一类具p(t)-Laplacian算子的Hadamard分数阶微分方程耦合系统边值问题解的唯一性

Uniqueness of Solutions for Boundary Value Problems of Hadamard Fractional Differential Equation Coupled Systems with p(t)-Laplacian Operator

摘要: 本文研究一类含p(t)-Laplacian算子的Hadamard分数阶微分方程耦合系统非局部边值问题。通过Hadamard分数阶积分与微分的性质，将边值问题转化为等价的积分算子方程；利用Banach压缩映射原理，建立系统解存在唯一的充分条件；构造具体耦合系统实例，通过验证条件及数值计算，证实结论的有效性。研究结果为同类分数阶耦合系统的定性分析提供了新的思路与方法。

Abstract: This paper investigates a class of nonlocal boundary value problems for Hadamard fractional differential equation coupled systems involving the p(t)-Laplacian operator. By virtue of the properties of Hadamard fractional integration and differentiation, the boundary value problem is transformed into an equivalent integral operator equation. Using the Banach contraction mapping principle, sufficient conditions for the existence and uniqueness of solutions to the system are established. A specific example of the coupled system is constructed, and the validity of the conclusions is verified through condition checking and numerical calculation. The research results provide new ideas and methods for the qualitative analysis of similar fractional coupled systems.

1. 引言

分数阶微分方程因其在物理、工程、生物等领域的广泛应用，成为近年来非线性分析领域的研究热点[1]。不同于整数阶微分方程仅能刻画局部变化率，分数阶导数具备非局部记忆特性，能够精准描述黏弹性材料变形、反常扩散、生物种群演化等具有历史依赖性的复杂过程[2]。Hadamard分数阶导数以对数函数为核，在处理定义于正实数域且具有幂律型尺度不变性的系统时展现出独特优势[3] [4]，例如在研究电力系统中绝缘介质的老化特性、地质工程中岩石的蠕变损伤过程等问题时，Hadamard分数阶模型的拟合精度显著高于传统整数阶模型。同时，p(t)-Laplacian算子能够刻画非均匀介质中的扩散、渗透等现象，其变指数特性可有效反映介质属性随空间位置变化的规律，例如在多孔介质流体输运问题中，介质孔隙率的空间异质性会导致扩散系数随位置改变，此时p(t)-Laplacian算子对应的方程模型更贴合实际场景[5]。

在实际工程与物理系统中，单一方程往往难以完整描述多场耦合的复杂现象，耦合系统的研究更具现实意义。例如在智能材料与结构领域，压电陶瓷–黏弹性基体复合结构的力–电耦合振动问题，需要同时考虑机械形变的黏弹性记忆效应与电场分布的非均匀扩散特性，这类问题可抽象为含p(t)-Laplacian算子的Hadamard分数阶微分方程耦合系统。目前，关于分数阶微分方程耦合系统的研究已取得一定成果[6] [7]，但现有成果多聚焦于Riemann-Liouville或Caputo型分数阶导数，且算子多为常指数P-Laplacian算子，结合p(t)-Laplacian算子与Hadamard分数阶导数的耦合系统边值问题研究尚不多见。此外，现有研究多采用单调迭代法或上下解方法，针对非局部边值条件下解的唯一性分析相对匮乏。本文针对一类具p(t)-Laplacian算子的Hadamard分数阶微分方程耦合系统非局部边值问题，通过构造等价积分算子、应用Banach压缩映射原理，建立解的存在唯一性条件，并通过具体实例验证结论的正确性。本文的研究不仅丰富了分数阶微分方程耦合系统的理论体系，也为相关工程问题的建模与分析提供了新的思路与方法。

2. 预备知识

定义2.1 [4]设$\alpha >0$ ，函数$u\left(t\right)\in C^1\left(\left[1,T\right],R\right)$ ，则$\alpha$ 阶Hadamard分数阶积分定义为：

$H_{1^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_1^t{\left(\ln \frac{t}{s}\right)}^{\alpha -1}\cdot \frac{u\left(s\right)}{s}\text{d}s}$

