弱Landsberg共形双扭曲积芬斯勒度量

Weak Landsberg Conformally Doubly Warped Product Finsler Metrics

摘要: 本文证明了两个非黎曼的芬斯勒度量$F_1$ 和$F_2$ 的共形双扭曲积$F$ 是弱Landsberg度量当且仅当$F_1$ 和$F_2$ 均为弱Landsberg度量且$F$ 为乘积芬斯勒度量，并证明了若$F$ 具有相对迷向平均Landsberg曲率，则其为弱Landsberg度量。

Abstract: We prove that a Conformally Doubly Warped Product $F$ of two non-Riemannian Finsler metrics $F_1$ and $F_2$ is a weak Landsberg metric if and only if both $F_1$ and $F_2$ are weak Landsberg metrics and $F$ is a product Finsler metric. Furthermore, we prove that if $F$ has relatively isotropic mean Landsberg curvature, then it is a weak Landsberg metric.

1. 引言

在芬斯勒几何中，有许多重要的非黎曼几何量，如嘉当挠率、Landsberg曲率、平均Landsberg曲率、相对迷向Landsberg曲率、相对迷向平均Landsberg曲率等。1928年，Berwald [1]利用贝瓦尔德联络定义了Landsberg曲率。2001年，沈忠民[2]给出了Landsberg曲率的另一种定义，即嘉当挠率沿着测地线的变化率，Landsberg曲率消失的芬斯勒度量被称为Landsberg度量。具有Landsberg度量的芬斯勒流形被称为Landsberg流形，Landsberg流形在不同点处的切空间相互等距。2004年，沈忠民[3]给出了平均Landsberg曲率的定义，即平均嘉当挠率沿测地线的变化率，平均Landsberg曲率消失的芬斯勒度量被称为弱Landsberg度量。弱Landsberg度量是Landsberg度量的推广，即任何Landsberg度量都是弱Landsberg度量[3]，但是反之不一定成立。2007年，李本伶和沈忠民[4]给出了$\left(\alpha ,\beta \right)$ 度量是弱Landsberg度量的充要条件，并证明了$n\left(n\ge 3\right)$ 维流形上的度量中存在非Landsberg度量的弱Landsberg。2017年，Najafi和Tayebi [5]证明了具有有界平均嘉当挠率的弱Stretch度量是弱Landsberg度量。2024年，Tayebi和Najafi [6]证明了一个弱Landsberg度量在任意共形变换下仍是弱Landsberg度量当且仅当它是一个黎曼度量。

2005年，程新跃和沈忠民[7]提出了相对迷向Landsberg曲率和相对迷向平均Landsberg曲率的概念，它们分别是Landsberg曲率和平均Landsberg曲率的自然推广。2008年，程新跃、王辉和王明风[8]给出了$\left(\alpha ,\beta \right)$ 度量具有相对迷向平均Landsberg曲率的微分方程刻画。2014年，程新跃、李海霞和邹洋杨[9]证明了具有相对迷向平均Landsberg曲率的共形平坦$\left(\alpha ,\beta \right)$ 度量是黎曼度量或局部闵可夫斯基度量。

本文将主要研究由Soleiman和Abdelsalam [10]于2019年引入的共形双扭曲积芬斯勒度量。令$\left(M_1,F_1\right)$ 和$\left(M_2,F_2\right)$ 是两个芬斯勒流形，则在乘积流形$M=M_1\times M_2$ 上，称芬斯勒度量

$F={\text{e}}^{\sigma }\sqrt{f_2^2{F}_1^2+f_1^2{F}_2^2}$

为共形双扭曲积芬斯勒度量，其中$f_1,f_2$ 和$\sigma$ 分别是$M_1,M_2$ 和$M$ 上的正值光滑函数。显然，共形双扭曲积芬斯勒度量是双扭曲积芬斯勒度量的推广。Soleiman和Abdelsalam [10]证明了具有消失贝瓦尔德曲率的共形双扭曲积芬斯勒度量是黎曼度量。2025年，加依达尔·里扎别克，何勇和杨蕊嘉等人[11]给出了共形双扭曲积芬斯勒度量是弱贝瓦尔德度量的充要条件，在给定条件下证明了具有迷向平均贝瓦尔德曲率的共形双扭曲积芬斯勒度量是弱贝瓦尔德度量。随后，杨蕊嘉和何勇[12]证明了共形双扭曲积芬斯勒度量$F$ 局部对偶平坦当且仅当$F_1$ 和$F_2$ 均局部对偶平坦且$F$ 为乘积芬斯勒度量。

2012年，Peyghan、Tayebi和Najafi [13]证明了具有相对迷向Landsberg曲率的双扭曲积芬斯勒度量是Landsberg度量，在特定条件下给出了双扭曲积芬斯勒度量是弱Landsberg度量的充要条件，并且证明了具有相对迷向平均Landsberg曲率的双扭曲积芬斯勒度量是弱Landsberg度量。

2025年，加依达尔·里扎别克[14]证明了具有相对迷向Landsberg曲率的共形双扭曲积芬斯勒度量是Landsberg度量。基于以上分析，本文将研究共形双扭曲积芬斯勒度量是弱Landsberg度量的充要条件，并探究具有相对迷向平均Landsberg曲率的共形双扭曲积芬斯勒度量是否为弱Landsberg度量，这将是上述关于双扭曲积芬斯勒度量相关研究结果的推广。

