基于理想点法的双目标优化算法

A Bi-Objective Optimization Algorithm Based on the Ideal Point Method

摘要: 现有的四元数曲线能量优化方法主要集中于单目标策略，而忽略了不同能量函数间的内在冲突。首先介绍了曲线的拉伸能，弯曲能和扭曲能等能量函数，然后提出了一种基于理想点法的双目标能量优化方法，最后以G²连续的含参单位四元数曲线为例，验证了该方法在平滑姿态轨迹构造中的有效性。实验结果表明，该方法能有效权衡不同能量函数，相较于单目标能量优化方法，其生成的姿态轨迹在综合性能上得到显著提升。

Abstract: Existing energy optimization methods for quaternion curves mainly focus on single-objective strategies, overlooking the inherent conflicts among different energy functionals. This paper introduces energy functionals for curves, such as stretching, bending, and twisting energy, and then proposes a bi-objective energy optimization method based on the ideal point method. The effectiveness of this approach in constructing smooth attitude trajectories is validated using a class of G² continuous parametric unit quaternion curves as an example. Experimental results demonstrate that our method can effectively balance different energy functionals, leading to a significant improvement in the overall performance of the generated attitude trajectories compared to single-objective optimization methods.

1. 引言

刚体运动轨迹的平滑构造是机器人学，航空航天及计算机动画等领域的关键问题。单位四元数因其能够有效避免万向节锁死现象，已成为描述三维旋转与生成姿态轨迹的标准数学工具[1]-[3]。为此，相关研究已提出多种曲线构造方法，例如基于球面插值的样条曲线[4] [5]，高阶连续的Bézier类与B样条类曲线[6]-[11]等。能量极小化是一种优化曲线几何质量的有效方法，其理论基础在Farin的专著[12]中有系统性阐述。其实践应用包括从样条曲线的光顺[13] [14]，到具有最优能量特性的Bézier曲线的直接构造[15] [16]。该原理的适用性已从欧氏空间中的三维曲线[17]扩展至更一般的黎曼流形[18]，是几何优化领域的基础工具之一。

然而，现有的能量优化方法多集中于单目标优化，如单独极小化弯曲能[15] [16]或扭曲能[19]。事实上，这些能量目标之间往往存在冲突，例如，仅极小化弯曲能可能导致曲线产生不必要的平坦区域，而仅极小化扭曲能则可能引入额外的振荡。这种内在的冲突性揭示了单目标优化的局限性，并凸显出双目标优化策略的必要性。然而，目前针对四元数曲线的双目标能量优化研究尚不充分。例如，王倩等[6]构造出具有$G^2$ 连续的含参单位四元数曲线，文献[7]则通过极小化单一能量函数来确定其参数。基于单目标优化方法无法权衡不同能量函数间的内在冲突，探索一种能够获得综合性能更优曲线的双目标优化方法，便成为一个有待解决的关键问题。

本文旨在解决上述问题，提出一种基于理想点法的双目标能量优化方法。为规避在四元数流形上直接优化的复杂性，本文将能量优化问题从四元数空间映射至欧氏空间中相应的多项式曲线上求解。在此基础上，利用理想点法[8]，通过同时约束两种能量函数，来确定待定参数的最优值。最后，将该方法应用于文献[6]所提出的含参单位四元数曲线，并与文献[7]的单目标优化方法进行对比。数值实验结果表明，与单目标方法相比，本文方法能够有效地在不同能量函数之间取得均衡，进而生成综合性能更优的平滑姿态轨迹。

2. 预备知识

2.1. 四元数的运算

在本节中，我们简要回顾四元数的定义与运算。与复数$z=a+bi$ $\left(a,b\in ℝ\right)$ 相比，四元数可定义为$q=w+xi+yj+zk$ ，其中，$w,x,y,z\in ℝ$ ，而$i,j,k$ 是三个虚部单位，满足

