左#-富足半群上的偏序

The Partial Order on Left #-Abundant Semigroups

摘要: 本文主要研究左#-富足半群上的偏序≤。我们给出这种偏序的若干刻画和性质，并证明了左#-富足半群上偏序关于乘法的(左，右)相容性定理，这些结果推广了正则半群和富足半群上自然偏序的相关理论。

Abstract: The aim of this paper is to study the partial order ≤ on left#-abundant semigroups. We obtain several descriptions and properties for this kind of partial order and show the (left, right) compatible theorem with respect to the multiplication on left#-abundant semigroups. These results enrich the related theory with respect to the natural partial orders on regular semigroups and abundant semigroups.

1. 引言

偏序是半群理论的重要概念和有用工具，许多学者讨论了不同半群上的偏序[1]-[7]。1980年，Nambooripad [1]首先研究了正则半群上的偏序。Fountain [8]在1981年定义了富足半群，这类半群是正则半群的推广。之后，Lawson [2]类比Nambooripad正则半群上的偏序定义了富足半群的自然偏序，并考虑了该偏序关于半群乘法的相容性条件。在此基础上，郭–罗[3]和郭–岑[4]分别对富足半群和rpp上的偏序作了进一步的讨论，得到较好的理论成果。受此启发，本文将引入左(右)#-富足半群和#-富足半群，它们是正则半群，左(右)富足半群以及富足半群的共同推广。若干准备知识之后，我们对左#-富足半群上的偏序开展研究，首先给出左#-富足半群上偏序$\le$ 的定义和性质，然后考虑这种偏序的相容性，并证明偏序关于半群乘法的(左，右)相容性定理。最后，我们得到正则半群上的自然偏序及左富足半群上的偏序${\le }_r$ 与左#-富足半群上偏序$\le$ 是一致的。

2. Green#-关系与偏序

下文将引用文献[8] [9]中的符号和术语，未指明的记号见文献[9]。

我们熟知Green-关系$ℒ$ ，$ℛ$ ，$\mathscr{H}$ 和$\mathcal{D}$ 是研究正则半群的有效工具。为了讨论更广的半群，Fountain [8]推广Green-关系为Green$\ast$ -关系${ℒ}^{\ast }$ ，${ℛ}^{\ast }$ ，${\mathscr{H}}^{\ast }$ 和${\mathcal{D}}^{\ast }$ ，它们为讨论富足半群的结构和性质奠定了基础。进一步，唐[10]定义Green$\ast \ast$ -关系${ℒ}^{\ast \ast }$ ，${ℛ}^{\ast \ast }$ ，${\mathscr{H}}^{\ast \ast }$ 和${\mathcal{D}}^{\ast \ast }$ ，并研究了C-wrpp半群的结构定理。一般地，$ℒ\subseteq {ℒ}^{\ast }\subseteq {ℒ}^{\ast \ast }$ 和$ℛ\subseteq {ℛ}^{\ast }\subseteq {ℛ}^{\ast \ast }$ 。随后，孔–岑[11]和岑–杜–郭[12]等引入Green #-关系${ℒ}^{\#}$ ，${ℛ}^{\#}$ ，${\mathscr{H}}^{\#}$ 和${\mathcal{D}}^{\#}$ 。其中，

,

,

${\mathscr{H}}^{\#}={ℒ}^{\#}\cap {ℛ}^{\#}$ , ${\mathcal{D}}^{\#}={ℒ}^{\#}\vee {ℛ}^{\#}$ .

它们虽然在形式上与Green$\ast \ast$ -关系有些相似，但二者之间是有本质区别的。为叙述方便，记$a^{\ast }$ 和$a^{+}$ 为与$a$ 分别有${ℒ}^{\#}$ 和${ℛ}^{\#}$ 关系的幂等元，$L_a^{\#}\left(R_a^{\#}\right)$ 表示半群$S$ 包含$a$ 的${ℒ}^{\#}\left({ℛ}^{\#}\right)$ -类，$\text{Reg}\left(S\right)$ 表示半群$S$ 的正则元集，$E\left(S\right)$ 则代表$S$ 的幂等元集。据[11] [12]知，${ℒ}^{\#}$ 为右同余，而${ℛ}^{\#}$ 为左同余。一般地，$ℒ\subseteq {ℒ}^{\#}$ ，$ℛ\subseteq {ℛ}^{\#}$ 。若$S$ 是正则半群，则$ℒ={ℒ}^{\#}$ ，$ℛ={ℛ}^{\#}$ 。

