1. 引言
《课标(2022年版)》课程的总目标中提出学生要能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题[1]。初中阶段九大核心素养中的“模型意识”“模型观念”“应用意识”皆在跨学科项目式学习中得以培养，在课堂中开展主题式、项目式学习的价值在于为教师在教学过程中培养学生的数学核心素养找到“落脚点”。问题性、综合性、实践性、过程性、现实性是综合与实践内容的基本特征[2]。为此，教师就可以借助“制作剪纸脸谱”的实践活动，让学生破除“文理分家”的刻板印象，发现美术中的数学、数学中的历史文化，感受轴对称图形的魅力。
2. 理论基础
2.1. 项目式学习(PBL)的核心理论与实践演进
项目式学习(Project-Based Learning, PBL)的理论源头可追溯至杜威“做中学”理论[3]，其核心主张学习应源于真实问题，通过主动探究与实践操作建构知识。巴克教育研究所将PBL界定为“以真实、有挑战性的问题为驱动，学生通过持续探究，综合运用多学科知识解决问题并生成成果的学习模式”，并提出“核心问题、持续探究、成果公开”三大核心要素[4]。
国内学者对初中数学PBL的研究逐步深入：岳迎春提出初中数学跨学科项目式学习是以用数学方法解决现实问题为核心，引导学生发现解决现实问题的关键要素，用数学的思维分析要素之间的关系并发现规律，培养模型观念[5]。孙学东从实践角度提出：初中数学跨学科项目式学习是在数学课程中以数学学科为中心，基于跨学科意识，选取现实世界中情境真实、富有挑战性的问题，采用项目式学习的方式，综合运用数学学科和跨学科的知识与方法解决问题的学习过程[6]。对于数学跨学科项目式的教学设计，要以数学学科为核心学科，融合一种或一种以上其他学科的知识。教师要选择恰当的项目主题，项目的可操作性要在学生的最近发展区内，注意避免设计过于复杂，使学生丧失学习动机。
李俊康、张娜、张玉环提出的跨学科项目式教学案例开发基本模型，即以“选主题→明目标→布任务→设问题→展成果→评项目”为核心来设计和组织跨学科项目式教学，该模型结合实际教学调整了实施步骤，给出了更可行的跨学科案例开发基本模式，同时也满足《课标(2022年版)》对培育学生核心素养提出的要求[7]。原因在于该模型既保留了项目式学习的核心要素，又针对中小学数学教学的实际场景优化了实施步骤，避免了部分项目式学习模型“重形式轻数学”的弊端，能够实现“数学知识为主线、跨学科内容为支撑、实践操作为载体”的有机统一，与本研究“以轴对称知识为核心，融合美术、历史学科”的设计理念高度契合。
2.2. 跨学科教育的理论基础与融合逻辑
跨学科教育的理论依据源于泰勒的课程整合理论[8]与布鲁纳的学科结构理论[9]。泰勒认为，课程整合应“打破学科界限，围绕真实主题组织学习内容，使学生形成完整的知识体系”；布鲁纳则强调，跨学科学习的关键在于“把握不同学科的核心结构，实现知识的迁移与应用”。《课标(2022年版)》明确提出“加强学科间相互关联，带动课程综合化实施”，这与跨学科教育的核心诉求一致。
数学作为“科学的语言”，其跨学科融合具有天然优势。轴对称图形作为数学中的重要概念，既存在于美术的“造型色彩”“形式美”原理中，又蕴含于历史文化中的剪纸、脸谱等传统艺术形式中。本研究的跨学科融合并非简单的“数学 + 美术 + 历史”，而是遵循“数学核心引领、学科优势互补”的逻辑：以轴对称知识为核心线索，美术学科为 “形式载体”，历史学科为“文化内涵”，三者相互支撑，既实现了“数学知识应用于艺术创作”，又通过艺术与文化增强了数学学习的趣味性与深度，回应了曹一鸣等人提出的“数学跨学科教学应‘守数学之正、融学科之优’”的观点[10]。
2.3. 数学核心素养的内涵界定与培育路径
史宁中、林崇德指出，数学核心素养是“学生在数学学习过程中形成的、能够适应个人终身发展和社会发展需要的关键能力与必备品格”，其核心包括数学抽象、逻辑推理、直观想象、模型观念、应用意识、创新意识等[11]。《课标(2022年版)》将核心素养的培育作为课程总目标的核心，强调“核心素养的培育应贯穿于教学的全过程，通过真实情境中的问题解决得以落地”[1]。
