关于超空间非自治动力系统分布混沌的研究

Research on Distributional Chaos in Hyperspace Non-Autonomous Systems

摘要: 本文主要研究超空间非自治动力系统分布混沌的一些性质。在强一致收敛的条件下，得到了序列映射是第二型分布混沌(DC2, DC2’)与极限映射是第二型分布混沌(DC2, DC2’)的关系。在一致收敛条件下，得到了超空间非自治动力系统的第二型分布混沌(DC2’)保持迭代不变性。最后，证明了超空间非自治动力系统中$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌或$\left(K\left(Y\right),\overline{g_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌当且仅当$\left(K\left(X\right)\times K\left(Y\right),\overline{f_{1,\infty }}\times \overline{g_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌。

Abstract: This paper mainly studies some properties of distributional chaos in hyperspace non-autonomous dynamical systems. Under the condition of strong uniform convergence, the relationship between the sequence mapping being the type 2 of distributional chaos (DC2, DC2’) and the limit mapping being the type 2 of distributional chaos (DC2, DC2’) was obtained. Under the condition of uniform convergence, the type 2 of distributional chaos (DC2’) of the hyperspace non-autonomous dynamical system maintains iterative invariance. Finally, it is proved that in a hyperspace non-autonomous dynamical system, that $\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ is Li-Yorke chaos or that $\left(K\left(Y\right),\overline{g_{1,\infty }}\right)$ is Li-Yorke chaos if and only if that $\left(K\left(X\right)\times K\left(Y\right),\overline{f_{1,\infty }}\times \overline{g_{1,\infty }}\right)$ is Li-Yorke chaos.

1. 引言

对动力系统的研究可追溯到牛顿，十九世纪庞加莱创立了微分方程定性理论，二十世纪初，Birkhoff经过系统化发展使得动力系统成为一个理论学科。混沌是动力系统的一个主要方向，最早在1975年由李天岩等人在《周期三蕴含混沌》[1]中给出了混沌语言的数学定义，称为Li-Yorke混沌。1994年，Schweizer等人[2]在统计意义下给出分布混沌的概念。而后，学者进一步推广定义了三种类型的分布混沌(DC1~DC3) [3]，最近，作者[4]也提出了另一种分布混沌命名为DC2’。Li-Yorke混沌和分布混沌如今仍是最经典和最重要的两种混沌。而对于超空间的研究可追溯到二十世纪初，因为在生物种群、人类统计学、磁场分析等方面的研究中，往往需要考察空间子集(如群体分布、数据集合)的整体运动规律。因此，研究由基空间上的自映射所诱导的超空间映射具有重要理论意义。最早在1984年Klein [5]就提出了超空间的概念，而后经过Flores等人的发展使得超空间逐渐变为热门。我们知道在实际问题中，事物的变化往往和时间有关，因此，经典的自治动力系统被推广到了非自治动力系统，其由Kolyada等人[6]首次提出，2011年，Cnovas [7]研究了非自治动力系统关于Li-Yorke混沌极限行为，2012年，Dvorakova [8]研究了非自治动力系统中的分布混纯。2013年，吴新星等人[9]研究了非自治动力系统中的敏感性、Li-Yorke混沌和分布混沌等动力性质保持迭代不变。此后，很多学者在超空间中也研究非自治动力系统。其中，杨承宇等人[10]讨论了基空间与超空间中的非自治动力系统关于敏感性的关系，还证明得到了超空间非自治动力系统的敏感性具有迭代不变性。此外，对于乘积动力系统，吴新星等人[11]研究了Li-Yorke混沌乘积性。杨智等人[12]讨论了Li-Yorke 敏感的乘积性。但建军等人[13]研究了超空间自治动力系统的Li-Yorke混沌和分布混沌都保持迭代不变性，而对于超空间非自治动力系统的各种分布混沌是否仍有此结论还未有研究，本文将对此问题进行研究。2018年，向伟杰等人[14]研究了超空间动力系统在强一致收敛条件下的相关动力学性质，讨论了超空间动力系统中Li-Yorke混沌和分布混沌中的序列映射与极限映射的关系，而其他类型的分布混沌其序列映射与极限映射的关系还是未知的，有待研究。2022年，冷震北等人[15]研究了超空间非自治动力系统中的混沌Li-Yorke的迭代不变性和乘积不变性等性质。

