两个涉及Göllnitz-Gordon函数的模关系

doi:10.12677/pm.2026.161005

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两个涉及Göllnitz-Gordon函数的模关系
Two Modular Relations Involving the Göllnitz-Gordon Functions

DOI: 10.12677/pm.2026.161005, PDF, HTML, XML,
作者: 张明洪：重庆师范大学数学科学学院，重庆
关键词: Göllnitz-Gordon函数；2-剖分；模关系；Göllnitz-Gordon Function； 2-Dissection Formulas； Modular Relations

摘要: Göllnitz-Gordon函数是整数分拆理论中非常重要的函数，它与著名的Rogers-Ramanujan恒等式密切相关。我们通过已知的连分数的2-剖分公式，通过奇偶分离的方法，得到了两个新的涉及Göllnitz-Gordon函数的模关系。

Abstract: The Göllnitz-Gordon function is a crucial function in the theory of integer partitions, closely related to the renowned Rogers-Ramanujan identity. By utilizing the known 2-dissection formulas for continued fractions and employing the method of separating odd and even terms, we have derived two new modular relations involving theGöllnitz–Gordon functions.

文章引用：张明洪. 两个涉及Göllnitz-Gordon函数的模关系[J]. 理论数学, 2026, 16(1): 37-41. https://doi.org/10.12677/pm.2026.161005

1. 引言

在经典的分拆理论与 $q$ -级数理论中，Göllnitz-Gordon函数[1] [2]占据着重要的地位。它们源于数学家H.Göllnitz和B.Gordon在1960年代的开创性工作，这两个函数分别为

$S (q) : = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- q; q^{2})}_{n}}{{(q^{2}; q^{2})}_{n}} q^{n^{2}}$ ， $T (q) : = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- q; q^{2})}_{n}}{{(q^{2}; q^{2})}_{n}} q^{n^{2} + 2 n}$ 。

从数论的角度看，它们与模形式理论紧密相连，揭示了分拆函数在模特定算术级数下的同余性质。2011年Chadwick Gugg证明了两个新的涉及Göllnitz-Gordon函数的立方的恒等式[3]，2016年姚祥妹通过新的方法，对已有的2-剖分公式[4]将无穷乘积表示为Göllnitz-Gordon函数 $S (q)$ 和 $T (q)$ 的线性组合，从而将模关系的证明转化为对这些组合的代数操作。通过分离偶次幂和奇次幂的项，将原等式拆分为两个独立的恒等式，推导出了许多新的涉及Göllnitz-Gordon函数立方的模关系。本文利用已知的2-剖分公式，通过奇偶分离和替换变量等方法得到了两个新的涉及Göllnitz-Gordon函数的模关系。

2. 预备知识

这一节介绍后续研究用到的 $q$ -级数的术语和符号。

定义1 假设 $| q | < 1$ ，对于任意非负整数 $n$ ，有限 $q$ 移位阶乘和 $q$ 移位阶乘定义为

${(a; q)}_{n} = \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - a q^{k}) = (1 - a) (1 - a q) (1 - a q^{2}) \dots (1 - a q^{n - 1}),$ (1)

${(a; q)}_{\infty} = \prod_{k = 0}^{\infty} (1 - a q^{k}) = (1 - a) (1 - a q) (1 - a q^{2}) \dots$ (2)

Jacobi三重积恒等式为

$f (a, b) = {(- a; a b)}_{\infty} {(- b; a b)}_{\infty} {(a b; a b)}_{\infty} .$ (3)

(3)的一个重要的特例为

$f (- q) : = f (- q, - q^{2}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(- 1)}^{n} q^{\frac{n (3 n - 1)}{2}} = {(q; q)}_{\infty} .$ (4)

对于任意正整数 $n$ ， $f_{n}$ 表示为

$f_{n} = {(q^{n}; q^{n})}_{\infty} = \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - q^{n k})$ (5)

Göllnitz-Gordon函数 $S (q)$ 和 $T (q)$ 满足下列恒等式

$S (q) = \frac{1}{{(q, q^{4}, q^{7}; q^{8})}_{\infty}},$ (6)

$T (q) = \frac{1}{{(q^{3}, q^{4}, q^{5}; q^{8})}_{\infty}} .$ (7)

3. 主要结果

模关系1

$S (q) S (q^{3}) - q^{2} T (q) T (q^{3}) = \frac{f_{1} f_{3} f_{4}^{8}}{f_{2}^{7} f_{8}^{2} f_{12}} + 2 q \frac{f_{1}^{3} f_{8}^{2} f_{12}}{f_{2}^{5} f_{3}}$ (8)

模关系2

$S (q^{3}) T (q) + q S (q) T (q^{3}) = 2 \frac{f_{1} f_{3} f_{4}^{2} f_{8}^{2}}{f_{2}^{5} f_{12}} - \frac{f_{1}^{3} f_{4}^{6} f_{12}}{f_{2}^{7} f_{3} f_{8}^{2}} .$ (9)