$\{\begin{array}{l}{i}^2=j^2=k^2=-1\\ jk=i=-kj,ki=j=-ik,ij=k=-ji.\end{array}$

给定两个四元数$q_n=w{}_n+x_{n}i+y_{n}j+z_{n}k\left(n=0,1\right)$ ，四元数的加法和减法定义如下：

$q_0\pm q_1=\left(w_0\pm w_1\right)+\left(x_0\pm x_1\right)i+\left(y_0+y_1\right)j+\left(z_0+z_1\right)k.$

两个四元数的乘法定义为：

$\begin{array}{c}{q}_0{q}_1=\left(w_0+x_{0}i+y_{0}j+z_{0}k\right)\left(w_1+x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k\right)\\ =\left(w_0{w}_1-x_0{x}_1-y_0{y}_1-z_0{z}_1\right)+\left(w_0{w}_1+x_0{w}_1+y_0{z}_1-z_0{y}_1\right)\\ +\left(w_0{y}_1+y_0{w}_1+z_0{x}_1-x_0{z}_1\right)j+\left(w_0{z}_1+z_0{w}_1+x_0{y}_1-y_0{x}_1\right)k.\end{array}$

需要注意的是，四元数乘法满足结合律，但不满足交换律。

一个四元数$q=w+xi+yj+zk$ 的共轭定义为：

$\overline{q}=w-xi-yj-zk.$

并且称$\Vert q\Vert =\sqrt{q\overline{q}}=\sqrt{w^2+x^2+y^2+z^2}$ 为$q$ 的范数，当$\Vert q\Vert =1$ 时，称$q$ 为单位四元数。当$q\ne 0$ 时，定义$q$ 的逆为$q^{-1}=\frac{\overline{q}}{{\Vert \overline{q}\Vert }^2}$ ，则有$q{q}^{-1}=q^{-1}q=1$ 。若$q=w+xi+yj+zk$ 是单位四元数，则$q$ 表示为$q=\cos \theta +n\sin \theta$ 。

其中，$\theta =\arccos w\in \left[0,\pi \right]$ ，$n=\frac{\left(x,y,z\right)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\in {�}^2$ 。单位四元数常用于三维空间中的旋转轴向量，它可以避免万向锁问题，并能提供平滑的插值方法。

基于右手定则，任意三维向量$v$ 沿着以单位四元数定义的旋转轴$n$ 旋转$2\theta$ 后，得到向量$v^{\prime }$ 。根据四元数乘法，$v^{\prime }=q^{*}vq=q^{-1}vq$ 。

单位四元数$q$ 的对数映射定义为将一个单位四元数转换为一个纯四元数(即标量部分为0的四元数)，其向量部分恰好等于该旋转所对应的旋转向量的一半，即$\ln \left(q\right)=\theta n$ 。

2.2. 曲线能量

曲线能量是曲线的几何特征(如弯曲程度，扭转程度)的一种量化形式。空间曲线$h\left(t\right)$ $\left(a\le t\le b\right)$ 的拉伸能，弯曲能和扭曲能分别为[17]：

$E_{\text{stretch}}\left(h\right)={\displaystyle {\int }_a^b\Vert h^{\prime }\left(t\right)\Vert \text{d}t},$

$E_{\text{bend}}\left(h\right)={\displaystyle {\int }_a^b{\kappa }^2}\left(t\right)\Vert h^{\prime }\left(t\right)\Vert \text{d}t,$

$E_{\text{twist}}\left(h\right)={\displaystyle {\int }_a^b{\tau }^2}\left(t\right)\Vert h^{\prime }\left(t\right)\Vert \text{d}t.$

其中，$\kappa \left(t\right)$ ，$\tau \left(t\right)$ 分别表示曲线$h\left(t\right)$ 的曲率和挠率，满足：

$\kappa \left(t\right)=\frac{\Vert h^{\prime }\left(t\right)\times h^{″}\left(t\right)\Vert }{{\Vert h^{\prime }\left(t\right)\Vert }^3},$

$\tau \left(t\right)=\frac{\left(h^{\prime }\left(t\right),h^{″}\left(t\right),h^{‴}\left(t\right)\right)}{{\Vert h^{\prime }\left(t\right)\times h^{″}\left(t\right)\Vert }^2}.$

