欺骗攻击下的奇异摄动中立型半马尔可夫跳跃系统滑模控制

Sliding Mode Control for Singular Perturbed Neutral-Type Semi-Markov Jump Systems with Deceptive Attacks

摘要: 本文研究了遭受欺骗攻击与外部扰动的奇异摄动中立型半马尔可夫跳跃系统的异步滑模控制问题。首先，为减轻网络通信负担，设计了一种新型动态事件触发传输机制，降低了控制器与执行器之间的数据传输频率。其次，构建了一个与隐半马尔可夫切换模型相结合的积分型滑模面解决系统模态与控制器模态的异步问题。在设计滑模控制律时引入收敛因子，有效加快了系统状态的收敛速度，并显著抑制了控制信号的抖振。随后，利用参数依赖的Lyapunov方法，推导出了确保闭环滑模动态系统随机稳定且满足指定$H_{\infty }$ 性能指标的充分条件。最后，通过一个数值算例验证了本文所提出控制策略的有效性。

Abstract: This paper investigates the asynchronous sliding mode control problem for singularly perturbed neutral semi-Markov jump systems under deception attacks and external disturbances. First, a novel dynamic event-triggered transmission mechanism is proposed, to reduce the burden on network communication, with could effectively decrease the frequency of data transmission between the controller and the actuator. Second, an integral sliding surface incorporating the hidden semi-Markov switching model was constructed to address the asynchrony between system modes and controller modes. In the design of the sliding mode control law, a convergence factor is introduced, which significantly enhances the convergence rate of the system states and reduces chattering in the control signal. Subsequently, by employing a parameter-dependent Lyapunov functional approach, sufficient conditions are derived to guarantee the stochastic stability of the resulting closed-loop sliding mode dynamics while satisfying a prescribed $H_{\infty }$ performance criterion. Finally, a numerical example is provided to demonstrate the effectiveness and applicability of the proposed control strategy.

1. 引言

网络化控制系统(NCS)凭借其在资源共享、远程操作和高效率等方面的优势，已在多智能体协同控制、电力系统和车辆控制等领域得到广泛应用。然而，系统常面临如拒绝服务(DoS)攻击[1]和欺骗攻击(FDI)攻击[2]-[4]等恶意行为。其中欺骗攻击通过伪造并注入虚假数据以干扰系统运行，已成为最常见的安全威胁。为应对此类问题，研究者提出了多种控制策略[5]-[7]：文献[7]研究了不确定状态依赖系统的安全控制问题，并成功将其应用于电路系统。

奇异摄动系统适用于描述多时间尺度动态行为，其稳定性分析与控制设计因奇异摄动参数的存在而更具挑战。近年来，半马尔可夫过程因具备记忆特性而被引入，进一步拓展了奇异摄动系统的建模与分析框架[8]-[10]。滑模控制作为一种具有强鲁棒性的非线性控制策略，已在多种系统结构中得到有效应用。此外，为了缓解通信资源受限的问题，研究者提出了多种事件触发协议，如自适应事件触发、记忆事件触发[11]以及动态事件触发协议(DETP)等。其中，动态事件触发协议通过引入辅助偏移变量(AOV)，在保持系统性能的同时能够进一步降低数据传输频率[12]。因此，开发能根据系统状态动态调整阈值的事件触发机制，以实现通信效率与控制性能的平衡。

现有的研究大多未充分考虑时滞效应。而中立型系统作为一类特殊的时滞系统，在电力无损传输、船舶平衡和飞行器动力等领域具有广泛应用。此外，中立型半马尔可夫跳跃系统结合了半马尔可夫过程的切换特性与状态导数中的时滞，能够更精确地描述实际系统的动态行为，相关研究已取得一定进展[13]-[15]。然而，奇异摄动中立型半马尔可夫跳跃系统的研究仍属空白，因此深入探索该领域的动力学行为与控制设计具有重要的理论和实践意义。

本文研究了一类遭受欺骗攻击的奇异摄动中立型半马尔可夫跳跃系统的异步滑模控制问题，旨在设计一种能有效抑制抖振并保证快速收敛的滑模控制方法。主要贡献如下：(1) 提出了一种新型动态事件触发协议，通过引入两个动态辅助变量，能有效减少通信资源的同时提高了控制性能。(2) 设计了一种新颖的积分型滑模面，并将奇异摄动矩阵纳入设计，避免滑模动力学分析中的病态问题；(3) 基于隐藏半马尔可夫模型(HSMM)描述了模态异步行为，建立了奇异摄动中立型半马尔可夫跳跃系统的异步滑模控制策略，并利用参数依赖的Lyapunov理论，推导出保证滑模动力学随机稳定且满足$H_{\infty }$ 性能指标的充分条件。

2. 问题的阐述与初步说明

2.1. 符号说明

符号说明
${ℝ}^n$	$n$ 维欧式空间	$A^{-1}$	矩阵$A$ 的逆
$\mathrm{Pr}\{\cdot \}$	发生概率	${\rm E}\{\cdot \}$	数学期望算子
$A^{\text{T}}$	矩阵$A$ 的转置	$sign\{\cdot \}$	符号函数
$ℒ\{\cdot \}$	随机过程中的弱无穷小算子	$diag\left\{Z_1,Z_2,\cdots ,Z_n\right\}$	由$Z_1,Z_2,\cdots ,Z_n$ 构成的对角矩阵

2.2. 问题描述

考虑有界扰动的奇异摄动中立型半马尔可夫跳跃系统如下

$\{\begin{array}{l}E\left(\epsilon \right)\dot{x}\left(t\right)-C_{r\left(t\right)}x\left(t-\tau \left(t\right)\right)=A_{r\left(t\right)}x\left(t\right)+B_{r\left(t\right)}x\left(t-h\left(t\right)\right)+D_{r\left(t\right)}\widehat{u}\left(t\right)+F_{r\left(t\right)}w\left(t\right),\\ y\left(t\right)=L_{r\left(t\right)}x\left(t\right),\\ x\left(t_0+\theta \right)=\phi \left(\theta \right),\forall \theta \in \left[-{\rho }^{*},0\right].\end{array}$ (1)

其中$E\left(\epsilon \right)=diag\left\{I_{n_{x1}},\epsilon I_{n_{x2}}\right\}$ 为奇异摄动矩阵，$\epsilon >0$ 为奇异摄动参数，且$\epsilon \in \left(0,\overline{\epsilon }\right]$ ，$\overline{\epsilon }<1$ 。$n_x=n_{x1}+n_{x2}$ 为系统维数。$x\left(t\right)\in {ℝ}^{n_u}$ ，$y\left(t\right)\in {ℝ}^{n_y}$ 分别表示是系统状态向量、控制输出入和控制输出。$A_{r\left(t\right)}$ ，$B_{r\left(t\right)}$ ，$C_{r\left(t\right)}$ ，$D_{r\left(t\right)}$ ，$F_{r\left(t\right)}$ ，$L_{r\left(t\right)}$ 为适当维数的系统矩阵，$r\left(t\right)$ 为系统模态。$w\left(t\right)\in {ℝ}^w$ 为外部有界扰动，满足$\Vert w\left(t\right)\Vert <\nu$ ；$\tau \left(t\right)$ ，$h\left(t\right)$ 是中立型时滞和时变时滞，且满足

$0<\tau \left(t\right)<\tau ,0<\dot{\tau }\left(t\right)<{\tau }_d<1,$

$0<h\left(t\right)<\tau ,0<\dot{h}\left(t\right)<h_d<1,$

$\left\{r\left(t\right),t\ge 0\right\}$ 取自有限集$S=\left\{1,2,\cdots ,S\right\}$ 的齐次半马尔可夫过程，其模态转移概率为

$\mathrm{Pr}\left\{r\left(t+\Delta \right)=j|r\left(t\right)=i\right\}=\{\begin{array}{l}{\pi }_{ij}\left(\hslash \right)\Delta +o\left(\Delta \right),i\ne j,\\ 1+{\pi }_{ij}\left(\hslash \right)\Delta +o\left(\Delta \right),i=j.\end{array}$ (2)

其中$\hslash >0$ 表示系统(1)状态所在模态的驻留时间，$\Delta >0$ ，$\underset{\Delta \to 0}{\lim }\frac{o\left(\Delta \right)}{\Delta }=0$ 。当$i\ne j$ 时，${\pi }_{ij}\left(h\right)$ 表示从第$i$ 模态跳跃到第$j$ 模态的转移率，且${\pi }_{ii}=-{\displaystyle {\sum }_{j=1,j\ne i}^S{\pi }_{ij}\left(\hslash \right)}$ ，其转移率矩阵为

