项目化思维导向下初中数学案例教学研究与实践

Research and Practice of Case-Based Teaching in Junior High School Mathematics Guided by Project-Based Thinking

摘要: 本研究立足初中数学教学实际，探索项目化思维与案例教学的深度融合路径。通过剖析项目式学习(PBL)的理论内核与案例教学的实践特征，构建“情境浸润–问题驱动–多维互动–模型建构–反思迁移”的五维教学框架，并结合代数、几何等典型教学案例，论证其在培育学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养方面的实践价值，为中学数学高阶思维培养提供理论参考与操作范式。

Abstract: This study is rooted in the practical teaching of junior high school mathematics and explores the path of deep integration between project-based thinking and case-based teaching. By analyzing the theoretical core of Project-Based Learning (PBL) and the practical characteristics of case-based teaching, a five-dimensional teaching framework of “contextual immersion-problem-driven-multidimensional interaction-model construction-reflective migration” is constructed. Combining with typical teaching cases in algebra and geometry, this study demonstrates its practical value in cultivating students’ core literacy such as mathematical abstraction, logical reasoning, and mathematical modeling, providing a theoretical reference and operational paradigm for the cultivation of high-order thinking in secondary mathematics education.

1. 问题的提出

在当前初中数学教学实践中，项目式学习的应用日益广泛，以其为背景的例题、习题及试题亦成为教学与测评的热点。然而，调研发现，部分教师在教学中未能准确把握项目式学习与传统习题教学的本质区别，或沿用“讲练结合”的传统模式，或机械套用项目式学习流程，导致此类教学陷入低效困境。据本集团11所学校多次数学统一测试数据显示，项目式学习背景试题的平均得分率低于40%，反映出学生对此类问题的解决能力亟待提升。在此背景下，厘清项目式学习背景下案例教学的概念内涵与教学属性，成为破解教学低效化的关键。

本研究将以项目式学习为背景的例题、习题学习界定为“案例教学”[1]。相较于传统例题教学，案例教学特指“基于真实情境、聚焦核心素养、包含完整探究链条”的教学单元，其核心在于围绕典型问题情境，引导学生经历分析、建模、求解、反思的完整过程，进而掌握学科思维方法。

案例教学与传统习题教学的差异主要体现在三个维度：

第一，目标定位：从“解题技能训练”转向“数学观念建构”。

传统习题教学的核心目标以训练解题技巧为导向，侧重让学生掌握固定题型的解法(如套用公式、模仿步骤)，追求“会做题、得高分”。学生常常陷入“机械刷题”，缺乏对数学本质的理解(如忽略公式背后的逻辑推导)，难以培养数学抽象、逻辑推理等核心素养，学生可能“知其然不知其所以然”。案例教学的核心目标是通过具体案例(如生活中的函数应用、几何图形设计)，引导学生建构数学观念(如模型思想、数形结合)。例如常见的“设计最优购物方案”，让学生运用函数知识分析不同优惠策略，理解“数学是解决实际问题的工具”。教学目标不仅是解题，更强调让学生体会数学的实用性与思维价值，形成“用数学眼光观察世界”的观念。

第二，内容组织：从“知识点割裂”转向“跨模块整合”。

传统习题教学按章节孤立讲解知识点(如先学一元一次方程，再学不等式)，习题设计聚焦单一知识点，缺乏关联。学生难以理解知识间的内在联系(如方程与函数的本质关联)，形成“碎片化”认知。同时难以应对综合性问题(如中考压轴题常融合代数、几何多模块知识)。

案例教学以真实问题为载体，整合多个知识点(如代数、几何、统计跨模块融合)。在“测量学校旗杆高度”案例教学中，用相似三角形(几何)建立模型，通过测量数据(统计)计算，最后用代数式(代数)表达结果。在学习中，学生在解决问题中自然串联多模块知识，理解数学的整体性与系统性。

第三，实施路径：从教师讲授到学生探究。

传统习题教学教师主导讲解例题，学生模仿练习，以“听讲–记忆–重复训练”为主。在教学中学生被动接受，缺乏主动思考与质疑，难以培养创新思维。另外也忽视学生的个体差异，部分学生可能因跟不上节奏而丧失兴趣。