由于上述表达式在进行求值和最小化过程中计算成本过高，因此，利用以下表达式对其进行近似[17]：

${\tilde{E}}_{\text{stretch}}\left(h\right)={\displaystyle {\int }_a^b{\Vert h^{\prime }\left(t\right)\Vert }^2\text{d}t},$

${\tilde{E}}_{\text{bend}}\left(h\right)={\displaystyle {\int }_a^b{\Vert h^{″}\left(t\right)\Vert }^2\text{d}t},$

${\tilde{E}}_{\text{twist}}\left(h\right)={\displaystyle {\int }_a^b{\Vert h^{‴}\left(t\right)\Vert }^2\text{d}t}.$

以上3种能量可以统一表示为

$E_k\left(h\right)={\displaystyle {\int }_a^b{\Vert h^{\left(k\right)}\left(t\right)\Vert }^2\text{d}t},k=1,2,3.$ (1)

其中，$E_1$ 表示近似拉伸能，$E_2$ 表示近似弯曲能，$E_3$ 表示近似扭曲能。

3. 双目标优化算法

在利用能量法构造曲线时，通常通过曲线能量极小化确定待定参数。为方便描述，不妨设空间参数曲线$h\left(t\right)$ 的待定参数为${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n$ 。由式(1)，$h\left(t\right)$ 的近似拉伸能函数，近似弯曲能函数和近似扭曲能函数分别为：

$E_1\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right)={\displaystyle {\int }_a^b{\Vert h^{\prime }\left(t\right)\Vert }^2\text{d}t},$

$E_2\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right)={\displaystyle {\int }_a^b{\Vert h^{″}\left(t\right)\Vert }^2\text{d}t},$

$E_3\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right)={\displaystyle {\int }_a^b{\Vert h^{‴}\left(t\right)\Vert }^2\text{d}t}.$

由于空间曲线$h\left(t\right)$ 的2种能量需同时极小化，故双目标优化问题可表示为以下三类：

$\underset{\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right)\in H}{\min }{\left(E_u\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right),E_v\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right)\right)}^{\text{T}},$ (2)

其中，$u<v$ ，且$u,v=1,2,3$ ，$H$ 为待定参数${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n$ 应满足的可行域。

为求解该双目标优化问题，本文采用理想点法将其转化为一个单目标优化问题。该方法旨在寻找一个在目标空间中距离理论“理想点”最近的解。

为此，首先考虑以下2个独立的单目标优化问题：

$\underset{\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right)\in H}{\min }{E}_u\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right),\underset{\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right)\in H}{\min }{E}_v\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right).$ (3)

其中，$u<v$ ，且$u,v=1,2,3$ ，$H$ 为待定参数${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n$ 应满足的可行域。

具体求解步骤如下：

Step 1 计算理想点坐标：选择一种优化方法求得式(3)中每个单目标问题的最优解。记$E_u\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right)$ 的最小值为$\min E_u$ ，$E_v\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right)$ 的最小值为$\min E_v$ 。由$\min E_u$ 和$\min E_v$ 共同构成目标空间中的理想点$m^{\ast }=\left(\min E_u,\min E_v\right)$ 。

Step 2 构建距离函数：对于任意参数${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n$ ，其在目标空间中对应的点为

$m=\left(E_u\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right),E_v\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right)\right)$ ,

为找到距离理想点$m$ 最近的解，我们构建如下的欧氏距离函数

$D\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right)=\sqrt{{\left(E_u\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right)-\min E_u\right)}^2+{\left(E_v\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right)-\min E_v\right)}^2}.$

Step 3 计算有效解：将原双目标优化问题转化为求解以下单目标距离最小化问题

$\min D\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right),$ (4)

最后，选择合适的优化方法求出式(4)的最优解，即可得到式(2)的一个有效解。

4. 应用

为验证本文提出的双目标优化方法的有效性，本节将给出其在含参单位四元数曲线上的具体实现过程，并通过数值实验进行性能评估。

4.1. 含参四元数曲线的双目标能量优化

给定4个控制点$q_0,q_1,q_2,q_3\in {�}^3$ ，王倩等[6]构造了含参数$\lambda$ 的单位四元数曲线：

$Q\left(t\right)=q_0^{{\tilde{B}}_0\left(t\right)}{\displaystyle \prod _{i=1}^3{\left(q_{i-1}^{-1}{q}_i\right)}^{{\tilde{B}}_i\left(t\right)}},t\in \left[0,1\right],$

