高中数学人工智能情境类试题的设计研究

Research on the Design of AI-Contextualized Problem Sets for High School Mathematics

摘要: 人工智能时代的到来对于人才培养提出了新的要求，文中聚焦人工智能情境，将人工智能的技术理论、应用场景和社会影响转化为适合高中生认知的情境，融入高中数学试题中，旨在落实数学核心素养和回应人工智能时代对人才培养的要求。

Abstract: The advent of the era of artificial intelligence has imposed new requirements on talent cultivation. This paper focuses on AI contexts, transforming the technical theories, application scenarios, and social impacts of artificial intelligence into scenarios suitable for high school students’ cognitive levels. These are integrated into high school mathematics test questions, with the aim of implementing mathematical core competencies and addressing the demands of talent cultivation in the AI era.

1. 引言

2025年高考是新课标全面落地的首次高考，新高考数学试卷更注重对学生数学核心素养的考察，而情境类试题是考察学生核心素养的重要载体。随着人工智能时代的到来，数学教育正在面临新的机遇与挑战，教育部也在积极助推人工智能赋能教育，因此在数学试题中科学融入人工智能，既能满足时代对人才的需求，也能深化数学学科素养的培养。目前针对高中情境类试题的研究主要集中在对情境自身特点的分析与研究[1]-[3]，针对情境类试题的教学策略与启示[4]-[6]；对试题本身的横向与纵向的比较研究[7]-[9]；情境类试题的核心素养的落实与考察[10]，数学试题情境的创设研究[11]-[13]。对于人工智能的研究，主要集中于人工智能对于教学的辅助作用[14] [15]。然而，却很少将人工智能与试题情境结合，因此，关注人工智能情境融入高中数学试题能够对学生的能力培养提供一定的帮助。

2. 人工智能情境

数学试题情境主要是基于认知角度，为解决某个特定问题，由命题者加以联结的一组背景化信息，这些背景化信息是真实的试题材料和介质，是以问题或任务为中心构成的思考活动场域[4]。人工智能情境主要是指基于人工智能的技术理论，应用场景和社会影响建构的数学试题背景。课程标准将试题情境分为数学情境、现实情境和科学情境，人工智能情境属于科学情境的范畴，试题情境的分类见图1。

Figure 1. Classification of context types in mathematical test questions

图1. 数学试题情境的分类

3. 人工智能情境类数学试题设计策略

一道优质的情境类试题应具备情境科学真实，角度新颖，情境与知识完美契合等特点，下面提出对如何命制人工智能情境类试题的几点思考。

3.1. 找准情境切入点，明确考察目标

《课程标准》中指出命题应围绕高中数学内容四条主线，聚焦数学重要概念、定理、思想方法，基础性与综合性并存，注重回归数学本质，淡化技巧，合理设置问题情境[16]。目标是情境类试题设计的根本，因此把握好情境与知识之间的关系，设计合理的情境与问题，这对于考察学生的数学核心素养至关重要。所以在高中数学内容中寻找合适的切入点是命制试题的基础。对于函数部分，机器学习中核心的激活函数之一Sigmoid函数，$\sigma \left(x\right)=\frac{1}{1+{\text{e}}^{-x}}$ ，它是一个以$\left(0,\frac{1}{2}\right)$ 为对称中心的复合函数，以该函数为切入点，则可以产生多种习题，考察方向可以从函数的性质，导数等方面入手。所以正式命题之前，要确定围绕着哪一条主线考察，并兼顾数学学科核心素养的三个水平。下面将给出高中数学内容中与人工智能的技术理论层面的命题切入点，见表1。

Table 1. Key considerations in test design

表1. 命题切入点

高中数学知识点	人工智能切入点
集合	符号学习
逻辑用语	不确定性推理
函数的图像与性质	激活函数Sigmoid函数、遗传算法适应度函数
距离公式(点与点、点与直线)	K-means算法计算数据点相似度、分类器
平面向量夹角余弦值公式	余弦相似度
正态分布	异常检测算法
向量的运算	卷积运算
导数与极值	损失函数
复数	复信号
数学建模活动	建立函数模型、统计模型进行预测

