基于粒子群算法的主动悬架模型预测控制研究

Research on Model Predictive Control of Active Suspension Based on Particle Swarm Algorithm

摘要: 针对汽车主动悬架系统在复杂路况下的多目标协同优化问题，本文提出了一种基于粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)的模型预测控制(Model Predictive Control, MPC)策略。首先，通过创建四分之一车辆主动悬架系统的动力学模型，以车身垂直加速度为主要控制目标，同时统筹悬架动行程、轮胎动位移及执行器约束；其次，设计PSO-MPC控制器，通过PSO算法全局优化MPC的权重矩阵，克服传统MPC参数依赖人工调节的局限性；最后，对比分析线性二次调节器(Linear Quadratic Regulator, LQR)、传统MPC、PSO-MPC及被动悬架的性能指标。仿真结果表明，相比被动悬架系统，在随机路面和凸块路面激励下，PSO-MPC使车身垂直加速度的均方根(Root Mean Square, RMS)值分别降低了49.99%和72.22%，悬架动行程的RMS值分别减少24.23%和32.86%，轮胎动位移的RMS值分别下降32.49%和69.53%。这些结果验证了所提出的控制方法在同时提升车辆行驶安全性、乘坐舒适性及操纵稳定性方面的综合优势。

Abstract: To address the multi-objective collaborative optimization problem of automotive active suspension systems under complex road conditions, this paper proposes a model predictive control (MPC) strategy based on the particle swarm optimization (PSO) algorithm. First, a dynamic model of the quarter vehicle active suspension system is created, with body vertical acceleration as the primary control objective, while simultaneously considering suspension dynamic travel, tire dynamic displacement, and actuator constraints; Second, a PSO-MPC controller is designed, where the PSO algorithm globally optimizes the weight matrix of the MPC, overcoming the limitation of traditional MPC where parameters rely on manual adjustment; finally, the performance metrics of the linear quadratic regulator (LQR), traditional MPC, PSO-MPC, and passive suspension systems are compared and analyzed. Simulation results show that compared to the passive suspension system, under random road surface and bumpy road surface excitations, the PSO-MPC reduces the root mean square (RMS) value of body vertical acceleration decreased by 49.99% and 72.22%, respectively, the RMS value of suspension dynamic travel by 24.23% and 32.86%, respectively, and the RMS values of tire dynamic displacement decreased by 32.49% and 69.53%, respectively. These results validate the comprehensive advantages of the proposed control method in simultaneously enhancing vehicle driving safety, ride comfort, and maneuvering stability.

1. 引言

悬架系统作为汽车关键子系统，其动态特性直接影响整车的安全性能、操纵品质及驾乘舒适性等关键指标。随着汽车工业的发展，传统被动悬架已难以满足日益提高的性能需求，而主动悬架能够实现对阻尼和刚度的调节，提高车辆的乘坐舒适性和操纵稳定性，近年来受到了越来越多学者的关注[1]。

车辆悬架系统通过传递车轮与车身间的作用力并抑制路面振动，保证乘坐舒适性和行驶稳定性[2]。悬架控制方法主要包括被动控制、半主动控制和主动控制[3]，将先进控制理论应用于主动悬架系统被普遍认为是提高悬架性能的有效途径之一。主动悬架控制方法通过执行器输出反向作用力来衰减车辆振动，实现路面激励的主动抵消，从而有效抑制车体振动[4]。主动悬架需兼顾平顺性、操控性与安全性，但这些性能指标存在固有矛盾。当前主动悬架研究主要聚焦于控制策略开发，代表性算法包括：LQR优化控制[5]、鲁棒H_∞控制[6]、滑模变结构控制[7]及PID控制[8]等。

文献[9]介绍了这些算法的优缺点及悬架系统以后的发展趋势。线性二次最优控制因其理论完善、计算高效，在早期悬架控制中广泛应用。然而，LQR基于线性化模型设计，难以准确描述实际悬架的非线性动态特性，且无法显式处理执行器饱和等工程约束。H_∞控制通过优化鲁棒性能指标提高系统抗干扰能力，但其设计过程复杂，且保守性较强，难以统筹多目标优化需求。滑模控制在参数适应性和抗干扰方面表现出色，但固有的高频抖振现象易激发未建模动态，影响系统稳定性。PID控制结构简单，但参数整定依赖经验，在复杂工况下适应性不足。虽然这些智能控制算法在悬架控制领域取得了显著的成果，但难以有效处理一些问题，如多变量约束、高实时性要求、模型不确定性等[10]。

相比之下，模型预测控制是一种广泛应用于车辆控制技术的控制策略，用于解决滚动时域中的多变量约束。MPC策略主要分为[11]传统MPC、分布式模型预测控制(DMPC)、非线性模型预测控制(NMPC)和显式模型预测控制(EMPC)，本文采用的是传统MPC控制。