其中，

$\{\begin{array}{l}{\tilde{B}}_0\left(t\right)=1,\\ {\tilde{B}}_1\left(t\right)=-\lambda t^4+3\lambda t^3-3\lambda t^2+\lambda t+1,\\ {\tilde{B}}_2\left(t\right)=\left(2-4\lambda \right)t^4+\left(8\lambda -5\right)t^3+\left(3-3\lambda \right)t^2+\left(1-\lambda \right)t,\\ {\tilde{B}}_3\left(t\right)=\left(1-\lambda \right)t^4-\left(1-\lambda \right)t^3.\end{array}$

该单位四元数曲线$Q\left(t\right)$ 的能量函数形式复杂，若直接优化则会出现计算成本高、稳定性差的情况。因此基于文献[7]的空间转换思想，考虑将其转化为欧氏空间中的多项式曲线$P\left(t\right)$ ，在此基础上对其进行双目标能量优化，再将所得的优化参数应用于单位四元数曲线$Q\left(t\right)$ ，最终生成一条综合能量特性更优的单位四元数曲线$Q\left(t\right)$ 。

通过Kim等的方法[4]可以得到单位四元数曲线$Q\left(t\right)$ 对应的多项式曲线

$P\left(t\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^3{B}_i\left(t\right)p_i,}$

其中，$B_i\left(t\right)={\tilde{B}}_i\left(t\right)-{\tilde{B}}_{i+1}\left(t\right),{\tilde{B}}_4\left(t\right)=0,p_i=\ln \left(q_i\right)$。该多项式曲线可以改写为

$P\left(t\right)=f\left(t\right)+\lambda g\left(t\right).$

其中，

$f\left(t\right)=\left(-2t^4+5t^3-3t^2-t+1\right)p_1+\left(t^4-4t^3+3t^2+t\right)p_2+\left(t^4-t^3\right)p_3,$

$g\left(t\right)=\left(t^4-3t^3+3t^2-t\right)p_0+\left(3t^4-5t^3+2t\right)p_1+\left(-3t^4+7t^3-3t^2-t\right)p_2+\left(-t^4+t^3\right)p_3.$

由式(1)，经计算可得四次多项式曲线$P\left(t\right)$ 的能量函数为：

$E_k\left(P;\lambda \right)={\lambda }^2{\displaystyle {\int }_0^1{g}^{\left(k\right)}}\left(t\right)\cdot g^{\left(k\right)}\left(t\right)\text{d}t+2\lambda {\displaystyle {\int }_0^1{f}^{\left(k\right)}}\left(t\right)\cdot g^{\left(k\right)}\left(t\right)\text{d}t+{\displaystyle {\int }_0^1{f}^{\left(k\right)}}\left(t\right)\cdot f^{\left(k\right)}\left(t\right)\text{d}t,$

其中，当$k=1$ 时为近似拉伸能函数；当$k=2$ 时为近似弯曲能函数；当$k=3$ 时为近似扭曲能函数。于是，由式(2)可得双目标优化问题：

$\underset{\lambda \in \left[0,1\right]}{\min }{\left(E_u\left(P;\lambda \right),E_v\left(P;\lambda \right)\right)}^{\text{T}},$

其中，$u,v\in \left\{1,2,3\right\}$ ，且$u<v$ 。

首先，确定上述问题的理想点，考虑单目标优化问题

$\underset{\lambda \in \left[0,1\right]}{\min }{E}_u\left(P;\lambda \right),\underset{\lambda \in \left[0,1\right]}{\min }{E}_v\left(P;\lambda \right).$

其中，$u,v\in \left\{1,2,3\right\}$ ，且$u<v$ 。令

$\frac{\text{d}{E}_u\left(\lambda \right)}{\text{d}\lambda }=0,\frac{\text{d}{E}_v\left(\lambda \right)}{\text{d}\lambda }=0,$

