$ and $R_0\approx 0.8909<1$

图5. $\beta =6$ ，$p=1.6$ ，$R_0\approx 0.8909<1$ 时$U_2\left(x,t\right)$ 演化行为

8. 总结与展望

1) 图2和图3表明不同的$\beta$ 值会影响$R_0$ 的取值，而因为$\beta \left(b\right)$ 表示负面信息的传播潜力，$\beta \left(b\right)$ 值越高，$R_0$ 越大，因此平台在初始状态时可将$\beta$ 控制在一个较小的范围内，削弱负面信息的传播力，对已识别出的负面信息源，如恶意差评、不实谣言帖等进行快速识别和流量限制。同时，平台可持续投入品牌建设，通过承担社会责任、保证产品质量、提供超预期服务等方式，构建深厚的品牌信任，拥有高品牌忠诚度的用户对负面信息的“免疫力”更强，更倾向于相信品牌而非未经证实的负面消息。

2) 图4和图5表明当$\beta$ 值相同时，不同的$p$ 值，即空间区域形状不同也会有不同的传播效果。因此可以有意识地将平台划分为不同的“信息生态区”，并通过政策工具，即文章中的Dirichlet边界条件，控制各区之间的信息流动。比如当某个细分群体出现集中差评时，“边界政策”，比如限制该地区内容的全局推荐、不在其他地区用户的信息流中展示等能有效将其隔离在本地，防止舆情危机蔓延至全平台。

3) 长期投入品牌信任营销，通过产品质量保障、售后服务优化、公益活动参与等方式，扩大康复者$\left(R\right)$ 规模，提升用户对负面信息的免疫力，从根本上降低$R_0$ ；优化用户留存，通过会员体系、专属权益、个性化推荐等营销手段降低用户流失率$\mu$ ，维持易感者$\left(S\right)$ 规模稳定，为营销转化提供基础，同时提升平台对负面信息的抵御能力。

4) 本文模型创新性地引入了年龄结构和边界条件，但仍然还有以下局限性：一是引入时变参数或随机微分方程，增强模型对动态环境的适应性，更好地模拟实际电商环境受节假日、促销活动等外部事件影响，参数可能呈现时变或随机特性；二是考虑用户异质性，构建多群体SEIQR模型，区分高敏感用户与低敏感用户，将用户个体差异对信息敏感度的异质性考虑进模型当中；最后，探索多平台交互情景，研究负面信息在跨平台传播中的协同治理机制，为电商生态的稳健发展提供更全面的理论支撑。

NOTES

^*第一作者。

^#通讯作者。