在上述研究的基础上，本文主要讨论超空间非自治动力系统中分布混沌的有关性质，得到了超空间非自治动力系统的序列映射是第二型分布混沌(DC2, DC2’)能被极限映射所继承；证明了超空间非自治动力系统的第二型分布混沌的迭代不变性；研究了超空间非自治动力系统中单系统是Li-Yorke混沌与乘积系统是是Li-Yorke混沌的关系，最后提出一个公开问题。

2. 预备知识

定义1. 设$\left(X,d\right)$ 是一个度量空间：$f_i:X\to X$ ，$i\in {\mathbb{Z}}_{+}$ 为连续自映射。记序列${\left\{f_i\right\}}_1^{\infty }=f_{1,\infty }$ ，对于任意的$x\in X$ 点x的轨迹由序列$x,f_1\left(x\right),f_1^2\left(x\right),\cdots ,f_1^n\left(x\right),\cdots$ 表示，记作tra(x)，其中

$f_1^n=f_n\circ f_{n-1}\circ \cdot \cdot \cdot \circ f_2\circ f_1$ .

并且对任意的$f_i\in f_{1,\infty }$ ，当$n=0$ 时，$f_i^0=id$ 。此时$f_{1,\infty }$ 为X上的一个非自治动力系统，记为$\left(X,f_{1,\infty }\right)$ ，对任意的$f_i\in f_{1,\infty }$ ，任意的正整数n，记

$f_i^n=f_{i+n-1}\circ f_{i+n-2}\circ \cdot \cdot \cdot \circ f_{i+1}\circ f_i$ .

对任意的$N\in \mathbb{N}$ ，记$\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}}={\left(f_{N\left(n-1\right)+1}^N\right)}_{n=1}^{\infty }$ ，此时$\left(X,\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}}\right)$ 也是X上的一个非自治动力系统，称为原系

统的N次迭代系统。对于超空间系统，同样可以定义N次迭代系统。

定义2. 设$\left(X,d\right)$ 是一个度量空间，$f:X\to X$ 是连续映射。$K\left(X\right)$ 表示$X$ 上的所有非空紧子集的集合，对任意的非空开子集$A_1,\cdots ,A_n\subset X$ ，记

$\langle A_1,\cdots ,A_n\rangle =\left\{A\in K\left(X\right)|A\subset {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{A}_i},A\cap A_i\ne \varphi ,1\le i\le n\right\}$ ,

则所有形如$A_1,\cdots ,A_n$ 的集合构成了$K\left(X\right)$ 空间的某个拓扑的基，把由这个基生成的拓扑称为$K\left(X\right)$ 上的Vietoris拓扑，所得拓扑空间称为由生成的超空间。在$K\left(X\right)$ 上定义Hausdorff度量$d_H$ ：

$d_H\left(A,B\right)=\max \left\{\underset{a\in A}{\sup }d\left(a,B\right),\underset{b\in B}{\sup }d\left(A,b\right)\right\}$

易知$d_H\left(A,B\right)$ 是$K\left(X\right)$ 的以Hausdorff度量$d_H$ 诱导的拓扑空间。令$\overline{f}:K\left(X\right)\to K\left(X\right)$ 为$\overline{f}\left(A\right)=\left\{f\left(a\right)|a\in A\right\}$ 。显然$\overline{f}:K\left(X\right)\to K\left(X\right)$ 是连续的。

定义3. 两个超空间非自治动力系统$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 和$\left(K\left(Y\right),\overline{g_{1,\infty }}\right)$ ，其度量分别为$d_{H_1}$ 和$d_{H_2}$ 。

定义$\overline{f_{1,\infty }}\times \overline{g_{1,\infty }}:K\left(X\right)\times K\left(Y\right)\to K\left(X\right)\times K\left(Y\right)$ 为

$\overline{f_{1,\infty }}\times \overline{g_{1,\infty }}\left(A\times B\right)=\overline{f_{1,\infty }}\left(A\right)\times \overline{g_{1,\infty }}\left(B\right)$