得

$\alpha =-\frac{{\displaystyle {\int }_0^1{f}^{\left(u\right)}}\left(t\right)\cdot g^{\left(u\right)}\left(t\right)\text{d}t}{{\displaystyle {\int }_0^1{g}^{\left(u\right)}}\left(t\right)\cdot g^{\left(u\right)}\left(t\right)\text{d}t},\beta =-\frac{{\displaystyle {\int }_0^1{f}^{\left(v\right)}}\left(t\right)\cdot g^{\left(v\right)}\left(t\right)\text{d}t}{{\displaystyle {\int }_0^1{g}^{\left(v\right)}}\left(t\right)\cdot g^{\left(v\right)}\left(t\right)\text{d}t}.$

则理想点为

$m^{\ast }=\left(\alpha ,\beta \right).$

其次，对于参数$\lambda$ ，构建距离函数：

$D\left(\lambda \right)=\sqrt{{\left(E_u\left(P;\lambda \right)-\alpha \right)}^2+{\left(E_v\left(P;\lambda \right)-\beta \right)}^2},$

其中，记$S\left(\lambda \right)={\left(E_u\left(P;\lambda \right)-\alpha \right)}^2+{\left(E_v\left(P;\lambda \right)-\beta \right)}^2$ 。

最后，求解$\underset{\lambda \in \left[0,1\right]}{\min }D\left(\lambda \right)$ 。由于平方根函数是一个严格的单调递增函数，所以可以将问题转化为求解$\underset{\lambda \in \left[0,1\right]}{\min }S\left(\lambda \right)$ ，避免复杂的平方根求导，达到简化计算。对$S\left(\lambda \right)$ 求关于参数$\lambda$ 的一阶导数：

$S^{\prime }\left(\lambda \right)=2\left(E_u\left(P;\lambda \right)-\alpha \right){E^{\prime }}_u\left(P;\lambda \right)+2\left(E_v\left(P;\lambda \right)-\beta \right){E^{\prime }}_v\left(P;\lambda \right)$

其中，$\alpha =-\frac{{\displaystyle {\int }_0^1{f}^{\left(u\right)}}\left(t\right)\cdot g^{\left(u\right)}\left(t\right)\text{d}t}{{\displaystyle {\int }_0^1{g}^{\left(u\right)}}\left(t\right)\cdot g^{\left(u\right)}\left(t\right)\text{d}t}$ ，$\beta =-\frac{{\displaystyle {\int }_0^1{f}^{\left(v\right)}}\left(t\right)\cdot g^{\left(v\right)}\left(t\right)\text{d}t}{{\displaystyle {\int }_0^1{g}^{\left(v\right)}}\left(t\right)\cdot g^{\left(v\right)}\left(t\right)\text{d}t}$ 。令$S^{\prime }\left(\lambda \right)=0$ 求得其在$\lambda \in \left[0,1\right]$ 内的所有根$\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n\right\}$ 。$\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n\right\}$ 是$S\left(\lambda \right)$ 的极值点，将其以及定义域的边界点($\lambda =0$ 和$\lambda =1$ )代入$S\left(\lambda \right)$ 中，计算出其对应的函数值并比较，其中最小的一个即为$S\left(\lambda \right)$ 的最小值$S_{\min }$ 。最后，该最小值$S_{\min }$ 所对应的参数值$\lambda$ 即为所求的双目标优化问题的有效解。

4.2. 实验与分析

在本节中，我们将给出数值实验来说明基于理想点法的双目标极小化的有效性，并将该方法与相应的单目标极小化进行比较。随机选取三组四元数曲线的控制顶点$q_0$ ，$q_1$ ，$q_2$ ，$q_3$ ，利用对数映射，得到四次多项式曲线$P\left(t\right)$ 的控制顶点，再通过上述算法得到不同双目标能量优化下的参数值。