数学核心素养的培育并非抽象的“口号式”要求，而是需要具体的教学载体与路径。本研究中，轴对称图形的教学与核心素养的培育形成了明确的对应关系：数学抽象素养通过“从脸谱图形中提炼轴对称定义”得以培养；逻辑推理素养通过“探究轴对称图形的性质”得以发展；模型观念与应用意识通过“运用轴对称知识制作脸谱”得以强化；创新意识则通过“设计独特的脸谱图案”得以激发。这种“知识学习–能力培养–品格形成”的递进式路径，符合核心素养“循序渐进、螺旋上升”的培育规律[11]。
3. 跨学科项目式教学案例设计
3.1. 项目启动
3.1.1. 选择项目主题
“轴对称图形”是数学人教(A)版八年级上册第十三章第一节“轴对称”中的内容，从教材结构编排来看，第一节的内容共分为两个课时。本文提出的教学设计为第一课时。主要介绍了轴对称图形的定义、性质。“轴对称”的概念是在小学四年级下册第七单元“图形的运动(二)”中首次引入。在高中阶段中，例如“函数的奇偶性”“轴对称的坐标表示”“正态分布”等皆涉及“轴对称”的思想。可见，“轴对称”贯穿于整个基础教育阶段，是重要的学习内容。
“轴对称”不但是学生学习的重难点，而且对称现象无处不在，从自然界到艺术作品，从建筑物到交通标志，都有对称的影子，生活因对称而美丽。以“制作剪纸脸谱”为项目主题，能够更好地让学生感受轴对称图形的美，了解轴对称图形在实际生活中的广泛性。
在制作“剪纸脸谱”的过程中，一方面涉及跨学科知识。例如美术学科中的“造型色彩”“形式美”等，可以提升学生发现美、欣赏美与鉴赏美的能力，以及历史学科中的“戏曲流派”“脸谱人物背景”等，有利于学生将数学知识与其他学科知识相联系。另一方面，“剪纸”是国家级非物质文化遗产，“脸谱”是戏曲文化的瑰宝，两者蕴含着丰富的数学元素，具有深厚的历史底蕴和独特的艺术魅力。本项目活动将“剪纸”和“脸谱”巧妙地融合在一起。同时，《课标(2022年版)》中对传统文化融入数学教学的要求也得以体现(见图1)。
Figure 1. Schematic diagram of interdisciplinary integration
图1. 学科融合示意图
3.1.2. 明确项目目标
根据《课标(2022年版)》中的要求，确定本次跨学科项目式教学的学习目标为：理解轴对称图形的概念，探索它的基本性质；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形[1]。基于核心素养的角度，本项目的总目标及核心素养培育指向见图2：
Figure 2. Specific objectives of project-based teaching
图2. 项目式教学具体目标
(1) 数学抽象素养：通过观察脸谱图形的特征，提炼轴对称图形的定义，掌握“从具体形象到抽象概念”的思维方法；
(2) 逻辑推理素养：通过探究对称点与对称轴的关系，推理出轴对称图形的基本性质，发展演绎推理与合情推理能力；
(3) 模型观念与应用意识：将“制作脸谱”的现实问题转化为轴对称图形的应用问题，能运用轴对称知识解决实际操作中的问题(如剪裁、打孔)；
(4) 创新意识：结合个人兴趣设计独特的脸谱图案，在实践中探索轴对称图形的多样化呈现形式；
(5) 文化素养：通过了解脸谱文化与剪纸非遗，增强对中华优秀传统文化的认同感。
轴对称图形不仅可以用来欣赏，还可以制作出来。学生根据收集的脸谱图片设计自己喜欢的人物脸谱并制作出来；在制作的过程中积累数学活动经验，培养学生的动手操作能力；感受数学在生活中的美以及不同学科之间的联系，增强学生学习数学的兴趣。
3.1.3. 组建项目成员
学生通过小组合作的形式进行，教师根据班级学生的数学基础、性格特点、学习风格、兴趣爱好，四人为一组将学生分成若干小组，分组时力求组内异质、组间同质。例如，该项目实施有设计自己喜欢的人物脸谱环节，可用调查问卷的形式将喜欢相同人物的学生分在一起。教师根据对本班学生的了解将性格互补、学习风格相似的学生组建成学习小组，每组推选综合能力较强的学生为组长。组长带领组内成员完成该项目，可以自由安排成员的任务，起到“小老师”的作用，每组保证每一位同学各司其职，提高团队合作效率。
3.1.4. 布置项目任务
教师在开展主题活动教学前，要设计出完整可行的活动方案，包括围绕活动主题、参考学生的个人经验和已有知识等设计若干子主题，明确解决问题所需的数学知识与技能，设置相应的学习任务，确定主题活动的形式，以及学习成果的形式、要求等[2]。针对“制作剪纸脸谱”的项目活动，教师可将该项目拆分成五个任务，通过提问设疑的形式指明方向。教师提出的每个任务要有目的性、递进性、连贯性、逻辑性，最终的目的要与数学核心素养相对接。教师根据教学目标，将目标分解成若干个要完成的任务，逐步引导学生完成以下任务(见图3)：