其中$A\times B\in K\left(X\right)\times K\left(Y\right)$ 。$K\left(X\right)\times K\left(Y\right)$ 的度量定义为

$d_H\left(\left(A_1,B_1\right),\left(A_2,B_2\right)\right)=\max \left\{d_{H_1}\left(A_1,A_2\right),d_{H_2}\left(B_1,B_2\right)\right\}$ ,

其中$\left(A_1,B_1\right),\left(A_2,B_2\right)\in K\left(X\right)\times K\left(Y\right)$ 。我们称系统$\left(K\left(X\right)\times K\left(Y\right),\overline{f_{1,\infty }}\times \overline{g_{1,\infty }}\right)$ 为这两个超空间非自治动力系统的乘积动力系统。

定义4. 令$(K(X),\stackrel{\_\_}{f_{1,\infty }})$ 是一个超空间非自治动力系统。如果存在一个不可数集$\Gamma \subseteq K\left(X\right)$ ，使得对于任意不同的$A,B\in \Gamma$ ，有$\underset{i\to \infty }{\lim \inf }{d}_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)=0,\underset{i\to \infty }{\lim \sup }{d}_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)>0$ ，则称$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌。

定义5. 令$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 是一个超空间非自治动力系统。

记

$\Phi \left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,t\right)=\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{1}{n}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)<t,0\le i<n\right\}$ ,

${\Phi }^{*}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,t\right)=\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{n}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)<t,0\le i<n\right\}$ .

如果存在一个不可数集$\Gamma \subseteq K\left(X\right)$ ，使得对于任意不同的$A,B\in \Gamma$ ，有(1)：对某个$\epsilon >0$ 满足$\Phi \left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,\epsilon \right)=0$ 和对任意的$t>0$ 满足${\Phi }^{*}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,t\right)=1$ ，则称$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 是第一型分布混沌(DC1)；

(2)：对某个$\epsilon >0$ 满足$\Phi \left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,\epsilon \right)>0$ 和对任意的$t>0$ 满足${\Phi }^{*}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,t\right)=1$ ，则称$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 是第二型分布混沌(DC2)；

(3)：对某个$\epsilon >0$ 满足$\Phi \left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,\epsilon \right)=0$ 和对任意的$t>0$ 满足${\Phi }^{*}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,t\right)>0$ ，则称$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 是DC2’；

(4)：对某个区间J，满足对任意的$t\in J$ ，有$\Phi \left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,t\right)<{\Phi }^{*}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,t\right)$ ，则称$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 是第三型分布混沌(DC3)。

注：由定义易知，DC1蕴含DC2和DC2’，DC2和DC2’蕴含DC3，DC2和DC2’蕴含Li-Yorke混沌。

为了后续证明的方便，记

${\xi }_n\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,\epsilon \right)=\frac{1}{n}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)<t,0\le i<n\right\}$ ,

${\delta }_n\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,\epsilon \right)=\frac{1}{n}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)\ge t,0\le i<n\right\}$ .

定义6. 设$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 是一个超空间非自治动力系统。若对任意的$\epsilon >0$ ，存在$N$ ，使得当$n>N$ 时，对任意的$A\in K\left(X\right)$ ，有$d_H\left(\overline{f_n}\left(A\right),\overline{f}\left(A\right)\right)<\epsilon$ ，则称$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 一致收敛于$\left(K\left(X\right),\overline{f}\right)$ 。若对任意的$\epsilon >0$ ，存在$N$ ，使得当$n>N$ 时，对任意的$A\in K\left(X\right)$ 和任意的$i\in \mathbb{N}$ ，有$d_H\left(\overline{f_n^i}\left(A\right),\overline{f_n^i}\left(B\right)\right)<\epsilon$ ，则称$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 强一致收敛于$\left(K\left(X\right),\overline{f}\right)$ ，记为$\overline{f_n}\stackrel{s}{\to }\overline{f}$ 。

引理1 [15]. 设超空间非自治动力系统$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 一致收敛于$\left(K\left(X\right),\overline{f}\right)$ 。则对任意的$\epsilon >0$ 和任意的$k\in \mathbb{N}$ ，存在$\delta >0$ ，使得对于任意的$n\in \mathbb{N}$ 和任意的$A,B\in K\left(X\right)$ ，当$d_H\left(A,B\right)<\delta$ 时，有$d_H\left(\overline{f_n^i}\left(A\right),\overline{f_n^i}\left(B\right)\right)<\epsilon$ 。

