1. 引言
人工智能(Artificial Intelligence, AI)的快速演进正在深刻改变研究生教育的人才培养模式。与研究生阶段注重知识获得不同，研究生培养强调模型构建、理论推演、算法创新与科研应用，而这些能力的核心均建立在扎实的数学基础之上。正如吴恩达所言：“AI的每一次突破背后都有数学的再发现”。数学不仅是AI的语言，更是研究生科研训练的逻辑工具和结构框架。
近年来，关于AI时代研究生能力结构与培养模式的研究不断拓展。已有研究指出，研究生在新的技术生态中必须具备更高水平的“数字胜任力”与“跨域应用能力”，数学素养与算法理解能力是其数字素养体系的基础构成[1]。与此同时，应用型大学与科研院校均在探索研究生培养模式的创新路径，强调将数学、计算与人工智能内容进行体系化融合，以应对研究生科研任务的复杂性与跨学科性需求[2]。相关研究亦指出，在人工智能视域下，研究生培养和评价体系正由“知识增量”向“能力增值”转型，而数理基础与算法理解能力是驱动这一评价体系变革的关键因素[3]。
然而，在我国研究生教育体系中，数学课程长期呈现出“内容深、体系散、实践弱”的特点：高等数学、线性代数、最优化方法、概率论等课程各自独立展开，强调理论推导，但在与科研中的算法机制、模型训练、智能系统设计之间缺乏有效衔接。这使得研究生常常出现“数学公式能推，科研模型难建”“算法能用，但机理不懂”的典型问题，在论文撰写、模型改进、算法创新中面临认知瓶颈[4] [5]。
国际研究生教育改革显示，构建“贯通式数理基础体系”已成为顶尖大学的核心趋势。MIT、斯坦福、帝国理工等高校在研究生阶段开设Mathematics for Machine Learning、Mathematical Foundations of AI、Optimization for Machine Learning等课程，以科研问题为起点，通过数学建模、算法推理、可视化实验与程序验证，建立“数学–算法–模型–科研”的动态认知链条[6]。
基于研究生在科研阶段对算法原理、优化机制、泛化理论和统计推断等数学工具的高阶需求，本文提出“数学–算法–数据/模型”的三层贯通体系。通过引入大模型语义分析与课程关键词共现网络，系统揭示研究生科研活动中不同数学结构的耦合关系，并从课程体系重构、教学模式创新与科研导向实践三个维度探讨研究生数理基础课程在人工智能时代的结构性重塑路径。
本研究旨在为构建高水平研究生人才培养体系提供理论依据和实践范式，推动研究生数学教育从“知识型”向“科研型”转变，从“数学课程”向“数学支撑的科研体系”转变。
2. 数据科学基础课程的特征与教学现状
2.1. 学科内容分散与认知断裂
研究生数学课程相比本科阶段具有更强的理论深度和推演要求，如凸优化、矩阵分析、概率图模型、随机过程等。然而，这些课程呈现明显的“理论深但应用断裂”特征。学生在科研中经常需要理解损失函数性质、优化路径、模型复杂度或随机机制，但缺乏跨课程综合的结构化知识。这种以学科自洽为导向的课程体系，虽然保持了数学的逻辑严谨性，却割裂了学生的知识迁移能力。
在数据科学和人工智能的学习中，学生面对的是高度交织的问题情境。例如，在神经网络中，梯度下降依赖于微积分的导数定义与最优化理论；在图神经网络中，特征分解与谱分析源于线性代数的矩阵理论；在生成模型中，似然估计与贝叶斯推断则根植于概率论和信息论。如果学生不能在研究生阶段建立起“多数学科间的相互映射意识”，他们的AI学习将不可避免地停留在经验性和操作性层面[7]。
因此，传统课程体系的分散化成为阻碍数学知识应用迁移的主要瓶颈。
2.2. 教学模式的封闭与单向传播
多数高校数学教学仍以“讲授–板书–演算”为主要模式，教师是知识传递者，学生是被动接受者。这种模式强调形式化训练，却弱化了问题思维与数据体验。例如，教师讲解“梯度”的时候往往停留在符号推导上，而非让学生通过数值模拟观察其收敛路径；讲述“积分”的时候侧重公式记忆，而忽略其在图像卷积与概率密度中的计算意义。结果是学生虽掌握了符号，却丧失了直觉，难以理解数学是如何“运作”于智能算法之中的。