表1~3为不同数据下不同能量极小化的计算结果。可以看出王倩等的单目标优化方法[7]均表现出明显的局限性，如“仅$E_1$ 极小化”在得到较低的$E_1$ 值的同时，会导致较高的$E_2$ 值；“仅$E_2$ 极小化”亦然。而本文方法均取得了均衡的优化结果，这表明本文方法可以成功找到一个在两个冲突目标间取得良好折衷的有效解，进而生成综合能量特性更优的曲线。

Table 1. Optimized parameters and energy values for Data 1 calculated using different methods

表1. 数据1对应的不同方法的优化参数以及能量值

方法	优化参数	$E_1$	$E_2$	$E_3$
王倩等的方法[7] $\left(\min E_1\right)$	0.5632	3.516100	43.576711	-
王倩等的方法[7] $\left(\min E_2\right)$	0.6752	3.535284	42.617800	-
本文方法$\left(\min E_{1,2}\right)$	0.6565	3.522922	42.528599	-
王倩等的方法[7] $\left(\min E_1\right)$	0.5632	3.516100	-	949.292616
王倩等的方法[7] $\left(\min E_3\right)$	0.5049	3.559062	-	945.277400
本文方法$\left(\min E_{1,3}\right)$	0.5066	3.557316	-	944.951608
王倩等的方法[7] $\left(\min E_2\right)$	0.6752	-	42.617800	1079.394323
王倩等的方法[7] $\left(\min E_3\right)$	0.5049	-	45.494049	945.277400
本文方法$\left(\min E_{2,3}\right)$	0.5272	-	44.647556	941.535831

Table 2. Optimized parameters and energy values for Data 2 calculated using different methods

表2. 数据2对应的不同方法的优化参数以及能量值

方法	优化参数	$E_1$	$E_2$	$E_3$
王倩等的方法[7] $\left(\min E_1\right)$	0.6308	0.670000	8.565655	-
王倩等的方法[7] $\left(\min E_2\right)$	0.7816	0.706509	8.172900	-
本文方法$\left(\min E_{1,2}\right)$	0.7604	0.698243	8.178621	-
王倩等的方法[7] $\left(\min E_1\right)$	0.6308	0.670000	-	144.666704
王倩等的方法[7] $\left(\min E_3\right)$	0.5699	0.669897	-	145.103500
本文方法$\left(\min E_{1,3}\right)$	0.5721	0.669750	-	145.040077
王倩等的方法[7] $\left(\min E_2\right)$	0.7816	-	8.172900	153.688151
王倩等的方法[7] $\left(\min E_3\right)$	0.5699	-	8.952534	145.103500
本文方法$\left(\min E_{2,3}\right)$	0.6095	-	8.686157	144.543711

Table 3. Optimized parameters and energy values for Data 3 calculated using different methods

表3. 数据3对应的不同方法的优化参数以及能量值

方法	优化参数	$E_1$	$E_2$	$E_3$
王倩等的方法[7] $\left(\min E_1\right)$	0.5751	0.899068	9.513855	-
王倩等的方法[7] $\left(\min E_2\right)$	0.6849	0.882639	8.492009	-
本文方法$\left(\min E_{1,2}\right)$	0.6699	0.882560	8.588103	-
王倩等的方法[7] $\left(\min E_1\right)$	0.5751	0.899068	-	178.431222
王倩等的方法[7] $\left(\min E_3\right)$	0.5673	0.901732	-	177.779950
本文方法$\left(\min E_{1,3}\right)$	0.5675	0.901661	-	177.795448
王倩等的方法[7] $\left(\min E_2\right)$	0.6849	-	8.492009	197.362792
王倩等的方法[7] $\left(\min E_3\right)$	0.5673	-	9.614394	177.779950
本文方法$\left(\min E_{2,3}\right)$	0.5804	-	9.447650	178.928350