模型预测控制凭借其滚动优化、反馈校正和约束处理能力[12]，在悬架控制领域展现出显著优势。MPC能够基于系统模型预测未来动态，并通过在线优化计算最优控制输入，同时显式考虑执行器饱和、状态约束等物理限制。

传统的MPC虽然能有效处理各种变量约束，但在处理路况变化和复杂模型时仍有一定的局限性。如MPC控制器的性能高度依赖于权重矩阵等参数的合理配置，传统人工试错法调节参数不仅耗时耗力，而且难以保证参数的最优性。这一问题严重制约了MPC在实际工程中的应用效果。为此，一些控制方法在MPC控制框架中融入了可变时域和可变权重的思想。这些参数的选择需要根据实际系统进行调试和优化[13]。

为解决MPC参数优化难题，本文引入粒子群优化算法[14]。PSO作为一种高效的群体智能优化算法，通过模拟鸟群觅食行为，能够在参数空间内快速定位全局最优解。其优势在于：1) 无需依赖初始值选择，具有较强的全局搜索能力；2) 算法结构简单，收敛速度快；3) 易于与其他优化目标结合。将PSO应用于MPC参数优化，可以自动获取最优权重配置，显著提升控制性能，同时降低人工调节参数的复杂度。

针对以上问题，本文首先建立悬架系统动力学模型，分析其控制需求；随后，针对传统控制方法的不足，提出一种基于PSO优化的MPC策略，并通过仿真验证其有效性；最后，对比不同控制方法的性能，探讨优化后MPC在悬架系统中的实际效果。通过理论分析与实验验证相结合，为智能悬架控制系统的设计提供新的思路和方法。

2. 悬架动力学模型

四分之一汽车主动悬架系统因其简单的结构和具有代表性的动态特性而被广泛研究。其机械结构如图1所示，其中$m_s$ 为弹簧质量，$m_u$ 为非弹簧质量，$k_s$ 和$k_t$ 表示悬架和轮胎的刚度系数，$c_s$ 和$c_t$ 为悬架和轮胎的阻尼系数，执行电机提供的力定义为$u$ ，$z_s$ 、$z_u$ 和$z_r$ 分别表示弹簧质量、非弹簧质量和不平路面的位移。该2自由度悬架的动力学方程为[15]：

$\{\begin{array}{l}u-k_s\left(z_s-z_u\right)-c_s\left({\dot{z}}_s-{\dot{z}}_u\right)=m_s{\ddot{z}}_s\\ k_s\left(z_s-z_u\right)+c_s\left({\dot{z}}_s-{\dot{z}}_u\right)-k_t\left(z_u-z_r\right)-c_t\left({\dot{z}}_u-{\dot{z}}_r\right)-u=m_u{\ddot{z}}_u\end{array}$ (1)

为了获得系统的状态空间形式，定义以下状态变量：

Figure 1. Two-degree-of-freedom 1/4 vehicle suspension model

图1. 二自由度1/4车辆悬架模型

$x_1\left(t\right)={\dot{z}}_s\left(t\right)$ (2)

$x_2\left(t\right)={\dot{z}}_u\left(t\right)$ (3)

$x_3\left(t\right)=z_s\left(t\right)-z_u\left(t\right)$ (4)

$x_4\left(t\right)=z_u\left(t\right)-z_r\left(t\right)$ (5)

选取路面速度为扰动输入，即$W\left(t\right)={\dot{z}}_r\left(t\right)$ 。

定义状态向量：

$X\left(t\right)={\left[\begin{array}{cccc}{x}_1\left(t\right)& x_2\left(t\right)& x_3\left(t\right)& x_4\left(t\right)\end{array}\right]}^{\text{T}}$ (6)

则可推导出主动悬架系统的状态空间表达式：

$\dot{X}\left(t\right)=AX\left(t\right)+BU\left(t\right)+GW\left(t\right)$ (7)

其中的系数矩阵$A$ 、$B$ 、$G$ 、$U$ 的具体形式为：

$A=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{c_s}{m_s}& \frac{c_s}{m_s}& -\frac{k_s}{m_s}& 0\\ \frac{c_s}{m_u}& -\frac{c_s+c_t}{m_u}& \frac{k_s}{m_u}& -\frac{k_t}{m_u}\\ 1& -1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$ , $B={\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{m_s}& -\frac{1}{m_u}& 0& 0\end{array}\right]}^{\text{T}}$ , $G={\left[\begin{array}{cccc}0& \frac{c_t}{m_u}& 0& -1\end{array}\right]}^{\text{T}}$ , $U=\left[u\right]$