3. 主要结果

定理1. 设$\left(K\left(X\right),d_H\right)$ 是Hausdorff度量$d_H$ 诱导的超空间，$n\in \mathbb{N}$ ，$\overline{f_n}:K\left(X\right)\to K\left(X\right)$ 是连续映射，$\overline{f_n}\stackrel{s}{\to }\overline{f}$ ，若$S_n$ 是$\overline{f_n}$ 的DC2’混沌集，且${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\cap }}{S}_n}$ 是不可数集，则$\overline{f}$ 是DC2’。

证明：令$S={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\cap }}{S}_n}$ ，则S是不可数集。任取$A,B\in S,A\ne B$ ，因为$\overline{f_n}\stackrel{s}{\to }\overline{f}$ ，所以对任意的$\epsilon >0$ ，存在$n_0\in \mathbb{N}$ ，使得当$n>n_0$ 时，对任意的$l\in \mathbb{N}$ 和上述的$A,B$ ，有$d_H\left(\overline{f_{n_0}^l}\left(A\right),\overline{f^l}\left(A\right)\right)<\epsilon ,d_H\left(\overline{f_{n_0}^l}\left(B\right),\overline{f^l}\left(B\right)\right)<\epsilon$ 。由于$S_n$ 是$\overline{f_n}$ 的DC2’混沌集，故

(1) 存在$\delta >0$ ，使得$\Phi \left(\overline{f_n},A,B,\delta \right)<1$ ，

(2) 对任意$\frac{t}{3}>0$ ，${\Phi }^{*}\left(\overline{f_n},A,B,\frac{t}{3}\right)=1$ 。

对于(1)，令$\epsilon =\frac{\delta }{3}$ ，$l=i$ ，则$d_H\left(\overline{f_{n_0}^i}\left(A\right),\overline{f^i}\left(A\right)\right)<\frac{\delta }{3},d_H\left(\overline{f_{n_0}^i}\left(B\right),\overline{f^i}\left(B\right)\right)<\frac{\delta }{3}$ 。由(1)知，对于任意的$\alpha >0$ 和任意的$N\in \mathbb{N}$ ，存在$m_N>N$ ，使得$\frac{1}{m_N}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_{n_0}^i}\left(A\right),\overline{f^i}\left(B\right)\right)<\delta ,0\le i<m_N\right\}<1-\alpha$ ，从而有$\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_{n_0}^i}\left(A\right),\overline{f^i}\left(B\right)\right)<\delta ,0\le i<m_N\right\}<m_N\left(1-\alpha \right)$ 。

由于

$d_H\left(\overline{f_{n_0}^i}\left(A\right),\overline{f_{n_0}^i}\left(B\right)\right)\le d_H\left(\overline{f^i}\left(A\right),\overline{f_{n_0}^i}\left(A\right)\right)+d_H\left(\overline{f^i}\left(A\right),\overline{f^i}\left(B\right)\right)+d_H\left(\overline{f_{n_0}^i}\left(B\right),\overline{f^i}\left(B\right)\right)$ (3)

可得

$\#\left\{i|d_H\left(\overline{f^i}\left(A\right),\overline{f^i}\left(B\right)\right)<\frac{\delta }{3},0\le i<m_N\right\}\le \#\left\{i|d_H\left(\overline{f_{n_0}^i}\left(A\right),\overline{f_{n_0}^i}\left(B\right)\right)<\delta ,0\le i<m_N\right\}<m_N\left(1-\alpha \right)$ ,

从而，$\frac{1}{m_N}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f^i}\left(A\right),\overline{f^i}\left(B\right)\right)<\frac{\delta }{3},0\le i<m_N\right\}<1-\alpha$ 。

因此$\underset{m\to \infty }{\lim \inf }\frac{1}{m}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f^i}\left(A\right),\overline{f^i}\left(B\right)\right)<\frac{\delta }{3},0\le i<m\right\}<1$ 。即存在$\frac{\delta }{3}>0$ ，使得$\Phi \left(\overline{f},A,B,\frac{\delta }{3}\right)<1$ 。