2. 预备知识

本节简要回顾本文所需的芬斯勒几何的相关概念，并约定符号。

设$M$ 是一个$n$ 维光滑流形，$TM$ 表示$M$ 的切从。$M$ 上的局部坐标为$\left(x^i\right)$ ，$TM$ 上的局部坐标为$\left(x_i,y_i\right)$ 。

定义1 [15] 流形$M$ 上的芬斯勒度量是一函数$F:TM\to R^{+}$ ，满足

(1) $F$ 在$\tilde{M}=TM\backslash \left\{0\right\}$ 上是光滑函数；

(2) $\forall \lambda \in R^{+}$ ，有$F\left(x,\lambda y\right)=\lambda F\left(x,y\right)$ ；

(3) $n\times n$ 阶海森矩阵

$\left(G_{\alpha \beta }\right)=\left(\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2{F}^2}{\partial y^{\alpha }\partial y^{\beta }}\right)$

在$\tilde{M}$ 上是正定矩阵。

定义2 [2] 芬斯勒度量$F$ 的嘉当挠率$C$ $:T_{x}M\otimes T_{x}M\otimes T_{x}M\to R$ 定义为

$C=C_{\alpha \beta \gamma }d{x}^{\alpha }\otimes d{x}^{\beta }\otimes d{x}^{\gamma },$

其中$C_{\alpha \beta \gamma }=\frac{1}{2}\frac{\partial G_{\alpha \beta }}{\partial y^{\gamma }}$ 。

若$C_{\alpha \beta \gamma }=0$ ，则称芬斯勒度量$F$ 为黎曼度量。

定义3 [2] 芬斯勒度量$F$ 的平均嘉当挠率$I$ $:T_{x}M\to R$ 定义为

$I=I_{\alpha }d{x}^{\alpha },$

其中$I_{\alpha }=C_{\alpha \beta \gamma }{G}^{\beta \gamma }$ 。

定义4 [2] 芬斯勒度量$F$ 的Landsberg曲率$L$ $:T_{x}M\otimes T_{x}M\otimes T_{x}M\to R$ 定义为

$L=L_{\alpha \beta \gamma }d{x}^{\alpha }\otimes d{x}^{\beta }\otimes d{x}^{\gamma },$

其中$L_{\alpha \beta \gamma }=-\frac{1}{2}{y}_{\lambda }{B}_{\alpha \beta \gamma }^{\lambda }$ 。

若$L_{\alpha \beta \gamma }=0$ ，则称芬斯勒度量$F$ 为Landsberg度量。

定义5 [2] 芬斯勒度量$F$ 的平均Landsberg曲率$J$ $:T_{x}M\to R$ 定义为

$J=J_{\alpha }d{x}^{\alpha },$

其中

$J_{\alpha }=L_{\alpha \beta \gamma }{G}^{\beta \gamma }.$ (1)

若$J_{\alpha }=0$ ，则称芬斯勒度量$F$ 为弱Landsberg度量。

定义6 [7] 设$F$ 是一个芬斯勒度量，若流形$M$ 上存在标量函数$c\left(x\right)$ ，使得

$J_{\alpha }+c\left(x\right)F{I}_{\alpha }=0,$ (2)

则称$F$ 具有相对迷向平均Landsberg曲率。

设$\left(M_1,F_1\right)$ 和$\left(M_2,F_2\right)$ 分别是$m$ 维和$n$ 维芬斯勒流形，$M_1$ 和$M_2$ 上的局部坐标分别为$\left(x^i\right)$ 和$\left(x^{i^{\prime }}\right)$ 。$T{M}_1$ 和$T{M}_2$ 上的局部坐标分别为$\left(x^i,y^i\right)$ 和$\left(x^{i^{\prime }},y^{i^{\prime }}\right)$ 。$M=M_1\times M_2$ 是一个$m+n$ 维芬斯勒流形。设映射${\pi }_1:M\to M_1$ 和${\pi }_2:M\to M_2$ 表示自然投影，设$d{\pi }_1:TM\to T{M}_1$ 和$d{\pi }_2:TM\to T{M}_2$ 分别表示由${\pi }_1$ 和${\pi }_2$ 诱导的切映射。记${\tilde{M}}_1=T{M}_1\backslash \left\{0\right\}$ ，${\tilde{M}}_2=T{M}_2\backslash \left\{0\right\}$ ，$\tilde{M}={\tilde{M}}_1\times {\tilde{M}}_2\subset TM\backslash \left\{0\right\}$ 。

本文对指标的约定如下：$1\le i,j,k,l,p,q,\cdots \le m$ ；$m+1\le i^{\prime },j^{\prime },k^{\prime },l^{\prime },p^{\prime },\cdots \le m+n$ ； $1\le \alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots \le m+n$ 。

定义7 [10] 设$\left(M_1,F_1\right)$ 和$\left(M_2,F_2\right)$ 是两个芬斯勒流形，$f_1:M_1\to R^{+}$ 和$f_2:M_2\to R^{+}$ 是两个光滑函数，$\sigma :M=M_1\times M_2\to R^{+}$ 是一个光滑函数。芬斯勒度量$F_1$ 和$F_2$ 的共形双扭曲积是在乘积流形上$M$ 赋予的具有如下形式的芬斯勒度量$F:\tilde{M}\to R^{+}$

$F\left(x,y\right)={\text{e}}^{\sigma \left({\pi }_1\left(x\right),{\pi }_2\left(x\right)\right)}\sqrt{f_2^2\left({\pi }_2\left(x\right)\right)F_1^2\left({\pi }_1\left(x\right),d{\pi }_1\left(y\right)\right)+f_1^2\left({\pi }_1\left(x\right)\right)F_2^2\left({\pi }_2\left(x\right),d{\pi }_2\left(y\right)\right)},$ (3)