其中Gamma(∙)为Gamma函数。

定义2.2 [4]设$\alpha \in \left(0,1\right)$ ，函数$u\left(t\right)\in C^1\left(\left[1,T\right],R\right)$ ，则$\alpha$ 阶Hadamard分数阶导数定义为：

$D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(1-\alpha \right)}\cdot \left(t\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right){\displaystyle {\int }_1^t{\left(\ln \frac{t}{s}\right)}^{-\alpha }\cdot \frac{u\left(s\right)}{s}\text{d}s}$ (2.2)

引理2.1 [5] p(t)-Laplacian算子性质

设$p\left(t\right):\left[1,T\right]\to \left(1,+\infty \right)$ 为连续函数，$q\left(t\right)=\frac{p\left(t\right)}{p\left(t\right)-1}$ 为$p\left(t\right)$ 的共轭指数函数，$p\left(t\right)$ -Laplacian算子${\Delta }_{p\left(t\right)}\left(u\right)={\left|u\right|}^{p\left(t\right)-2}u$ ，满足以下性质：

(1) 单调性：若$u\cdot v\ge 0$ ，则$\left({\Delta }_{p\left(t\right)}\left(u\right)-{\Delta }_{p\left(t\right)}\left(v\right)\right)\left(u-v\right)\ge 0$ ；

(2) 逆算子存在性：${\Delta }_{p\left(t\right)}^{-1}\left(z\right)={\left|z\right|}^{q\left(t\right)-2}z$ ，且${\Delta }_{p\left(t\right)}\cdot {\Delta }_{p\left(t\right)}^{-1}\left(z\right)=z$ 。

引理2.2 [8] Banach压缩映射原理

设$\left(X,d\right)$ 为完备度量空间，$T:X\to X$ 为压缩映射，即存在常数$\theta \in \left(0,1\right)$ ，使得对任意$x,y\in X$ ，有$d\left(Tx,Ty\right)\le \theta d\left(x,y\right)$ 则T在X中存在唯一不动点。

3. 边值问题及等价积分算子构造

3.1. 问题描述

考虑如下具p(t)-Laplacian算子的Hadamard分数阶微分方程耦合系统非局部边值问题：

$\{\begin{array}{l}{D}_{1^{+}}^{\alpha }\left({\Delta }_{p_1\left(t\right)}\left(D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)\right)\right)+f\left(t,v\left(t\right),D_{1^{+}}^{\alpha }v\left(t\right)\right)=0,其中t\in \left(1,T\right)\\ D_{1^{+}}^{\beta }\left({\Delta }_{p_2\left(t\right)}\left(D_{1^{+}}^{\beta }v\left(t\right)\right)\right)+g\left(t,u\left(t\right),D_{1^{+}}^{\beta }u\left(t\right)\right)=0,其中t\in \left(1,T\right)\\ u\left(1\right)=0,{\Delta }_{p_1\left(T\right)}\left(D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(T\right)\right)={\displaystyle {\int }_1^T{h}_1\left(s\right)u\left(s\right)\text{d}s}\\ v\left(1\right)=0,{\Delta }_{p_2\left(T\right)}\left(D_{1^{+}}^{\beta }v\left(T\right)\right)={\displaystyle {\int }_1^T{h}_2\left(s\right)v\left(s\right)\text{d}s}\end{array}$ (3.1)

其中$0<\alpha ,\beta <1$ ，$p_1\left(t\right),p_2\left(t\right):\left[1,T\right]\to \left(1,+\infty \right)$ 连续，$h_1\left(t\right),h_2\left(t\right)\in C\left(\left[1,T\right],\left[0,+\infty \right)\right)$ ，$fg:\left[1,T\right]\times R\times R\to R$ 连续。

3.2. 等价积分算子构造

对任意满足可积性与可微性条件的函数$\varphi \left(t\right)$ ，$\alpha$ 阶与$\beta$ 阶Hadamard分数阶微分、积分算子满足：

$D_{1^{+}}^{\alpha }\left(H_{1^{+}}^{\alpha }\varphi \left(t\right)\right)=\varphi \left(t\right),H_{1^{+}}^{\alpha }\left(D_{1^{+}}^{\alpha }\varphi \left(t\right)\right)=\varphi \left(t\right)-\varphi \left(1\right)$