注：Gugg [3]证明了如下模关系，与本文的结论并不矛盾。

$\begin{array}{l} S (q) S (q^{3}) - q^{2} T (q) T (q^{3}) = \frac{f_{2}^{2} f_{6} f_{8} f_{12}}{f_{1} f_{3} f_{4}^{2} f_{24}}, \\ S (q^{3}) T (q) + q S (q) T (q^{3}) = \frac{f_{2} f_{4} f_{6}^{2} f_{24}}{f_{1} f_{3} f_{8} f_{12}^{2}} . \end{array}$

定理1 对于(4)，用 $- q$ 代替 $q$ ，并使用 $f_{n}$ 表示可得到

$f (q) = \frac{f_{2}^{3}}{f_{1} f_{4}} .$

证明：

$\begin{matrix} \frac{f_{2}^{3}}{f_{1} f_{4}} = \frac{{(q^{2}; q^{2})}_{\infty}^{3}}{{(q; q)}_{\infty} {(q^{4}; q^{4})}_{\infty}} \\ = \frac{{\prod_{i = 0}^{\infty} (1 - q^{2 + 2 i})}^{3}}{\prod_{i = 0}^{\infty} (1 - q^{1 + i}) (1 - q^{4 + 4 i})} \\ = \frac{(1 - q^{2}) (1 - q^{4}) (1 - q^{6}) (1 - q^{8}) \dots}{[(1 - q) (1 - q^{2}) (1 - q^{3}) \dots] [(1 - q^{4}) (1 - q^{8}) (1 - q^{12}) \dots]} \\ = (1 + q) (1 - q^{2}) (1 + q^{3}) (1 - q^{4}) \dots \\ = \prod_{i = 0}^{\infty} [1 - {(- q)}^{1 + i}] \\ = {(- q; - q)}_{\infty} \\ = f (q) . \end{matrix}$

在本文中 $f (q)$ 特别用 $f_{- 1}$ 来表示，即

$f_{- 1} = \frac{f_{2}^{3}}{f_{1} f_{4}} .$ (10)

Baruah, N.D证明了如下 $f_{1} f_{3}$ 的2-剖分公式[5]

$\frac{1}{f_{1} f_{3}} = \frac{f_{8}^{2} f_{12}^{5}}{f_{2}^{2} f_{4} f_{6}^{4} f_{24}^{2}} + q \frac{f_{4}^{5} f_{24}^{2}}{f_{2}^{4} f_{6}^{2} f_{8}^{2} f_{12}} .$ (11)

Xia和Yao证明了如下 $f_{1}$ 的2-剖分公式[6]

$f_{1} = f_{4} S (- q^{2}) - q f_{4} T (- q^{2})$ (12)

$\frac{1}{f_{1}} = \frac{f_{4}^{2}}{f_{2}^{3}} S (- q^{2}) + q \frac{f_{4}^{2}}{f_{2}^{3}} T (- q^{2})$ (13)

$f_{1}^{2} = \frac{f_{2} f_{8}^{5}}{f_{4}^{2} f_{16}^{2}} - 2 q \frac{f_{2} f_{16}^{2}}{f_{8}} .$ (14)

由(11) (12) (13) (14)可得

$\begin{matrix} \frac{f_{1}}{f_{3}} = [\frac{f_{12}^{2}}{f_{6}^{3}} S (- q^{6}) + q^{3} \frac{f_{12}^{2}}{f_{6}^{3}} T (- q^{6})] [f_{4} S (- q^{2}) - q f_{4} T (- q^{2})] \\ = (\frac{f_{8}^{2} f_{12}^{5}}{f_{2}^{2} f_{4} f_{6}^{4} f_{24}^{2}} + q \frac{f_{4}^{5} f_{24}^{2}}{f_{2}^{4} f_{6}^{2} f_{8}^{2} f_{12}}) (\frac{f_{2} f_{8}^{5}}{f_{4}^{2} f_{16}^{2}} - 2 q \frac{f_{2} f_{16}^{2}}{f_{8}}) \\ = \frac{f_{8}^{7} f_{12}^{5}}{f_{2}^{2} f_{4} f_{6}^{4} f_{24}^{2}} - 2 q^{2} \frac{f_{4}^{5} f_{16}^{2} f_{24}^{2}}{f_{2}^{3} f_{6}^{2} f_{8}^{3} f_{12}} + q \frac{f_{4}^{3} f_{8}^{3} f_{24}^{2}}{f_{2}^{3} f_{6}^{2} f_{12} f_{16}^{2}} - 2 q \frac{f_{8} f_{12}^{5} f_{16}^{2}}{f_{2} f_{4} f_{6}^{4} f_{24}^{2}} \\ = \frac{f_{4} f_{12}^{2}}{f_{6}^{3}} S (- q^{2}) S (- q^{6}) - q^{4} \frac{f_{4} f_{12}^{2}}{f_{6}^{3}} T (- q^{2}) T (- q^{6}) \\ + q^{3} \frac{f_{4} f_{12}^{2}}{f_{6}^{3}} S (- q^{2}) T (- q^{6}) - q \frac{f_{4} f_{12}^{2}}{f_{6}^{3}} S (- q^{6}) T (- q^{2}) . \end{matrix}$ (15)