其中$x\in M$ ，$y\in \tilde{M}$ ，$f_1$ 和$f_2$ 被称为扭曲函数，$\sigma$ 被称为共形因子。常简称$F$ 为共形双扭曲积芬斯勒度量。称$\left(M,F\right)$ 是$\left(M_1,F_1\right)$ 和$\left(M_2,F_2\right)$ 关于扭曲函数的共形双扭曲积芬斯勒流形。

当$\sigma$ 是常数，且$f_1$ 与$f_2$ 均不为常数时，$F$ 是双扭曲积芬斯勒度量；当$\sigma$ 是常数，且$f_1$ 与$f_2$ 均为常数时，$F$ 是乘积芬斯勒度量；当$\sigma$ 不是常数，且$f_1$ 为常数与$f_2$ 为常数有且仅有一个成立时，$F$ 是共形扭曲积芬斯勒度量；当$\sigma$ 不是常数，且$f_1$ 与$f_2$ 均为常数时，$F$ 是共形乘积芬斯勒度量。因此，共形双扭曲积芬斯勒度量是以上四种情形的推广。

设$g_{ij}=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2{F}_1{}^2}{\partial y^i\partial y^j}$ ，$h_{i^{\prime }{j}^{\prime }}=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2{F}_2{}^2}{\partial y^{i^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}$ ，那么共形双扭曲积芬斯勒度量的基本张量矩阵$\left(G_{\alpha \beta }\right)$ 为[10]

$\left(G_{\alpha \beta }\right)=\left(\begin{array}{cc}{G}_{ij}& G_{i{j}^{\prime }}\\ G_{i^{\prime }j}& G_{i^{\prime }{j}^{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\text{e}}^{2\sigma }{f}_2^2{g}_{ij}& 0\\ 0& {\text{e}}^{2\sigma }{f}_1^2{h}_{i^{\prime }{j}^{\prime }}\end{array}\right),$

其逆矩阵$\left(G^{\beta \alpha }\right)$ 为[10]

$\left(G^{\beta \alpha }\right)=\left(\begin{array}{cc}{G}^{ji}& G^{j{i}^{\prime }}\\ G^{j^{\prime }i}& G^{j^{\prime }{i}^{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_2^{-2}{g}^{ji}& 0\\ 0& {\text{e}}^{-2\sigma }{f}_1^{-2}{h}^{j^{\prime }{i}^{\prime }}\end{array}\right).$ (4)

设$F$ 是芬斯勒度量$F_1$ 和$F_2$ 的共形双扭曲积，根据芬斯勒度量$F_1$ ，$F_2$ 和$F$ 的正一次齐次性及欧拉定理，易得

$\frac{\partial F_1^2}{\partial y^i}{y}^i=2F_1{}^2,\frac{\partial F_2^2}{\partial y^{p^{\prime }}}{y}^{p^{\prime }}=2F_2^2,$ (5)

$\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^k}{y}^k=0,\frac{\partial {}^{2}g{}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j}{y}^j=-\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^k},\frac{\partial {}^{3}g{}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j\partial y^i}{y}^i=-2\frac{\partial {}^{2}g{}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j},$ (6)

$\frac{\partial h^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}}{y}^{k^{\prime }}=0,\frac{\partial {}^{2}h{}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{y}^{j^{\prime }}=-\frac{\partial h^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}},\frac{\partial {}^{3}h{}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}\partial y^{i^{\prime }}}{y}^{i^{\prime }}=-2\frac{\partial {}^{2}h{}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}},$ (7)

$y^{\alpha }{y}_{\alpha }=F^2,$

其中$y_{\alpha }=g_{\alpha \beta }{y}^{\beta }$ 。

3. 弱Landsberg共形双扭曲积芬斯勒度量

本节将探索两个非黎曼的芬斯勒度量的共形双扭曲积是弱Landsberg度量的充要条件。首先回顾如下命题：

命题1 [14] 设$F$ 是芬斯勒度量$F_1$ 和$F_2$ 的共形双扭曲积，则$F$ 的Landsberg曲率系数$L_{\alpha \beta \gamma }$ 为

$\begin{array}{c}{L}_{ijk}=\stackrel{1}{L_{ijk}}+\frac{1}{8}{f}_2^{-2}{F}_2^2\frac{{\partial }^3{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j\partial y^i}{y}_l{M}_p+\frac{1}{8}\frac{\partial \sigma }{\partial x^p}{y}_l(F_1^2\frac{{\partial }^3{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j\partial y^i}+\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^i}\frac{\partial F_1^2}{\partial y^j}\\ +\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j}\frac{\partial F_1^2}{\partial y^i}+\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^j\partial y^i}\frac{\partial F_1^2}{\partial y^k}+2\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^i}{g}_{jk}+2\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^k}{g}_{ij}+2\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^j}{g}_{ik})\\ +\frac{1}{2}\frac{\partial \sigma }{\partial x^p}{C}_{ijk}{y}^p+\frac{1}{2}{f}_1^{-2}{C}_{ijk}{y}^{p^{\prime }}{N}_{P^{\prime }},\end{array}$ (8)

$L_{i^{\prime }jk}=L_{j{i}^{\prime }k}=L_{kj{i}^{\prime }}=\frac{1}{8}{f}_2^{-2}\frac{\partial F_2^2}{\partial y^{i^{\prime }}}\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j}{y}_l{M}_p+\frac{1}{4}{f}_1^{-2}\frac{\partial h^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{i^{\prime }}}{g}_{jk}{y}_{l^{\prime }}{N}_{p^{\prime }},$ (9)