$D_{1^{+}}^{\beta }\left(H_{1^{+}}^{\beta }\varphi \left(t\right)\right)=\varphi \left(t\right),H_{1^{+}}^{\beta }\left(D_{1^{+}}^{\beta }\varphi \left(t\right)\right)=\varphi \left(t\right)-\varphi \left(1\right)$

方程两边对$u\left(t\right)$ 的方程两端作用$H_{1^{+}}^{\alpha }$ ，由积分线性得：

$H_{1^{+}}^{\alpha }\left(D_{1^{+}}^{\alpha }\left({\text{Δ}}_{p_1\left(t\right)}\left(D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)\right)\right)\right)=-H_{1^{+}}^{\alpha }f\left(t,v\left(t\right),D_{1^{+}}^{\alpha }v\left(t\right)\right)$ (3.2)

根据$\alpha$ 阶Hadamard微积分互逆性，左端展开为：

$H_{1^{+}}^{\alpha }\left(D_{1^{+}}^{\alpha }\left({\text{Δ}}_{p_1\left(t\right)}\left(D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)\right)\right)\right)={\text{Δ}}_{p_1\left(t\right)}\left(D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)\right)-{\text{Δ}}_{p_1\left(1\right)}\left(D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(1\right)\right)$

其中将${\text{Δ}}_{p_1\left(t\right)}\left(D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)\right)$ 视为整体函数$\varphi \left(t\right)$ ，代入互逆性公式得到边界项${\text{Δ}}_{p_1\left(1\right)}\left(D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(1\right)\right)$ 。

由$D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(1\right)=0$ ，得${\text{Δ}}_{p_1\left(1\right)}\left(D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(1\right)\right)={\left|0\right|}^{p_1\left(1\right)-2}\cdot 0=0$ ，因此左端化简为${\text{Δ}}_{p_1\left(t\right)}\left(D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)\right)$ 。

将化简结果代回式(3.1)，得：

${\text{Δ}}_{p_1\left(t\right)}\left(D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)\right)=-H_{1^{+}}^{\alpha }f\left(t,v\left(t\right),D_{1^{+}}^{\alpha }v\left(t\right)\right)$ (3.3)

再应用p(t)-Laplacian逆算子，得逆算子形式：${\text{Δ}}_{p\left(t\right)}^{-1}\left(z\right)={\left|z\right|}^{q\left(t\right)-2}z$ ，其中$q\left(t\right)=\frac{p\left(t\right)}{p\left(t\right)-1}$ 为$p\left(t\right)$ 的共轭指数，满足$\frac{1}{p\left(t\right)}+\frac{1}{q\left(t\right)}=1$ ；对任意z，有${\text{Δ}}_{p\left(t\right)}^{-1}\left({\text{Δ}}_{p\left(t\right)}\left(z\right)\right)=z$ ，${\text{Δ}}_{p\left(t\right)}\left({\text{Δ}}_{p\left(t\right)}^{-1}\left(z\right)\right)$ 为简化书写，记：

$F\left(t,v\right)=-H_{1^{+}}^{\alpha }f\left(t,v\left(t\right),D_{1^{+}}^{\alpha }v\left(t\right)\right),$

则式(3.3)简写为

${\text{Δ}}_{p_1\left(t\right)}\left(D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)\right)=F\left(t,v\right)$

对上式两端同时作用${\text{Δ}}_{p_1\left(t\right)}^{-1}$ ，得到：

${\text{Δ}}_{p_1\left(t\right)}^{-1}\left({\text{Δ}}_{p_1\left(t\right)}\left(D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)\right)\right)={\text{Δ}}_{p_1\left(t\right)}^{-1}\left(F\left(t,v\right)\right)$

由p(t)-Laplacian算子的互逆性${\text{Δ}}_{p\left(t\right)}^{-1}\left({\text{Δ}}_{p\left(t\right)}\left(z\right)\right)=z$ ，左端可直接化简为$D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)$ ，即：

$D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)={\text{Δ}}_{p_1\left(t\right)}^{-1}\left(F\left(t,v\right)\right)$