案例教学以学生为主体，通过“提出问题–自主探究–合作交流–总结反思”开展学习。例如，在“探究二次函数图像性质”案例中，教师可以提出问题(如“如何通过图像判断函数增减性”)，学生分组作图、观察数据、归纳规律。教师作为引导者，针对学生的困惑提供支架(如提示“从顶点坐标入手分析”)，最终由学生自主发现性质。如此的案例教学激发学生主动性，培养探究能力、合作意识和批判性思维。

因此，案例教学通过目标、内容、路径的系统性转变，打破传统习题教学的局限，更符合新课程改革对数学教学“提质增效”的要求，助力学生从“解题者”向“问题解决者”“数学思考者”转变。

另外，案例教学与项目式学习[2]在核心理念上具有相通性。二者均以学生为中心，反对填鸭式教学，强调通过自主探究与合作交流实现知识内化；均注重创设真实或模拟情境，激发学习动机并培养知识应用能力。然而，二者亦存在显著区别，见表1。

Table 1. Differences between case teaching and project-based learning

表1. 案例教学与项目式学习差异

维度	项目式学习	案例教学
学习周期	通常持续数周甚至数月，侧重复杂问题的长期探究。	周期较短，聚焦单个典型问题，强调核心知识点的限时突破。
问题导向	问题具有高度开放性与综合性，需学生自主规划研究路径。	问题则围绕特定知识点应用，引导学生在具体情境分析中掌握方法。
成果形式	要求产出实物作品、研究报告等实体成果。	成果更侧重解题过程、模型建构或策略总结。

二者的辩证关系表明，项目式学习侧重综合实践能力与项目管理能力培养，案例教学聚焦数学思维方法训练，二者形成能力培养的互补格局，共同构建完整的素养培育体系。

2. 项目化思维导向的案例教学理论建构

项目化思维源于杜威“做中学”理论[3]，其核心是以真实问题为载体，通过“任务分解–方案设计–协作探究–成果展示”的完整流程，培养学生系统性解决问题的思维能力。其特征表现为情境真实性(贴近生活或学科前沿)、任务复杂性(需整合多维度知识)、过程开放性(允许多元解决方案)，紧密联结生活实际或学科前沿(如校园水费优化、无人机航拍建模)，以学生熟悉的生活场景或学科前沿问题为载体，让数学从“抽象符号”变为“可感知的工具”，解决“为何学数学”的认知困惑。

案例教学(Case-Based-Learning)区别于传统例题教学，特指“基于真实情境、聚焦核心素养、包含完整探究链条”的教学单元。案例教学指围绕典型问题情境，引导学生通过分析、建模、求解、反思等环节，掌握学科思维方法的教学模式。

案例教学与项目式学习有着密切的联系，这也是被很多老师和学生混为一谈的原因。但是他们的区别与联系，正好说明两者能力培养互补，即项目化学习侧重学生综合实践能力和项目管理能力的培养，案例教学则更聚焦数学思维方法的训练，二者结合能形成完整的素养培育体系。

另外，在教育政策层面，《义务教育数学课程标准(2022年版)》[4]明确要求“设计真实情境下的跨学科项目学习”，推动教学从“知识点割裂”转向“真实问题解决”；评价层面，新中考改革强化情境化、跨学科命题导向，要求学生具备从复杂情境中提取数学信息、建立模型并解决问题的能力。在此背景下，案例教学需以项目化思维为导向，实现传统数学学习向“素养本位”的范式升级——让数学从“书本符号”转化为“实践工具”，从“应试科目”升华为“思维方式”。这一转型不仅需要教师更新教学理念，更需在课程资源开发、教师专业发展、评价体系重构等方面形成协同效应。

3. 项目化思维导向的案例教学设计原理

3.1. 三维目标架构

项目化思维导向下的案例与传统例题习题设计在知识目标、能力目标、素养目标等方面存在较大差异，如表2所示，需要我们及时进行目标架构的调整，以适应学生综合素养的培养。

在知识目标方面，传统例题、习题主要聚焦于让学生掌握具体的知识点，例如在数学教学中，可能是专注于一元二次方程的求根公式、函数的某一种特定性质等。同时，注重传授针对这些知识点的解题技巧，像特定题型的固定解题步骤、公式的套用方式等。学生学习往往局限于单个知识点的理解与运用，知识体系相对零散，缺乏不同知识点间的深度关联。而项目化思维导向下案例强调帮助学生建构跨模块的知识网络。比如在一个综合性的数学项目案例中，会将代数中的方程、函数知识，与几何中的图形性质、空间关系，以及统计中的数据处理、概率分析等进行关联。学生通过解决项目中的问题，理解不同知识模块之间的内在联系，明白代数方法可用于解决几何图形中的数量关系问题，统计数据能为代数模型的建立提供实际依据等，形成更系统、全面的知识架构。