$\Pi \left(\hslash \right)={\left[{\pi }_{ij}\left(\hslash \right)\right]}_{S\times S}=\left[\begin{array}{cccc}{\pi }_{11}\left(\hslash \right)& {\pi }_{12}\left(\hslash \right)& \cdots & {\pi }_{1S}\left(\hslash \right)\\ {\pi }_{21}\left(\hslash \right)& {\pi }_{22}\left(\hslash \right)& \cdots & {\pi }_{2S}\left(\hslash \right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\pi }_{S1}\left(\hslash \right)& {\pi }_{S2}\left(\hslash \right)& \cdots & {\pi }_{SS}\left(\hslash \right)\end{array}\right].$

本文考虑网络系统受欺骗攻击影响的情况下滑模控制问题，随机发生的欺骗攻击相关的控制输入描述为

$\widehat{u}\left(t\right)=u\left(t\right)+\alpha \left(t\right){{\rm H}}_{r\left(t\right)}\left(t\right)\Psi \left(x\left(t\right),r\left(t\right),t\right),$ (3)

其中${{\rm H}}_{r\left(t\right)}\left(t\right)$ 是未知的攻击模式权重矩阵且满足$\Vert {{\rm H}}_{r\left(t\right)}\left(t\right)\Vert \le {\vartheta }_{r\left(t\right)}$ ，${\vartheta }_{r\left(t\right)}$ 是一个先验常数；$\Psi \left(x\left(t\right),r\left(t\right),t\right)$ 表示网络攻击所注入的非线性函数，满足$\Vert \Psi \left(x\left(t\right),r\left(t\right),t\right)\Vert \le {\psi }_{r\left(t\right)}\left(x\left(t\right),r\left(t\right),t\right)$ ，同样${\psi }_{r\left(t\right)}\left(x\left(t\right),r\left(t\right),t\right)$ 是一个先验函数。随机变量$\alpha \left(t\right)$ 服从伯努利分布序列，满足$\mathrm{Pr}\left\{\alpha \left(t\right)=1\right\}={\rm E}\left\{\alpha \left(t\right)\right\}={\alpha }^{*}$ ，$\mathrm{Pr}\left\{\alpha \left(t\right)=0\right\}=1-{\rm E}\left\{\alpha \left(t\right)\right\}=1-{\alpha }^{*}$ ，${\alpha }^{*}\in \left(0,1\right]$ 。其中${\alpha }^{*}=1$ 表示遭受网络攻击；${\alpha }^{*}=0$ 表示未遭受网络攻击。欺骗攻击下事件触发网络化控制系统如图1所示。

Figure 1. Block diagram of the networked neutral Semi-Markov jump system

图1. 网络化中立型半马尔科夫跳跃系统的结构框图

注1：如图1所示，在欺骗攻击的作用下网络化中立型半马尔科夫跳跃系统框架中，攻击者若持续注入虚假数据，容易被防御方检测并捕获其攻击规律与关键信息。因此，为了避免防御方检测机制发现，本文假设攻击者以随机概率的方式注入虚假数据，采用伯努利分布序列描述欺骗攻击的随机发生特性。此外，从攻击者能量消耗的角度考虑，持续无界攻击将消耗大量资源，故假设攻击信号${{\rm H}}_{r\left(t\right)}\left(t\right)$ 与$\Psi \left(x\left(t\right),r\left(t\right),t\right)$ 有界的。与其他攻击模式相比，本文所考虑的随机有界攻击模型更具一般性和代表性。

为了简化表示，当$r\left(t\right)=i$ 时，系统矩阵$A_{r\left(t\right)}$ 用$A_i$ 来表示，其他与模态相关的矩阵也类似。

2.3. 动态事件触发协议

为了尽量减少网络通信负担，本文在文献[12]的基础上提出如下的动态事件触发协议，在该触发准则中引入两个动态辅助变量$\eta \left(t\right)$ 和$\phi \left(t\right)$ ，分别用于调整触发时刻和触发阈值，其形式如下

$\{\begin{array}{l}{t}_{k+1}h=t_{k}h+\underset{l\in {\mathbb{N}}^{+}}{\min }\left\{lh|\lambda \wp \left(t,\phi \left(t\right)\right)\ge \eta \left(t\right)\right\},\\ \dot{\eta }\left(t\right)=-{\kappa }_1\eta \left(t\right)-{\kappa }_2\wp \left(t,\phi \left(t\right)\right),\\ \eta \left(0\right)={\eta }_0>0.\end{array}$ (4)

其中

$\{\begin{array}{l}\wp \left(t,\phi \left(t\right)\right)=e^{\text{T}}\left(t\right){\Omega }_{i}e\left(t\right)-{\delta }_i\phi \left(t\right)x^{\text{T}}\left(x\right){\Omega }_{i}x\left(t\right),\\ \phi \left(t\right)=c_0+\left(c_1-c_0\right){\lambda }_1\left(t\right),\\ {\lambda }_1\left(t\right)={\text{e}}^{-c_2{\Vert e\left(t\right)\Vert }_2}.\end{array}$

在该事件触发机制中，${\delta }_i$ 表示给定的触发阈值参数，$h$ 表示采样周期，$t_{k}h$ 表示最近一次的触发时刻，$lh$ 表示采样时刻。$e\left(t\right)=x\left(t_{k}h+lh\right)-x\left(t_{k}h\right)$ 表示最新采样时刻与上一次触发时刻的状态误差，${\Omega }_i$ 为正定的加权矩阵。参数$\lambda$ ，${\kappa }_1$ ，${\kappa }_2$ ，$c_0$ ，$c_1$ ，$c_2$ 为预先给定的正标量，其中$0\le c_0\le c_1<1$ 。本文考虑到信号在网络传输过程中会导致延迟，对时间区间进行如下划分：零阶保持器的有效区间为

${\cup }_{l=0}^z{I}_l=\left[t_{k}h-d_k,t_{k+1}h+d_{k+1}\right],$

$I_l=\left[t_{k}h+lh+d_{k+l},t_{k+1}h+lh+d_{k+l+1}\right],\left(l=0,1,\cdots ,z,z=t_{k+1}-t_k-1\right),$

对任意的$t\in I_l$ ，定义网络延迟函数$d\left(t\right)=t-t_{k}h-lh$ ，且满足$0\le d\left(t\right)\le d_1$ ，其中$d_1$ 网络延迟上界，此时有$x\left(t_{k}h\right)=x\left(t-d\left(t\right)\right)-e\left(t\right)$ 。

2.4. 基于协议的滑模控制

基于上述提出的事件触发机制，本文设计如下的积分型滑模面如下

$\begin{array}{c}S\left(t\right)=G_{i}E\left(\epsilon \right)x\left(t\right)-G_i{\displaystyle {\int }_0^t\left(A_{i}x\left(s\right)+B_{i}x\left(s-h\left(s\right)\right)+C_{i}x\left(s-\tau \left(s\right)\right)\right)\text{d}s}\\ -G_i{\displaystyle {\int }_0^t{D}_i{K}_w\left[x\left(s-d\left(s\right)\right)-e\left(s\right)\right]\text{d}s}.\end{array}$ (5)

其中$G_i$ 的选取是为了确保$G_i{D}_i$ 非奇异，$K_w$ 为控制器增益矩阵。为了描述系统模态$r\left(t\right)$ 与控制器模态$\varpi \left(t\right)$ 之间的异步现象，引入一个非齐次隐半马尔可夫模型，其模态检测序列$\left\{\varpi \left(t\right),t\ge 0\right\}$ 的值是取自有限集$\varpi \left(t\right)\in W=\left\{1,2,\cdots ,W\right\}$ 且服从半马尔可夫过程，假设发散概率矩阵为$\Theta ={\left[{\rho }_{iw}\right]}_{S\times W}$ 且

$\mathrm{Pr}\left\{\varpi \left(t\right)=w|r\left(t\right)=i\right\}={\rho }_{iw},$ (6)