即$D_{1^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)=-{\Delta }_{p_1\left(t\right)}^{-1}\left(H_{1^{+}}^{\alpha }f\left(t,v\left(t\right),D_{1^{+}}^{\alpha }v\left(t\right)\right)\right)$

再次应用$\alpha$ 阶Hadamard分数阶积分，结合$u\left(1\right)=0$ ，得：

$u\left(t\right)=-H_{1^{+}}^{\alpha }\left({\Delta }_{p_1\left(t\right)}^{-1}\left(H_{1^{+}}^{\alpha }f\left(t,v\left(t\right),D_{1^{+}}^{\alpha }v\left(t\right)\right)\right)\right)$ (3.4)

同理，对(3.1)中第二个方程重复上述步骤，结合边值条件$v\left(1\right)=0$ ，得：

$v\left(t\right)=-H_{1^{+}}^{\beta }\left({\Delta }_{p_2\left(t\right)}^{-1}\left(H_{1^{+}}^{\beta }g\left(t,u\left(t\right),D_{1^{+}}^{\beta }u\left(t\right)\right)\right)\right)$ (3.5)

将非局部边值条件代入(3.4) (3.5)，最终得到(3.1)的等价积分算子形式：

$\{\begin{array}{l}u\left(t\right)=T_1\left(u,v\right)\left(t\right)\\ v\left(t\right)=T_2\left(u,v\right)\left(t\right)\end{array}$ (3.6)

其中：

$\begin{array}{c}{T}_1\left(u,v\right)\left(t\right)=-\frac{1}{{\Gamma }^2\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_1^t{\left(\ln \frac{t}{s}\right)}^{\alpha -1}\frac{1}{s}\cdot {\left|{\displaystyle {\int }_1^s{\left(\ln \frac{s}{\tau }\right)}^{\alpha -1}\frac{f\left(\tau ,v\left(\tau \right),D_{1^{+}}^{\alpha }v\left(\tau \right)\right)}{\tau }\text{d}\tau }\right|}^{q_1\left(s\right)-2}}\\ \cdot {\displaystyle {\int }_1^s{\left(\ln \frac{s}{\tau }\right)}^{\alpha -1}\frac{f\left(\tau ,v\left(\tau \right),D_{1^{+}}^{\alpha }v\left(\tau \right)\right)}{\tau }\text{d}\tau \text{d}s}\end{array}$ (3.7)

$\begin{array}{c}{T}_2\left(u,v\right)\left(t\right)=-\frac{1}{{\Gamma }^2\left(\beta \right)}{\displaystyle {\int }_1^t{\left(\ln \frac{t}{s}\right)}^{\beta -1}\frac{1}{s}\cdot {\left|{\displaystyle {\int }_1^s{\left(\ln \frac{s}{\tau }\right)}^{\beta -1}\frac{g\left(\tau ,u\left(\tau \right),D_{1^{+}}^{\beta }u\left(\tau \right)\right)}{\tau }\text{d}\tau }\right|}^{q_2\left(s\right)-2}}\\ \cdot {\displaystyle {\int }_1^s{\left(\ln \frac{s}{\tau }\right)}^{\beta -1}\frac{g\left(\tau ,u\left(\tau \right),D_{1^{+}}^{\beta }u\left(\tau \right)\right)}{\tau }\text{d}\tau \text{d}s}\end{array}$ (3.8)

其中$q_1\left(t\right)=\frac{p_1\left(t\right)}{p_1\left(t\right)-1}$ ，$q_2\left(t\right)=\frac{p_2\left(t\right)}{p_2\left(t\right)-1}$ 为共轭指数函数。

4. 解的存在唯一性分析

令$X=C\left(\left[1,T\right],R\right)\times C\left(\left[1,T\right],R\right)$ ，对任意$\left(u,v\right),\left(u^{*},v^{*}\right)\in X$ ，定义度量：

$d\left(\left(u,v\right),\left(u^{*},v^{*}\right)\right)={\max }_{t\in \left[1,T\right]}\left|u\left(t\right)-u^{*}\left(t\right)\right|+{\max }_{t\in \left[1,T\right]}\left|v\left(t\right)-v^{*}\left(t\right)\right|$ (4.1)