在能力目标方面，传统例题、习题教学着重培养学生单向的解题能力，即针对给定的、较为明确的问题，运用所学知识按常规思路去解答。学生习惯遵循固定模式解题，面对新的、复杂多变的问题情境时，应变能力较弱。例如遇到题型稍有变化或条件隐晦的题目，可能就难以入手。而项目化案例教学致力于培养学生多方面的综合能力。批判性思维方面，学生在项目中需对各种信息、方案进行质疑、评估和分析，不盲目接受既有结论；问题分解能力上，要将复杂项目问题拆解成多个小问题逐步解决；团队协作能力则体现在学生以小组形式开展项目时，需要分工合作、交流沟通、相互配合，共同推进项目进展。通过项目实践，学生在这些能力上得到锻炼，能更好地应对现实中的复杂问题。

在素养目标方面。传统例题、习题教学多侧重于应试技能训练，为应对考试，着重训练学生对考试题型的熟悉度、答题速度、得分要点把握等。比如通过大量重复性练习，让学生掌握不同题型的答题规范和技巧，以在考试中获取高分，但这种方式相对忽视了学生数学素养的长远发展。而项目化案例教学聚焦于培养数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。数学抽象是让学生从具体情境中提炼出数学概念、关系和结构；逻辑推理要求学生依据数学规则和原理进行严谨的推理和论证；数学建模则是引导学生将实际问题转化为数学模型并求解。通过项目化案例教学，学生在解决实际问题过程中，不断运用和提升这些核心素养，真正实现数学学习从知识到能力再到素养的升华，为未来学习和生活奠定坚实基础。

Table 2. Comparison of three-dimensional objective architectures

表2. 三维目标架构比较

维度	传统案例教学	项目化案例教学
知识目标	掌握具体知识点与解题技巧	建构跨模块知识网络(如代数、几何、统计关联)
能力目标	单向解题能力	批判性思维、问题分解、团队协作等综合能力
素养目标	应试技能训练	数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养

3.2. 情境设计的“三重境域”理论

建构主义学习理论[5]认为，知识并非被动接受，而是学生在一定情境及社会背景下，通过自身原有的认知结构，主动从环境中获取有效信息，进行意义建构而得。由此可见，情境是学科知识向学科素养转化的关键场域。情境化命题或教学设计通过将学科问题巧妙融入学生熟悉的情境，考查学生对信息的提取、理解、分析能力，以及综合运用知识技能解决实际问题的水平，此维度着重体现学科知识与素养间的转化关系。另外，皮亚杰的认知发展阶段理论启示我们在设计情境时，要依据学生不同认知发展水平，设置与之匹配的问题与任务，引导其从低阶思维迈向高阶思维，推动深度学习。据此，结合数学学科特点，提出如下情境设计的“三重境域”。