在AI时代，这种单向教学模式显然无法满足学生对跨学科能力的需求。学生需要的不仅是公式，而是能用数学思考现实问题、设计算法逻辑的能力[8]。
2.3. 教学资源与实践环节缺乏
在当前课程体系中，实践性资源相对匮乏。传统教材缺少与AI问题的连接案例，教学内容更新滞后于技术发展。例如，在讲授“最小二乘法”时，多数教材停留在几何意义推导，未展示其在回归建模或深度网络参数估计中的应用；在讲解“偏导数”时，缺少对神经网络反向传播算法的示范。
此外，学生缺乏计算平台与实验任务的支持，数学课程往往脱离了数据与算法环境，难以实现“学–用–悟”的循环。
综上所述，研究生数学教育面临的核心问题在于：结构割裂、教学封闭、实践薄弱。要回应人工智能时代的人才培养需求，必须重新构建课程体系，实现数学知识的系统贯通。
3. 贯通式教学体系的建设理念
3.1. “数学–算法–数据”三层联动模型
为解决数学与人工智能教学之间的结构性断层，本文提出了一个“数学–算法–数据”三层联动的贯通教学模型。该模型的核心思想是通过课程体系重构，将数学理论、算法逻辑与数据实践进行系统化衔接，形成从原理到应用的认知闭环。
在第一层的“数学层”中，课程以高等数学、线性代数与概率论为基础，通过内容的模块化重组，将传统课程中分散的概念按照人工智能问题所需的逻辑重新组织。例如，将“极值理论”与“最优化方法”结合讲解，把“线性映射”与“特征分解”联系起来，或将“随机变量”与“概率分布”并行阐述，从而构建跨课程的数理知识网络。这样的整合使学生能够认识到，不同数学分支之间存在着深层的共通结构，而这些结构正是现代AI算法的逻辑支撑。
在第二层的“算法层”中，课程教学不再局限于公式推导，而是注重数学原理向计算逻辑的转化。通过Python或Matlab等编程实验平台，学生能够在算法实现过程中体会数学结构的运算意义。例如，在实现梯度下降算法时理解导数与极值条件的内涵，在矩阵分解实验中理解特征值与奇异值的空间含义，在概率抽样实验中体会随机性对模型训练的影响。学生在“算”的过程中进一步理解“理”，实现从数学公式到算法逻辑的自然过渡。
在第三层的“数据层”中，课程引入真实的数据分析与建模任务，如经济预测、图像识别、文本聚类等，通过实践环节反向验证数学原理的有效性与边界。学生在操作数据的过程中重新体会到数学模型的抽象性与普适性，也能够意识到算法性能与数学假设之间的关系。通过这种三层联动结构，课程既保留了数学理论的逻辑完整性，又构建了通向算法与数据世界的自然延展路径，使学生在学习中逐步形成“从理论到实践”的系统性认知。
3.2. 反向设计与问题驱动教学
贯通课程的设计理念区别于传统数学教学以“知识结构”为主线的逻辑，而是采取“问题反推结构”的教学思路[8]。课程从人工智能的典型问题出发，反向追溯其所依赖的数学根源，让学生在问题求解的情境中学习数学、理解数学并应用数学。
例如，在讲授优化问题时，教师不再单独介绍导数定义与极值条件，而是以神经网络损失函数的最小化为情境，带领学生分析梯度下降的收敛机制，从而重新认识导数与梯度的几何意义。在主成分分析(PCA)的案例中，学生通过数据降维的过程直观理解矩阵特征值和奇异值在空间变换中的作用，感受到线性代数的抽象概念如何成为算法的结构基础。而在讲解信息论相关内容时，课程通过最大熵原理的推导，揭示信息熵、KL散度与机器学习中正则化项之间的内在联系，让学生理解“信息最优性”与“模型简洁性”在数学上如何统一。
这种“问题驱动–原理回溯–算法验证”的教学逻辑，使学生的学习路径由被动接受转为主动探究。他们在具体问题的推动下，主动寻找数学解释与推理依据，在理解算法的过程中深化对数学本质的掌握。这一过程不仅增强了学习的实践性和启发性，也促进了学生在认知层面上由“知识记忆”向“知识建构”的转变。