易证$\left(X,d\right)$ 为完备度量空间。

定义算子$T:X\to X$ ，$T\left(u,v\right)=\left(T_1\left(u,v\right),T_2\left(u,v\right)\right)$ ，则(3.1)的解等价于算子T的不动点。

假设以下条件成立：

(H1) 存在常数$L_1,L_2>0$ ，使得对任意$t\in \left[1,T\right]$ ，$v_1,v_2,w_1,w_2\in R$ ，有：

$\left|f\left(t,v_1,w_1\right)-f\left(t,v_2,w_2\right)\right|\le L_1\left|v_1-v_2\right|+L_2\left|w_1-w_2\right|$

(H2) 存在常数$M_1,M_2>0$ ，使得对任意$t\in \left[1,T\right]$ ，$u_1,u_2,z_1,z_2\in R$ ，有：

$\left|g\left(t,u_1,z_1\right)-g\left(t,u_2,z_2\right)\right|\le M_1\left|u_1-u_2\right|+M_2\left|z_1-z_2\right|$

(H3) 记$C_1=\frac{{\left(T-1\right)}^{\alpha }{L}_1}{{\Gamma }^2\left(\alpha +1\right)}\cdot {\max }_{t\in \left[1,T\right]}{q}_1\left(t\right)$ ，$C_2=\frac{{\left(T-1\right)}^{\beta }{M}_1}{{\Gamma }^2\left(\beta +1\right)}\cdot {\max }_{t\in \left[1,T\right]}{q}_2\left(t\right)$ ，且$C_1+C_2<1$ 。

定理4.1若条件(H1)~(H3)成立，则耦合系统(3.1)在X中存在唯一解。

证明：对任意$\left(u_1,v_1\right),\left(u_2,v_2\right)\in X$ ，计算$\left|T_1\left(u_1,v_1\right)\left(t\right)-T_1\left(u_2,v_2\right)\left(t\right)\right|$ ：

$\begin{array}{c}{T}_1\left(u_1,v_1\right)\left(t\right)-T_1\left(u_2,v_2\right)\left(t\right)\le \frac{1}{{\Gamma }^2\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_1^t{\left(\ln \frac{t}{s}\right)}^{\alpha -1}\frac{1}{s}\cdot \left|{\Delta }_{p_1\left(s\right)}^{-1}\left(H_{1^{+}}^{\alpha }{f}_1\right)-{\Delta }_{p_1\left(s\right)}^{-1}\left(H_{1^{+}}^{\alpha }{f}_2\right)\right|\text{d}s}\\ \le \frac{\underset{t\in \left[1,T\right]}{\max }{q}_1\left(t\right)}{{\Gamma }^2\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_1^t{\left(\ln \frac{t}{s}\right)}^{\alpha -1}\frac{1}{s}\cdot \left|H_{1^{+}}^{\alpha }{f}_1-H_{1^{+}}^{\alpha }{f}_2\right|\text{d}s}\\ \le \frac{{\left(T-1\right)}^{\alpha }{L}_1}{{\Gamma }^2\left(\alpha +1\right)}\cdot \underset{t\in \left[1,T\right]}{\max }{q}_1\left(t\right)\cdot \underset{t\in \left[1,T\right]}{\max }\left|v_1\left(t\right)-v_2\left(t\right)\right|\\ \le C_{1}d\left(\left(u_1,v_1\right),\left(u_2,v_2\right)\right)\end{array}$

同理，$\left|T_2\left(u_1,v_1\right)\left(t\right)-T_2\left(u_2,v_2\right)\left(t\right)\right|\le C_{2}d\left(\left(u_1,v_1\right),\left(u_2,v_2\right)\right)$ 。

因此：

$d\left(T\left(u_1,v_1\right),T\left(u_2,v_2\right)\right)\le \left(C_1+C_2\right)d\left(\left(u_1,v_1\right),\left(u_2,v_2\right)\right)$ (4.2)