根据悬挂系统的性能要求，控制输出选择如下：

$Y\left(t\right)={\left[\begin{array}{ccc}{\ddot{z}}_s\left(t\right)& z_s\left(t\right)-z_u\left(t\right)& z_u\left(t\right)-z_r\left(t\right)\end{array}\right]}^{\text{T}}$ (8)

因此，车辆悬架系统可以用以下公式描述为：

$\{\begin{array}{l}\dot{X}\left(t\right)=AX\left(t\right)+BU\left(t\right)+GW\left(t\right)\\ Y\left(t\right)=CX\left(t\right)+DU\left(t\right)\end{array}$ (9)

式(9)中系数矩阵：

$C=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{c_s}{m_s}& \frac{c_s}{m_s}& -\frac{k_s}{m_s}& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ , $D={\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{m_s}& 0& 0\end{array}\right]}^{\text{T}}$

3. 基于PSO的模型预测控制器设计

3.1. LQR控制器设计

本文研究对主动悬架系统采用二次型性能指标最优控制策略，综合优化车辆的乘坐舒适性、操纵稳定性及能耗特性。选取车身垂向加速度${\ddot{z}}_s$ 、悬架动行程$\left(z_s-z_u\right)$ 、轮胎动位移$\left(z_u-z_r\right)$ 和控制输入$u$ 作为系统评价指标。基于最优控制理论构建状态调节器，其性能指标泛函数表达式为[16]：

$J=\underset{T\to 0}{\lim }\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T\left[q_1{\ddot{z}}^2{}_s+q_2{\left(z_s-z_u\right)}^2+q_3{\left(z_u-z_r\right)}^2+q_4{u}^2\right]\text{d}t}$ (10)

将上式整理成标准二次型形式：

$J=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T\left(X^{\text{T}}QX+U^{\text{T}}RU+2X^{\text{T}}NU\right)}$ (11)

式中，$q_1$ 、$q_2$ 、$q_3$ 、$q_4$ 为性能评价指标的加权系数；$Q$ 、$R$ 和$N$ 分别为系统状态变量、控制输入变量及其交叉项的权重矩阵。

利用MATLAB控制系统工具箱中的线性二次调节器求解器，求得控制率$\left[K,S,E\right]=lqr\left(A,B,Q,R,N\right)$ ，$K$ 即为所求的最优反馈控制率，改变$q_1$ 、$q_2$ 、$q_3$ 、$q_4$ 的值，反复调试，直到出现较好的控制效果，令$q_1=0.06$ 、$q_2=0$ 、$q_3=12500$ 、$q_4=1\text{e}-6$ 。值得注意的是，此处$q_2=0$ 不是对SWS不做控制，而是这个耦合的系统，BA稳定的时候也会顺带使得SWS减小。

3.2. 模型预测控制器设计

模型预测控制采用离散时域的状态空间模型，通过滚动时域优化实现多步预测控制。式(9)得到的状态空间方程需经离散化处理后方可应用于MPC算法设计，该方法首先通过前向欧拉法将连续系统离散化，建立预测控制系统模型。在每个采样周期内，基于当前状态预测未来动态，并通过优化算法求解最优控制序列，但仅执行首个控制量。同时引入实时反馈校正预测误差，形成闭环控制。这种“预测–优化–反馈”机制既保证了多变量协调控制，又增强了系统抗干扰能力，在确保稳定性的同时，实现了优异的动态性能。离散化后的状态空间模型可表示为[17]：

$\dot{X}\approx \left[X\left(k\text{+}1\right)-X\left(k\right)\right]/T$ (12)

其中，$T$ 表示采样周期。则离散化后的状态空间方程可表示为：

$\{\begin{array}{l}X\left(k+1\right)=\tilde{A}X\left(k\right)+\tilde{B}U\left(k\right)+\tilde{G}W\left(k\right)\\ Y\left(k\right)=\tilde{C}X\left(k\right)+\tilde{D}U\left(k\right)\end{array}$ (13)

其中，$\tilde{A}=I+TA$ ，$\tilde{B}=TB$ ，$\tilde{G}=TG$ ，$I$ 为对应维度的单位矩阵，$C$ 和$D$ 矩阵在离散化后保持不变，故$\tilde{C}=C$ ，$\tilde{D}=D$ ；$X\left(k\right)$ 为$k$ 时刻的状态量；$u\left(k\right)$ 为$k$ 时刻的控制输入向量；$Y\left(k\right)$ 为$k$ 时刻的输出向量。离散化过程保持输出矩阵和前馈矩阵与连续系统的一致性。