$L_{i^{\prime }{j}^{\prime }k}=L_{i^{\prime }k{j}^{\prime }}=L_{k{i}^{\prime }{j}^{\prime }}=\frac{1}{8}{f}_1^{-2}\frac{\partial F_1^2}{\partial y^k}\frac{{\partial }^2{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{j^{\prime }}\partial y^{i^{\prime }}}{y}_{l^{\prime }}{N}_{p^{\prime }}+\frac{1}{4}{f}_2^{-2}\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^k}{h}_{j^{\prime }{i}^{\prime }}{y}_l{M}_p,$ (10)

$\begin{array}{c}{L}_{i^{\prime }{j}^{\prime }{k}^{\prime }}=\stackrel{2}{L_{i^{\prime }{j}^{\prime }{k}^{\prime }}}+\frac{1}{8}{f}_1^{-2}{F}_1^2\frac{{\partial }^3{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}\partial y^{i^{\prime }}}{y}_{l^{\prime }}{N}_{p^{\prime }}+\frac{1}{8}\frac{\partial \sigma }{\partial x^{p^{\prime }}}{y}_{l^{\prime }}(F_2^2\frac{{\partial }^3{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}\partial y^{i^{\prime }}}+\frac{{\partial }^2{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{i^{\prime }}}\frac{\partial F_2^2}{\partial y^{j^{\prime }}}\\ +\frac{{\partial }^2{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}\frac{\partial F_2^2}{\partial y^{i^{\prime }}}+\frac{{\partial }^2{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{j^{\prime }}\partial y^{i^{\prime }}}\frac{\partial F_2^2}{\partial y^{k^{\prime }}}+2\frac{\partial h^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{i^{\prime }}}{h}_{j^{\prime }{k}^{\prime }}+2\frac{\partial h^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}}{h}_{i^{\prime }{j}^{\prime }}+2\frac{\partial h^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{j^{\prime }}}{h}_{i^{\prime }{k}^{\prime }})\\ +\frac{1}{2}\frac{\partial \sigma }{\partial x^{p^{\prime }}}{C}_{i^{\prime }{j}^{\prime }{k}^{\prime }}{y}^{p^{\prime }}+\frac{1}{2}{f}_2^{-2}{C}_{i^{\prime }{j}^{\prime }{k}^{\prime }}{y}^p{M}_P.\end{array}$ (11)

其中

$M_P=\frac{\partial f_1^2}{\partial x^p}+\frac{\partial \sigma }{\partial x^p}{f}_1^2,$ (12)

$N_{P^{\prime }}=\frac{\partial f_2^2}{\partial x^{p^{\prime }}}+\frac{\partial \sigma }{\partial x^{p^{\prime }}}{f}_2^2.$ (13)

命题2 设$F$ 是芬斯勒度量$F_1$ 和$F_2$ 的共形双扭曲积，则$F$ 的平均Landsberg曲率系数$J_{\alpha }$ 为

$\begin{array}{c}{J}_i=\stackrel{1}{J_i}+\frac{1}{8}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_2^{-4}{F}_2^2\frac{{\partial }^3{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j\partial y^i}{g}^{jk}{y}_l{M}_p+\frac{1}{8}{\text{e}}^{-2\sigma }\frac{\partial \sigma }{\partial x^p}{f}_2^{-2}{y}_l(F_1^2\frac{{\partial }^3{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j\partial y^i}{g}^{jk}\\ +2\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j}{g}^{jk}{y}_i+2m\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^i})+\frac{1}{2}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_2^{-2}{C}_{ijk}{g}^{jk}\left(f_1^{-2}{y}^{p^{\prime }}{N}_{p^{\prime }}+\frac{\partial \sigma }{\partial x^p}{y}^p\right)\\ +\frac{n}{4}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_1^{-2}{f}_2^{-2}\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^i}{y}_l{M}_p+\frac{1}{8}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_1^{-4}\frac{\partial F_1^2}{\partial y^i}\frac{{\partial }^2{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{y}_{l^{\prime }}{N}_{p^{\prime }},\end{array}$ (14)

$\begin{array}{c}{J}_{i^{\prime }}=\stackrel{2}{J_{i^{\prime }}}+\frac{1}{8}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_1^{-4}{F}_1^2\frac{{\partial }^3{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}\partial y^{i^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{y}_{l^{\prime }}{N}_{p^{\prime }}+\frac{1}{8}{\text{e}}^{-2\sigma }\frac{\partial \sigma }{\partial x^{p^{\prime }}}{f}_1^{-2}{y}_{l^{\prime }}(F_2^2\frac{{\partial }^3{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}\partial y^{i^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}\\ +2\frac{{\partial }^2{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{y}_{i^{\prime }}+2n\frac{\partial h^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{i^{\prime }}})+\frac{1}{2}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_1^{-2}{C}_{i^{\prime }{j}^{\prime }{k}^{\prime }}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}\left(f_2^{-2}{y}^p{M}_p+\frac{\partial \sigma }{\partial x^{p^{\prime }}}{y}^{p^{\prime }}\right)\\ +\frac{m}{4}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_1^{-2}{f}_2^{-2}\frac{\partial h^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{i^{\prime }}}{y}_{l^{\prime }}{N}_{p^{\prime }}+\frac{1}{8}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_2^{-4}\frac{\partial F_2^2}{\partial y^{i^{\prime }}}\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j}{g}^{jk}{y}_l{M}_p.\end{array}$ (15)