Figure 3. Flow chart of project tasks
图3. 项目任务流程图
3.2. 项目实施
任务一：收集资料，抽象概括轴对称图形概念。
师生活动：教师在多媒体上展示学生提前收集好的脸谱图片(见图4)，以“你了解脸谱吗？”这一问题为切入点，讲解脸谱的背景知识，让学生欣赏中华优秀传统文化，并观察脸谱的图形特点。教师顺势提出驱动型问题：脸谱中藏着哪些数学知识呢？这些脸谱沿中线对折会发生什么现象？
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Figure 4. Examples of classic opera facial masks. (a) Jiao Zan in “Mu Ke Zhai”; (b) Kong Xiu in “Guo Wu Guan”; (c) Cheng Yaojin in “Jia Jia Lou”; (d) Dou Erdun in “Dao Yu Ma”; (e) Cheng Pu in “Feng Huang Er Qiao”; (f) Dian Wei in “Zhan Wan Cheng”
图4. 经典戏曲脸谱示例。(a) 焦赞《穆柯寨》；(b) 孔秀《过五关》；(c) 程咬金《贾家楼》；(d) 窦尔敦《盗御马》；(e) 程普《凤凰二桥》；(f) 典韦《战宛城》
设计意图：通过“脸谱”这一载体，将中华优秀传统文化巧妙地融合在数学中。
核心素养培育路径：数学抽象素养的培育在此环节层层递进——学生首先观察具体脸谱的“形”，再通过对折操作聚焦“对称特征”，最后剥离非本质属性，提炼出“沿一条直线对折后完全重合”这一轴对称图形的本质定义，完全契合史宁中等人提出的“数学抽象需经历‘具体–表象–抽象’三个阶段”的培育规律[11]。
任务二：实践探索，思考剪纸脸谱的制作方法。
师生活动：利用任务一中学生已抽象出的轴对称图形的定义，教师向学生提出制作一个自己喜欢的人物剪纸脸谱的项目任务。教师抛出本节课的核心问题：怎样制作剪纸脸谱更加方便简洁？根据轴对称图形的定义(沿中线对折后能够完全重合的图形)，学生不难想到：先将卡纸对折，只需在卡纸的一面画出一半的脸谱图案，最后沿着线条剪裁即可。
设计意图：通过思考“怎样简易制作剪纸脸谱”这一问题，学生根据抽象出的轴对称图形的定义，将现实问题数学化。
核心素养培育路径：模型观念的培育在此环节落地——学生将“制作对称脸谱”的现实需求转化为“利用轴对称图形性质简化操作”的数学模型，通过“问题分析–模型构建–模型应用”的过程，理解“数学模型是连接现实与数学的桥梁”，同时强化应用意识，体会数学知识的实用价值[11]。
任务三：学科融合，设计剪纸脸谱图案并剪裁。
师生活动：教师依据提前分好的兴趣小组，安排每一组所要设计的人物脸谱。教师给予学生提示：将人物图片抽象成简易线条的形式(见图5)。学生用铅笔在卡纸的一面画出人物线条。根据设计的底稿进行剪裁，学生可能会有疑问：要不要剪断折痕？此时教师可以让小组另外两名成员做一个对照组，一个剪断折痕，另一个不剪断，看看制作出来的两个脸谱的效果如何？学生剪裁完成以后，将对折的卡纸打开，就得到了一个美丽的艺术作品。教师顺势指出：“折痕”就是轴对称图形的对称轴；再次折叠所重合的点是对应点，叫作对称点。
Figure 5. Line design diagram of paper-cut facial masks
图5. 剪纸脸谱线条设计图
设计意图：从学生感兴趣的事物入手，改变学生对数学“枯燥无味”的刻板印象。
核心素养培育路径：创新意识与直观想象素养在此环节协同发展——学生需将历史文化中的脸谱形象转化为美术线条设计，再通过空间想象预判对折剪裁后的效果；在设计过程中，学生可自主添加个性化元素，既保证轴对称特征，又体现创新性，实现“数学规范性”与“艺术创新性”的统一。同时，跨学科融合在此环节体现为“数学知识指导美术创作，美术创作反哺数学理解”[10]。
任务四：理论探究，探索轴对称图形基本性质。