MPC策略可以处理有限时域中带有约束条件的优化问题。以系统的最新测量值为初始条件，本文采用预测时域$N_p=10$ 的MPC控制策略。定义预测步长为$N_p$ ，控制步长为$N_c$ ，其中$N_c\le N_p$ 。基于1/4车辆悬架模型的线性离散时间状态空间方程和最新测量状态量$X\left(k\right)$ 、控制增量$U\left(k\right)$ ，以及道路干扰$W\left(k\right)$ ，得到$N_p$ 次步的预测状态量和控制输出。优化MPC控制器并获得$N_c$ 步的控制输入后，将第一个控制输入应用到悬架离散系统，系统执行此控制过程[18]。

MPC的目标函数是基于预测未来状态的基础上，优化当期的控制输入。计算代价函数有以下形式：

$\begin{array}{c}J={\displaystyle \sum _{i=1}^{N_p}x{\left(k+i|k\right)}^{\text{T}}Qx\left(k+i|k\right)}+{\displaystyle \sum _{i=0}^{N_p-1}\Delta u{\left(k+i|k\right)}^{\text{T}}R\Delta u\left(k+i|k\right)}\\ +x{\left(k+N_p|k\right)}^{\text{T}}Fx\left(k+N_p|k\right)\end{array}$ (14)

式中权重系数为：$Q={\left[\begin{array}{cccc}{q}_1& 0& 0& 0\\ 0& q_2& 0& 0\\ 0& 0& \ddots & 0\\ 0& 0& 0& q_n\end{array}\right]}_{n\times n}$ ，$R={\left[\begin{array}{cccc}{r}_1& 0& 0& 0\\ 0& r_2& 0& 0\\ 0& 0& \ddots & 0\\ 0& 0& 0& r_p\end{array}\right]}_{p\times p}$ ，$F={\left[\begin{array}{cccc}{F}_1& 0& 0& 0\\ 0& F_2& 0& 0\\ 0& 0& \ddots & 0\\ 0& 0& 0& F_n\end{array}\right]}_{n\times n}$ 。

其中，$\Delta u\left(k+i\right)=u\left(k+i\right)-u\left(k+i-1\right)$ ，$Q$ 是状态加权矩阵，用于惩罚状态偏差；$R$ 是控制输入变化的加权矩阵，用于惩罚控制输入的变化；$F$ 是对最终状态的加权矩阵，用于惩罚最终状态偏差。加权矩阵中元素系数越大，那么在优化中就越趋向于此项更小。

在MPC中，优化过程的目的是计算出最优的控制输入序列$U=\left\{u\left(k\right),u\left(k+1\right),\cdots ,u\left(k+N_p-1\right)\right\}$ ，该序列通过最小化目标函数来得到。优化问题通过求解以下问题来获得最优控制输入：

$\underset{U}{\min }{J}_{MPC}\left(x\left(k\right),U\right)$ (15)

优化问题的状态约束方程为：

$x\left(k+i+1|k\right)=\tilde{A}x\left(k+i|k\right)+\tilde{B}u\left(k+i|k\right)+\tilde{G}w\left(k+i|k\right)$ (16)

在MPC优化过程中，MPC控制器可以显式处理约束，其闭环优化问题需要考虑多个约束设置。车辆主动悬架控制器的控制力输入存在阈值，定义为$U_{\min }$ 和$U_{\max }$ 。然后，将控制器输入约束为：

$U_{\min }\le U\left(k+i|k\right)\le U_{\max },i=1,2,\cdots ,N_c$ (17)

由于机械结构的限制，悬架动行程应约束在工作行程的范围内，以防止悬架系统发生机械限位碰撞。悬架的最大工作行程可定义为$Y_{\text{sws},\max }$ 。

$\left|z_s\left(k+i\right)-z_u\left(k+i\right)\right|\le Y_{\text{sws},\max }$ (18)

为确保车辆行驶安全性及操纵稳定性，轮胎动载荷需严格限制在静态载荷范围内，从而保证轮胎与路面的持续附着状态并有效抑制路面冲击，即：

$\left|z_s\left(k+i\right)-z_r\left(k+i\right)\right|\le \left(m_s+m_u\right)g$ (19)

因此，应满足控制器输出约束：

$Y_{\min }\le Y\left(k+i|k\right)\le Y_{\max },i=1,2,\cdots ,N_p$ (20)

这些约束确保系统的运行不超过允许的物理范围。

MPC的控制流程总结为三个步骤：状态预测、滚动优化和反馈矫正。首先是状态预测，在每个时间步$k$ ，通过离散化后的状态方程预测未来状态；其次是滚动优化，在每个时间步，基于当前状态$x\left(k\right)$ ，通过求解上述的优化问题得到未来一段时间内的控制输入序列$U$ ，并选择其中的第一个控制输入$u\left(k\right)$ 来执行；最后是反馈执行，将优化得到的控制输入$u\left(k\right)$ 应用到系统中，并更新系统的状态$x\left(k\right)$ 。之后，进入下一个时间步，重复状态预测、滚动优化和反馈执行的过程。