人工智能中的算法的理论基础与高中数学内容有联系，在命题时，可以将这种联系作为命题的切入点，考察学生的数学阅读能力、逻辑推理能力和知识迁移能力，虽然试题的背景是陌生的，但是考察的内容确是课本上的。以下面这几道情境类试题为例。

例1 某人工智能公司开发了一款能够预测房价的系统，该系统基于监督学习原理，通过对已有的数据，即房屋面积与价格之间的关系构建预测模型，现收集到某城市8套房屋面积(单位：m²)与售价(单位：万元)数据如下，见表2：

Table 2. Question data

表2. 题目数据

面积x	60	75	66	83	72	95	98	110
售价y	35	40	38	47	41	53	54	60

监督学习通过最小预测值与真实值之间的误差训练模型，最终采取一元线性回归模型$\widehat{y}=ax+b$ ，已知$a=\frac{1}{2}$ ，则$b=$ ____________。

参考答案：5

试题分析：试题以人工智能中的监督学习原理为背景，利用最小二乘法求回归方程中的参数为素材，考查学生对回归方程的理解，学生只需要求出$\overline{x}$ 和$\overline{y}$ ，再利用待定系数法即可求解。题目将人工智能与数学知识相联系，一方面考查学生的逻辑推理和数学运算素养，另一方面为学生渗透人工智能相关知识。考查内容偏基础，运算量适中，契合新高考“多思少算”的特点，突出基础性。

例2 (多选题)随着科技的发展，人工智能已经渗透到了我们生活的方方面面，短视频平台的推荐机制、人脸识别、语音输入等等，这些便利都有机器学习的功劳。机器学习的激活函数之一为$\sigma \left(x\right)=\frac{1}{1+{\text{e}}^{-x}}$ ，它被称为Sigmoid函数，关于该函数下列说法正确的是( )。

A. 在定义域R上单调递增 B. $\sigma \left(x\right)$ 为偶函数

C. $\forall x\in R$ ，$\sigma \left(x\right)\in \left(0,1\right)$ D. $\sigma \left(x-2\right)\ge \sigma \left(2x+1\right)$ 的解集为$\left(-\infty ,-3\right]$

参考答案：ACD

试题分析：通过人工智能在生活中的广泛应用，引出Sigmoid函数，以函数单调性、奇偶性，值域为考查重点，考查学生选择和应用函数性质解题的能力，聚焦数学运算素养和逻辑推理素养。学生在思考这道题时，应按照研究函数的一般思路，即定义函数，确定性质，绘制函数，应用函数。但是在绘制函数图象时，学生很容易忽略该函数的对称中心是$\left(0,\frac{1}{2}\right)$ 。

在数学试题中融入人工智能基本原理，要注意符合学生认知，情境是服务于只是考察的，最终应以考查学生的数学能力为落脚点，因此情境应自然贴切，避免喧宾夺主。

3.2. 构思有意义情境，合理设置问题

人工智能融入数学试题情境，一方面通过人工智能算法的基本原理，另一方面可以通过人工智能的应用设计情境。针对题型的选择，单选题能够考查学生迅速获取关键信息的能力，但是容易有猜测的成分；而多选题，能够将多个知识点整合进行考查，对学生思维的深度要求较高；填空题在提问方式上很难有创新；简答题能够有效考察学生对于题目的深度理解，能够有效评估学生的高阶思维能力，但是阅卷的成本较高。针对问题的设置，一是强调学生应用数学知识解决问题，二是突出数学的本质。以下面这道情境类试题为例。

例 (多选题)为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的问题，科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统。规定：某区域内的$m$ 个点$P_i\left(x_i,y_i,z_i\right)$ 的深度$z_i$ 的均值为$\mu =\frac{1}{m}{\displaystyle \sum _{i=1}^m{z}_i}$ ，标准偏差为$\sigma =\sqrt{\frac{1}{m}{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\left(z_i-\mu \right)}^2}}$ ，深度$z_i\notin \left[\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma \right]$ 的点视为孤立点，则根据下表中某区域内八个点的数据，见表3，有( )。

