“正难则反”策略在高等代数中的应用

Application of the “If the Direct Approach is Difficult, Try the Opposite” Strategy in Advanced Algebra

摘要: 在众多复杂的高等代数习题中，有许多问题往往用通常的思维角度思考难以解决，此时灵活地运用解题策略中的正难则反策略中反向思考的解题方法能够使解题过程较之正面解决更为简便，培养灵活变通的解题和推理能力，发展反向思考的数学思维逻辑。

Abstract: Among the numerous complex exercises in Higher Algebra, many problems are often difficult to solve from a conventional way of thinking. In such cases, flexibly applying the problem-solving method of reverse thinking under the strategy of “turning to the opposite when direct approach is difficult” can make the problem-solving process more straightforward compared with the direct approach. This not only cultivates flexible problem-solving and reasoning abilities but also develops the mathematical thinking logic of reverse thinking.

1. 引言

1.1. “正难则反”核心概念与理论基础

“正难则反”策略(“if the direct approach is difficult, try the opposite” strategy)是一种重要的数学思维方法，其核心在于当正面思考难以解决问题时，转而从问题的反面进行思考，通过解决反面问题来间接解决原问题。这一策略的本质是逆向思维，体现了“对立统一”的哲学思想，即事物往往包含相互对立又统一的两个方面。

在数学教育学中，“正难则反”策略被视为培养学生创造性思维和问题解决能力的关键方法；在认知心理学领域，它被归类为逆向推理(backward inference)或目标驱动推理，是人类认知系统中重要的启发式问题解决策略。

1.2. “正难则反”策略在数学教育学中的应用

1.2.1. 培养学生的逆向思维能力

教师通过设计特定问题情境，引导学生从结论出发进行反向推导，如在证明“三角形内角和为180˚”时，先假设结论不成立，推导出矛盾。在小学阶段，通过“倒推法”解决简单问题，如计算“从1到10的和”时，采用(1 + 10) + (2 + 9) + ∙∙∙的配对方法，培养初步的逆向思维。在中学阶段，系统引入反证法作为“正难则反”策略的典型应用，解决“至少”、“至多”、“唯一性”等类型问题。

1.2.2. 优化教学设计与实践

案例分析法：收集和整理大量涉及“正难则反”思想的数学解题案例，涵盖不同数学分支和题型，为学生提供具体示范；

行动研究法：将“正难则反”策略的教学策略应用于实际教学，通过“实践–反思–调整–再实践”的循环过程，优化教学效果；

情境创设：构建生活化问题情境，如“司马光砸缸”故事，帮助学生理解“正难则反”策略的实际应用价值。

1.2.3. 提升解题效率与思维品质

简化运算过程：如在计算“1到100中不是3的倍数的数有多少个”时，先计算3的倍数数量(33个)，再用100 − 33 = 67，比直接计数简便得多；

突破思维定式：当学生习惯于正向思维时，“正难则反”策略能帮助他们打破常规，发现新的解题路径；

培养批判性思维：通过反证法等应用，学生学会质疑假设、验证结论，形成严谨的数学思维习惯。

1.3. 实践应用与教学建议

1.3.1. 教学实施策略

循序渐进：从小学低年级的简单逆向问题开始，逐步过渡到中学阶段的复杂证明问题；

对比教学：将正向思维与逆向思维解法进行对比，让学生直观感受“正难则反”策略的优势；

生活化案例：利用“司马光砸缸”、“诸葛亮草船借箭”等经典故事，帮助学生理解“正难则反”策略的现实应用。

1.3.2. 典型问题类型

(1) 否定性命题：当直接证明困难时，用反证法证明命题的否定不成立；

(2) 唯一性命题：结论以“……唯一”形式出现，可考虑用反证法证明；

(3) “至多/至少”类命题：结论以“至少……”或“至少……”形式出现，适合用反证法证明；

(4) 存在性问题：判断某个数学对象是否存在时，若直接寻找证据困难，可假设其不存在，推出矛盾。

2. “正难则反”策略在高等代数中的应用

2.1. “正难则反”策略中反证法的应用

反证法[1] [2]是一种不遵循直接解题方向的证明方法，它通过反设与原命题相矛盾的逆命题，通过论证逆命题的真假，使用排中律和矛盾律，通过证明反命题，来证明原命题的真实性。在处理高等代数中多项式的问题时，通过运用反证法，可以更加高效地解决高等代数问题中，并且对高等代数诸多类型问题有更深层次的了解，从中熟悉高等代数问题。以便从不同方向思考出更多高等代数问题的解题思想。