证明 令(1)中$\alpha =i$ ，则有

$J_i=L_{ijk}{G}^{jk}+L_{i{j}^{\prime }k}{G}^{j^{\prime }k}+L_{ij{k}^{\prime }}{G}^{j{k}^{\prime }}+L_{i{j}^{\prime }{k}^{\prime }}{G}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}.$ (16)

将(4)、(8)和(10)代入(16)，易得

$\begin{array}{c}{J}_i=\stackrel{1}{L_{ijk}}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_2^{-2}{g}^{jk}+\frac{1}{8}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_2^{-2}{g}^{jk}{f}_2^{-2}{F}_2^2\frac{{\partial }^3{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j\partial y^i}{y}_l{M}_p\\ +\frac{1}{8}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_2^{-2}{g}^{jk}\frac{\partial \sigma }{\partial x^p}{y}_l(F_1^2\frac{{\partial }^3{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j\partial y^I}+\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^i}\frac{\partial F_1^2}{\partial y^j}+\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j}\frac{\partial F_1^2}{\partial y^i}\\ +\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^j\partial y^i}\frac{\partial F_1^2}{\partial y^k}+2\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^i}{g}_{jk}+2\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^k}{g}_{ij}+2\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^j}{g}_{ik}+\frac{1}{2}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_2^{-2}{g}^{jk}\frac{\partial \sigma }{\partial x^p}{C}_{ijk}{y}^p\\ +\frac{1}{2}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_2^{-2}{g}^{jk}{f}_1^{-2}{C}_{ijk}{y}^{p^{\prime }}{N}_{P^{\prime }}+\frac{1}{8}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_1^{-2}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{f}_1^{-2}\frac{\partial F_1^2}{\partial y^i}\frac{{\partial }^2{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{{\dot{k}}^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{y}_{l^{\prime }}{N}_{P^{\prime }}\\ +\frac{1}{2}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_1^{-2}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{f}_2^{-2}\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^i}{h}_{k^{\prime }{j}^{\prime }}{y}_l{M}_P.\end{array}$ (17)

注意到$g^{jk}{g}_{ij}={\delta }_i^k$ ，$g^{jk}{g}_{jk}=m$ ，$h^{k^{\prime }{j}^{\prime }}{h}_{j^{\prime }{k}^{\prime }}=n$ ，$\frac{\partial F_1^2}{\partial y^i}=2g_{iq}{y}^q$ ，并将(6)的第二个等式代入(17)化简即可得(14)。同理可证(15)成立。

定理1 设$F$ 是非黎曼芬斯勒度量$F_1$ 与$F_2$ 的共形双扭曲积，$F$ 是弱Landsberg度量当且仅当$F_1$ 和$F_2$ 均为弱Landsberg度量且$F$ 为乘积芬斯勒度量。

证明 $F$ 是弱Landsberg度量当且仅当

$J_{\alpha }=0.$

根据命题2，上式等价于

下面分三步证明必要性。

第一步：用张量缩并技巧分析讨论方程(18)和(19)。首先(18)两边同时与$y^i$ 缩并，再将(6)的第二个等式和第三个等式代入，并注意到$\stackrel{1}{J_i}{y}^i=0$ ，$C_{ijk}{y}^i=0$ ，$y^i{y}_i=F_1^2$ ，则有

$\begin{array}{l}-\frac{1}{4}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_2^{-4}{F}_2^2\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j}{g}^{jk}{y}_l{M}_p+\frac{1}{8}{\text{e}}^{-2\sigma }\frac{\partial \sigma }{\partial x^p}{f}_2^{-2}{y}_l(-2F_1^2\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j}{g}^{jk}\\ +2\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^{\text{k}}\partial y^j}{g}^{jk}{F}_1^2)+\frac{1}{4}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_1^{-4}{F}_1^2\frac{{\partial }^2{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{y}_{l^{\prime }}{N}_{P^{\prime }}=0,\end{array}$

由于${\text{e}}^{-2\sigma }\ne 0$ ，并注意到$-2F_1^2\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j}{g}^{jk}+2\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j}{g}^{jk}{F}_1^2=0$ ，上式经化简整理易得

$-f_2^{-4}{F}_2^2\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^{\text{k}}\partial y^j}{g}^{jk}{y}_l{M}_p+f_1^{-4}{F}_1^2\frac{{\partial }^2{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{y}_{l^{\prime }}{N}_{P^{\prime }}=0,$ (20)

(20)两边同时与$y^j$ 缩并，再将(6)的第二个等式代入，可得

$f_2^{-4}{F}_2^2\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^k}{g}^{jk}{y}_l{M}_p+f_1^{-4}{F}_1^2\frac{{\partial }^2{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{y}_{l^{\prime }}{N}_{P^{\prime }}{y}^j=0,$ (21)

(21)两边同时与$y^k$ 缩并，再将(6)的第一个等式代入，并注意到$f_1^{-4}\ne 0$ ，$F_1^2\ne 0$ ，可得

$\frac{{\partial }^2{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{y}_{l^{\prime }}{N}_{P^{\prime }}{y}^j{y}^k=0,$ (22)

(22)两边同时与$y^{l^{\prime }}$ ，$y_k$ ，$y_j$ 缩并，注意到$y^j{y}_j=F_1^2$ ，$y^{l^{\prime }}{y}_{l^{\prime }}=F_2^2$ ，可得