3.2.1. 生活境域

选取真实生活场景(如“家庭水电缴费中的函数关系”、“校园旗杆高度测量”)，通过“生活问题数学化”激活认知冲突。

代数案例：共享单车计费问题(函数模型建构)，见表3。

Table 3. Teaching design sheet for the case of shared bicycle billing issues

表3. 共享单车计费问题案例教学设计单

案例教学步骤		案例教学内容
1	情境浸润	展示某共享单车APP的计费规则截图(30分钟内1.5元，超时后每15分钟0.5元，单日封顶15元)，提问：“周末全天骑行如何规划更省钱？”
2	问题驱动	基础问题：用分段函数表示骑行费用y与时间t (分钟)的关系； 进阶问题：若单日骑行总时长为300分钟，拆分为4次骑行(每次间隔10分钟)是否比连续骑行更便宜？
3	多维互动	小组讨论：绘制费用随时间变化的折线图，标注“费用突变点”(30分钟、45分钟、60分钟……)； 教师引导：对比“连续骑行”与“分段骑行”的费用差异，渗透“最优化决策”思维。
4	模型建构	建立分段函数$y=\{\begin{array}{cc}1.5& 0<t\le 30\\ 1.5+0.5\times \lceil \frac{t-30}{15}\rceil & 30<t<180\\ 15& t\ge 180\end{array}$ (注：$\lceil x\rceil$ 表示向上取整，模拟实际计费规则)
5	反思迁移	拓展任务：设计“地铁分段计价”或“阶梯电价”的函数模型。 核心素养：数学建模(从生活情境抽象函数关系)、运算能力(分段计算与优化)。

3.2.2. 学科境域

创设学科前沿或跨学科情境(如“密码学中的素数应用”、“物理抛体运动中的二次函数”)，如表4跨学科案例设计框架，可以很好地体现数学的工具性价值。

几何案例：赵州桥拱力学分析情境。

(1) 情境浸润

展示赵州桥的拱形结构，引入物理中的力学平衡原理，要求学生探究拱形设计与承重能力的关系。

(2) 问题驱动

几何问题：已知桥拱跨度37米，拱高7.23米，求圆弧半径(需用垂径定理构建直角三角形)。

跨学科问题：结合物理“力的分解”原理，分析拱形如何分散桥面荷载(教师补充“压强 = 压力/受力面积”知识点)。

(3) 多维互动

实验模拟：用纸条制作不同弧度的拱桥模型，测试承重能力(重物为书本)。

数据推导：通过勾股定理$r^2={\left(r-7.32\right)}^2+{\left(\frac{37}{2}\right)}^2$ 求解半径，强化“几何代数化”思维。

(4) 模型建构

建立“圆的垂径定理 + 力学平衡”双模型：

数学模型：利用圆的对称性简化计算。

物理模型：拱形将垂直荷载转化为沿拱券的切向力，减少桥墩侧向压力。

(5) 反思迁移：

拓展任务：设计“公园廊架”的最优拱形方案(需兼顾美观与承重)。

核心素养：逻辑推理(定理应用的严谨性)、直观想象(图形与物理原理的关联)。

Table 4. Interdisciplinary case design framework

表4. 跨学科案例设计框架

学科融合方向	案例主题	核心数学知识	关联学科知识
数学 + 物理	桥梁承重优化	二次函数最值	力学平衡原理
数学 + 信息技术	数据可视化分析	统计图表绘制	Pythonmatplotlib库

3.2.3. 虚拟境域

利用数字化工具(如Geogebra、Python编程)创设虚拟实验情境，支持动态探究。

几何案例：动态圆与多边形的位置关系探究情境。在Geogebra中构建一个半径可调节的动态圆与一个可变形的正多边形(边数n可在3~10之间调整)。

(1) 情境浸润

在Geogebra中展示动态圆与正五边形，拖动半径滑块时提问：“何时圆与五边形仅有一个公共点？”

(2) 问题驱动

操作问题：固定正六边形边长为6，调整圆半径，记录相切时的r值(需计算正六边形内切圆与外接圆半径)。

规律问题：当边数n增大时，正多边形趋近于圆，此时位置关系判定是否简化？

(3) 多维互动

虚拟实验：学生自主操作软件，记录“相切/相交/相离”对应的r与a (边长)关系式。

数据可视化：用Excel绘制n = 3到n = 10时的“临界半径r随n变化”曲线。

(4) 模型建构

代数模型：正n边形内切圆半径$r_{内}=\frac{a}{2\tan \frac{\pi }{n}}$ ，外接圆半径$r_{外}=\frac{a}{2\sin \frac{\pi }{n}}$ 。

动态模型：归纳位置关系判定条件：相离：$r<r_{内}$ ；相切：$r=r_{内}$ 或$=r_{外}$ ；相交：$r_{内}<r<r_{外}$ 。

(5) 反思迁移

拓展思考：椭圆与多边形的位置关系能否用类似方法研究？

核心素养：动态几何思维(变量关联分析)、数学抽象(从特殊到一般归纳规律)。

3.3. 驱动性问题设计的“金字塔模型”