3.3. 引入粒子群优化算法的MPC策略

传统LQR控制器的加权系数通常依赖经验试凑确定，虽能改善车辆平顺性，但难以保证最优性[19]。为此，本文采用粒子群算法对加权系数进行优化，以获得更优控制效果。然而，传统的MPC同样有这样的缺陷，与传统的MPC控制相比，基于粒子群算法的模型预测控制却有很好的控制效果。

粒子群优化算法是一种智能仿生优化方法，通过模拟群体行为实现全局最优搜索。在模型预测控制应用中，该算法通过构建粒子群优化模型，将控制参数优化问题转化为高维空间中的全局寻优问题。每个候选解被定义为具有位置和速度向量的粒子，通过迭代更新机制引导粒子向个体历史最优解和群体全局最优解方向进化。相较于传统MPC依赖人工经验调参的方法，PSO-MPC控制策略展现出显著优势：首先，其全局搜索特性有效避免了人工调参可能导致的局部最优问题；其次，通过自动优化状态权重矩阵$Q$ 和控制权重矩阵$R$ ，实现了乘坐舒适性、行驶稳定性和轮胎附着性能等多目标协同优化；再次，其自适应特性增强了控制系统对不同路面激励的鲁棒性。该算法具有记忆功能、快速收敛性和平衡的作用，在保证实时控制需求的同时，显著提升了MPC系统在复杂工况下的控制品质和适应性。其实现步骤[20]如下：

Step 1：通过粒子群优化算法，随机生成50个粒子，每个粒子代表一组候选参数$\left[q_1,q_2,q_3,r_1\right]$ ，离线全局搜索一组权重$Q_2$ 和$R_2$ ，使得主动悬架在多种典型路况下的加速度、动行程、轮胎变形等RMS性能综合指标最优。令PSO的每个粒子位置向量：

$w={\left[\begin{array}{cccc}{q}_1& q_2& q_3& r_1\end{array}\right]}^{\text{T}}$ (21)

对应新权重：$Q_2=diag\left(q_1,q_2,q_3,0\right)$ ，$R_2=r_1$ 。

其中，$q_1,q_2,q_3$ 对应状态变量$x={\left[z_s,{\dot{z}}_s,z_{us},{\dot{z}}_{us}\right]}^{\text{T}}$中的第1维到第3维的权重；$r_1$ 是对控制力$u$ 的权重；$q_1,q_2,q_3\in \left[0,100\right]$ ，$r_1\in \left[0.001,1\right]$ 。

Step 2：参数解码与权重矩阵构建，将PSO算法搜索范围进行缩放，映射到物理级$Q_2=diag\left(q_1\times {10}^{11},q_2\times {10}^8,q_3\times {10}^{10},0\right)$ ，$R_2=r_1$ 。将$Q_2$ 、$R_2$ 输入到MPC控制器，仿真悬架动态响应。

Step 3：适应度(Fitness)函数。基于预设的目标函数，计算每个粒子的适应度值。程序中(PSO主循环)对每个粒子${\text{w}}_{\text{i}}$ 执行多场景仿真后，计算三项RMS性能，做归一化后加权求和，形成适应度函数：

$J_{\text{fitness}}\left({\text{w}}_{\text{i}}\right)=\alpha \frac{\text{rms\_SA\_as}\left({\text{w}}_{\text{i}}\right)}{\text{rms\_SA\_ps}}+\beta \frac{\text{rms\_SWS\_as}\left({\text{w}}_{\text{i}}\right)}{\text{rms\_SWS\_ps}}+\gamma \frac{\text{rms\_DTD\_as}\left({\text{w}}_{\text{i}}\right)}{\text{rms\_DTD\_ps}}$ (22)

其中，$\alpha =0.46$ ，$\beta =0.09$ ，$\gamma =0.45$ 可根据设计侧重点调整。

Step 4：更新最优解。若当前个体$\left(p_{best}\right)$ 优于其个体历史最优值时，更新$\left(p_{best}\right)$ 。选择所有粒子中适应度值最优的粒子为全局最优$\left(g_{best}\right)$ 。第$i$ 个粒子的$d$ 维速度更新公式为：

$V_{id}^{k+1}=\omega \left(k\right)V_{id}^k+c_1{r}_1\left(P_{id}^k-X_{id}^k\right)+c_2{r}_2\left(P_{gd}^k-X_{id}^k\right)$ (23)

第$i$ 个粒子的$d$ 维位置更新公式为：

$X_{id}^{k+1}=X_{id}^k+V_{id}^{k+1}$ (24)