$\frac{{\partial }^2{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{F}_2^2{N}_{P^{\prime }}{F}_1^4=0,$

由于$F_1^4\ne 0$ ，$F_2^2\ne 0$ ，$\left(h^{j^{\prime }{k}^{\prime }}\right)$ 可逆，所以由上式易得

$\frac{{\partial }^2{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{N}_{P^{\prime }}=0,$ (23)

(23)两边同时与$y^{j^{\prime }}$ 缩并，再将(7)的第二个等式代入，可得

$-\frac{\partial h^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}}{N}_{P^{\prime }}=0.$ (24)

注意到$F_2$ 是非黎曼的，则$\frac{\partial h^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}}\ne 0$ ，所以由(24)可得$N_{P^{\prime }}=0$ 。同理，由(19)可以得到

$-\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^k}{M}_P=0.$ (25)

注意到$F_1$ 是非黎曼的，则$\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^k}\ne 0$ ，所以由(25)可得$M_P=0$ 。综上有

$\{\begin{array}{ll}{M}_p=0,\hfill & (26)\hfill \\ N_{p^{\prime }}=0.\hfill & (27)\hfill \end{array}$

结合(12)和(13)，上述方程组等价于

$\{\begin{array}{ll}\frac{\partial f_1^2}{\partial x^p}+\frac{\partial \sigma }{\partial x^p}{f}_1^2=0,\hfill & (28)\hfill \\ \frac{\partial f_2^2}{\partial x^{p^{\prime }}}+\frac{\partial \sigma }{\partial x^{p^{\prime }}}{f}_2^2=0.\hfill & (29)\hfill \end{array}$

第二步：证明$F$ 为乘积芬斯勒度量。具体来说，分析上述偏微分方程组，求解扭曲函数$f_1$ 和$f_2$ 。(28)和(29)经变形易得

$\{\begin{array}{l}{f}_1^{-2}\frac{\partial f_1^2}{\partial x^p}=-\frac{\partial \sigma }{\partial x^p},\\ f_2^{-2}\frac{\partial f_2^2}{\partial x^{p^{\prime }}}=-\frac{\partial \sigma }{\partial x^{p^{\prime }}}.\end{array}$

解上述线性偏微分方程组易得

$\{\begin{array}{ll}\ln \left|f_1^2\right|=-\sigma +c_1,\hfill & (30)\hfill \\ \ln \left|f_2^2\right|=-\sigma +c_2.\hfill & (31)\hfill \end{array}$

其中$c_1$ ，$c_2$ 为常数。进一步可解得

由于(30)左边$f_1^2$ 仅与$\left(x^i\right)$ 有关，因此$\{\begin{array}{l}{f}_1^2={\text{e}}^{-\sigma +c_1}\\ f_2^2={\text{e}}^{-\sigma +c_2}\end{array}$ 。(30)右边${\text{e}}^{-\sigma +c_1}$ 仅与$\left(x^i\right)$ 有关，即$\sigma$ 仅为关于$\left(x^i\right)$ 的函数。同理，由于(31)左边$f_2^2$ 仅与$\left(x^{i^{\prime }}\right)$ 有关，因此(31)右边${\text{e}}^{-\sigma +c_2}$ 仅与$\left(x^{i^{\prime }}\right)$ 有关，即$\sigma$ 仅为关于$\left(x^{i^{\prime }}\right)$ 的函数。因此，可以推出$\sigma =c$ ($c$ 为常数)。

将$\sigma =c$ ，$f_1^2={\text{e}}^{-c+c_1}$ ，$f_2^2={\text{e}}^{-c+c_2}$ 代入(3)可得$F=\sqrt{{\text{e}}^{c+c_2}{F}_1^2+{\text{e}}^{c+c_1}{F}_2^2}$ 。从而，可以看出$F$ 为$M$ 上的乘积芬斯勒度量。

第三步：证明$F_1$ 和$F_2$ 均为弱Landsberg度量。又由于$\sigma$ 为常数，所以

$\frac{\partial \sigma }{\partial x^p}=0,$ (32)

$\frac{\partial \sigma }{\partial x^{p^{\prime }}}=0.$ (33)

将(26)、(27)和(32)代入(18)可得

$\stackrel{1}{J_i}=0.$ (34)

这意味着$F_1$ 为弱Landsberg度量。同理，将(26)、(27)和(33)代入(19)化简可得

$\stackrel{2}{J_{i^{\prime }}}=0.$ (35)

这意味着$F_2$ 为弱Landsberg度量。

再证充分性。设$F_1$ 和$F_2$ 均为弱Landsberg度量，则(34)和(35)成立。又因为$F$ 为乘积芬斯勒度量，则$\sigma$ ，$f_1$ 和$f_2$ 都为常数。因此(26)、(27)、(32)和(33)成立。从而易验证(18)和(19)成立，即$F$ 为弱Landsberg度量。

下面用定理1给出一个弱Landsberg度量显性表达的例子。

例1 设$\left(M_1,F_1\right)$ 和$\left(M_2,F_2\right)$ 是两个3维芬斯勒流形，其中$M_1$ 为3维欧式空间$R^3$ ，$F_1=\alpha \phi \left(\beta /\alpha \right)$ 是$M_1$ 上的$(\alpha ,\beta )$ 度量，$\alpha =\sqrt{{\left(y^1\right)}^2+{\text{e}}^{2x^1}\left({\left(y^2\right)}^2+{\left(y^3\right)}^2\right)}$ ，$\beta =y^1$ ；$M_2$ 为3维球面$S^3$ ，$F_2=\alpha +\beta$ 是$M_2$ 上的Randers度量，该度量族中1-形式$\beta =b_i{y}^i$ ，满足$r_{ij}=\frac{1}{2}\left(b_{i|j}+b_{j|i}\right)=0$ 且$s_j=\frac{1}{2}{b}^i\left(b_{i|j}-b_{j|i}\right)=0$ ，则$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$ 是$M=M_1\times M_2$ 上的弱Landsberg度量。