2.1.1. 反证法在多项式中的应用

以下将通过举例来说明“正难则反”策略中反证法在高等代数多项式中的应用。

例1：设$f_1\left(x\right),f_2\left(x\right),\cdots ,f_m\left(x\right),g_1\left(x\right),\cdots ,g_n\left(x\right)$ 都是多项式，而且$\left(f_i\left(x\right),g_j\left(x\right)\right)=1$ ($i=1,2,\cdots ,m$ ;$j=1,2,\cdots ,n$ )求证：

$\left(f_1\left(x\right)f_2\left(x\right)\cdots f_m\left(x\right),g_1\left(x\right)g_2\left(x\right)\cdots g_n\left(x\right)\right)=1.$ (1)

证明：用反证法。如果

$d\left(x\right)=\left(f_1\left(x\right)f_2\left(x\right)\cdots f_m\left(x\right),g_1\left(x\right)g_2\left(x\right)\cdots g_n\left(x\right)\right)\ne 1,$ (2)

则$d\left(x\right)$ 有一个不可约因式，设为$p\left(x\right)$ 。于是$p\left(x\right)|f_1\left(x\right)f_2\left(x\right)\cdots f_m\left(x\right)$ 。根据不可约多项式的性质，$p\left(x\right)$ 能整除$f_1\left(x\right),f_2\left(x\right),\cdots ,f_m\left(x\right)$ 中的一个，设为$f_s\left(x\right)$ ($1\le s\le m$ )。同理$p\left(x\right)$ 整除$g_1\left(x\right),g_2\left(x\right),\cdots ,g_n\left(x\right)$ 中的一个，设为$g_t\left(x\right)$ ($1\le t\le n$ )。因此$p\left(x\right)|\left(f_s\left(x\right),g_t\left(x\right)\right)$ ，与题设矛盾。所以

$\left(f_1\left(x\right)f_2\left(x\right)\cdots f_m\left(x\right),g_1\left(x\right)g_2\left(x\right)\cdots g_n\left(x\right)\right)=1$ (3)

2.1.2. 反证法在线性变换中的应用

例2：设${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 是线性变换$\mathcal{A}$ 的两个不同特征值${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ 是分别属于${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的特征向量，证明${\epsilon }_1+{\epsilon }_2$ 不是$\mathcal{A}$ 的特征向量。

证明：设$\mathcal{A}\left({\epsilon }_1+{\epsilon }_2\right)=\lambda \left({\epsilon }_1+{\epsilon }_2\right)$ 。但

$\mathcal{A}\left({\epsilon }_1+{\epsilon }_2\right)=\mathcal{A}{\epsilon }_1+\mathcal{A}{\epsilon }_2={\lambda }_1{\epsilon }_1+{\lambda }_2{\epsilon }_2$ (4)

故$\lambda \left({\epsilon }_1+{\epsilon }_2\right)={\lambda }_1{\epsilon }_1+{\lambda }_2{\epsilon }_2$ ，于是

$\left(\lambda -{\lambda }_1\right){\epsilon }_1+\left(\lambda -{\lambda }_2\right){\epsilon }_2=0$ (5)

因为${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ ，$\lambda -{\lambda }_1$ 与$\lambda -{\lambda }_2$ 不全为0，且属于不同特征值的特征向量是线性无关的，所以${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ 是线性无关的，矛盾。故${\epsilon }_1+{\epsilon }_2$ 不是$\mathcal{A}$ 的特征向量。

例3：设A是一n阶下三角矩阵，证明：如果$a_{11}=a_{22}=\cdots =a_{nn}$ ，而至少有一$a_{i_0{j}_0}\ne 0$ $\left(i_0>j_0\right)$ ，那么A不与对角矩阵相似。