式中，惯性权重$\omega \in \left[0.3,0.6\right]$ ，粒子加速常数$c_1=c_2=1.49$ ，$r_1,r_2~U\left(0,1\right)$ ，是两个随机函数。

Step 5：终止条件。本文当中最大迭代次数设为4次，适应度函数容差设为8e−5，当达到最大迭代次数$t>4$ 时，或当相邻迭代的适应度差值小于此值，即$\left|J_{best}^{\left(t\right)}-J_{best}^{\left(t-1\right)}\right|<8\times {10}^{-5}$ 时，认为收敛并提前终止。

Step 6：输出最优权重。解码全局最优粒子$g_{best}$ 得到全局最优解，得到一组离线优化的$Q_2^{\ast }$ 和$R_2^{\ast }$ 矩阵，在线求解MPC的最优控制输入。其中$Q_2^{\ast }=diag\left(g_{best,1}\times {10}^{11},g_{best,2}\times {10}^8,g_{best,3}\times {10}^{10},0\right)$ ，$R_2^{\ast }=g_{best,4}$ 。经过全局范围搜索，得到$Q_2^{\ast }=diag\left(9.89\times {10}^{11},2.35\times {10}^9,2.69\times {10}^{11},0\right)$ ，$R_2^{\ast }=0.5769$ 。

其中，粒子群优化算法的完整流程如图2所示。

4. 仿真结果分析

为了验证所提出的PSO-MPC策略的有效性，本文通过被动无控制(PASSIVE)与LQR、传统的MPC控制策略和PSO-MPC方法进行对比测试，并且把随机路面激励和凸块冲击作为路面输入模型，在计算机中进行仿真，表3给出了四种控制策略下车各性能指标的均方根值对比数据。

4.1. 在随机地面模型

本文选用随机路面激励，其功率谱密度采用如下幂函数形式描述[21]：

Figure 2. Flow chart of particle swarm optimization algorithm

图2. 粒子群优化算法流程图

$G_{xr}\left(n\right)=G_{xr}\left(n_0\right){\left(\frac{n}{n_0}\right)}^{-2}$ (25)

式(25)中，$n$ 为空间频率；$n_0$ 为参考空间频率，$n_0=0.1{\text{m}}^{-1}$ ；$G_{\text{x}r}\left(n_0\right)$ 为路面不平度系数。

采用白噪声滤波方法，建立时域随机路面模型的数学表达式为：

${\dot{z}}_r\left(t\right)=-2\pi f_{\min }{z}_r\left(t\right)+2\pi n_{0}w\left(t\right)\sqrt{G_{xr}\left(n_0\right)v}$ (26)

其中，时间下限截止频率$f_{\min }=v\cdot n_{\min }$ ；空间频率的下限$n_{\min }=0.011{\text{m}}^{-1}$ ；$w\left(t\right)$ 是有恒等功率谱密度的零均值高斯白噪声；$v$ 为车速。

本文以B级路面作为基准工况，即路面不平度系数$G_{xr}\left(n_0\right)=64\times {10}^{-6}{\text{m}}^3$ ，车速$v=60\text{km}/\text{h}$ ，图3为随机路面激励下车轮垂直位移响应曲线。

接下来对1/4车辆主动悬架进行仿真，悬架参数见表1 [22]，控制器相关参数见表2。

首先，建立两种不同的道路激励作为悬架系统仿真场景的输入状态。其次，为了比较控制效果，采用无控制输入的被动悬架、传统MPC策略和PSO-MPC策略分别对车辆悬架系统进行控制，从而获得了受控悬架响应。最后，得到车身垂直加速度${\ddot{z}}_s$ 、悬架动行程$\left(z_s\left(t\right)-z_u\left(t\right)\right)$ 和轮胎动位移$\left(z_u\left(t\right)-z_r\left(t\right)\right)$ 作为悬架性能评价指标。对比分析被动悬架控制、传统MPC控制、LQR控制和PSO-MPC控制下的悬架响应。

Figure 3. Time-domain response curve of Class B pavement unevenness

图3. B级路面不平度时域曲线

Table 1. Vehicle suspension system parameters

表1. 汽车悬架系统参数

车身质量$m_s$	悬架刚度$k_s$	悬架阻尼$c_s$	车轮质量$m_u$	轮胎刚度$k_t$	轮胎阻尼$c_t$
320 kg	18 kN/m	1 kN∙s/m	40 kg	200 kN/m	10 N∙s/m

Table 2. Controller-related parameters

表2. 控制器相关参数

参数	数值
预测步长$N_p$	10
控制域$N_c$	10
采样时间$T/\text{s}$	0.001
悬架动行程约束$Y_{\text{sws,max}}/\text{m}\text{m}$	75
执行器输出力最大$U_{\text{max}}/\text{N}$	6000
轮胎动载荷约$F/\text{N}$	3600