定义2.1 半群$S$ 称为左#-富足半群，若满足下列条件：

(1) 每个${ℛ}^{\#}$ -类中至少含有一个幂等元；(2) 对任意$e\in E\left(R_a^{\#}\right)$ ，$ea=a$ 。

类似地，我们可定义右#-富足半群。既左#-富足又右#-富足的半群称为#-富足半群。由定义2.1，我们可得以下结果。

命题2.2 设$S$ 为#-富足半群，若$a\in S$ 且$e\in E\left(S\right)$ ，则下列各款成立：

(1) $ea=a\iff e{a}^{+}=a^{+}$ ；特别地，$a^{+}{\left(ab\right)}^{+}={\left(ab\right)}^{+}$ ；

(2) $ae=a\iff a^{\ast }e=a^{\ast }$ ；特别地，${\left(ab\right)}^{\ast }{b}^{\ast }={\left(ab\right)}^{\ast }$ 。

证明：由于(2)与(1)对偶，所以只证(1)。注意到$a^{+}a=a$ 和$a^{+}ab=ab$ ，仅须证$ea=a$ 蕴含$e{a}^{+}=a^{+}$ 。设$ea=a$ ，则有$eaℛa$ 。因为$a{ℛ}^{\#}{a}^{+}$ ，所以$e{a}^{+}ℛa^{+}$ 。于是可知，$a^{+}\cdot e{a}^{+}=e{a}^{+}$ 。进一步，我们可得$e{a}^{+}\in E\left(S\right)$ ，从而$e{a}^{+}=e{a}^{+}\cdot a^{+}=a^{+}$ 。

类比右$\ast$ -理想，称半群$S$ 的右理想$I$ 称为右#-理想，若对任意$x\in I$ ，$R_x^{\#}\subseteq I$ 。记元素$a$ 生成的右#-理想为$R^{\#}\left(a\right)$ 。据[13]和[14]知，$a{ℛ}^{\#}b$ 当且仅当$R^{\#}\left(a\right)=R^{\#}\left(b\right)$ 。

引理2.3 设$S$ 为左#-富足半群，则对任意$e\in E\left(S\right)$ ，$eS$ 是右#-理想，并且$R^{\#}\left(e\right)=eS$ 。

证明：任取$a\in eS$ ，则$ea=a$ 。据命题2.2知，$e{a}^{+}=a^{+}$ 。设$x\in R_a^{\#}$ ，则。因此，我们有$e{x}^{+}=e{a}^{+}{x}^{+}=a^{+}{x}^{+}=x^{+}$ 。再由命题2.2得，$x=ex$ 。即$x\in eS$ ，也就是说，$R_a^{\#}\subseteq eS$ 。故$eS$ 是$S$ 的右#-理想。另一方面，$R^{\#}\left(e\right)$ 包含$e$ 的最小右#-理想，所以$R^{\#}\left(e\right)\subseteq eS$ 。注意到$eS$ 是由$e$ 生成的右理想，因而$eS\subseteq R^{\#}\left(e\right)$ 。结合上述，我们可得$R^{\#}\left(e\right)=eS$ 。

据[8]知，包含$e$ 的最小右#-理想$R^{*}\left(e\right)=eS$ 。因此，若$S$ 是(左)富足半群，则由引理2.3得，${ℛ}^{*}={ℛ}^{\#}$ 。

一般地，半群$S$ 幂等元$E(S)$ 上的自然偏序为$\omega$ 。即对任意$e,f\in E\left(S\right)$ ，$e\omega f$ 当且仅当$ef=e=fe$ 。下面讨论左#-富足半群上的偏序，首先我们定义$\le$ 关系。

定义2.4令$S$ 为左#-富足半群。若任给$a,b\in S$ ，则

$a\le b$ 当且仅当$R^{\#}\left(a\right)\subseteq R^{\#}\left(b\right)$ 且存在$e\in \left(E\left(S\right)\cap R_a^{\#}\right)$ ，使得$a=eb$ 。