证明：若A与对角矩阵

$B=\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{b}_1\\ \end{array}& \begin{array}{c}\\ b_2\end{array}\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ \end{array}& \begin{array}{c}\\ \end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{c}\\ \end{array}& \begin{array}{c}\\ \end{array}\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{c}\ddots \\ \end{array}& \begin{array}{c}\\ b_n\end{array}\end{array}\end{array}\right)$ (6)

相似，则A与它有相同特征值。于是$\left\{b_1,b_2,\cdots ,b_n\right\}$ 与$\left\{a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn}\right\}$ 相同，则有$b_1=b_2=\cdots =b_n$ ，因而B是数量矩阵。数量矩阵可与任何矩阵交换，它只能相似于自己。若A与B相似，则A必为数量矩阵。但现在A不是数量矩阵，矛盾。故A不能相似于对角矩阵。

2.1.3. 反证法在线性方程组中的应用

例4：证明：如果向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性无关，而${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r,\beta$ 线性相关，则向量$\beta$ 可经${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性表出。

证明：由题设有不全为零的数$l,l_1,\cdots ,l_r$ 使$l\beta +l_1{\alpha }_1+\cdots +l_r{\alpha }_r=0$ 。将$l\beta$ 移项，得$\left(-l\right)\beta =l_1{\alpha }_1+\cdots +l_r{\alpha }_r$ 。现证明$l\ne 0$ 。用反证法，若$l=0$ ，由$l,l_1,\cdots ,l_r$ 不全为零，故$l_1,l_2,\cdots ,l_r$ 不全为零，且有$0=l_1{\alpha }_1+l_2{\alpha }_2+\cdots +l_r{\alpha }_r$ 。与题设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性无关矛盾，故$l\ne 0$ 。

将$\left(-l\right)\beta =l_1{\alpha }_1+\cdots +l_r{\alpha }_r$ 两端同乘$\frac{1}{-l}$ ，则得

$\beta =\frac{l_1}{-l}{\alpha }_1+\frac{l_2}{-l}{\alpha }_2+\cdots +\frac{l_r}{-l}{\alpha }_r$ (7)

即$\beta$ 可经${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性表出。

2.2. “正难则反”策略中逆推分析法的应用

逆推分析法是思考证明问题的一种重要思想方式，它是一种从问题的结论出发进行推理的方式。如果难以找到问题所给的条件和它所求结论之间的关联，那么直接从条件推导出结论可能会很困难，这时我们可以尝试使用逆推分析法。从要求的结论反向求证，逐步利用与条件相关的等价关系，直到我们找到一个可以直接证明的条件。逆推分析法的解题思路是：要论证结论A，则只需论证结论B。

2.2.1. 逆推分析法在线性变换的应用

例5：设V是数域P上n维线性空间。证明：由V的全体线性变换组成的线性空间是$n^2$ 维的。

分析：按照题目给定的条件直接证明V的全体线性变换组成的线性空间是$n^2$ 维的是困难的，这时我们从更为宽泛的数域P入手，先证明$P^{n\times n}$ 是$n^2$ 维的。

证明：$E_{11},E_{12},\cdots ,E_{1n},E_{21},E_{22},\cdots E_{2n},\cdots E_{n1},E_{n2},\cdots ,E_{nn}$ 这组元素是$P^{n\times n}$ 的生成元，任一元$\alpha \in P$ ，$\alpha ={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{E}_{ij}}}$ 。

又若${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{E}_{ij}}}=\overrightarrow{0}$ ，即有

${\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}=\overrightarrow{0}$ (8)

于是

$a_{ij}=0$ ，$1\le i,j\le n$ (9)

故$\left\{E_{ij}|1\le i,j\le n\right\}$ 是线性无关的，因此它们是$P^{n\times n}$ 的一组基，从而$P^{n\times n}$ 是$n^2$ 维的。