通过以上对比分析的结果图和表3可知，PSO-MPC控制下的三项性能指标均低于其他控制策略。悬架动行程同时可以看出在B级路面下，PSO-MPC控制比其他控制具有更强的自适应能力。相较于LQR控制，虽然车身加速度和轮胎动位移相较于被动无控制悬架得到了改善，但是悬架动行程却恶化了，这必然会对车辆行驶安全性有一定的影响。而传统的MPC控制相比LQR控制虽然各项性能指标均有改善，但归根结底还是通过手动调节各个参数对应权重，各项性能指标仍然具有提升的空间。本文提出的PSO-MPC控制策略采用粒子群优化算法可以自动调整参数权重，使悬架系统各项性能指标均得到更大的提升。与被动悬架相比，PSO-MPC控制策略下各指标分别降低了49.99%、24.23%和32.49%。与传统的MPC控制相比，各指标也分别降低了28.65%、7.30%和6.17%。因此，在随机地形路面激励下，PSO-MPC控制策略的控制效果可以显著提高车辆的乘坐舒适性，同时也能保证车辆的行驶安全性和操纵稳定性。

接下来为了从频域角度分析上述设计的控制器控制效果，对四种控制策略下三项性能指标实施快速傅里叶分析，得到相应的频域功率谱密度，如下图4、图5所示。

Figure 4. Response curves for three performance indicators on class B pavements

图4. B级路面下三项性能指标响应曲线

Table 3. Comparison of RMS values of various performance indicators on class B pavement

表3. B级路面各项性能指标均方根值对比

控制策略	车身加速度/(m∙s^−^2)	悬架动行程/(mm)	轮胎动位移/(mm)
被动系统	0.1757	2.7003	0.3106
LQR (相较于被动悬架)	0.1417 (↓19.32%)	2.2013 (↓18.47%)	0.2615 (↓15.81%)
MPC (相较于被动悬架)	0.1232 (↓29.87%)	2.2073 (↓18.26%)	0.2235 (↓28.04%)
PSO-MPC (相较于被动悬架)	0.0879 (↓49.99%)	2.0461 (↓24.23%)	0.2097 (↓32.49%)

Figure 5. Comparison of power spectrum density for three performance metrics on class B pavement

图5. B级路面下三项性能指标功率谱密度对比

由图5可知，在频域0~4 Hz内，PSO-MPC控制策略下的车身垂直加速度的功率谱密度相比其他两种控制策略有大幅度的降低，在4~10 Hz下三种控制策略效果相差不大。在频率为0~3.5 Hz内，除了悬架动行程功率谱密度在0~0.5 Hz内，PSO-MPC控制策略相较于被动无控制状态、MPC控制状态有小部分恶化，PSO-MPC控制策略下的悬架动行程功率谱密度相比其他两种控制策略均有降低，在0.5~3.5 Hz相较于其他几种控制策略均有提升。在0~2.5 Hz内，PSO-MPC控制策略下的轮胎动位移功率谱密度相比于其他几种控制策略均有提升，在2.5~10 Hz有小幅度的恶化，但不是很明显可以接受。

悬架系统的轮胎动静载之比、执行器输出力分别如下图6、图7所示。

在主动悬架控制器设计中，必须综合考虑悬架动态位移、轮胎动静载之比以及执行器输出力范围等关键参数约束。实验数据表明，系统实际运行时的悬架位移始终低于设计允许的最大限值75 mm，轮胎动态载荷维持在静态载荷以下，同时执行器输出力严格控制在安全工作范围内。这些结果验证了所设计的主动悬架系统在满足各项安全约束条件的同时，有效提升了车辆的行驶安全性和操纵稳定性。

Figure 6. Ratio of dynamic to static load under tyres on class B pavement

图6. B级路面下轮胎动静载之比

Figure 7. Ratio of actuator output force under class B pavement

图7. B级路面下执行器输出力之比

4.2. 在凸块路面模型

为了进一步验证PSO-MPC控制的自适应性能，在一段光滑路面上设置凸块路面，用正弦函数建立凸块路面的数学模型，表示为[23]：

$z_r\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\frac{A}{2}\left[1-\cos \left(2\pi \frac{V}{L}t\right)\right],0\le t\le \frac{L}{V}\\ 0,t>\frac{L}{V}\end{array}$ (27)

其中：$A$ 代表凸块的高度，$L$ 代表凸块的宽度，$V$ 代表车速，取$A=0.05\text{m}$ ，$L=5\text{m}$ ，$V=20\text{km}/\text{h}$ ，得到凸块路面模拟图如图8所示。