对于(2)，令$\epsilon =\frac{t}{3}$ ，$l=i$ ，则$d_H\left(\overline{f_{n_0}^i}\left(A\right),\overline{f^i}\left(A\right)\right)<\frac{t}{3},d_H\left(\overline{f_{n_0}^i}\left(B\right),\overline{f^i}\left(B\right)\right)<\frac{t}{3}$ 。由(2)知，对于任意的$\beta >0$ 和任意的$M\in \mathbb{N}$ ，存在$m_M>M$ ，使得$\frac{1}{m_M}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_{n_0}^i}\left(A\right),\overline{f^i}\left(B\right)\right)<\frac{t}{3},0\le i<m_M\right\}>1-\beta$ ，从而有$\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_{n_0}^i}\left(A\right),\overline{f_{n_0}^i}\left(B\right)\right)<\frac{t}{3},0\le i<m_M\right\}>m_M\left(1-\beta \right)$ 。

由(3)，可得

$\#\left\{i|d_H\left(\overline{f^i}\left(A\right),\overline{f^i}\left(B\right)\right)<t,0\le i<m_M\right\}\ge \#\left\{i|d_H\left(\overline{f_{n_0}^i}\left(A\right),\overline{f_{n_0}^i}\left(B\right)\right)<\frac{t}{3},0\le i<m_M\right\}>m_M\left(1-\beta \right)$ ,

从而，$\frac{1}{m_M}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f^i}\left(A\right),\overline{f^i}\left(B\right)\right)<t,0\le i<m_N\right\}>1-\beta$ ，因此 $\underset{m\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{m}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f^i}\left(A\right),\overline{f^i}\left(B\right)\right)<t,0\le i<m\right\}=1$ 。即对任意$t>0$ ，${\Phi }^{*}\left(\overline{f},A,B,t\right)=1$ 。

综上所述，$\overline{f}$ 是DC2’。

定理2. 设超空间非自治动力系统$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 一致收敛于$\left(K\left(X\right),\overline{f}\right)$ 。则对于任意的$N\in \mathbb{N}$ ，$\overline{f_{1,\infty }}$ 是DC2’当且仅当$\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}}$ 是DC2’。

证明：必要性：(1) 因为$\overline{f_{1,\infty }}$ 是DC2’，所以存在不可数集$\Gamma \subseteq K(X)$ ，使得对于任意不同的$A,B\in \Gamma$ ，有$\Phi \left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,\epsilon \right)=0$ ，其中$\epsilon >0$ 。因此存在一列递增数列${\left\{n_k\right\}}_{k=1}^{\infty }$ ，使得

$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{1}{n_k}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)<\epsilon ,0\le i<n_k\right\}=0$ . (3.1)

令$m_k=\left[\frac{n_k}{N}\right]$ 。则对每个正整数$k$ ，有${\xi }_{m_k}\left(\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}},A,B,\epsilon \right)\le {\xi }_{n_k}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,\epsilon \right)$ 。又由(2.1)知，当$k\to \infty$ 时，$\frac{1}{n_k}{\xi }_{m_k}\left(\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}},A,B,\epsilon \right)\to 0$ 。从而$\frac{N}{n_k}{\xi }_{m_k}\left(\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}},A,B,\epsilon \right)\to 0$ 。因此，当$k\to \infty$ 时，$\frac{1}{m_k}{\xi }_{m_k}\left(\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}},A,B,\epsilon \right)\to 0$ 。从而$\Phi \left(\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}},A,B,\epsilon \right)=0$ 。

(2) 对任意的$t>0$ ，由引理1，知，存在$0<t_1<t$ ，使得对于任意的$A,B\in K\left(X\right)$ ，任意的$i\in \left\{1,2,\cdots ,N\right\}$ 和任意的$n\in \mathbb{N}$ ，当$d_H\left(A,B\right)<t_1$ 时，有$d_H\left(\overline{f_n^i}\left(A\right),\overline{f_n^i}\left(B\right)\right)<\frac{t}{2}$ 。因为$\overline{f_{1,\infty }}$ 是DC2’，所以存在不可数集$\Gamma \subseteq K\left(X\right)$ ，使得对于任意不同的$A,B\in \Gamma$ 和任意的$t>0$ ，有${\Phi }^{*}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,t\right)>0$ 。记${\Phi }^{*}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,t\right)=\beta$ 。则存在一列递增数列${\left\{n_l\right\}}_{l=1}^{\infty }$ ，使得对所有的$l$ ，有