设V是P上n维线性空间，$L\left(V\right)$ 是V上全体线性变换所成的空间。给定V上一组基${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ ，任一线性变换与它在该基下的矩阵相对应。这就建立了$L\left(V\right)$ 到$P^{n\times n}$ 上的一个映射，它是双射，又保持各自的加法和数量乘法，因而是线性空间$L\left(V\right)$ 到线性空间$P^{n\times n}$ 上的同构。由于是同构，他们的维数相同，即$L\left(V\right)$ 也是$n^2$ 维的。

2.2.2. 逆推分析法在线性方程组中的应用

例6：设

$A=\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}& \begin{array}{cc}\cdots & a_{1n}\\ \cdots & a_{2n}\end{array}\\ \begin{array}{cc}⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}\end{array}& \begin{array}{cc}& ⋮\\ \cdots & a_{nn}\end{array}\end{array}\right)$ (10)

为一实数域上的矩阵。证明：如果$\left|a_{ii}\right|>{\displaystyle {\sum }_{j\ne i}\left|a_{ij}\right|}$ ，$i=1,2,\cdots ,n$ ，那么$\left|A\right|\ne 0$ 。

证明：由定理：齐次线性方程组

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=0\end{array}$ (11)

有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵

$A=\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}& \begin{array}{cc}\cdots & a_{1n}\\ \cdots & a_{2n}\end{array}\\ \begin{array}{cc}⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}\end{array}& \begin{array}{cc}& ⋮\\ \cdots & a_{nn}\end{array}\end{array}\right)$ (12)

的行列式$\left|A\right|=0$ ；方程组

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=0\end{array}$ (13)

只有零解的充分必要条件是$\left|A\right|\ne 0$ 。故只要证明以A为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解。这等价于对任一不全为零的实数组$c_1,c_2,\cdots ,c_n$ ，证明必有，某i使$a_{i1}{c}_1+a_{i2}{c}_2+\cdots +a_{in}{c}_n\ne 0$ 。

由于$c_1,c_2,\cdots ,c_n$ 不全为零，必有$c_i\ne 0$ ，且$\left|c_i\right|\ge \left|c_j\right|$ ，$j=1,2,\cdots ,n$ 。于是

$\begin{array}{c}\left|{\displaystyle \sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{c}_j\right|\ge \left|a_{ii}{c}_j\right|-{\displaystyle \sum }_{\begin{array}{l}j=1\\ j\ne i\end{array}}^n\left|a_{ij}{c}_j\right|\\ \ge \left|a_{ii}\right|\left|c_i\right|-{\displaystyle \sum }_{\begin{array}{l}j=1\\ j\ne i\end{array}}^n\left|a_{ij}\right|\left|c_i\right|\\ =\left|c_i\right|\left(\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle \sum }_{j\ne i}\left|a_{ij}\right|\right)>0,\end{array}$ (14)

故${\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{c}_j}\ne 0$ ，即以A为系数矩阵的齐次方程组只有零解。所以$\left|A\right|\ne 0$ 。

2.2.3. 逆推分析法在λ-矩阵中的应用

例7：设A是数域P上一个$n\times n$ 矩阵，证明A与$A^{\text{T}}$ 相似。

证明：要证明A与$A^{\text{T}}$ 相似则只需证$\lambda E-A$ 与$\lambda E-A^{\text{T}}$ 等价。

因为

$\lambda E-A^{\text{T}}={\left(\lambda E-A\right)}^{\text{T}}$ (15)

而$\lambda E-A^{\text{T}}$ 与${\left(\lambda E-A\right)}^{\text{T}}$ 的各个子式之间按转置关系一一对应。对应的子式因为彼此互为转置，所以是相等的。因此$\lambda E-A$ 与$\lambda E-A^{\text{T}}$ 有相同的行列式因子，$\lambda E-A$ 与$\lambda E-A^{\text{T}}$ 等价。

由定理：设$A,B$ 是数域P上两个$n\times n$ 矩阵，A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵$\lambda E-A$ 与$\lambda E-B$ 等价。故A与$A^{\text{T}}$ 相似。