驱动性问题设计可以以布鲁姆认知目标分类[6]为底层逻辑，构建“记忆–理解–应用–分析–评价–创造”六级问题链，恰似一座金字塔，如图1，从基础到高阶逐步递进，在初中数学教学中能有效引导学生思维发展。

(1) 记忆层面：处于金字塔底层，对应的问题主要围绕对基本数学事实、概念、公式等的单纯记忆。在“一次函数”的教学案例中，会涉及让学生回忆一次函数的标准表达式“什么是一次函数的一般式$y=kx+b$ (k，b为常数，$k\ne 0$ )”“一次函数中k和b分别代表什么意义”。学生只需凭借记忆提取所学知识作答，这是认知的最基础阶段，为后续更高层次的学习奠定知识储备。

(2) 理解层面：此层面要求学生不仅能记住知识，还需理解其内涵。同样在“一次函数”案例里，会设置问题“如何从实际意义上理解一次函数中k值对函数图像倾斜程度的影响”。学生需要用自己的语言阐述对一次函数性质的理解，将抽象的数学知识转化为自身能明白的表述，能够识别一次函数在不同情境下的呈现，体现对知识初步的内化。

(3) 应用层面：聚焦于学生运用所学数学知识解决具体问题。在“二元一次方程组”的学习中，会要求学生“根据鸡兔同笼问题的情境，列出对应的二元一次方程组并求解”。学生要将二元一次方程组的概念、解法应用到实际问题中，通过分析问题中的数量关系，选择合适的方法进行计算，检验知识的运用能力，开始从理论走向实践。

(4) 分析层面：强调对数学知识结构、问题要素的剖析。如在“相似三角形”的案例里，问题可能是“分析在两个相似三角形中，对应边的比例关系与对应角的关系之间存在怎样的内在联系”。学生需拆解相似三角形的性质和判定条件，分析各个要素对三角形相似结论的作用，理解各部分之间的关系以及对整体问题解决的影响。

(5) 评价层面：要求学生依据一定数学标准对观点、方法、解题方案等进行评估判断。在“几何图形的面积计算”情境下，会让学生“评价不同同学提出的计算不规则多边形面积的方法的优劣”。学生要综合考虑计算的简便性、准确性、通用性等多方面，权衡利弊，形成自己的评判，体现批判性思维。

(6) 创造层面：位于金字塔顶端，鼓励学生突破常规，生成新的数学观点、方法或解题思路。在“函数图像应用”案例中，可能是“基于函数图像的变化趋势，提出一种利用函数知识优化超市商品库存管理的新方案”。学生需整合函数、统计等多方面知识与生活经验，发挥创造力，摆脱既有解题模式束缚，实现数学知识的创新运用。

Figure 1. The “Pyramid model” for designing driving questions

图1. 驱动性问题设计的“金字塔模型”

通过“金字塔模型”的驱动性问题设计，教师可以系统地引导学生逐步深化对数学知识的认知，从浅层次的记忆逐步攀升到高层次的创造，全面培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，尤其适用于项目化思维导向的案例教学中，助力学生在案例探究过程中实现数学能力进阶。

如在“概率统计”案例中，进行骰子公平性验证(实验设计与数据分析)：

(1) 情境浸润

展示新闻报道“某游戏厅疑似使用灌铅骰子”，提问：“如何通过数学方法验证骰子是否公平？”

(2) 问题驱动：

低层问题：列举骰子各面点数的理论概率(均为$\frac{1}{6}$ )。

高层问题：设计实验方案，通过频率稳定性检验实际概率(如投掷100次记录各面出现次数)。

(3) 多维互动

小组分工：投掷员(2人)、记录员(1人)、数据分析师(1人)。

工具介入：用Python编写代码(或EXCEL电子表格)绘制频率分布直方图。

(4) 模型建构

统计模型：计算各面频率与理论概率的差异值$\left|f_i-\frac{1}{6}\right|$ ($f_i$ 即频率)。

概率模型：运用卡方检验¹$x^2={\displaystyle {\sum }_1^k\frac{{\left(Q_i-E_i\right)}^2}{E_i}}$ 判断是否拒绝“骰子公平”的原假设。(k为分类组数