$\frac{1}{n_l}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)<\epsilon ,0\le i<n_l\right\}>\frac{\beta }{2}$ . (3.2)

因此对所有的$l$ ，有

$\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)<t_1,0\le i<n_l\right\}\subseteq {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N-1}{\cup }}\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^{iN+j}}\left(A\right),\overline{f_1^{iN+j}}\left(B\right)\right)<t_1,0\le i<\frac{n_l}{N}+1\right\}}$ .

上式蕴含存在数列${\left\{n_l\right\}}_{l=1}^{\infty }$ 一个子列${\left\{{n^{\prime }}_l\right\}}_{l=1}^{\infty }$ 和$0\le j<N$ ，使得对所有的$l$ ，有

$\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^{iN+j}}\left(A\right),\overline{f_1^{iN+j}}\left(B\right)\right)<t_1,0\le i\left[\frac{{n^{\prime }}_l}{N}\right]\right\}\ge \frac{1}{N}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)<t_1,0\le i<{n^{\prime }}_l\right\}$ .

因此，

$\begin{array}{l}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^{iN+N}}\left(A\right),\overline{f_1^{iN+N}}\left(B\right)\right)<t,0\le i<\left[\frac{{n^{\prime }}_l}{N}\right]+1\right\}\\ \ge \#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^{iN+j}}\left(A\right),\overline{f_1^{iN+j}}\left(B\right)\right)<t_1,0\le i<\left[\frac{{n^{\prime }}_l}{N}\right]+1\right\}\\ \ge \frac{1}{N}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)<t_1,0\le i<{n^{\prime }}_l\right\}.\end{array}$

则

$\begin{array}{l}{\Phi }^{*}\left(\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}},A,B,t\right)\\ \ge \underset{l\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{\left[\frac{{n^{\prime }}_l}{N}\right]+1}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^{iN+N}}\left(A\right),\overline{f_1^{iN+N}}\left(B\right)\right)<t,0\le i<\left[\frac{{n^{\prime }}_l}{N}\right]+1\right\}\\ \ge \underset{l\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{\left[\frac{{n^{\prime }}_l}{N}\right]+1}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^{iN+j}}\left(A\right),\overline{f_1^{iN+j}}\left(B\right)\right)<t_1,0\le i<\left[\frac{{n^{\prime }}_l}{N}\right]+1\right\}\\ \ge \underset{l\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{N\left[\frac{{n^{\prime }}_l}{N}\right]+N}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)<t_1,0\le i<{n^{\prime }}_l\right\}\\ >\frac{\beta }{2}\\ >0\end{array}$

充分性：(1) 因为$\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}}$ 是DC2’，所以存在不可数集$\Gamma \subseteq K\left(X\right)$ ，使得对于任意不同的$A,B\in \Gamma$ ，有$\Phi \left(\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}},A,B,s\right)=0$ ，其中$s>0$ 。因此存在一列递增数列${\left\{n_k\right\}}_{k=1}^{\infty }$ ，使得

$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{1}{n_k}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^{Ni}}\left(A\right),\overline{f_1^{Ni}}\left(B\right)\right)<s,0\le i<n_k\right\}=0$ . (3.3)

由引理1知，存在$0<p<s$ ，使得对于任意的$A,B\in K\left(X\right)$ ，任意的$i\in \left\{1,2,\cdots ,N\right\}$ 和任意的$n\in \mathbb{N}$ ，当$d_H\left(A,B\right)<p$ 时，有$d_H\left(\overline{f_n^i}\left(A\right),\overline{f_n^i}\left(B\right)\right)<s$ 。即对于任意的$j\in \mathbb{N}$ 和任意的$i\in \left\{1,2,\cdots ,N\right\}$ ，当$d_H\left(\overline{f_1^{jN}}\left(A\right),\overline{f_1^{jN}}\left(B\right)\right)\ge s$ 时，有$d_H\left(\overline{f_1^{jN-i}}\left(A\right),\overline{f_1^{jN-i}}\left(A\right)\right)\ge p$ 。因此，有

$N\left({\delta }_{n_k}\left(\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}},A,B,s\right)-1\right)\le {\delta }_{N{n}_k}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,p\right)$ .