证明 根据[4]中的例1.1和例1.2可知$F_1$ 和$F_2$ 是弱Landsberg度量，又因为$F$ 为乘积芬斯勒度量，故由定理1可知$F$ 是弱Landsberg度量。

4. 共形双扭曲积芬斯勒度量的相对迷向平均Landsberg曲率

任意弱Landsberg度量都具有相对迷向平均Landsberg曲率[7]，但是反之不一定成立。然而，2023年，边立泽、何勇和韩江慧[16]证明了具有相对迷向平均Landsberg曲率的挠积芬斯勒度量是弱Landsberg度量。因此，本节将探索具有相对迷向平均Landsberg曲率的共形双扭曲积芬斯勒度量是否为弱Landsberg度量。

命题3 [10] 设$F$ 是芬斯勒度量$F_1$ 和$F_2$ 的共形双扭曲积，则$F$ 的平均嘉当挠率系数$I_{\alpha }$ 为

$I_i=\stackrel{1}{I_i},$

$I_{i^{\prime }}=\stackrel{2}{I_{i^{\prime }}}.$

定理2 设$F$ 是非黎曼芬斯勒度量$F_1$ 与$F_2$ 的共形双扭曲积，若$F$ 具有相对迷向平均Landsberg曲率，则$F$ 是弱Landsberg度量。

证明 $F$ 具有相对迷向平均Landsberg曲率等价于(2)成立，即下面的方程组成立

$\{\begin{array}{l}{J}_i+c\left(x\right)F{I}_i=0,\\ J_{i^{\prime }}+c\left(x\right)F{I}_{i^{\prime }}=0.\end{array}$

根据命题2和命题3，上述方程组等价于

根据(3)可得

$\frac{\partial F}{\partial y^{p^{\prime }}}=\frac{1}{2}{\text{e}}^{2\sigma }{F}^{-1}{f}_1^2\frac{\partial F_2^2}{\partial y^{p^{\prime }}}.$ (38)

(36)两边同时关于$y^{p^{\prime }}$ 求偏导，并将(38)代入，可以得到

$\begin{array}{l}\frac{1}{8}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_2^{-4}\frac{\partial F_2^2}{\partial y^{p^{\prime }}}\frac{{\partial }^3{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j\partial y^i}{g}^{jk}{y}_l{M}_p+\frac{1}{2}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_1^{-2}{f}_2^{-2}{C}_{ijk}{g}^{jk}{N}_{p^{\prime }}\\ +\frac{1}{8}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_1^{-4}\frac{\partial F_1^2}{\partial y^i}{N}_{p^{\prime }}(\frac{{\partial }^3{h}^{{\dot{l}}^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}\partial y^{i^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{y}_{l^{\prime }}+\frac{{\partial }^2{h}^{{\dot{l}}^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}\frac{\partial h^{j^{\prime }{k}^{\prime }}}{\partial y^{p^{\prime }}}{y}_{l^{\prime }}\\ +\frac{{\partial }^2{h}^{{\dot{l}}^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{h}_{l^{\prime }{p}^{\prime }})+\frac{1}{2}c\left(x\right)\stackrel{1}{I_i}{\text{e}}^{2\sigma }{F}^{-1}{f}_1^2\frac{\partial F_2^2}{\partial y^{p^{\prime }}}=0,\end{array}$ (39)

(39)两边同时与$y^i$ 缩并，再将(5)的第一个等式和(6)的第三个等式代入，并注意到$C_{ijk}{y}^i=0$ ，$\stackrel{1}{I_i}{y}^i=0$ ，可得

$\begin{array}{l}-\frac{1}{4}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_2^{-4}\frac{\partial F_2^2}{\partial y^{p^{\prime }}}\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j}{g}^{jk}{y}_l{M}_p+\frac{1}{4}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_1^{-4}{F}_1^2{N}_{p^{\prime }}(\frac{{\partial }^3{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}\partial y^{p^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{y}_{l^{\prime }}\\ +\frac{{\partial }^2{h}^{{\dot{l}}^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}\frac{\partial h^{j^{\prime }{k}^{\prime }}}{\partial y^{p^{\prime }}}{y}_{l^{\prime }}+\frac{{\partial }^2{h}^{{\dot{l}}^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{h}_{l^{\prime }{p}^{\prime }})=0,\end{array}$ (40)

(40)两边同时与$y^j$ 缩并，再将(6)的第二个等式代入，可得

$\begin{array}{l}\frac{1}{4}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_2^{-4}\frac{\partial F_2^2}{\partial y^{p^{\prime }}}\frac{\partial g^{lp}}{\partial y^k}{g}^{jk}{y}_l{M}_p+\frac{1}{4}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_1^{-4}{F}_1^2{y}^j{N}_{p^{\prime }}(\frac{{\partial }^3{h}^{l^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}\partial y^{p^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{y}_{l^{\prime }}\\ +\frac{{\partial }^2{h}^{{\dot{l}}^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}\frac{\partial h^{j^{\prime }{k}^{\prime }}}{\partial y^{p^{\prime }}}{y}_{l^{\prime }}+\frac{{\partial }^2{h}^{{\dot{l}}^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{h}_{l^{\prime }{p}^{\prime }})=0,\end{array}$ (41)