命题2.5 设$S$ 为左#-富足半群，则$\le$ 是$S$ 上的偏序。特别地，${\le |}_{E\left(S\right)}=\omega$ 。

证明：据定义，自反性显然。假设$a,b\in S$ ，$a\le b$ 且$b\le a$ ，则存在$e\in E\left(R_a^{\#}\right),f\in \left(R_b^{\#}\right)$ 使得$a=eb$ ，$b=fa$ 。由定义得$a{ℛ}^{\#}b$ ，于是，故$a=eb=b$ 。因此，$\le$ 是反对称的。若$c\in S$ 且$a\le b$ ，$b\le c$ ，则存在$g\in E\left(R_a^{\#}\right)$ 和$h\in \left(R_b^{\#}\right)$ 使得$a=gb,b=hc$ ，从而$a=ghc$ 。显然，$R^{\#}\left(a\right)\subseteq R^{\#}\left(c\right)$ 。注意到$R^{\#}\left(g\right)=R^{\#}\left(a\right)\subseteq R^{\#}\left(b\right)=R^{\#}\left(h\right)$ ，于是$hg=g$ 。进一步可得，$gh\in E\left(S\right)$ 且$ghℛg{ℛ}^{\#}a$ 。这说明$\le$ 具有传递性。故$\le$ 是$S$ 上的偏序。最后，据定义知，$e\le f$ 当且仅当$e\omega f$ 。

定理2.6 设$S$ 为左#-富足半群且$a,b\in S$ ，则下列叙述等价：

(1) $a\le b$ ；

(2) 对任意$b^{+}\in R_b^{\#}$ ，存在$a^{+}\in R_a^{\#}$ 且$a^{+}\omega b^{+}$ 使得$a=a^{+}b$ ；

(3) 对任意$b^{+}\in R_b^{\#}$ ，存在$e\in E\left(S\right)$ 且$e\omega b^{+}$ 使得$a=eb$ 。

证明：(1)$\Rightarrow$ (2)设$a\le b$ ，则$R^{\#}\left(a\right)\subseteq R^{\#}\left(b\right)$ 且存在$e\in E\left(R_a^{\#}\right)$ ，使得$a=eb$ 。任取$f\in E\left(R_b^{\ast \ast }\right)$ ，则$R^{\#}\left(e\right)=R^{\#}\left(a\right)\subseteq R^{\#}\left(b\right)=R^{\#}\left(f\right)$ 。由引理2.3知，$eS\subseteq fS$ ，于是$fe=e$ 。进而，$e\omega ef$ 且。即$ef{ℛ}^{\#}e{ℛ}^{\#}a$ 。因此，$a=eb=efb=a^{+}b$ 。

(2)$\Rightarrow$ (1)据假设知，$a=a^{+}b=b^{+}{a}^{+}b$ 。因为$R^{\#}\left(a^{+}\right)=R^{\#}\left(b^{+}{a}^{+}\right)\subseteq R^{\#}\left(b^{+}\right)$ ，所以$R^{\#}\left(a\right)=R^{\#}\left(a^{+}\right)\subseteq R^{\#}\left(b^{+}\right)=R^{\#}\left(b\right)$ ，即$R^{\#}\left(a\right)\subseteq R^{\#}\left(b\right)$ 。由定义得$a\le b$ 成立。

(2)$\Rightarrow$ (3)显然成立。

(3)$\Rightarrow$ (2)由假设得，$ea=a$ ，据知，$e{a}^{+}=a^{+}$ 。从而得，$a^{+}e\in E\left(S\right)$ 并且$a^{+}e{ℛ}^{\#}{a}^{+}{ℛ}^{\#}a$ 。另一方面，$a=a^{+}a=a^{+}eb$ 。注意到$a^{+}e\cdot b^{+}=a^{+}e$ 且$b^{+}\cdot a^{+}e=b^{+}\cdot e{a}^{+}e=b^{+}e\cdot a^{+}e=a^{+}e$ 。