其中${\rho }_{iw}\in \left[0,1\right]$ ，对任意模态$i$ 满足${\displaystyle {\sum }_{w=1}^W{\rho }_{iw}=1}$ 。通过利用序列$\left\{\varpi \left(t\right),t\ge 0\right\}$ 来估计真实的系统模态$\left\{r\left(t\right),t\ge 0\right\}$ 。对(5)式求导可得

$\dot{S}\left(t\right)=G_i{D}_i\left[u\left(t\right)+\alpha \left(t\right){{\rm H}}_i\left(t\right)\Psi \left(x\left(t\right),t,i\right)\right]+G_i{F}_{i}w\left(t\right)-G_i{D}_i{K}_w\left[x\left(t-d\left(t\right)\right)-e\left(t\right)\right],$ (7)

当系统达到滑模面(5)时，根据$S\left(t\right)=0$ 和$\dot{S}\left(t\right)=0$ ，可以计算得等效控制律为

$u_{eq}\left(t\right)=K_w\left[x\left(t-d\left(t\right)\right)-e\left(t\right)\right]-\alpha \left(t\right){{\rm H}}_i\left(t\right)\Psi \left(x\left(t\right),t,i\right)-{\left(G_i{D}_i\right)}^{-1}{G}_i{F}_{i}w\left(t\right),$ (8)

根据(1)、(3)和(8)式，系统(1)的等效闭环控制系统如下

$\{\begin{array}{l}E\left(\epsilon \right)x\left(t\right)-C_{i}x\left(t-\tau \left(t\right)\right)=A_{i}x\left(t\right)+B_{i}x\left(t-h\left(t\right)\right)+D_i{K}_w\left[x\left(t-d\left(t\right)\right)-e\left(t\right)\right]+{\overline{F}}_{i}w\left(t\right),\\ y\left(t\right)=L_{i}x\left(t\right).\end{array}$ (9)

其中${\overline{F}}_i=\left(I-D_i{\left(G_i{D}_i\right)}^{-1}{G}_i\right)F_i$ 。

定义1 [10]当扰动$w\left(t\right)=0$ 时，在初始条件$\left(x\left(t_0\right),r\left(t_0\right)\right)$ 下，如果有下面的式子成立

${\rm E}\left\{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\Vert x\left(t\right)\Vert }^2\text{d}t}\right\}<\infty ,$

则称系统(9)是随机稳定的。

定义2 [10]如果系统(9)是随机稳定的，且对任意$w\left(t\right)\in L_2\left[0,\infty \right]$ 和零初始条件下，有下面式子成立

${\rm E}\left\{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\Vert x\left(t\right)\Vert }^2\text{d}t}\right\}<{\gamma }^2{\rm E}\left\{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\Vert w\left(t\right)\Vert }^2\text{d}t}\right\},$

则称系统(9)是随机稳定的，且满足$H_{\infty }$ 性能指标。

引理1 [14] (schur引理)对于给定的对称矩阵$\Sigma =\left[\begin{array}{cc}{\Sigma }_{11}& {\Sigma }_{12}\\ {\Sigma }_{12}^T& {\Sigma }_{22}\end{array}\right]$ ，以下三个条件是等价的

(1) $\Sigma <0$ ,

(2) ${\Sigma }_{11}<0,{\Sigma }_{22}-{\Sigma }_{12}^{\text{T}}{\Sigma }_{11}^{-1}{\Sigma }_{12}<0$ ,

(3) ${\Sigma }_{22}<0,{\Sigma }_{11}-{\Sigma }_{12}{\Sigma }_{22}^{-1}{\Sigma }_{12}^{\text{T}}<0$ ,

引理2 [16]如果存在对称矩阵$P_i,i=1,2,3,4$ 和任意适当维数的矩阵$P_5$ ，满足(1) $P_1>0$ ；(2) $\left[\begin{array}{cc}{P}_1+\overline{\epsilon }{P}_3& \overline{\epsilon }{P}_5^{\text{T}}\\ \overline{\epsilon }{P}_5& \overline{\epsilon }{P}_2\end{array}\right]>0$；(3) $\left[\begin{array}{cc}{P}_1+\overline{\epsilon }{P}_3& \overline{\epsilon }{P}_5^{\text{T}}\\ \overline{\epsilon }{P}_5& \overline{\epsilon }{P}_2+{\overline{\epsilon }}^2{P}_4\end{array}\right]>0$；那么对$\forall \epsilon \in \left(0,\overline{\epsilon }\right]$ ，有$E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)P\left(\epsilon \right)=P^{\text{T}}\left(\epsilon \right)E\left(\epsilon \right)$ 成立。其中$P\left(\epsilon \right)=\left[\begin{array}{cc}{P}_1+\epsilon P_3& \epsilon P_5^{\text{T}}\\ P_5& \epsilon P_4\end{array}\right]$ ，$E\left(\epsilon \right)=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& \epsilon I\end{array}\right]$ 。

引理3 [16]对于给定的$\overline{\epsilon }>0$ 和对称矩阵$U_1$ ，$U_2$ ，$U_3$ 。如果有(1) $U_1\ge 0$ ；(2) $U_1+\overline{\epsilon }{U}_2>0$ ；(3) $U_1+\overline{\epsilon }{U}_2+{\overline{\epsilon }}^2{U}_3>0$ 成立，那么对$\forall \epsilon \in \left(0,\overline{\epsilon }\right]$ ，有$U_1+\epsilon U_2+{\epsilon }^2{U}_3>0$ 。

引理4 [8]对于任意矩阵$R\in {ℝ}^{n_x\times n_x}$ ，$d\left(t\right)\in \left[0,d_1\right]$ ，$d_1>0$ ，向量函数$\dot{x}\left(t\right):\left[0,d_1\right]\to {ℝ}^{n_x}$ ，有下式成立

$-d_1{\displaystyle {\int }_{t-d_1}^t\dot{x}\left(s\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)RE\left(\epsilon \right)x\left(s\right)\text{d}s}\le {\Re }^{\text{T}}\left(t\right)\Gamma \Re \left(t\right),$

其中${\Re }^{\text{T}}=\left[\begin{array}{ccc}x\left(t\right)& x\left(t-d\left(t\right)\right)& x\left(t-d_1\right)\end{array}\right]$ ，$\Gamma =\left[\begin{array}{ccccccccc}-\tilde{R}& \tilde{R}& 0;& \tilde{R}& -2\tilde{R}& \tilde{R};& 0& \tilde{R}& -\tilde{R}\end{array}\right]$ ，且$\tilde{R}=E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)RE\left(\epsilon \right)$。

3. 主要结果

下面通过Lyapunov方法并结合自由权矩阵及一些矩阵不等式技巧，获得以线性矩阵不等式表示的滑模动态系统(9)是随机稳定且满足$H_{\infty }$ 性能指标的充分条件。

3.1. 稳定性分析

定理1：对于给定标量$d_1>0$ ，${\kappa }_1$ ，${\kappa }_2$ ，$c_1$ ，${\delta }_i\in \left(0,1\right)$ 和$\gamma >0$ ，如果存在对称矩阵$P_{1,i}$ ，$P_{2,i}$ ，$P_{3,i}$ ，$P_{4,i}$ 和适当维数的矩阵$P_{5,i}$ ，正定矩阵$Q_1$ ，$Q_2$ ，$W$ ，$R$ 和适当维数的矩阵$Z$ 使得对$\forall i\in S,w\in W$ ；有下面不等式成立

$P_{1,i}\ge 0,$ (10)

${\Im }_{1,i}+\overline{\epsilon }{\Im }_{2,i}>0,$(11)

${\Im }_{1,i}+\overline{\epsilon }{\Im }_{2,i}+{\overline{\epsilon }}^2{\Im }_{3,1}>0,$(12)

${\Phi }_{iw}=\left[\begin{array}{ccc}{\Phi }_{iw}^{11}& {\Phi }_{iw}^{12}& {\Phi }_{iw}^{13}\\ *& -{\gamma }^{2}I& 0\\ *& *& -I\end{array}\right]<0,$ (13)