令$m_k=N{n}_k$ 。注意到：$\frac{1}{n_k}{\delta }_{n_k}\left(\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}},A,B,s\right)=1-\frac{1}{n_k}{\xi }_{n_k}\left(\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}},A,B,s\right)$ 和$\frac{1}{m_k}{\delta }_{n_k}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,p\right)=1-\frac{1}{m_k}{\xi }_{n_k}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,p\right)$ 。

结合以上三式可得$\frac{1}{m_k}{\xi }_{n_k}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,p\right)\le {\xi }_{n_k}\left(\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}},A,B,s\right)+\frac{1}{n_k}$ 。再结合(3.2)可得$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{1}{m_k}{\xi }_{n_k}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,p\right)=0$ 。因此有$\Phi \left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,p\right)=0$ 。

(2) 对任意的$t>0$ ，因为$\overline{f_{1,\infty }}$ 是一致收敛，所以由引理1，知，存在$0<t_1<t$ ，使得对于任意的$A,B\in K\left(X\right)$ ，任意的$i\in \left\{1,2,\cdots ,N\right\}$ 和任意的$n\in \mathbb{N}$ ，当$d_H\left(A,B\right)<t_1$ 时，有$d_H\left(\overline{f_n^i}\left(A\right),\overline{f_n^i}\left(B\right)\right)<t$ 。因为$\overline{f_{1,\infty }^{\left[N\right]}}$ 是DC2’，所以存在不可数集$\Gamma \subseteq K\left(X\right)$ ，使得对于任意不同的$A,B\in \Gamma$ 和任意的$s_1>0$ ，有${\Phi }^{*}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,s_1\right)>0$ 。记${\Phi }^{*}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,s_1\right)=\beta$ 。则存在一列递增数列${\left\{m_l\right\}}_{l=1}^{\infty }$ ，使得对所有的$l$ ，有

$\frac{1}{m_l}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^{Ni}}\left(A\right),\overline{f_1^{Ni}}\left(B\right)\right)<t_1,0\le i<m_l\right\}>\frac{\beta }{2}$ . (3.4)

又由$t_1$ 的选择，我们有

$\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)<t,0\le i<N{m}_l\right\}\ge N\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^{Ni}}\left(A\right),\overline{f_1^{Ni}}\left(B\right)\right)<t_1,0\le i<m_l\right\}$ .

结合上述两式，得

$\begin{array}{c}{\Phi }^{*}\left(\overline{f_{1,\infty }},A,B,t\right)\ge \underset{l\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{N{m}_l}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)<t,0\le i<N{m}_l\right\}\\ \ge \underset{l\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{m_l}\#\left\{i|d_H\left(\overline{f_1^{Ni}}\left(A\right),\overline{f_1^{Ni}}\left(B\right)\right)<t_1,0\le i<m_l\right\}\\ >\frac{\beta }{2}\\ >0.\end{array}$

下述定理3给出的条件比文献[15]中定理6给出的条件更弱。

定理3. 设超空间非自治动力系统$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌或$\left(K\left(Y\right),\overline{g_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌。则$\left(K\left(X\right)\times K\left(Y\right),\overline{f_{1,\infty }}\times \overline{g_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌。

证明：不妨设$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌，则存在不可数集$\Gamma \subseteq K\left(X\right)$ ，使得对于任意不同的

$A,B\in \Gamma$ ，有$\underset{i\to \infty }{\lim \inf }{d}_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)=0,\underset{i\to \infty }{\lim \sup }{d}_H\left(\overline{f_1^i}\left(A\right),\overline{f_1^i}\left(B\right)\right)>0$ 。任取$C\in K\left(Y\right)$ ，则易知有