Figure 8. Bump pavement displacement excitation

图8. 凸块路面位移激励

针对凸块路面激励工况，图9对比了四种控制策略的悬架动态响应特性，表4则统计了相应控制策略下各性能指标的均方根值。

Figure 9. Response curves for three performance indicators on bump pavement

图9. 凸块路面下三项性能指标响应曲线

Table 4. Comparison of RMS values of various performance indicators of bump pavement

表4. 凸块路面各项性能指标均方根值对比

控制策略	车身加速度/(m∙s^−^2)	悬架动行程/(mm)	轮胎动位移/(mm)
被动系统	0.4983	8.2165	0.8183
LQR (相较于被动悬架)	0.3564 (↓28.46%)	6.4374 (↓21.65%)	0.5920 (↓27.66%)
MPC (相较于被动悬架)	0.2789 (↓44.03%)	6.5111 (↓20.76%)	0.4631 (↓43.41%)
PSO-MPC (相较于被动悬架)	0.1384 (↓72.22%)	5.5168 (↓32.86%)	0.2493 (↓69.53%)

如上图9所示，当车辆通过凸块路面时，三种控制策略下主动悬架的响应峰值均得到有效抑制，其中PSO-MPC控制下的振荡衰减最快；且其减振效果优于其余三种控制策略。与被动悬架相比，PSO-MPC控制下的悬架系统垂直加速度、悬架动行程和轮胎动位移分别降低了72.22%、32.86%和69.53%。与传统MPC控制相比，分别降低了50.38%、15.27%和46.17%。这些过程表明，在凸块路面激励下，PSO-MPC控制策略的控制效果可以显著提高车辆的行驶安全性，同时也能保证车辆的乘坐舒适性。

接下来从频域角度分析上述设计的控制器控制效果，对四种控制策略下的三种性能指标进行快速傅里叶分析，得到相应的频域功率谱密度，如图10所示。

Figure 10. Comparison of power spectrum density for three performance metrics on bump pavement

图10. 凸块路面下三项性能指标功率谱密度对比

由图10可知，在频域0~2.5 Hz内，PSO-MPC控制策略下车身垂直加速度功率谱密度和轮胎动位移功率谱密度相较于其他几种控制策略都有提升，在其他频域范围各控制效果相近；在频域0~2.5 Hz内，除了在0~0.5 Hz内PSO-MPC控制策略下的悬架动行程功率谱密度相较于被动无控制状态有小部分恶化，在其他范围PSO-MPC控制相较于其他三种控制策略均有改进；在2.5~10 Hz内，四种控制策略下的悬架动行程功率谱密度效果都比较接近。

悬架系统的轮胎动静载之比、执行器输出力分别如下图11、图12所示。

从图9中可以看出，悬架动态行程范围在上下40 mm之间波动，完全符合不超过75 mm的极值要求。从图11中可以得到，车轮的动载和静载之比远远小于1，满足设计要求。图12给出了主动悬架系统执行器输出力曲线，从中可以得到输出力也不超过6000 N，符合安全约束条件。实验结果表明，所设计的主动悬架控制系统在满足所有安全约束条件的同时，能够显著提高了车辆各项动态性能。

Figure 11. Ratio of dynamic to static load under tyres on bump pavement

图11. 凸块路面下轮胎动静载之比

Figure 12. Ratio of actuator output force under bump pavement

图12. 凸块路面下执行器输出力之比

5. 结论

针对汽车主动悬架系统在不同道路条件下的乘坐舒适性和操纵稳定性问题，本文提出了LQR、MPC、PSO-MPC三种不同的控制策略。通过对1/4车辆悬架进行建模，采用PSO算法搜集得到一组最佳的$Q_2^{\ast }$ 和$R_2^{\ast }$ 权重矩阵。然后通过仿真结果验证了PSO-MPC控制策略在不同路况下改善车辆乘坐舒适性和操纵稳定性的有效性。

所提出的PSO-MPC控制策略可以在多种路况下达到协调优化的效果，在舒适性和稳定性方面优于被动控制、传统MPC控制和LQR控制。在随机路面和凸块路面条件下，与被动悬架控制相比，PSO-MPC控制策略下的车身垂直加速度RMS值分别降低了49.99%和72.22%；悬架动行程的RMS值分别降低了24.23%和32.86%；轮胎动位移的RMS值分别下降了32.49%和69.53%。因此，所提出的PSO-MPC控制在两种不同路况下都表现良好，具有较强的适应性。这些结果验证了所提出的控制方法能够实现车辆乘坐舒适性和操纵稳定性的协调优化。

基金项目

国家自然科学基金(62363013, 72164016)。

NOTES

^*通讯作者。