即$a^{+}e\omega b^{+}$ 。因此，(2)成立。

下面我们给出左#-富足半群及其偏序关系的例子，并画出$\le$ 的Hasse图。

例2.7 设$S$ 是8元素半群，它的乘法表如下图：

据[9]知，$S$ 是适当半群，自然是(左)#-富足半群，其中$E\left(S\right)=\left\{e,f,g,h,z\right\}$ 。${ℛ}^{\#}$ -类是$\left\{e,a\right\}$ ，$\left\{f,b\right\}$ ，$\left\{g,c\right\}$ ，$\left\{h\right\}$ ，$\left\{z\right\}$ ；${ℒ}^{\#}$ -类$\left\{a,b,c,h\right\}$ ，$\left\{e\right\}$ ，$\left\{f\right\}$ ，$\left\{g\right\}$ ，$\left\{z\right\}$ 。进一步得$\le$ 的Hasse图：

类比([2]，命题2.7)，我们不难证明左#-富足半群上的偏序具备以下性质。

命题2.8 设$S$ 为左#-富足半群且$a,b\in S$ ，$e\in E\left(S\right)$ ，则有：

(1) 若$a\le e$ ，则$a\in E\left(S\right)$ ；

(2) 若$a\le b$ 且$a{ℛ}^{\#}b$ ，则$a=b$ ；

(3) 若$a\le b$ 且$b\in \text{Reg}\left(S\right)$ ，则$a\in \text{Reg}\left(S\right)$ 。

3. 相容性

讨论偏序的相容性是半群序理论的重要组成部分，本节将主要讨论左#-富足半群上偏序$\le$ 的(左，右)相容性。设$R$ 为半群$S$ 上的二元关系，称$R$ 关于乘法左(右)相容，任给$a,b,c,d\in S$ ，若$aRb$ 蕴含$caRcb\left(acRbc\right)$ ；若$aRb,cRd$ 蕴含$acRbd$ 则称$R$ 关于$S$ 的乘法相容。易知，$R$ 关于乘法相容当且仅当$R$ 左相容和右相容。

类比适当半群[9]和$ℛ$ -幂单半群[4]，我们有下列半群的定义。

定义3.1 称$E\left(S\right)$ 构成右正则带的半群$S$ 为$ℒ$ -幂单半群；称$E\left(S\right)$ 构成半格的#-富足半群为#-适当半群。

定义3.2 半群$S$ 称为局部半群，若任给$e\in E\left(S\right)$ ，局部幺子半群$eSe$ 具有性质。

定理3.3 设$S$ 是左#-富足半群，则$\le$ 右相容当且仅当$S$ 为局部$ℒ$ -幂单半群。

证明：(充分性) 令$a,b,c\in S$ 且$a\le b$ ，则对任给$b^{+}\in E\left(R_b^{\#}\right)$ ，存在$a^{+}\in \omega \left(b^{+}\right)$ 使得$a=a^{+}b$ 于是，$ac=a^{+}bc$ 。由于$b^{+}bc=bc$ ，据命题2.2，$b^{+}{\left(bc\right)}^{+}={\left(bc\right)}^{+}$ 。进而可得

${\left({\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}\right)}^2={\left(bc\right)}^{+}\cdot b^{+}{\left(bc\right)}^{+}\cdot b^{+}={\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}$ .

另一方面，由${\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}\cdot {\left(bc\right)}^{+}={\left(bc\right)}^{+},{\left(bc\right)}^{+}\cdot {\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}={\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}$ 知，${\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}ℛ{\left(bc\right)}^{+}$ 。因为$bc{ℛ}^{\#}{\left(bc\right)}^{+}$ ，所以$bc{ℛ}^{\#}{\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}$ 。显然$a^{+},{\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}\in E\left(b^{+}S{b}^{+}\right)$ 。据已知$E\left(b^{+}S{b}^{+}\right)$ 是右正则带知，$a^{+}{\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}\in E\left(b^{+}S{b}^{+}\right)$ 。注意到$a^{+}{\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}=\left(a^{+}{b}^{+}\right){\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}$ 。据假设得，

${\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}\cdot a^{+}{\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}=b^{+}{\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}\cdot a^{+}\cdot b^{+}{\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}=a^{+}{\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}$ .