其中

${\Phi }_{iw}^{11}=\left[\begin{array}{ccccccc}{\Xi }_{iw}^{11}& {\Xi }_{iw}^{12}& 0& {\Xi }_{iw}^{14}& {\Xi }_{iw}^{15}& {\Xi }_{iw}^{16}& {\Xi }_{iw}^{17}\\ *& {\Xi }_{iw}^{22}& {\Xi }_{iw}^{23}& 0& 0& {\Xi }_{iw}^{26}& {\Xi }_{iw}^{27}\\ *& *& {\Xi }_{iw}^{33}& 0& 0& 0& 0\\ *& *& *& {\Xi }_{iw}^{44}& 0& {\Xi }_{iw}^{46}& 0\\ *& *& *& *& {\Xi }_{iw}^{55}& {\Xi }_{iw}^{56}& 0\\ *& *& *& *& *& {\Xi }_{iw}^{66}& {\Xi }_{iw}^{67}\\ *& *& *& *& *& *& {\Xi }_{iw}^{77}\end{array}\right]$ , ${\Phi }_{iw}^{12}=\left[\begin{array}{c}{Z}^{\text{T}}{\overline{F}}_i\\ 0_{4\times 1}\\ l{Z}^{\text{T}}\overline{F}\\ 0\end{array}\right]$, ${\Phi }_{iw}^{13}=\left[\begin{array}{c}{L}_i\\ 0_{6\times 1}\end{array}\right]$ , ${\Xi }_{iw}^{11}={\displaystyle {\sum }_{j=1}^S{\overline{\pi }}_{ij}{E}^{\text{T}}\left(\epsilon \right)P_{\epsilon ,j}+Q_1+Q_2-\tilde{R}+He\left\{Z^{\text{T}}A\right\}}$, ${\Xi }_{iw}^{12}=\tilde{R}+{\displaystyle {\sum }_{w=1}^W{\rho }_{iw}{Z}^{\text{T}}{D}_i{K}_w}$, ${\Xi }_{iw}^{14}=Z^{\text{T}}{B}_i$ , ${\Xi }_{iw}^{15}=Z^{\text{T}}{C}_i$ , ${\Xi }_{iw}^{16}=P_{\epsilon ,i}-Z^{\text{T}}+l{A}_i^{\text{T}}Z$ , ${\Xi }_{iw}^{17}=-{\displaystyle {\sum }_{iw}^W{\rho }_{iw}{Z}^{\text{T}}{D}_i{K}_w}$ , ${\Xi }_{iw}^{22}=-2\tilde{R}+\Theta {\delta }_i{c}_1{\Omega }_i$ , ${\Xi }_{iw}^{23}=\tilde{R}$ , ${\Xi }_{iw}^{26}=l{\displaystyle {\sum }_{w=1}^W{\rho }_{iw}{K}_w^{\text{T}}}{D}_i^{\text{T}}Z$ , ${\Xi }_{iw}^{27}=-\Theta {\delta }_i{c}_1{\Omega }_i$ , ${\Xi }_{iw}^{33}=-\tilde{R}-Q_1$ , ${\Xi }_{iw}^{44}=-\left(1-h_d\right)Q_2$ , ${\Xi }_{iw}^{46}=l{B}_i^{\text{T}}Z$ , ${\Xi }_{iw}^{55}=-\left(1-{\tau }_d\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)WE\left(\epsilon \right)$ , ${\Xi }_{iw}^{56}=l{C}_i^{\text{T}}Z$ , ${\Xi }_{iw}^{66}=W+d_1^{2}R-He\left\{lZ\right\}$ , ${\Xi }_{iw}^{67}=-l{\displaystyle {\sum }_{w=1}^W{\rho }_{iw}{Z}^{\text{T}}{D}_i{K}_w}$ , ${\Xi }_{iw}^{77}=-\Theta \left(1-{\delta }_i{c}_1\right){\Omega }_i$ , $P_{\epsilon ,i}=\left[\begin{array}{cc}{P}_{1,i}+\epsilon P_{3,i}& \epsilon P_{5,i}^{\text{T}}\\ P_{5,i}& P_{2,i}+\epsilon P_{4,i}\end{array}\right]$ , ${\Im }_{1,i}=\left[\begin{array}{cc}{P}_{1,i}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ , ${\Im }_{2,i}=\left[\begin{array}{cc}{P}_{3,i}& P_{5,i}^{\text{T}}\\ P_{5,i}& P_{2,i}\end{array}\right]$ , ${\Im }_{3,i}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& P_{4,i}\end{array}\right]$ , ${\Im }_{4,i}=\left[\begin{array}{cc}{P}_{1,i}& 0\\ P_{5,i}& P_{2,i}\end{array}\right]$ , ${\Im }_{5,i}=\left[\begin{array}{cc}{P}_{3,i}& P_{5,i}^{\text{T}}\\ 0& P_{4,i}\end{array}\right]$ , ${\overline{\pi }}_{ij}={\rm E}\left\{{\pi }_{ij}\left(\hslash \right)\right\}={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\pi }_{ij}\left(\hslash \right)f_i\left(\hslash \right)\text{d}\hslash }$, $\Theta ={\kappa }_1\lambda +{\kappa }_2$ , $\tilde{R}=E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)RE\left(\epsilon \right)$.

那么对$\forall \epsilon \in \left(0,\overline{\epsilon }\right]$ ，滑模动态系统(9)是随机稳定的且满足$H_{\infty }$ 性能指标。

证明：首先根据引理3和条件(10)~(12)可得

$E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)P_{\epsilon ,i}=P_{\epsilon ,i}^{\text{T}}E\left(\epsilon \right),\forall \epsilon \in \left(0,\overline{\epsilon }\right].$(14)

选取如下函数作为Lyapunov函数

$V\left(x\left(t\right),t,i\right)={\displaystyle {\sum }_{k=1}^{4}V}\left(x\left(t\right),t,i\right),$ (15)

其中

$V_1\left(x\left(t\right),t,i\right)=x^{\text{T}}\left(t\right)E\left(\epsilon \right)P_{\epsilon ,i}x\left(\epsilon \right),$

$V_2\left(x\left(t\right),t,i\right)={\displaystyle {\int }_{t-d_1}^t{x}^{\text{T}}\left(s\right)Q_{1}x\left(s\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_{t-h\left(t\right)}^t{x}^{\text{T}}\left(s\right)Q_{2}x\left(s\right)\text{d}s},$

$\begin{array}{l}{V}_3\left(x\left(t\right),t,i\right)={\displaystyle {\int }_{t-\tau \left(t\right)}^t{\dot{x}}^{\text{T}}\left(s\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)WE\left(\epsilon \right)\dot{x}\left(s\right)\text{d}s}\\ +{\displaystyle {\int }_{-d_1}^t{\displaystyle {\int }_{t+\theta }^t{\dot{x}}^{\text{T}}\left(s\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)RE\left(\epsilon \right)\dot{x}\left(s\right)\text{d}\theta \text{d}s,}}\end{array}$

$V_4\left(x\left(t\right),t,i\right)=\eta \left(t\right).$

根据文献[16]弱无穷小算子$ℒ$ 的定义

$ℒV\left(x\left(t\right),t,i\right)=\underset{\Delta \to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta }{\rm E}\left\{V\left(t+\Delta \right),t+\Delta ,r\left(t+\Delta \right)=j|x\left(t\right),r\left(t\right)=i\right\}-V\left(x\left(t\right),t,i\right),$

则沿着闭环系统(9)的轨迹计算$ℒV\left(x\left(t\right),t,i\right)$ 可得

$\begin{array}{c}ℒV_1\left(x\left(t\right),t,i\right)=\underset{\Delta \to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\Delta }[{\rm E}\{{\displaystyle {\sum }_{j\ne i}\mathrm{Pr}\left\{T_{k+1}\le \hslash +\Delta ,R_{k+1}=j|T_k>\hslash ,R_k=i\right\}}\\ \times x^{\text{T}}\left(t+\Delta \right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)P_{\epsilon ,j}x\left(t+\Delta \right)+\mathrm{Pr}\left\{T_{k+1}>\hslash +\Delta |T_k>\hslash ,R_k=i\right\}\\ -{\dot{x}}^{\text{T}}\left(t\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)P_{\epsilon ,j}x\left(t\right)\}]\\ ={\rm E}\left\{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^S{\pi }_{ij}\left(\hslash \right)x^{\text{T}}\left(t\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)P_{\epsilon ,j}x\left(t\right)}+He\left\{{\dot{x}}^{\text{T}}\left(t\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)P_{\epsilon ,i}x\left(t\right)\right\}\right\}\\ ={\displaystyle {\sum }_{j=1}^S{\overline{\pi }}_{ij}{x}^{\text{T}}\left(t\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)P_{\epsilon ,j}x\left(t\right)}+He\left\{{\dot{x}}^{\text{T}}\left(t\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)P_{\epsilon ,i}x\left(t\right)\right\},\end{array}$(16)