师生活动：组织学生在脸谱上任意作出一对对称点(可将脸谱折叠找到对称点)，记作点A，A'是对称点，设AA'交对称轴MN于点P，将脸谱沿着对称轴MN折叠后，点A与A'重合。于是有AP = PA'，∠MPA = ∠MPA' = 90˚ (见图6)。再任意找出几对对称点，学生发现也有类似的情况。在学生发现规律后，教师引导学生总结出图形轴对称的基本性质。
Figure 6. Exploration diagram of the basic properties of axisymmetric figures
图6. 轴对称图形性质探究图
设计意图：实现“从实践到理论”的思维跨越，突出教师的主导作用与学生的主体性。
核心素养培育路径：逻辑推理素养在此环节得到重点发展——学生首先通过对具体对称点的测量获得“AP = PA'”“夹角为90˚”的合情推理结论，再通过多组对称点的验证提升结论的可靠性，最后在教师引导下演绎推理出轴对称图形的一般性质，完整经历“合情推理–演绎推理”的逻辑过程[11]。同时，直观想象素养通过“折叠脸谱找对称点”“观察线段与对称轴的位置关系”得以强化，实现“动手操作–直观感知–逻辑论证”的有机结合。
任务五：学以致用，完成剪纸脸谱佩戴绳制作。
师生活动：教师可以“除了将脸谱折叠找到对称点以外，你还能通过什么方式找到对称点？”“在剪纸脸谱的哪里打孔较为适合？”“怎样打孔保证其对称性？”等问题链的形式逐步引导启发学生完成该任务。学生拿出事先准备的弹力绳与打孔器，利用刚刚所学习掌握的图形轴对称的基本性质来完成佩戴绳的制作。
设计意图：教锻炼学生的发散思维，及时巩固新知，实现新旧知识的融合。
核心素养培育路径：应用意识与创新意识在此环节进一步深化——学生需灵活运用刚刚习得的轴对称性质解决“打孔定位”这一实际问题，体现“学以致用”；不同方法的探索则培养了发散思维，避免了知识应用的僵化。同时，该环节实现了新旧认知的衔接：学生在小学阶段对轴对称图形的初步认知，通过本节课的理论学习与实践应用，升华为系统的数学知识，完成了认知结构的重构[11]。
3.3. 展示项目成果
师生活动：小组派代表进行作品展示与汇报(见图7)，将活动成果反馈给师生，可以介绍小组制作剪纸脸谱的人物背景、也可以佩戴脸谱演绎人物的性格特点以及对脸谱有哪些深入了解等。也可以分享制作过程中遇到的困难并怎样去解决的。通过制作剪纸脸谱学到了哪些数学知识。小组可以是多种形式、多样化地展示作品及研究成果。教师还可以进一步提出开放性项目，供学生课后进一步探索，例如，利用本节课的知识，怎样制作过年时贴的窗花呢？怎样制作风筝呢？感兴趣的同学可以组建兴趣小组，一起动手制作。
预设：
Figure 7. Examples of students’ paper-cut facial mask works
图7. 学生剪纸脸谱作品示例
设计意图：提升学生的自我效能感，激发数学学习的内部动机。
核心素养培育路径：语言表达能力与逻辑梳理能力在此环节得到锻炼——学生需清晰阐述“制作过程–知识应用–感悟收获”的逻辑关系，将内隐的思维过程外显化；同时，通过欣赏其他小组的作品，学生可拓宽视野，体会轴对称图形的多样化呈现形式，进一步深化对“数学之美”的认知。
3.4. 进行项目评价
项目评价是一个项目的总结环节，是一个项目的重要组成部分。本项目基于教学评一致性理论设计采用多元化评价方式，包括小组自评、互评和教师评价，从知识掌握、技能应用、团队协作等方面进行评价[12]。教师可根据下表对学生进行评价(见表1)，每个方面各10分。
Table 1. Evaluation scale of “paper-cutting facial mask”
表1. “制作剪纸脸谱”评价量表
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评价内容 |
具体评价指标 |
组内自评 |
组间互评 |
教师评价 |
过程性评价 |
收集脸谱图案 |
脸谱的资料收集情况 |
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设计剪纸脸谱 |
脸谱人物设计美感度 |
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制作剪纸脸谱 |
剪纸脸谱剪裁精致度 |
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展示剪纸脸谱 |