3.3. 教学目标与能力导向
贯通课程体系的核心目标在于打破数学学习与AI应用之间的壁垒，构建面向能力培养的教学导向。数学学习不再被限定为理论知识的传授，而是被重新定义为支撑算法理解、模型构建与创新思维的关键能力训练。课程的最终目标是让学生能够以数学视角理解算法原理，以计算思维实现数学模型，并以创新意识解决真实问题。
在教学过程中，学生的学习能力被引导至三个层次的递进：首先是理论理解力，即能够在算法学习中从数学角度分析模型机理；其次是算法实现力，要求学生能将数学公式转化为可运行的程序逻辑，掌握数学与计算的桥接方法；最后是问题创新力，即能在开放性的数据情境下综合运用数学工具设计合理的模型结构与分析路径。这种多维度的能力导向使课程真正实现了“从学会知识到学会应用、从理解理论到理解问题”的教学目标。
为适应这一目标体系，课程考核方式也进行了结构性改革。评价体系不再单纯依赖笔试成绩，而是通过“数学推导、实验实现与案例分析”三种形式的综合考核，分别检验学生的理论理解、实践操作与创新应用能力。这样的多维评价机制，促使学生在学习中主动建立起理论与实践的内在联系，实现从知识掌握到能力生成的转化。
4. 教学模式创新与可视化设计
4.1. 案例驱动与混合式教学
本文提出“案例驱动–混合式教学”的融合模式，通过线上与线下环节的有机结合，实现数学知识与人工智能应用的可视化贯通。线上部分以教学视频、交互式图表和代码演示为主要形式，帮助学生以动态方式理解数学概念的运算逻辑与几何含义；线下部分则以研讨、实验和反思报告为核心，鼓励学生在多角度分析与协作探讨中深化对模型原理的理解。
例如，在讲授函数极值与优化问题时，学生首先通过Python编程绘制函数曲线与梯度下降路径，直观观察参数更新的过程；随后在课堂上完成极值条件的数学推导，理解导数与梯度的解析形式；最后以金融收益最大化或风险最小化为案例进行模型构建与实验验证，实现从数学分析到实际建模的闭环式学习过程。通过这一多层次的教学结构，课程突破了传统高等数学“讲授–演算”的线性流程，建立了“理论–实验–应用”的循环路径，使学生能够在算法运行中反向理解数学结构的本质。
4.2. 可视化教学资源
为了更系统地揭示课程内容的结构逻辑，本文结合大模型语义抽取方法，对“高等数学在人工智能场景中的知识结构”进行了可视化分析，生成了课程知识关键词的共现网络(见图1)。网络中的节点表示关键数学概念，如“导数”“积分”“梯度”“优化”“矩阵分解”“概率密度”等，边的权重反映了它们在AI应用语境中的共现频率。分析结果显示，“梯度–优化”“矩阵–特征值”“熵–信息论”形成了三大核心聚类模块，构成AI算法依赖最深的数学支撑体系。这种共现网络不仅揭示了课程内容的核心知识脉络，也为教学设计提供了可量化的结构依据，使教师能够在课程规划中实现对重点领域的精准聚焦。这一结果表明，教学改革不仅在内容层面打破了学科壁垒，更在认知结构上促进了学生由“知识堆叠”向“逻辑整合”的转变，体现出可视化教学在推动数理与智能教育融合中的独特价值。
5. 结论与展望
人工智能时代呼唤新的数学教育理念。传统的“分科式数学教学”已难以满足跨学科创新需求。本文以高等数学课程为核心，提出“数学–算法–数据”三层贯通体系，并通过可视化共现分析展示数学知识与AI算法的内在结构。教学实践表明，贯通课程不仅提升了学生的学习兴趣与应用能力，也促进了教师团队的跨学科协同。
Figure 1. Course knowledge co-occurrence network
图1. 课程知识共现网络
未来研究将进一步扩展至《线性代数》《概率论与数理统计》等课程，实现数据科学数学基础的整体贯通，建设覆盖“本科生–研究生–科研实践”全链条的数学教育体系，为高校人工智能教育改革提供长期支撑。
基金项目
中央财经大学2025年度研究生教育教学改革研究课题：人工智能时代研究生数理基础贯通课程体系建设研究(项目编号ZCJG202507)。