2.3. “正难则反”策略中构造反例的应用

证明一个命题是不成立的，最简洁又高效的方式就是举出它的反例，把能够否定一个命题成立的例子称为反例。运用列举出反例解决数学问题的方法被称为构造反例[3] [4]。以下高等代数线性空间的题目中要证明或判断是否成立相等，可以直接构造出相反的例子对问题进行快速否定。

构造反例在线性空间中的应用

例8：在给定空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量添上零向量构成一个三维线性空间$R^3$ 。试用几何空间例子来说明：若$U,V,X,Y$ 是子空间，满足$U+V=X$ ，$X\subset Y$ ，是否一定有$Y=\left(Y\cap U\right)+\left(Y\cap V\right)$ 。

分析：如果直接证明$Y=\left(Y\cap U\right)+\left(Y\cap V\right)$ 由题目所给的条件直接证明命题成立需要复杂的推导过程，而直接举出否定问题的反例就可以更为便捷地解决问题。

证明：取过原点的不重合的直线$l_1,l_2$ 。$l_1$ 和$l_2$ 上的全部向量分别构成两个一维子空间$L_1$ 和$L_2$ 。$L_1+L_2$ 是$l_1,l_2$ 决定的平面上全部向量组成的二维子空间。再取此平面上过原点的一条直线$l$ ，它不与$l_1,l_2$ 重合。令它上面的全部向量构成的子空间为Y，当$l_1,l_2$ 不重合时，只交于原点，故

$l_1\cap l_2=\left\{0\right\}$ (16)

故

$Y\ne \left(Y\cap L_1\right)+\left(Y\cap L_2\right)$ (17)

2.4. “正难则反”策略在添补法中的应用

添补法[5]是一种解决数学问题的有效手段，它在初等代数中已经得到广泛使用，添补法从手段上看是一种从简单变为复杂的解题方法，但是从复杂中求得简的本质就是添补法的作用。因此，添补法在处理高等代数难题中具有相应优势。

2.4.1. 添补法在正定问题中的应用

在研究二次型或实对称矩阵的正定问题中，为了使证明过程更加简便，通常会添补一个单位矩阵$E_n$ ，它作为一个乘积的稳定因子存在于矩阵乘积中，有时会依照要证明问题的需要再将$E_n$ 改造为可逆矩阵与其逆或正交矩阵与其转置之积的形式：$E_n=P{P}^{-1}$ 或$E_n=T{T}^{\top }$

例9：设n阶实对称矩阵A的特征值皆大于常数a。证明：存在正定矩阵$t\le a$ 时，二次型$q\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=X^{\top }\left(A-tE\right)X$ 是正定的。

证明：利用A是n阶实对称矩阵，故有正交矩阵T使

$A=T^{\top }\text{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right\}T$ ，${\lambda }_i>a$ (18)

从而

$q\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=X^{\top }\left[T^{\top }\text{diag}\left\{{\lambda }_1,,\cdots ,{\lambda }_n\right\}T-tE\right]X$ (19)

这时为了在中间的差项$T^{\top }\text{diag}\left\{{\lambda }_1,,\cdots ,{\lambda }_n\right\}T-tE$ 中运用左右分配律，须在减项$-tE$ 添补因子$E_n=T{T}^{\top }$ 以便使

$q\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)={\left(TX\right)}^{\top }\left[\text{diag}\left\{{\lambda }_1-t,,{\lambda }_2-t,\cdots ,{\lambda }_n-t\right\}\right]\left(TX\right)$ (20)

于是当$X\ne 0$ 时，

$TX={\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)}^{\top }\ne 0$ (21)

$q\left(x_1,\cdots ,x_n\right)={\displaystyle {\sum }_{i-1}^n\left({\lambda }_1-t\right)y^2}>0$ (22)

2.4.2. 添补法在线性方程组中的应用

我们可以用行列式求解方程和未知数相同的方程。然而，对于方程数小于未知数的线性方程，由于方程和未知数个数不一致，则用添补法将其转化为方程数和未知数相等的特殊方程。

例10：对次线性方程组

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{n-1,1}{x}_1+a_{n-1,2}{x}_2+\cdots +a_{n-1,n}{x}_n=0\end{array}$ (23)