介绍时语言表达能力 |
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结果性评价 |
数学知识 |
数学知识理解掌握度 |
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跨学科知识 |
跨学科知识的认知度 |
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剪纸脸谱作品 |
作品完成度与美观度 |
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综合能力评价 |
多学科融合 |
多学科知识运用能力 |
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思维创新 |
设计脸谱时的创新度 |
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团队协作 |
分工搭配与沟通能力 |
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发散思维 |
对数学知识的拓展度 |
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情感态度评价 |
剪纸、脸谱文化 |
历史人物故事掌握度 |
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乐于学习 |
参与态度课堂活跃度 |
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设计意图：上述评价量表将对学生进行综合性、全面性、系统性的评价，教师要对学生的评价进行记录，有利于改进教学方法、提高教学效率，便于对后续的项目进行调整、优化课堂教学。有利于学生改善学习策略，完善认知结构。
4. 实施建议
跨学科项目式教学对教师的专业素养、文化素养及教学机智要求较高。教师需提前储备剪纸及脸谱的历史知识、相关文学作品与艺术作品，脸谱所对应的人物性格、历史故事等跨学科内容。同时掌握美术学科中的图案设计对脸谱外观的影响。此外，本项目式教学中所需的工具(剪刀、刻刀、打孔器)存在安全隐患，要求教师做好安全预案：活动前强调安全操作规范(如递剪刀时刀尖朝向自己、刻刀用完后及时扣好刀帽)；准备好充足的创可贴、医用纱布绷带等紧急物品，并学习如何正确处理伤口，为应对突发事件做好充足准备。
同时，教师需关注学生的个体差异：对于数学基础较弱的学生，可提供预制的脸谱线条模板，重点引导其理解轴对称的概念与性质；对于动手能力较强的学生，可鼓励其自主设计复杂图案，探索轴对称图形的变式应用(如多对称轴设计)。此外，为保障项目顺利实施，需提前协调教学资源(如多媒体设备、美术工具、脸谱资料包)，确保每位学生都能参与到实践操作中。
5. 结语
随着新课改的推进，许多教育者对跨学科项目式教学进行研究，至今仍是热点话题，该教学模式也已经悄然进入中小学的课堂中。本研究以“脸谱”这一独特文化符号为核心载体，在激发数学学习动机与促进多维思维融合方面构建了三重关键机制。其一为视觉与情感双重驱动机制：脸谱色彩鲜明、造型夸张的视觉特质，契合初中生具象向抽象思维过渡的认知规律，将轴对称图形从抽象概念转化为可感知的视觉对象；其承载的历史故事与戏曲文化，赋予数学学习情感温度，通过“喜爱脸谱–探究图形–理解数学”的情感迁移，激发学生内在参与动机，规避工具化学习倾向。其二是多维思维协同发展机制：脸谱兼具历史叙事载体、美术造型范例与数学对称模型的属性，构建“历史叙事–美术创作–数学推理”的思维链条，使学生在梳理人物背景时锤炼逻辑叙事能力，在设计造型时发展空间想象能力，在探究性质时深化逻辑推理能力，实现数学核心素养与综合素养协同培育。其三为文化浸润与知识建构共生机制：脸谱的对称美学是中华传统文化“中庸和谐”理念的具象化，学生在制作过程中既掌握轴对称知识，又潜移默化理解文化意蕴，达成知识建构与文化认同同步。
基金项目
合肥师范学院研究生创新基金项目“基于HPM视角的新旧人教版数学教材研究”(立项者：丁仁君，参与人：高洁，编号：2025yjs086)。