Table 3. Question data

表3. 题目数据表

$P_i$	$P_1$	$P_2$	$P_3$	$P_4$	$P_5$	$P_6$	$P_7$	$P_8$
$x_i$	15.1	15.2	15.3	15.4	15.5	15.4	15.4	13.4
$y_i$	15.1	14.2	14.3	14.4	14.5	15.4	14.4	15.4
$z_i$	20	12	13	15	16	14	12	18

A. $\mu =15$ B. $\sigma =\frac{\sqrt{29}}{2}$ C. $P_1$ 是孤立点 D. $P_2$ 不是孤立点

参考答案：ABD

试题分析：本题目以人工智能在3D人脸识别方面的应用为试题情境，重点考查学生的数学阅读能力、信息提取能力和对公示的套用，聚焦数学运算素养。对于A选项，利用题目中所提供的深度均值公式，代入数据，得

$\mu =\frac{1}{m}{\displaystyle \sum _{i=1}^m{z}_i}=\frac{1}{8}\left(20+12+13+15+16+14+12+18\right)=15.$

因此选项A正确。对于选项B，根据题干中所提供的标准偏差公式，代入数据得

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{8}\left[{\left(20-15\right)}^2+{\left(12-15\right)}^2+\cdots +{\left(12-15\right)}^2+{\left(18-15\right)}^2\right]}=\frac{\sqrt{29}}{2}\approx 2.7$ .

所以选项B正确。

对于选项C与D，因为$\mu -3\sigma \approx 6.9$ ，$\mu +3\sigma \approx 23.1$ ，$z_1\notin \left[6.9,23.1\right]$ ，$z_2\in \left[6.9,23.1\right]$ ，所以C选项错误，D选项正确。

4个选项的设置均是围绕着情境展开的，计算量不大，弱化了对于技巧的考查，回归了数学的本质，题目中所给的数据，只有最后一行有用，在如此多的数据中筛选出对解题有用的数据，渗透了数据分析核心素养。本题学生可能会因为对情境理解不深、计算失误而选错。

3.3. 打磨语言与结构，多样化呈现情境

数学命题应注重学科核心素养与知识之间的关系，在呈现情境类试题时候，应做到图文并茂，多样化呈现信息，如图片、表格、流程图等。同时仔细打磨命题语言，对于人工智能方面的专业术语，应准确无误。题干中可以设置冗余的信息，让学生去筛选，以此来考查学生的信息甄别能力。以下面这道题目为例。

例 在用计算机处理灰度图像(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”。在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果，见图2：

Figure 2. Illustration for question

图2. 题目图

则下列可以实现该功能的一种函数图象是( )。

A. B.

C. D.

参考答案：A

试题分析：本题以计算机处理灰度图像的原理为试题情境，主要考查函数图像在实际中的应用，从题目中读取解题关键信息“扩展低灰度级，压缩高灰度级”，扩展低灰度级意味着将在都低灰度部分的像素值通过某种映射将其映射到更宽的灰度范围上，而压缩高灰度级是指在高灰度部分通过映射减小高灰度级像素值之间的差距，反映在函数图像上，只有A选项符合题目要求。若想正确做出该题目需要有一定的阅读理解能力和逻辑推理能力。

数学试题的语言应该凝练和准确，避免引起歧义，在试题的呈现形式上，应图文并茂，促进学生理解。

4. 结语

情境类试题是高考试卷的重点题型，相比于传统的抽象类数学试题，更能培养学生的数学阅读能力、数学建模能力和知识迁移能力。这些能力不仅是学生深入理解知识所必需的，更是学生未来融入社会和适应社会所必需的。人工智能类情境的创设，是高中数学主动面向未来的必然选择，是对人工智能时代人才培养要求的有效回应。因此数学教师应注重人工智能情境类数学试题的命制，发展学生的数学核心素养，使学生能够应对时代变革。

NOTES

^*通讯作者。