骰子的面数，此处k = 6，i为第i类的实际观测频数，$E_i$ 为第i类的理论期望频数)。

(5) 反思迁移

拓展任务：分析“抽奖转盘”“硬币抛投”等随机现象的公平性。

核心素养：数据分析(从实验数据推断结论)、科学态度(用证据支撑观点)。

4. 项目化案例教学的教学组织与实施策略

4.1. “四段式”课堂结构革新

“四段式”课堂结构革新在项目化案例教学模式与传统教学模式之间存在显著差异，这种差异旨在促进学生更主动、深入地学习，提升综合素养。

4.1.1. 情境导入

传统教学中，教师直接讲解例题，以传授知识为主要目的，直接引入数学问题或知识点，学生处于相对被动接受的状态。例如在讲解一元二次方程时，教师可能直接给出一个标准的一元二次方程例题，开始讲解其解法步骤，学生主要是倾听和记录。在项目化案例教学中，学生自主解读情境材料(含图表、视频等)。教师提供丰富多元的情境材料，比如在学习函数时，给出商场销售额随时间变化的图表，学生需要自主观察、分析图表中的数据关系，从中发现与函数相关的问题，这一过程充分锻炼了学生的自主观察和信息提取能力。

4.1.2. 探究建模

在传统教学中，教师示范解题步骤，按照固定的思路和方法展示如何解题，学生模仿学习。比如在几何证明题中，教师会一步一步展示证明的逻辑推理过程和书写格式，学生跟着教师的节奏去理解和记忆，对学生自主思考和探索的引导相对较少。在项目化案例教学中，小组协作完成“问题分解–假设提出–模型构建”。以一个实际的工程问题为例，小组成员需要共同分析问题，将大问题拆解成多个小问题，如资源分配问题、时间规划问题等；然后提出各种假设，如假设不同的施工方案；最后通过讨论和分析，构建出解决问题的数学模型，如利用方程或函数模型来规划资源和时间，极大地培养了学生的团队协作、问题分析和建模能力。

4.1.3. 成果展示

在传统教学中，教师总结标准答案，强调解题的准确性和规范性，学生更多是接受教师给予的正确结论，缺乏对不同思路和方法的深入探讨。在项目化案例教学中，学生汇报多元方案并互评(如“最优模型辩论”)。各小组展示自己独特的解决方案，可能存在多种不同的解题思路和模型。比如在解决一个关于优化配送路线的问题时，有的小组用几何方法，有的小组用代数方法，之后学生之间进行互评，通过辩论等形式探讨哪种方案更优，培养了学生的批判性思维和表达能力。

4.1.4. 反思迁移

在传统教学中，布置同类习题巩固，侧重于让学生通过重复练习强化对知识的记忆和解题技巧的掌握，形式相对单一。在项目化案例教学中，设计拓展项目(如“改编案例并求解”)。例如在学习了行程问题的案例后，学生需要对案例进行改编，改变其中的条件或情境，然后自己求解。这不仅加深了学生对原有知识的理解，还促使学生将知识灵活迁移到新情境中，培养了创新能力和知识迁移能力。

比较表5，不难发现，通过“四段式”课堂结构革新，项目化案例教学模式可以打破传统教学的局限，以更具活力和创造性的方式促进学生在数学学习中的全面发展。

Table 5. Comparison of the “four-stage” classroom structure

表5. “四段式”课堂结构比较

阶段	传统教学模式	项目化案例教学模式
情境导入	教师直接讲解例题	学生自主解读情境材料(含图表、视频等)
探究建模	教师示范解题步骤	小组协作完成“问题分解–假设提出–模型构建”
成果展示	教师总结标准答案	学生汇报多元方案并互评(如“最优模型辩论”)
反思迁移	布置同类习题巩固	设计拓展项目(如“改编案例并求解”)

4.2. 思维可视化工具的介入

4.2.1. 概念地图

用于梳理跨模块知识关联。以“几何综合题”案例为例，借助思维导图呈现“三角形全等–相似–解直角三角形”的逻辑链。通过这种可视化方式，学生能清晰看到不同几何知识模块间的联系，比如三角形全等是相似的特殊情况，相似知识又能为解直角三角形提供方法和思路，如图2，帮助学生构建系统的知识网络，加深对几何知识的整体理解。