因此，$a^{+}{\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}\omega {\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}$ 。进一步，$ac=a^{+}bc{ℛ}^{\#}{a}^{+}{\left(bc\right)}^{+}{b}^{+},ac=a^{+}{\left(bc\right)}^{+}{b}^{+}\left(bc\right)$ ，从而，我们有$ac\le bc$ 成立。

(必要性) 设$e\in E\left(S\right)$ ，只须证明$E\left(eSe\right)$ 为右正则带。令$f,g\in E\left(eSe\right)$ ，显然$f\le e,g\le e$ 。由$\le$ 右相容得，$fg\le g,gf\le f$ 。故有$fg,gf\in E\left(eSe\right)$ 。进而，$fgf\le gf$ 成立。又因$gf\cdot fgf=gf\cdot gf=gf$ ，$fgf\cdot gf=f\cdot gf=gf$ ，所以$gf\le fgf$ 。故我们有$fgf=gf$ 。因此$S$ 是局部$ℒ$ -幂单幺半群。

命题3.4 设$S$ 为左#-富足半群，则$\le$ 左相容当且仅当对于$a\in S,e\in E\left(S\right)$ 且$h\omega e$ ，存在$f\omega {\left(ae\right)}^{+}$ ，使得$ah=fae$ 。

证明：(必要性) 设$\le$ 是左相容，取$a\in S,e\in E\left(S\right)$ 且$h\omega e$ 。由命题2.5知，$h\le e$ 。于是 $ah\le ae$ ，再据定理2.6，存在$f\omega {\left(ae\right)}^{+}$ ，使得$ah=fae$ 。

(充分性) 令$a,b,c\in S$ 且$a\le b$ ，则存在$a^{+}\omega b^{+}$ 使得$a=a^{+}b$ 。注意到${\le |}_{E\left(S\right)}=\omega$ 。故$a^{+}\le b^{+}$ 。据假设存在$e\omega {\left(c{b}^{+}\right)}^{+}$ 使得$c{a}^{+}=ec{b}^{+}$ 。进而有$ca=c{a}^{+}b=ec{b}^{+}b=ecb$ 。因为${ℛ}^{\#}$ 是左同余，所以$cb{ℛ}^{\#}c{b}^{+}{ℛ}^{\#}{\left(c{b}^{+}\right)}^{+}$ 。故$ca\le cb$ 。因此，$\le$ 关于乘法左相容。

定义3.5 称#-富足半群$S$ 满足LA条件，若对任意$g\omega a^{\ast }$ ，存在$h\omega a^{+}$ ，使得$ag=ha$ 。

推论3.6 令$S$ 是#-富足半群。若$\le$ 关于乘法左相容，则$S$ 满足LA条件。

引理3.7 设$S$ 为#-富足半群，则任给$e\in E\left(S\right)$ ，局部幺子半群$eSe$ 是#-富足半群。

证明：仅证$eSe$ 为左#-富足半群。对偶，我们可证得$eSe$ 是右#-富足半群。设$a\in eSe$ ，$ea=a$ 。据命题2.2知，$e{a}^{+}=a^{+}$ 。于是$a^{+}e\in E\left(S\right)$ 且$a^{+}eℛa^{+}{ℛ}^{\#}a$ 。由于$ℛ\subseteq {ℛ}^{\#}$ ，所以$a^{+}e{ℛ}^{\#}a$ 。注意到$\left(a^{+}e\right)a=a^{+}a=a$ 且$a^{+}e=e{a}^{+}e\in eSe$ 。因此，$eSe$ 为左#-富足半群。

定理3.8 设#-富足半群$S$ 满足LA条件，则$\le$ 相容当且仅当$S$ 为局部#-适当半群。

证明：(充分性) 设$S$ 为局部#-适当半群。令$a,b\in S$ 且$a\le b$ ，对任给$b^{+}\in E\left(S\right)$ ，存在$a^{+}\omega b^{+}$ 使得$a=a^{+}b$ 。因此对任意$c\in S$ ，$ca=c{a}^{+}b$ 。注意到$c{b}^{+}=c{b}^{+}{b}^{+}$ ，据命题2.2可得，${\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }{b}^{+}={\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }$ 。易得，$b^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }\omega b^{+}$ 。考虑到$b^{+}S{b}^{+}$ 是#-适当半群并且$a^{+},b^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }\in E\left(b^{+}S{b}^{+}\right)$ ，故 $b^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }\cdot a^{+}=a^{+}\cdot b^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }=a^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }\in E\left(S\right)$ 。进一步，我们有