$\begin{array}{c}ℒV_2\left(x\left(t\right),t,i\right)\le x^{\text{T}}\left(t\right)\left(Q_1+Q_2\right)x\left(t\right)-x^{\text{T}}\left(t-d_1\right)Q_{1}x\left(t-d_1\right)\\ -\left(1-h_d\right)x^{\text{T}}\left(t-h\left(t\right)\right)Q_{2}x\left(t-h\left(t\right)\right),\end{array}$ (17)

$\begin{array}{c}ℒV_3\left(x\left(t\right),t,i\right)\le {\dot{x}}^{\text{T}}\left(t\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)WE\left(\epsilon \right)\dot{x}\left(t\right)-\left(1-{\tau }_d\right){\dot{x}}^{\text{T}}\left(t-\tau \left(t\right)\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)WE\left(\epsilon \right)\dot{x}\left(t-\tau \left(t\right)\right)\\ +d_1^2{\dot{x}}^{\text{T}}\left(t\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)RE\left(\epsilon \right)\dot{x}\left(t\right)-d_1{\displaystyle {\int }_{t-d_1}^t{\dot{x}}^{\text{T}}\left(s\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)RE\left(\epsilon \right)\dot{x}\left(s\right)\text{d}s},\end{array}$(18)

根据引理4有

$-d_1{\displaystyle {\int }_{t-d_1}^t\dot{x}\left(s\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)RE\left(\epsilon \right)x\left(s\right)\text{d}s}\le {\Re }^{\text{T}}\left(t\right)\Gamma \Re \left(t\right),$

其中${\Re }^{\text{T}}=\left[\begin{array}{ccc}x\left(t\right)& x\left(t-d\left(t\right)\right)& x\left(t-d_1\right)\end{array}\right]$ ，$\Gamma =\left[\begin{array}{ccccccccc}-\tilde{R}& \tilde{R}& 0;& \tilde{R}& -2\tilde{R}& \tilde{R};& 0& \tilde{R}& -\tilde{R}\end{array}\right]$ ，且$\tilde{R}=E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)RE\left(\epsilon \right)$。

根据$\phi \left(t\right)$ 的定义，对$\forall t\in \left[0,\infty \right)$ ，可得到$c_0\le \phi \left(t\right)\le c_1$ ，故由动态事件触发(4)可得

$\eta \left(t\right)-\lambda \wp \left(t,c_1\right)>\eta \left(t\right)-\lambda \wp \left(t,\phi \left(t\right)\right)>0,$ (19)

因此得到

$\begin{array}{c}ℒV_4\left(x\left(t\right),t,i\right)=-{\kappa }_1\eta \left(t\right)-{\kappa }_2\wp \left(t,\phi \left(t\right)\right)<-{\kappa }_1\wp \left(t,c_1\right)-{\kappa }_2\wp \left(t,\phi \left(t\right)\right)\\ \le -\left({\kappa }_1\lambda +{\kappa }_2\right)\wp \left(t,c_1\right)\\ =-\left({\kappa }_1\lambda +{\kappa }_2\right)e^{\text{T}}\left(t\right){\Omega }_{i}e\left(t\right)+\left({\kappa }_1\lambda +{\kappa }_2\right){\delta }_i{c}_1{\left[x\left(t-d\left(t\right)\right)-e\left(t\right)\right]}^{\text{T}}{\Omega }_i\\ \times \left[x\left(t-d\left(t\right)\right)-e\left(t\right)\right],\end{array}$ (20)

根据自由权矩阵方法，对任意适当维数的矩阵$Z$ ，由(9)可得

$\begin{array}{l}0={\displaystyle {\sum }_{w=1}^W{\rho }_{iw}\left[x^{\text{T}}\left(t\right)Z^{\text{T}}+l{\dot{x}}^{\text{T}}\left(t\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)Z^{\text{T}}\right]}\times [-E\left(\epsilon \right)\dot{x}\left(t\right)+A_{i}x\left(t\right)\\ +B_{i}x\left(t-h\left(t\right)\right)+C_i\dot{x}\left(t-\tau \left(t\right)\right)+D_i{K}_w\left(x\left(t-d\left(t\right)\right)-e\left(t\right)\right)+{\overline{F}}_{i}w\left(t\right)],\end{array}$(21)

从(15)~(20)可得到

$ℒV\left(x\left(t\right),t,i\right)\le {\zeta }^{\text{T}}\left(t\right)\overline{\Phi }\zeta \left(t\right),$(22)

其中${\zeta }^{\text{T}}\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}{\xi }^{\text{T}}\left(t\right)& w^{\text{T}}\left(t\right)\end{array}\right]$ ,${\xi }^{\text{T}}\left(t\right)=\left[\begin{array}{ccccc}{\Re }^{\text{T}}\left(t\right)& x^{\text{T}}\left(t-h\left(t\right)\right)& {\dot{x}}^{\text{T}}\left(t-\tau \left(t\right)\right)& {\dot{x}}^{\text{T}}\left(t\right)E^{\text{T}}\left(\epsilon \right)& e^{\text{T}}\left(t\right)\end{array}\right]$，且 ${\overline{\Phi }}_{iw}=\left[\begin{array}{cc}{\Phi }_{iw}^{11}& {\Phi }_{iw}^{12}\\ *& 0\end{array}\right]$ 。根据定义1，当$w\left(t\right)=0$ 时，由(13)时得

$ℒV\left(x\left(t\right),t,i\right)\le {\xi }^{\text{T}}\left(t\right){\Phi }_{iw}^{11}\xi \left(t\right),$ (23)

定义$d={\lambda }_{\min }\left({\Phi }_{iw}^{11}\right)$ 为${\Phi }_{iw}^{11}$ 的最小特征值，根据(23)式可以计算得到

$\begin{array}{c}{\rm E}\left\{ℒV\left(x\left(t\right),t,i\right)\right\}\le -{\rm E}\left\{{\lambda }_{\min }\left(-{\Phi }_{iw}^{11}\right){\xi }^{\text{T}}\left(t\right)\xi \left(t\right)\right\}\\ \le -{\lambda }_{\min }\left(-{\Phi }_{iw}^{11}\right){\rm E}\left\{{\Vert \xi \left(t\right)\Vert }_C^2\right\}\\ \le d{\Vert \xi \left(t\right)\Vert }_C^2,\end{array}$ (24)

由于向量${\xi }^{\text{T}}\left(t\right)$ 包含了状态向量$x\left(t\right)$ ，因此${\Vert x\left(t\right)\Vert }_C^2\le {\Vert \xi \left(t\right)\Vert }_C^2$ ，故有

${\rm E}\left\{ℒV\left(x\left(t\right),t,i\right)\right\}\le d{\Vert x\left(t\right)\Vert }_C^2,$ (25)

将(25)式对时间$t$ 从$\left(0,T\right)$ 积分得到

${\rm E}\left\{V\left(x\left(t\right),T,i\right)\right\}-{\rm E}\left\{V\left(x\left(0\right),t_0,i_0\right)\right\}\le d{\rm E}\left\{{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert x\left(t\right)\Vert }_C^2\text{d}t}\right\},$ (26)

当$T\to \infty$ 时，有

${\rm E}\left\{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\Vert x\left(t\right)\Vert }_C^2\text{d}t}\right\}\le \frac{1}{d}{\rm E}\left\{V\left(x\left(0\right),t_0,i_0\right)\right\}<\infty ,$ (27)

根据定义1，得闭环系统(9)是随机稳定的。当$w\left(t\right)\ne 0$ 时，考虑$H_{\infty }$ 性能根据不等式(23)，可以得到

$ℒV\left(x\left(t\right),t,i\right)+{\Vert y\left(t\right)\Vert }^2-{\gamma }^2{\Vert w\left(t\right)\Vert }^2\le {\zeta }_1^{\text{T}}\left(t\right){\widehat{\Phi }}_{iw}{\zeta }_1\left(t\right),$(28)

其中${\widehat{\Phi }}_{iw}=\left[\begin{array}{cc}{\Phi }_{iw}^{11}+{\Phi }_{iw}^{13}{\left({\Phi }_{iw}^{13}\right)}^{\text{T}}& {\Phi }_{iw}^{12}\\ *& -{\gamma }^{2}I\end{array}\right]$，${\Phi }_{iw}^{11}=\left[\begin{array}{c}{L}_i\\ 0_{6\times 1}\end{array}\right]$ ，根据定义1中的不等式(13)${\Phi }_{iw}<0$ ，利用引理1schur的性质可得${\widehat{\Phi }}_{iw}<0$ ，因此有