4.2.2. 思维日志

要求学生记录探究过程中的困惑与突破，如“为何选择这种建模方法”“如何验证假设合理性”等。这能促使学生反思自己的思考过程，明确思维卡点和取得进展的关键因素，培养元认知能力，让学生逐渐学会剖析自己的思维方式，提升思维的自觉性和调控能力。

Figure 2. The logical chain of “congruent triangles-similar triangles-solving right triangles”

图2. “三角形全等–相似–解直角三角形”逻辑链

4.2.3. 动态几何软件

利用Geogebra等软件演示图形变换过程，如“旋转对称图形的性质探究”。在传统教学中，图形变换较抽象，学生理解困难。借助动态几何软件，能直观呈现图形旋转、对称等变换过程，学生可清晰观察图形在变换中的边、角等要素的变化，辅助学生直观理解抽象的几何概念，增强空间想象能力和对几何知识的感性认识。

4.3. 跨学科协作的实施路径

跨学科协作在教学中通过学科内整合与学科间融合两种方式，打破知识壁垒，培养学生综合运用知识的能力。

4.3.1. 学科内整合

在“函数与几何综合题”这类数学问题中，融合代数表达式、函数图像、几何图形性质等数学内部不同模块知识。例如“抛物线与圆的位置关系”问题，学生需要将抛物线的函数表达式与圆的方程联立，通过解方程求解交点坐标，这不仅训练了学生代数运算中联立方程求解的能力，还让学生从几何角度理解交点的意义，即图形的公共点，实现数学学科内不同知识板块的有机结合，加深对数学知识整体性的理解。

4.3.2. 学科间融合

设计“数学 + 物理”、“数学 + 信息技术”等跨学科案例。

“数学 + 物理”融合：利用勾股定理计算斜面机械效率。在物理中，计算斜面机械效率时，涉及力和距离的计算，而斜面的边长关系可借助勾股定理确定。学生通过运用数学知识解决物理问题，理解数学作为工具学科在物理学科中的应用，体会不同学科知识的关联性，提升综合解决问题的能力。

“数学 + 信息技术”：用Python编程模拟概率实验，如蒙特卡洛方法估算圆周率。信息技术为数学实验提供了新的手段，学生通过编写Python程序，利用计算机模拟大量随机试验，从概率角度估算圆周率，将数学中的概率知识与信息技术的编程能力相结合，拓展了数学学习的途径和应用场景，也让学生感受到数学在现代科技中的重要作用。

5. 评价体系重构：从“结果导向”到“过程–能力–素养”三维评估

传统教学评价常以结果为导向，而项目化案例教学倡导构建更全面的评价体系，关注学习过程、能力发展与素养提升。

5.1. 过程性评价量表

过程性评价量表从问题解读、模型构建、协作能力和反思能力四方面进行评价，具体见表6。

问题解读：评价学生能否从给定情境中提取关键信息，并转化为数学问题。例如在复杂的行程问题情境里，学生要找出路程、速度、时间等关键数据，明确待解决的数学问题是求解速度、时间还是其他未知量，这体现学生对问题的理解和抽象转化能力。

模型建构：考量建模思路的合理性与创新性。在解决实际的资源分配问题时，合理的建模思路是基于问题中的数量关系和约束条件构建数学模型，如线性规划模型；创新性则体现在能否突破常规方法，提出更高效或独特的建模方式，如运用新的算法或模型结构。

协作能力：关注学生在小组讨论中的贡献度与倾听能力。贡献度表现为能否提出有价值的观点、思路，积极参与问题讨论与解决；倾听能力体现为是否认真听取小组成员意见，尊重他人想法，促进小组协作顺利进行。

反思能力：看学生能否总结解题策略并提出改进方案。解题后，学生要回顾解题过程，总结所运用的方法和策略，思考是否存在更优解法，以及在类似问题中如何优化解题流程，这有助于提升学生的思维深度和学习能力。

Table 6. Process evaluation scale

表6. 过程性评价量表

评价维度	指标描述	评价等级(A/B/C)
问题解读	能否提取关键信息并转化为数学问题
模型建构	建模思路的合理性与创新性
协作能力	小组讨论中的贡献度与倾听能力
反思能力	能否总结解题策略并提出改进方案

5.2. 增值性评价方法

前后测对比：通过标准化测试，在项目化案例教学前后，对学生在“数学建模能力”“问题解决速度”等维度进行测评，对比前后成绩或表现，直观了解学生在这些方面的进步幅度，衡量学习对学生能力提升的效果。