$\underset{i\to \infty }{\lim \inf }{d}_H\left(\overline{f_1^i}\times \overline{g_1^i}\left(A\times C\right),\overline{f_1^i}\times \overline{g_1^i}\left(B\times C\right)\right)=0,\underset{i\to \infty }{\lim \sup }{d}_H\left(\overline{f_1^i}\times \overline{g_1^i}\left(A\times C\right),\overline{f_1^i}\times \overline{g_1^i}\left(B\times C\right)\right)>0$

又显然$\Gamma \times \left\{C\right\}$ 是$K\left(X\right)\times K\left(Y\right)$ 中的不可数集，故$\left(K\left(X\right)\times K\left(Y\right),\overline{f_{1,\infty }}\times \overline{g_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌。

定理4. 设$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 和是两个$\left(K\left(Y\right),\overline{g_{1,\infty }}\right)$ 超空间非自治动力系统。若$\left(K\left(X\right)\times K\left(Y\right),\overline{f_{1,\infty }}\times \overline{g_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌，则$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌或者$\left(K\left(Y\right),\overline{g_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌。

证明：因为$\left(K\left(X\right)\times K\left(Y\right),\overline{f_{1,\infty }}\times \overline{g_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌，故存在不可数集$\Gamma \times \Lambda \subseteq K\left(X\right)\times K\left(Y\right)$ ，使得对于任意不同的$\left(A_1\times A_2,B_1\times B_2\right)\in \Gamma \times \Lambda$ ，有

$\underset{i\to \infty }{\lim \inf }{d}_H\left(\overline{f_1^i}\times \overline{g_1^i}\left(A_1\times A_2\right),\overline{f_1^i}\times \overline{g_1^i}\left(B_1\times B_2\right)\right)=0,$

$\underset{i\to \infty }{\lim \sup }{d}_H\left(\overline{f_1^i}\times \overline{g_1^i}\left(A_1\times A_2\right),\overline{f_1^i}\times \overline{g_1^i}\left(B_1\times B_2\right)\right)>0.$

易知$\Gamma$ 或者$\Lambda$ 是不可数集。不妨设$\Gamma$ 是不可数集。则取$\left(A_1\times A_1,B_1\times B_1\right)\in \Gamma \times \Lambda$ ，有

$\underset{i\to \infty }{\lim \inf }{d}_H\left(\overline{f_1^i}\times \overline{g_1^i}\left(A_1\times A_1\right),\overline{f_1^i}\times \overline{g_1^i}\left(B_1\times B_1\right)\right)=0,$

$\underset{i\to \infty }{\lim \sup }{d}_H\left(\overline{f_1^i}\times \overline{g_1^i}\left(A_1\times A_1\right),\overline{f_1^i}\times \overline{g_1^i}\left(B_1\times B_1\right)\right)>0,$

即$\underset{i\to \infty }{\lim \inf }{d}_H\left(\overline{f_1^i}\left(A_1\right),\overline{f_1^i}\left(B_1\right)\right)=0,\underset{i\to \infty }{\lim \sup }{d}_H\left(\overline{f_1^i}\left(A_1\right),\overline{f_1^i}\left(B_1\right)\right)>0$ 。因此$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌。

4. 结论与讨论

该论文主要研究了超空间上的非自治动力系统中的分布混沌性质。将经典的点动力学推广到由子集构成的超空间，将时间不变的自治系统推广到时变的非自治系统，这使得理论模型能更好地逼近现实世界中依赖时间和空间分布的复杂过程(如种群生态、数据集演化等)，因此具有重要的理论意义。在强一致收敛的条件下，得到了超空间序列映射是第二型分布混沌(DC2, DC2’)能被极限映射所继承。在一致收敛条件下，证明了超空间非自治动力系统关于第二型分布混沌(DC2, DC2’)具有迭代不变性，得到了超空间非自治动力系统中$\left(K\left(X\right),\overline{f_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌或$\left(K\left(Y\right),\overline{g_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌当且仅当$\left(K\left(X\right)\times K\left(Y\right),\overline{f_{1,\infty }}\times \overline{g_{1,\infty }}\right)$ 是Li-Yorke混沌。而对于第三型分布混沌，其极限映射能否继承序列映射和其是否具有迭代不变性有待后续进一步研究。

问题1. 定理1和定理2对DC3是否成立？

基金项目

湖南省教育厅科学研究项目(No.23C0148)。