$ℒV\left(x\left(t\right),t,i\right)+{\Vert y\left(t\right)\Vert }^2-{\gamma }^2{\Vert w\left(t\right)\Vert }^2\le 0,$ (29)

将上式对时间$t$ 从$\left(0,\infty \right)$ 积分后取数学期望可得

${\rm E}\left\{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left({\Vert y\left(t\right)\Vert }^2-{\gamma }^2{\Vert w\left(t\right)\Vert }^2\right)\text{d}t}\right\}\le 0,$ (30)

即

${\rm E}\left\{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\Vert y\left(t\right)\Vert }^2\text{d}t}\right\}-{\gamma }^2{\rm E}\left\{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\Vert w\left(t\right)\Vert }^2\text{d}t}\right\}$ (31)

根据定义2，闭环系统(9)是随机稳定且满足$H_{\infty }$ 性能指标$\gamma$ 。证毕。

3.2. 滑模控制器设计

基于定理3.1，控制器增益由下面定理3.2给出。

定理3.2：对于给定的标量$d_1>0$ ，${\delta }_i\in \left(0,1\right)$ ，参数${\kappa }_1>0$ ，${\kappa }_2>0$ ，$c_1>0$ ，$l>0$ 和$\gamma >0$ ，如果存在对称矩阵${\tilde{P}}_{1,i}$ ，${\tilde{P}}_{2,i}$ ，${\tilde{P}}_{3,i}$ ，${\tilde{P}}_{4,i}$ 和适当维数的矩阵${\tilde{P}}_{5,i}$ ，正定矩阵${\tilde{Q}}_1$ ，${\tilde{Q}}_2$ ，$\tilde{W}$ ，$\tilde{R}$ 和适当维数的矩阵$\tilde{Z}$ 使得对$\forall i\in S,w\in W$ ；有下面不等式成立

${\tilde{P}}_{1,i}\ge 0,$ (32)

${\tilde{\Im }}_{1,i}+\overline{\epsilon }{\tilde{\Im }}_{2,i}>0,$(33)

${\tilde{\Im }}_{1,i}+\overline{\epsilon }{\tilde{\Im }}_{2,i}+{\overline{\epsilon }}^2{\tilde{\Im }}_{3,1}>0,$(34)

${\tilde{\Phi }}_{iw}^1<0,$ (35)

${\tilde{\Phi }}_{iw}^1+\overline{\epsilon }{\tilde{\Phi }}_{iw}^2<0,$(36)

${\tilde{\Phi }}_{iw}^1+\overline{\epsilon }{\tilde{\Phi }}_{iw}^2+{\overline{\epsilon }}^2{\tilde{\Phi }}_{iw}^3<0,$(37)

其中

${\tilde{\Phi }}_{iw}^1=\left[\begin{array}{ccc}{\tilde{\Phi }}_{iw,1}^{11}& {\tilde{\Phi }}_{iw,1}^{12}& {\tilde{\Phi }}_{iw,1}^{13}\\ *& -{\gamma }^{2}I& 0\\ *& *& -I\end{array}\right]$ , ${\tilde{\Phi }}_{iw}^2=\left[\begin{array}{ccc}{\tilde{\Phi }}_{iw,2}^{11}& 0& 0\\ *& 0& 0\\ *& *& 0\end{array}\right]$ , ${\tilde{\Phi }}_{iw}^3=\left[\begin{array}{ccc}{\tilde{\Phi }}_{iw,3}^{11}& 0& 0\\ *& 0& 0\\ *& *& 0\end{array}\right]$ , ${\tilde{\Phi }}_{iw,1}^{11}=\left[\begin{array}{ccccccc}{\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{11}& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{12}& 0& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{14}& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{15}& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{16}& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{17}\\ *& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{22}& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{23}& 0& 0& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{26}& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{27}\\ *& *& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{33}& 0& 0& 0& 0\\ *& *& *& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{44}& 0& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{46}& 0\\ *& *& *& *& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{55}& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{56}& 0\\ *& *& *& *& *& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{66}& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{67}\\ *& *& *& *& *& *& {\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{77}\end{array}\right]$ , ${\tilde{\Phi }}_{iw,1}^{12}=\left[\begin{array}{c}{\overline{F}}_i\\ 0_{4\times 1}\\ l\overline{F}\\ 0\end{array}\right]$ , ${\tilde{\Phi }}_{iw,1}^{13}=\left[\begin{array}{c}{L}_i\\ 0_{6\times 1}\end{array}\right]$ , ${\tilde{\Phi }}_{iw,2}^{11}=\left[\begin{array}{ccccccc}{\tilde{\Xi }}_{iw,2}^{11}& 0& 0& 0& 0& {\tilde{\Xi }}_{iw,2}^{16}& 0\\ *& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ *& *& 0& 0& 0& 0& 0\\ *& *& *& 0& 0& 0& 0\\ *& *& *& *& 0& 0& 0\\ *& *& *& *& *& 0& 0\\ *& *& *& *& *& *& 0\end{array}\right]$ , ${\tilde{\Phi }}_{iw,3}^{11}=\left[\begin{array}{ccccccc}{\tilde{\Xi }}_{iw,3}^{11}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ *& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ *& *& 0& 0& 0& 0& 0\\ *& *& *& 0& 0& 0& 0\\ *& *& *& *& 0& 0& 0\\ *& *& *& *& *& 0& 0\\ *& *& *& *& *& *& 0\end{array}\right]$

${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{11}={\displaystyle {\sum }_{j=1}^S{\overline{\pi }}_{ij}{\tilde{\Im }}_{1,j}+{\tilde{Q}}_1+{\tilde{Q}}_2}-\widehat{R}+He\left\{A_i\tilde{Z}\right\}$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,2}^{11}={\displaystyle {\sum }_{j=1}^S{\overline{\pi }}_{ij}{\tilde{\Im }}_{2,j}}$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,3}^{11}={\displaystyle {\sum }_{j=1}^S{\overline{\pi }}_{ij}{\tilde{\Im }}_{3,j}}$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{12}=\widehat{R}+{\displaystyle {\sum }_{w=1}^W{\rho }_{iw}{D}_i{\tilde{K}}_w}$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{14}=B_i\tilde{Z}$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{15}=C_i\tilde{Z}$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{16}={\tilde{\Im }}_{4,i}-{\tilde{Z}}^{\text{T}}+l{\tilde{Z}}^{\text{T}}{A}_i^{\text{T}}$, ${\tilde{\Xi }}_{iw,2}^{16}={\tilde{\Im }}_{5,i}$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{17}=-{\displaystyle {\sum }_{w=1}^W{\rho }_{iw}{D}_i{\tilde{K}}_w}$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{22}=-2\widehat{R}+\Theta {\delta }_i{c}_1{\tilde{\Omega }}_i$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{23}=\widehat{R}$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{26}=l{\displaystyle {\sum }_{w=1}^W{\rho }_{iw}{\tilde{K}}_w^{\text{T}}{D}_i^{\text{T}}}$, ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{27}=-\Theta {\delta }_i{c}_1{\tilde{\Omega }}_i$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{33}=-\widehat{R}-{\tilde{Q}}_1$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{44}=-\left(1-h_d\right){\tilde{Q}}_2$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{46}=l{\tilde{Z}}^{\text{T}}{B}_i^{\text{T}}$, ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{55}=-\left(1-{\tau }_d\right)\widehat{W}$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{56}=l{\tilde{Z}}^{\text{T}}{C}_i^{\text{T}}$, ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{66}=\tilde{W}+d_1^2\overline{R}-He\left\{l\tilde{Z}\right\}$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{67}=-l{\displaystyle {\sum }_{w=1}^W{\rho }_{iw}{D}_i{\tilde{K}}_w}$ , ${\tilde{\Xi }}_{iw,1}^{77}=-\Theta \left(1-{\delta }_i{c}_1\right){\tilde{\Omega }}_i$ , ${\tilde{P}}_{\epsilon ,i}=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{P}}_{1,i}+\epsilon {\tilde{P}}_{3,i}& \epsilon {\tilde{P}}_{5,i}^{\text{T}}\\ {\tilde{P}}_{5,i}& {\tilde{P}}_{2,i}+\epsilon {\tilde{P}}_{4,i}\end{array}\right]$, ${\tilde{\Im }}_{1,i}=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{P}}_{1,i}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ , ${\tilde{\Im }}_{2,i}=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{P}}_{3,i}& P_{5,i}^{\text{T}}\\ {\tilde{P}}_{5,i}& {\tilde{P}}_{2,i}\end{array}\right]$, ${\tilde{\Im }}_{3,i}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& {\tilde{P}}_{4,i}\end{array}\right]$ , ${\tilde{\Im }}_{4,i}=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{P}}_{1,i}& 0\\ {\tilde{P}}_{5,i}& {\tilde{P}}_{2,i}\end{array}\right]$ , ${\Im }_{5,i}=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{P}}_{3,i}& {\tilde{P}}_{5,i}^{\text{T}}\\ 0& {\tilde{P}}_{4,i}\end{array}\right]$, $\widehat{W}={\tilde{Z}}^{\text{T}}{E}^{\text{T}}\left(\epsilon \right)WE\left(\epsilon \right)\tilde{Z}$, $\overline{R}={\tilde{Z}}^{\text{T}}\tilde{R}\tilde{Z}$.