接下来，从几何角度评估曲线质量，图1~3所示为以上数据所对应的单位四元数曲线的曲率变化图。其中，黄色曲线是王倩等的方法[7]确定的近似拉伸能极小化的曲线曲率，绿色曲线是王倩等的方法[7]确定的近似弯曲能极小化的曲线曲率，蓝色曲线是王倩等的方法[7]确定的近似扭曲能极小化的曲线曲率，红色曲线是本文方法确定的近似拉伸能和近似弯曲能同时极小化的曲线曲率，紫色曲线是本文方法确定的近似拉伸能和近似扭曲能同时极小化的曲线曲率，橙色曲线是本文方法确定的近似弯曲能和近似扭曲能同时极小化的曲线曲率。从图中可以看出，本文方法的曲率曲线介于文献[7]的单目标结果之间。与单目标优化易导致的曲率振荡或过度平坦等极端行为不同，本文方法通过权衡冲突目标，有效抑制了此类现象，进而得到几何上更平滑，稳定的曲线。

Figure 1. Curvature of the unit quaternion curve corresponding to Data 1

图1. 数据1对应的单位四元数曲线曲率

Figure 2. Curvature of the unit quaternion curve corresponding to Data 2

图2. 数据2对应的单位四元数曲线曲率

Figure 3. Curvature of the unit quaternion curve corresponding to Data 3

图3. 数据3对应的单位四元数曲线曲率

最后，为验证本文方法的性能，利用第1组控制顶点，对不同优化方法生成的刚体旋转运动的姿态曲线进行分析。图4所示为相应的茶壶姿态轨迹，其中，图4(a)~(c)为王倩等的方法[7]分别对能量$E_1,E_2,E_3$ 单目标极小化所得的参数，图4(d)~(f)为本文方法分别对能量$E_{1,2},E_{1,3},E_{2,3}$ 双目标极小化所得的参数，红色茶壶表示端点姿态，绿色茶壶表示由单位四元数曲线做姿态曲线生成的姿态。从图4可以看出，单目标优化下的姿态轨迹(图4(a)~(c))在运动过程中存在较明显的急促旋转，运动不均匀。而本文方法生成的轨迹(图4(d)~(f))整体过渡平滑，运动姿态变化自然。这直观地表明，本文方法能够有效改善运动质量，生成视觉效果更优的运动轨迹。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figure 4. Pose trajectories of the teapot for different values of the parameter $\lambda$ . (a) Wang et al.’s method [7] $\left(\lambda =0.5632\right)$ ; (b) Wang et al.’s method [7] $\left(\lambda =0.6752\right)$ ; (c) Wang et al.’s method [7] $\left(\lambda =0.5049\right)$ ; (d) The proposed method$\left(\lambda =0.6565\right)$ ; (e) The proposed method$\left(\lambda =0.5066\right)$ ; (f) The proposed method$\left(\lambda =0.5272\right)$

图4. $\lambda$ 取不同值时茶壶的姿态轨迹。(a) 王倩等的方法[7] $\left(\lambda =0.5632\right)$ ；(b) 王倩等的方法[7] $\left(\lambda =0.6752\right)$ ；(c) 王倩等的方法[7] $\left(\lambda =0.5049\right)$ ；(d) 本文方法$\left(\lambda =0.6565\right)$ ；(e) 本文方法$\left(\lambda =0.5066\right)$ ；(f) 本文方法$\left(\lambda =0.5272\right)$

5. 结语

本文针对现有四元数曲线单目标能量优化的局限性，提出了一种基于理想点法的双目标能量优化方法。该方法通过将优化问题从四元数空间映射至欧氏空间，同时优化两个能量函数，有效解决了单目标优化方法难以权衡的缺点。数值实验结果表明，该方法在平滑姿态轨迹构造中表现出色，能够为机器人学，航空航天及计算机动画等领域提供综合性能更优的运动规划方案。

在后续的研究中，本文所提出的优化框架有望进一步拓展至三目标及以上的多目标优化场景。从理论上看，这种扩展是直接的。例如，对于一个三目标优化问题，其距离函数可具体表示为

$D=\sqrt{{\left(E_1-\min E_1\right)}^2+{\left(E_2-\min E_2\right)}^2+{\left(E_3-\min E_3\right)}^2}.$

然而，尽管理论上清晰可行，但在计算上可能面临新的挑战：随着目标数量的增加，这会带来更高的计算复杂性。因此，探索高效求解此类多目标优化问题的算法，将是未来一个极具价值的研究方向，它将进一步增强本方法的通用性与实用性。

NOTES

^*通讯作者。