$\begin{array}{c}{\left({\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }{a}^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }\right)}^2={\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }{a}^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }\cdot {\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }{a}^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }\\ ={\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }\cdot a^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }\cdot a^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }\\ ={\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }{a}^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }.\end{array}$

因此${\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }{a}^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }\omega {\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }$ 。据假设$S$ 满足LA条件，故存在$f\omega {\left(c{b}^{+}\right)}^{+}$ 使得$f\cdot \left(c{b}^{+}\right)=\left(c{b}^{+}\right)\cdot {\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }{a}^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }$ 。于是

$\begin{array}{c}c{a}^{+}=\left(c{b}^{+}\right)\cdot b^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }\cdot a^{+}=\left(c{b}^{+}\right){\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }\cdot a^{+}{b}^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }\\ =\left(c{b}^{+}\right)\cdot {\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }{a}^{+}{\left(c{b}^{+}\right)}^{\ast }=f\left(c{b}^{+}\right)\end{array}$

从而，$ca=c{a}^{+}b=f\cdot \left(c{b}^{+}\right)b=f\cdot cb$ 。又因$cb{ℛ}^{\#}c{b}^{+}{ℛ}^{\#}{\left(c{b}^{+}\right)}^{+}$ ，从而$ca\le cb$ 。再据定理3.3，$\le$ 也是右相容的。故$\le$ 关于半群$S$ 的乘法相容。

(必要性)假设$\le$ 关于$S$ 乘法相容，据定理3.3得，$S$ 是局部$ℒ$ -幂单半群。因此，对任意$e\in E\left(S\right)$ ，$E\left(eSe\right)$ 构成右正则带。注意到${\le |}_{E\left(S\right)}=\omega$ ，所以$\omega$ 在$E\left(eSe\right)$ 上相容。据([7]，定理1.1)，$E\left(eSe\right)$ 是局部逆幺子半群。由于$eE\left(eSe\right)e=E\left(eSe\right)$ ，故$E\left(eSe\right)$ 构成半格。再结合引理3.7得，$eSe$ 是#-适当半群。即$S$ 为局部#-适当半群。

4. 应用

据([10]，定理6.1.2)知，正则半群$S$ 上的自然偏序为：$a\le b$ 当且仅当$R\left(a\right)\subseteq R\left(b\right)$ 且$e\in E\left(R_a\right)$ ，使得$a=eb$ 。由上文知，若$S$ 是正则半群，则${ℛ}^{\#}=ℛ$ 。故正则半群上的自然偏序$\le$ 与左#-富足半群上的偏序$\le$ 定义等价。如果$S$ 是左富足半群，则${ℛ}^{*}={ℛ}^{\#}$ 。由于左富足半群$S$ 上的偏序为：$a{\le }_{r}b$ 当且仅当$R^{*}\left(a\right)\subseteq R^{*}\left(b\right)$ 且$e\in E\left(R_a^{*}\right)$ ，使得$a=eb$ 。同样可得，左富足半群$S$ 的偏序${\le }_r$ 与左#-富足半群上的偏序$\le$ 定义等价。因此，据定理3.3得[4]的相关结论。

推论4.1 设$S$ 是正则(左富足)半群，则$\le$ 右相容当且仅当$S$ 为局部$ℒ$ -幂单半群。

由[3] [4]可知，满足LA条件的富足半群是左IC富足半群，而正则半群本身满足LA条件。另一方面，#-适当半群是逆半群和适当半群的共同推广，因此由定理3.8，我们可得[4] [10]的相关结果。

推论4.2 若$S$ 是左IC富足半群，则${\le }_r$ 相容当且仅当$S$ 为局部适当半群；若$S$ 是正则半群，则$\le$ 相容当且仅当局部逆半群。

由[2] [15]知，例2.7的半群$S$ 为左IC适当半群，且$E\left(S\right)$ 为半格。任意局部幺半群$eSe$ 构成半格，因此，$S$ 是(#-)适当的局部逆半群。故$\le$ 关于乘法相容。

基金项目

韶关市科技局支持科研工作者项目(230324098034834)；韶关学院自然科学类重点科研项目(SZ2023KJ09)和韶关学院博士科研启动配套项目(406-9900045702)。

NOTES

^*通讯作者。