那么对$\forall \epsilon \in \left(0,\overline{\epsilon }\right]$ 滑模动态系统(9)是随机稳定的且满足$H_{\infty }$ 性能指标。滑模控制器增益可由下式推导出

${\tilde{K}}_w=K_w\tilde{Z}.$ (38)

证明：根据引理3和条件(32)~(34)、(35)~(37)可以得到

$E^{\text{T}}\left(\epsilon \right){\tilde{P}}_{\epsilon ,i}=P_{\epsilon ,i}^{\text{T}}E\left(\epsilon \right)>0,\forall \epsilon \in \left(0,\overline{\epsilon }\right],$(39)

${\tilde{\Phi }}_{iw}^1+\epsilon {\tilde{\Phi }}_{iw}^2+{\epsilon }^2{\tilde{\Phi }}_{iw}^3<0,$(40)

对(13)式左乘$diag\left\{{\tilde{Z}}^{\text{T}},{\tilde{Z}}^{\text{T}},{\tilde{Z}}^{\text{T}},{\tilde{Z}}^{\text{T}},{\tilde{Z}}^{\text{T}},{\tilde{Z}}^{\text{T}},{\tilde{Z}}^{\text{T}},I,I\right\}$右乘其转置，令$\tilde{Z}=Z^{-1}$ ，${\tilde{P}}_{\epsilon ,i}={\tilde{Z}}^{\text{T}}{P}_{\epsilon ,i}\tilde{Z}$， ${\tilde{\Omega }}_i={\tilde{Z}}^{\text{T}}{\Omega }_i\tilde{Z}$，${\tilde{Q}}_p={\tilde{Z}}^{\text{T}}{Q}_p\tilde{Z}$，$\left(p=1,2\right)$ ，$\widehat{W}={\tilde{Z}}^{\text{T}}{E}^{\text{T}}\left(\epsilon \right)WE\left(\epsilon \right)\tilde{Z}$，$\widehat{R}={\tilde{Z}}^{\text{T}}{E}^{\text{T}}\left(\epsilon \right)RE\left(\epsilon \right)\tilde{Z}$，$\tilde{W}={\tilde{Z}}^{\text{T}}W\tilde{Z}$，$\overline{R}={\tilde{Z}}^{\text{T}}R\tilde{Z}$则得到(40)，证毕。

3.3. 滑模面的可达性分析

定理3.3：在滑模面(5)的框架下，增益矩阵$K_w$ 可以由定理2求解，选取(5)式中的$G_i$ 使得$G_i{D}_i$ 是非奇异的。通过以下设计的滑模控制律

$u\left(t\right)=K_{w}x\left(t_{k}h\right)-\rho \left(t\right)sign\left(D_i^{\text{T}}{G}_i^{\text{T}}S\left(t\right)\right)-b{\text{e}}^{-\sigma t}sign\left(D_i^{\text{T}}{G}_i^{\text{T}}S\left(t\right)\right),\forall t\in \left[t_{k}h,t_{k+1}\right)$ (41)

那么奇异摄动中立型半马尔可夫系统(1)的轨迹可以在有限的时间内到达滑模面$S\left(t\right)=0$ 。其中$\rho \left(t\right)=\rho +\alpha \ast {\vartheta }_i\psi \left(x\left(t\right),i\right)+ƛ\nu$ ，$\rho >0$ 是一个可调整的正标量，同样$ƛ$ 也是一个正的标量且满足

$ƛ\ge \frac{{\max }_{i\in S}\sqrt{{\lambda }_{\max }\left(G_i{F}_i{F}_i^{\text{T}}{G}_i^{\text{T}}\right)}}{{\min }_{i\in S}\sqrt{{\lambda }_{\min }\left(G_i{D}_i{D}_i^{\text{T}}{G}_i^{\text{T}}\right)}}.$

证明：考虑如下的Lyapunov函数

$F=\frac{1}{2}{S}^{\text{T}}\left(t\right)S\left(t\right),$ (42)

计算$ℒF$ 并结合(7)式，可以得到

$\begin{array}{c}ℒF=S^{\text{T}}\left(t\right)\left(G_i{D}_i\left[u\left(t\right)+\alpha \left(t\right){{\rm H}}_i\left(t\right)\Psi \left(x\left(t\right),t,i\right)\right]+G_i{F}_{i}w\left(t\right)-G_i{D}_i{K}_{w}x\left(t_{k}h\right)\right)\\ =S^{\text{T}}\left(t\right)G_i{D}_i[\alpha \left(t\right){{\rm H}}_i\left(t\right)\Psi \left(x\left(t\right),t,i\right)+{\left(G_i{D}_i\right)}^{-1}{G}_i{F}_{i}w\left(t\right)\\ -\left(\rho +{\alpha }^{*}{\vartheta }_i\psi \left(x\left(t\right),t,i\right)+ƛ\nu +b{\text{e}}^{-\sigma t}\right)sign\left(D_i^{\text{T}}{G}_i^{\text{T}}S\left(t\right)\right)]\\ \le \Vert S^{\text{T}}\left(t\right)G_i{D}_i\Vert \Vert {\left(G_i{D}_i\right)}^{-1}{G}_i{F}_i\Vert \Vert w\left(t\right)\Vert +{\alpha }^{*}\Vert {{\rm H}}_i\left(t\right)\Vert \Vert \Psi \left(x\left(t\right),r\left(t\right)\right)\Vert \\ -\left(\rho +{\alpha }^{*}{\vartheta }_i\psi \left(x\left(t\right),t,i\right)+ƛ\nu +b{\text{e}}^{-\sigma t}\right)\left|D_i^{\text{T}}{G}_i^{\text{T}}S\left(t\right)\right|,\end{array}$

由于$\Vert D_i^{\text{T}}{G}_i^{\text{T}}S\left(t\right)\Vert \le \left|D_i^{\text{T}}{G}_i^{\text{T}}S\left(t\right)\right|$ ，因此可以得到

$ℒF\le -\left(\rho +b{\text{e}}^{-\sigma t}\right)\left|D_i^{\text{T}}{G}_i^{\text{T}}S\left(t\right)\right|,$ (43)

故对任意的$S\left(t\right)\ne 0$ ，可以推导出$ℒF\le 0$ ，因此系统(1)的状态轨迹能够到达预定的滑模面(5)，证毕。

注3：在上述所设计滑模控制律中，本文引入同文献[10]的收敛因子${\text{e}}^{-\sigma t}$ ，该收敛因子不仅能有效加快系统收敛，还能显著抑制抖振现象。

4. 数值算例

本节将通过下面的数值算例来验证所得结果的有效性和正确性。考虑2个模态的时变时滞奇异摄动中立型半马尔可夫跳跃系统

$\{\begin{array}{l}E\left(\epsilon \right)\dot{x}\left(t\right)-C_i\dot{x}\left(t-\tau \left(t\right)\right)=A_{i}x\left(t\right)+B_{i}x\left(t-h\left(t\right)\right)+D_i\widehat{u}\left(t\right)+F_{i}w\left(t\right)\\ y\left(t\right)=L_{i}x\left(t\right)\end{array}$ (44)