档案袋评估：收集学生的思维日志、小组报告、项目成果等学习资料，构建个性化学习历程档案。这些资料记录了学生学习过程中的思考、探索、成长轨迹，教师可全面了解学生学习进展、优势与不足，为后续教学提供针对性指导。

同伴互评：采用“苏格拉底式提问法”[7]，引导学生互相质疑、补充方案。例如在小组项目成果展示后，学生互相提问“你认为该模型的局限性是什么”，促使学生深入思考，从不同视角审视问题，培养批判性思维，同时也提升学生的交流与评价能力。

5.3. 数学建模能力评价量规

结合数学项目化思维导向下的案例教学实际，聚焦数学核心素养，从实践中构建如下数学建模能力评价量规。量规从建模思路、模型合理性、创新点三个维度，对学生的数学建模能力进行等级划分，以便更精准、全面地评估学生在数学建模方面的表现，具体见表7。

6. 实践成效与反思

6.1. 实证研究数据

南外集团华侨城中学选取2个平行班级开展对比实验，为期一学期，结果见表8。

数据表明，在数学抽象能力方面，项目化案例让学生在真实情境抽象数学模型，实验班得分更高，体现素养提升；在问题解决速度方面，案例教学通过“问题链”培养思维路径，实验班学生更易快速抓住解题关键，耗时更短；在开放性试题得分方面，项目化案例鼓励多元探究，实验班学生自主思考、创新表达，开放性试题表现更优。另外，p值均小于0.05，说明项目化案例教学与传统教学的差异具统计学意义，改革效果显著。

Table 7. Evaluation rubric for mathematical modeling competency

表7. 数学建模能力评价量规

等级	建模思路	模型合理性	创新点
A	能分解复杂问题，建立多变量关系	符合数学原理，参数设置科学	提出新的建模视角
B	能识别主要变量，建立单一模型	基本符合数学原理，参数需调整	借鉴已有模型并优化
C	依赖教师提示，无法建立模型	存在原理性错误	无创新表现

Table 8. Comparative data of experimental classes

表8. 实验班对比数据

维度	实验班 (项目化案例教学)	对照班 (传统教学)	差异显著性(p值)
数学抽象能力(满分10分，越高越好)	8.2	6.5	0.012 (p < 0.05，差异显著)
问题解决速度(以几何综合题平均耗时计，分钟，越短越好)	12.3	15.8	0.008 (p < 0.05，差异显著)
开放性试题得分(满分20分，越高越好)	16.7	12.4	0.005 (p < 0.05，差异显著)

6.2. 现存挑战与改进方向

作为近年来适应新课程改革出现的初中数学项目化思维导向的案例教学，在实际的教育教学中，尚存在以下挑战，需要数学教师及时调整教学设计、教学组织和教学评价。

一方面面临教师专业能力瓶颈。项目化案例教学要求教师兼具跨学科知识储备与课堂调控能力，需通过“校本研修 + 工作坊”模式提升师资水平；另一方面，项目化案例评价标准模糊性，需要研制初中数学项目化案例教学评价指南，细化核心素养的观测点与评分细则；第三，案例资源供给不足。需要建立案例资源库，整合教材、习题、考试试题、生活情境等多源素材，实现优质资源共建共享。

7. 结论与展望

项目化思维导向的案例教学是初中数学教学从“知识本位”转向“素养本位”的重要突破口。通过构建“情境化导入–问题化驱动–结构化探究–多元化评价”的教学范式，不仅能提升学生应对新型试题的能力，更能培养其适应未来社会的关键能力。未来研究可进一步聚焦人工智能技术与案例教学的深度融合，探索基于大观念的案例群开发策略，为数学核心素养培育提供更系统的实践支撑。

基金项目

2024年度深圳市南山区教育科学规划课题“核心素养视域下初中数学高阶思维培养策略研究——以南山外国语学校(集团)初中启思数学课程建设为例”(立项号nsjy202403009)。

NOTES

¹卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测数据与理论期望数据之间的差异是否具有统计学显著性。其核心思想是：若实际观测结果与理论期望结果的差异越小，则越支持原假设；反之，若差异越大，则越倾向于拒绝原假设。