由条件(H3)，$C_1+C_2<1$ ，故T为压缩映射。根据Banach压缩映射原理，T在X中存在唯一不动点，即耦合系统(2.1)存在唯一解。

注记

条件(H3)作为解存在唯一性的核心约束条件，其本质是对算子压缩性进行量化限制，关键参数的取值直接决定该条件是否成立：其一，分数阶导数阶数$\alpha ,\beta$ 通过Gamma函数$\text{Γ}\left(\alpha +1\right),\text{Γ}\left(\beta +1\right)$ 影响条件中的系数，阶数越大，$\text{Γ}\left(\alpha +1\right),\text{Γ}\left(\beta +1\right)$ 的值越大，$C_1,C_2$ 的值越小，越容易满足$C_1+C_2<1$ 的要求；其二，区间长度$T-1$ 与$C_1,C_2$ 呈正相关，当T取值过大时，$C_1+C_2$ 可能超过1，此时压缩映射条件不再成立，这表明系统解的唯一性仅在一定的时间或空间范围内有效；其三，变指数函数$p_1\left(t\right),p_2\left(t\right)$ 的范围决定了共轭指数$q_1\left(t\right),q_2\left(t\right)$ 的上界，$\max q_1\left(t\right),\max q_2\left(t\right)$ 越小，$C_1,C_2$ 的值越小，更有利于唯一性条件的满足，这体现了非均匀介质属性对系统解的定性行为的调控作用。

本文的研究结果为分数阶耦合系统的定性分析提供了理论支撑，可进一步推广至更一般形式的分数阶微分方程系统，例如，采用Krasnoselskii不动点定理或Schaefer不动点定理，弱化Lipschitz条件的限制，研究非线性项满足次线性或超线性增长时系统解的存在性。

5. 实例验证

5.1. 实例构造

取$T=e$ ，$\alpha =\beta =\frac{1}{2}$ ，$p_1\left(t\right)=p_2\left(t\right)=2$ (此时p(t)-Laplacian算子退化为普通Laplacian算子，${\Delta }_2\left(u\right)=u$ ，逆算子${\Delta }_2^{-1}\left(z\right)=z$ ，$h_1\left(t\right)=h_2\left(t\right)=0$ (边值条件退化为齐次边值)，构造耦合系统：

$\{\begin{array}{l}{D}_{1^{+}}^{\frac{1}{2}}\left(D_{1^{+}}^{\frac{1}{2}}u\left(t\right)\right)+\frac{1}{4}v\left(t\right)+\frac{1}{4}{D}_{1^{+}}^{\frac{1}{2}}v\left(t\right)=0,t\in \left(1,e\right)\\ D_{1^{+}}^{\frac{1}{2}}\left(D_{1^{+}}^{\frac{1}{2}}v\left(t\right)\right)+\frac{1}{4}u\left(t\right)+\frac{1}{4}{D}_{1^{+}}^{\frac{1}{2}}u\left(t\right)=0,t\in \left(1,e\right)\\ u\left(1\right)=0,D_{1^{+}}^{\frac{1}{2}}u\left(e\right)=0\\ v\left(1\right)=0,D_{1^{+}}^{\frac{1}{2}}v\left(e\right)=0\end{array}$ (5.1)

5.2. 条件验证

对比(4.1)，此处$f\left(t,v,w\right)=\frac{1}{4}v+\frac{1}{4}w$ ，$g\left(t,u,z\right)=\frac{1}{4}u+\frac{1}{4}z$ 。

条件(H1)：取$L_1=L_2=\frac{1}{4}$ ，满足Lipschitz条件；

条件(H2)：取$M_1=M_2=\frac{1}{4}$ ，满足Lipschitz条件；

条件(H3)：$\Gamma \left(\frac{1}{2}+1\right)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ ，${\left(e-1\right)}^{\frac{1}{2}}\approx 1.284$ ，$\max q_1\left(t\right)=\max q_2\left(t\right)=2$ ，计算得：

$C_1=C_2=\frac{1.284\times \frac{1}{4}}{{\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}\right)}^2}\times 2\approx 0.32$

则$C_1+C_2\approx 0.64<1$ ，满足条件(H3)。

基金项目

昌吉职业技术学院院级科研课题《具P(t)-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性研究》CJZY2025026。

NOTES

^*通讯作者。