其中参数如下

$A_1=\left[\begin{array}{cc}-0.1& 1\\ -9.48& 0\end{array}\right]$ ，$A_2=\left[\begin{array}{cc}-0.5& 1\\ -5& 0.2\end{array}\right]$ ，$B_1=\left[\begin{array}{cc}0.1& 0\\ 0& 0.1\end{array}\right]$ ，$B_2=\left[\begin{array}{cc}0.3& 0\\ 0.2& 0.3\end{array}\right]$ ，$C_1=C_2=\left[\begin{array}{cc}0.1& 0.01\\ 0.15& 0\end{array}\right]$ ， $D_1=D_2=\left[\begin{array}{c}0.001\\ 0.3\end{array}\right]$ ，$F_1=F_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.3226\end{array}\right]$ ，$L_1=L_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$ ，$G_1=G_2=\left[\begin{array}{cc}0.01& 0.01\end{array}\right]$ ，中立型时滞$\tau \left(t\right)=0.3+0.1\sin \left(t\right)$ ，状态时滞$h\left(t\right)=0.3+0.1\cos \left(t\right)$ ，外部扰动$w\left(t\right)=0.1{\text{e}}^{-0.2t}\sin \left(50t\right)$ 。考虑半马尔可夫过程的驻留时间是服从韦伯分布，其概率密度函数为$f_i\left(h\right)=\frac{a}{m^a}\times \exp \left(-{\left(\frac{\hslash }{m}\right)}^a\right)$ ，$\hslash >0$ ，转移率函数为${\pi }_{ij}\left(\hslash \right)=q_{ij}\frac{a}{m}{\hslash }^{a-1}$ 。其中$a$ 为形状参数、$m$ 为比例参数。设置转移强度为$\left[q_{ij}\right]=\left[0,1;1,0\right]$ ，当系统模态$i=1$ 时，选择$a=3$ ，$m=1$ ；当系统模态$i=2$ 时，选择$a=4$ ，$m=1$ 。那么推导出转移率矩阵$\Pi \left(\hslash \right)$ 以及期望为

${\pi }_{ij}\left(\hslash \right)=\left[\begin{array}{cc}-3{\hslash }^2& 3{\hslash }^2\\ 4{\hslash }^3& -4{\hslash }^3\end{array}\right],{\rm E}\left\{{\pi }_{ij}\left(\hslash \right)\right\}=\left[\begin{array}{cc}-2.7082& 2.7082\\ 3.6763& -3.6763\end{array}\right].$

为了描述系统器模态与控制器模态的异步现象，假设模态检测器发射概率矩阵为$\Theta =\left[\begin{array}{cc}0.7& 0.3\\ 0.5& 0.5\end{array}\right]$ ，模拟随机网络欺骗攻击的参数为

${{\rm H}}_1\left(t\right)=0.1\sin \left(t\right),\Psi \left(x\left(t\right),1,t\right)=0.1\sin \left(t\right)\sqrt{x^2\left(t\right)+1},$

${{\rm H}}_2\left(t\right)=0.1\cos \left(t\right),\Psi \left(x\left(t\right),2,t\right)=0.1\sqrt{x^2\left(t\right)+1}.$

另外，选择$d_1=0.01$ ，${\alpha }^{*}=0.5$ ，$h_d=0.4$ ，${\tau }_d=0.4$ ，$l=1$ ，奇异摄动参数$\epsilon =0.1$ ，${\delta }_1=0.6$ ，${\delta }_2=0.4$ ，$c_0=0.1$ ，$c_1=0.7$ ，$c_2=0.2$ ，${\kappa }_1=1.2$ ，${\kappa }_2=0.0001$ ，$\lambda =5$ ，收敛因子参数$b=1$ ，$\sigma =100$ ，采样周期$h=0.1$ 。在$\gamma =0.2$ 的情况下，通MATLAB中LMI工具箱求解定理2得到相关的增益矩阵如下

$K_1=\left[\begin{array}{cc}3.9924& -0.2035\end{array}\right],K_2=\left[\begin{array}{cc}-7.3777& -0.1461\end{array}\right].$

${\Omega }_1=\left[\begin{array}{cc}0.0886& 0.0064\\ 0.0064& 0.0107\end{array}\right],{\Omega }_2=\left[\begin{array}{cc}0.0732& -0.0123\\ -0.0123& 0.0151\end{array}\right].$

仿真结果如图2~4所示。其中图2(a)展示了在系统在开环情况下系统遭受欺骗攻击和外部扰动的

Figure 2. System state response

图2. 系统状态响应

Figure 3. Based on dynamic event-triggered sliding mode control

图3. 基于动态事件触发滑模控制

Figure 4. Modal changes and trigger moments

图4. 模态变化与触发时刻

状态响应情况，可以得出系统在开环情况下系统是发散的。而图2(b)是加入滑模控制器未加入收敛因子的演变情况。图3、图4展示了加入滑模控制器带有收敛因子下的演变情况。图2(b)描述了在加入滑模控制器之后，系统状态能收敛。与图2(b)相比，图3(a)在引入收敛因子的情况下，在加快系统收敛的同时显著的降低了抖振。

图3(b)~(d)分别展示了控制输入$u\left(t\right)$ 、滑模面$S\left(t\right)$ 以及动态辅助变量$\eta \left(t\right)$ 的演变情况。图4(a)展示了系统模态和控制器模态跳变情况。图4(b)展示了动态事件触发时刻，可以清晰的看到本文所提出的动态事件触发能有效减少通信资源。在该动态事件触发下，平均传输数据包(ATPNs) (采样：100次)为57.6%。

综上，本文提出的方法能够有效抑制欺骗攻击与外部扰动的影响，并显著节省网络带宽等受限资源。仿真结果表明，所设计的动态事件触发机制能够将数据发送率降低到57.6%，验证了本文提出的事件触发滑模控制策略的有效性。

4. 讨论与展望

本文所提出的异步滑模控制策略的有效性依赖于一些关键假设。首先，本文假设随机欺骗攻击的信号能量存在一个已知的上界，该上界用于滑模控制器的设计以保证可达性条件。但在实际网络安全环境中，攻击者信号能量的上界通常是难以精确的获取。如果实际攻击强度超过了设计时所采用的已知上界，所设计的滑模控制器可能无法完全补偿攻击带来的影响。这将导致系统状态可能无法在有限时间内被驱动到预设的滑模面上。系统的$H_{\infty }$ 性能可能无法满足，导致对外部干扰的抑制能力下降，甚至可能引发系统失稳。

其次，假设半马尔可夫转移概率完全已知，但对于复杂的实际系统往往难以通过精确的数学模型完全捕获。这将会导致保守性与鲁棒性不足，当实际转移率与设计值存在微小偏差时，原本满足的线性矩阵不等式条件可能不再成立，从而导致所设计的控制器无法保证系统的随机稳定性，异步控制性能下降。

基于上述讨论，接下来的工作将沿着以下几个方向进行拓展，以增强所提出控制策略的实用性和鲁棒性。放弃对攻击上界先验知识的依赖，通过设计自适应律来在线实时估计攻击的上界或攻击信号本身。在滑模控制律中引入自适应增益，该增益能够根据系统状态的实时变化动态调整，从而逼近未知的攻击上界。探索转移概率部分未知、完全未知情况下的自适应控制或基于数据驱动的控制策略，设计对转移概率的摄动不敏感的鲁棒控制器。

5. 总结

本文研究了基于动态事件触发协议的中立型半马尔可夫跳跃系统异步滑模控制问题，针对含切换参数和随机欺骗攻击的奇异摄动系统展开分析。采用隐半马尔可夫模型刻画系统模态与控制器模态之间的异步行为。为节约通信资源并保持控制性能，设计了一种新型动态事件触发机制，结合参数依赖型Lyapunov理论，推导出保证闭环系统(9)随机稳定、满足$H_{\infty }$ 性能及滑模面可达性的充分条件。通过引入收敛因子，在加速系统收敛的同时有效抑制抖振。最后，数值仿真验证了所提方法的可行性与有效性。

基金项目

贵州民族大学基金科研项目(JZMUZK [2023] YB12)；贵州省基础研究计划(自然科学)青年引导项目[2024] 210；贵州省基础研究计划(自然科学)面上项目MS [2025] 217；贵州省高等学校光通讯系统中孤子的数学理论与计算协作创新团队(黔教技[2023] 062号)。

NOTES

^*通讯作者。