$M_i$ 是系数矩阵$A_{n-1,n}$ 中划去第i列所成的$n-1$ 阶行列式。证明：若$r\left(A\right)=n-1$ 则$\eta =\left(M_1,-M_2,\cdots ,{\left(-1\right)}^{n-1}{M}_n\right)$ 为其次线性方程组的一个基础解系。

证明：因为$r\left(A\right)=n-1$ ，基础解系由一个非零解向量构成，且$\eta \ne 0$ 。因此只需证$\eta$ 为齐次线性方程组

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{n-1,1}{x}_1+a_{n-1,2}{x}_2+\cdots +a_{n-1,n}{x}_n=0\end{array}$ (24)

的一个解。由题只有$n-1$ 个方程但有$n$ 个未知数，于是利用添补法对每个i有齐次线性方程组

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{n-1,1}{x}_1+a_{n-1,2}{x}_2+\cdots +a_{n-1,n}{x}_n=0\end{array}$ (25)

与齐次线性方程组

$\{\begin{array}{l}{a}_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n=0\\ a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{n-1,1}{x}_1+a_{n-1,2}{x}_2+\cdots +a_{n-1,n}{x}_n=0\end{array}$ (26)

同解。再利用齐次线性方程组

$\{\begin{array}{l}{a}_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n=0\\ a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{n-1,1}{x}_1+a_{n-1,2}{x}_2+\cdots +a_{n-1,n}{x}_n=0\end{array}$ (27)

的行列式$D_i$ 为0并将$D_i$ 按第1行展开得$\eta$ 为

$a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n=0$ ，$i=1,2,\cdots ,n$ (28)

的解，即为齐次线性方程组

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{n-1,1}{x}_1+a_{n-1,2}{x}_2+\cdots +a_{n-1,n}{x}_n=0\end{array}$ (29)

或齐次线性方程组

$\{\begin{array}{l}{a}_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n=0\\ a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{n-1,1}{x}_1+a_{n-1,2}{x}_2+\cdots +a_{n-1,n}{x}_n=0\end{array}$ (30)

的解。

3. “正难则反”策略在高等代数中应用的思考

3.1. 高等代数习题中解题方法的选择

(1) 高等代数解题与解决数学中其他部分的题目是一样的，重点是理解，寻找到解决问题的思路，理解必要问题的公式、概念等，并深入挖掘证明，直到完整地理解。对于数学结论和概念的运用都可以自然地在解题过程中实现。

(2) 在观察高等代数题目时，有必要从正反两个层面来理解，如果只从一个方面考虑，那么就只能得到一个概念，并且可能难以找到最简洁的解题方法，只有从两方面来看待它，发掘概念的不同方向，不同层次，才能较深入地理解题目中一些关键的内容，找到更便捷的解题方法。

(3) 在高等代数的解题方法选择上一定要注重逻辑，学会建立逻辑方法，寻找适合的解题方法和解题途径。建立起高等代数知识点之间的逻辑结构，把各个知识点组合成一个整体，摒弃孤立知识点的思考模式，结合各个知识结构进行思考，综合运用。

3.2. 应用“正难则反”策略解决数学问题应注意

(1) 当遇到直接思考难以解决的问题时，我们就会想到运用“正难则反”策略。但在解题的过程中，我们不仅可以从反向思考这个问题，还可以从反向的不同角度思考，即“正难则反”策略中的解题方法的不同选择。由于解题方法的选择是多种多样的，这就要求具体问题具体分析，不仅要掌握多种解题方法，并且能够熟练运用。

(2) 在解决问题的过程当中我们经常容易忽略一个步骤，那就是审题。从遇到要解决的问题开始，我们就应该先观察要处理的问题，不要立即开始判断和计算，仔细研究并分析题设所给的条件想要引导我们使用哪种解题方法，选择一个合适的解决方案，然后再开始进一步的计算。在解决数学问题时养成良好的解决问题的习惯，学会检查和分析问题，这能在解决数学问题的过程中起到事半功倍的效果。