(41)两边同时与$y^k$ 缩并，再将(6)的第一个等式代入，并注意到${\text{e}}^{-2\sigma }\ne 0$ ，$f_1^{-4}\ne 0$ ，$F_1^2\ne 0$ ，可得

$y^k{y}^j{N}_{p^{\prime }}\left(\frac{{\partial }^3{h}^{{\dot{l}}^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}\partial y^{p^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{y}_{l^{\prime }}+\frac{{\partial }^2{h}^{{\dot{l}}^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}\frac{\partial h^{j^{\prime }{k}^{\prime }}}{\partial y^{p^{\prime }}}{y}_{l^{\prime }}+\frac{{\partial }^2{h}^{{\dot{l}}^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{h}_{l^{\prime }{p}^{\prime }}\right)=0,$ (42)

(42)两边同时依次关于$y^k$ ，$y^j$ 求偏导，则有

$N_{p^{\prime }}\left(\frac{{\partial }^3{h}^{{\dot{l}}^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}\partial y^{p^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{y}_{l^{\prime }}+\frac{{\partial }^2{h}^{{\dot{l}}^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}\frac{\partial h^{j^{\prime }{k}^{\prime }}}{\partial y^{p^{\prime }}}{y}_{l^{\prime }}+\frac{{\partial }^2{h}^{{\dot{l}}^{\prime }{p}^{\prime }}}{\partial y^{k^{\prime }}\partial y^{j^{\prime }}}{h}^{j^{\prime }{k}^{\prime }}{h}_{l^{\prime }{p}^{\prime }}\right)=0.$ (43)

将(43)代入(40)，可得

$-\frac{1}{4}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_2^{-4}\frac{\partial F_2^2}{\partial y^{p^{\prime }}}\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j}{g}^{jk}{y}_l{M}_p=0,$ (44)

(44)两边同时与$y^{p^{\prime }}$ 缩并，再将(5)的第二个等式代入，并注意到${\text{e}}^{-2\sigma }\ne 0$ ，$f_2^{-4}\ne 0$ ，$F_2^2\ne 0$ ，$\left(g^{jk}\right)$ 可逆，可以得到

$\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j}{y}_l{M}_p=0,$ (45)

(45)两边同时与$y^l$ 缩并，并注意到$y^l{y}_l=F_1^2$ ，$F_1^2\ne 0$ ，则有

$\frac{{\partial }^2{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j}{M}_p=0,$ (46)

(46)两边同时关于$y^i$ 求偏导，可得

$\frac{{\partial }^3{g}^{lp}}{\partial y^k\partial y^j\partial y^i}{M}_p=0.$ (47)

将(43)和(47)代入(39)，可得

$\frac{1}{2}{\text{e}}^{-2\sigma }{f}_1^{-2}{f}_2^{-2}{C}_{ijk}{g}^{jk}{N}_{p^{\prime }}+\frac{1}{2}c\left(x\right)\stackrel{1}{I_i}{\text{e}}^{2\sigma }{F}^{-1}{f}_1^2\frac{\partial F_2^2}{\partial y^{p^{\prime }}}=0,$ (48)

(48)两边同时与$y^j$ 缩并，并注意到$C_{ijk}{y}^j=0$ ，可得

$\frac{1}{2}c\left(x\right)\stackrel{1}{I_i}{\text{e}}^{2\sigma }{F}^{-1}{f}_1^2\frac{\partial F_2^2}{\partial y^{p^{\prime }}}{y}^j=0,$ (49)

(49)两边同时与$y^{p^{\prime }}$ ，$y^j$ 缩并，再将(5)的第二个等式代入，并注意到$y^j{y}_j=F_1^2$ ，则可以得到

$c\left(x\right)\stackrel{1}{I_i}{\text{e}}^{2\sigma }{F}^{-1}{f}_1^2{F}_1^2{F}_2^2=0,$

注意到${\text{e}}^{2\sigma }\ne 0$ ，$F\ne 0$ ，$f_1^2\ne 0$ ，$F_1^2\ne 0$ ，$F_2^2\ne 0$ ，所以由上式易得

$c\left(x\right)\stackrel{1}{I_i}=0.$ (50)

由于$F_1$ 是非黎曼的，所以$\stackrel{1}{I_i}\ne 0$ 。故由(50)可知$c\left(x\right)=0$ 。同理，由(37)也可以推出$c\left(x\right)=0$ ，因此$F$ 是弱Landsberg度量。

5. 结论

扭曲积不仅是黎曼几何和芬斯勒几何中重要的几何模型，而且是构造特殊度量的有效方法。本文，我们主要研究共形双扭曲积芬斯勒度量的平均Landsberg曲率，给出共形双扭曲积芬斯勒度量为弱Landsberg度量的充要条件，并证明了具有相对迷向平均Landsberg曲率的共形双扭曲积芬斯勒度量是弱Landsberg度量，从而用共形双扭曲积给出了两种构造弱Landsberg度量的有效方法。Landsberg度量一定是弱Landsberg度量，反之未必成立，在后续研究中，我们将进一步探究对于共形双扭曲积芬斯勒度量，反之是否成立。

基金项目

新疆维吾尔自治区自然科学基金项目(2024D01A88)，国家自然科学基金(12261088, 1176109)。

NOTES

^*通讯作者。