令(15)的偶数部分相等，我们得到

$\frac{f_{4} f_{12}^{2}}{f_{6}^{3}} S (- q^{2}) S (- q^{6}) - q^{4} \frac{f_{4} f_{12}^{2}}{f_{6}^{3}} T (- q^{2}) T (- q^{6}) = \frac{f_{8}^{7} f_{12}^{5}}{f_{2}^{2} f_{4} f_{6}^{4} f_{24}^{2}} - 2 q^{2} \frac{f_{4}^{5} f_{16}^{2} f_{24}^{2}}{f_{2}^{3} f_{6}^{2} f_{8}^{3} f_{12}}$

化简得

$\begin{matrix} S (- q^{2}) S (- q^{6}) - q^{4} T (- q^{2}) T (- q^{6}) = (\frac{f_{8}^{7} f_{12}^{5}}{f_{2} f_{4}^{4} f_{6} f_{16}^{2} f_{24}^{2}} - 2 q^{2} \frac{f_{6} f_{4}^{4} f_{16}^{2} f_{24}^{2}}{f_{2}^{3} f_{8}^{3} f_{12}^{3}}) (\frac{f_{6}^{3}}{f_{4} f_{12}^{2}}) \\ = \frac{f_{8}^{7} f_{12}^{3}}{f_{2} f_{4}^{4} f_{6} f_{16}^{2} f_{24}^{2}} - 2 q^{2} \frac{f_{4}^{4} f_{6} f_{16}^{2} f_{24}^{2}}{f_{2}^{3} f_{8}^{3} f_{12}^{3}} . \end{matrix}$ (16)

对于(16)，用 $- q$ 代替 $q^{2}$ ，利用(10)得到

$\begin{matrix} S (q) S (q^{3}) - q^{2} T (q) T (q^{3}) = \frac{f_{4}^{7} f_{6}^{3}}{f_{- 1} f_{4}^{4} f_{- 3} f_{8}^{2} f_{12}^{2}} + 2 q \frac{f_{- 3} f_{2}^{4} f_{8}^{2} f_{12}^{2}}{f_{- 1}^{3} f_{4}^{3} f_{6}^{3}} \\ = \frac{f_{4}^{7} f_{6}^{3}}{f_{4}^{4} f_{8}^{2} f_{12}^{2}} \times \frac{f_{1} f_{4}}{f_{2}^{3}} \times \frac{f_{3} f_{12}}{f_{6}^{3}} + 2 q \frac{f_{- 3} f_{2}^{4} f_{8}^{2} f_{12}^{2}}{f_{- 1}^{3} f_{4}^{3} f_{6}^{3}} \times \frac{f_{6}^{3}}{f_{3} f_{12}} \times \frac{f_{1}^{3} f_{4}^{3}}{f_{2}^{9}} \\ = \frac{f_{1} f_{3} f_{4}^{8}}{f_{2}^{7} f_{8}^{2} f_{12}} + 2 q \frac{f_{1}^{3} f_{8}^{2} f_{12}}{f_{2}^{5} f_{3}} . \end{matrix}$ (17)

模关系1得证。

令(15)的奇数部分相等，我们得到

$q^{3} \frac{f_{4} f_{12}^{2}}{f_{6}^{3}} S (- q^{2}) T (- q^{6}) - q \frac{f_{4} f_{12}^{2}}{f_{6}^{3}} S (- q^{6}) T (- q^{2}) = q \frac{f_{4}^{3} f_{8}^{3} f_{24}^{2}}{f_{2}^{3} f_{6}^{2} f_{12} f_{16}^{2}} - 2 q \frac{f_{8} f_{12}^{5} f_{16}^{2}}{f_{2} f_{4} f_{6}^{4} f_{24}^{2}}$

化简得

$\begin{matrix} q^{2} S (- q^{2}) T (- q^{6}) - S (- q^{6}) T (- q^{2}) = (\frac{f_{4}^{3} f_{8}^{3} f_{24}^{2}}{f_{2}^{3} f_{6}^{2} f_{12} f_{16}^{2}} - 2 \frac{f_{8} f_{12}^{5} f_{16}^{2}}{f_{2} f_{4} f_{6}^{4} f_{24}^{2}}) (\frac{f_{6}^{3}}{f_{4} f_{12}^{2}}) \\ = \frac{f_{4}^{2} f_{6} f_{8}^{3} f_{24}^{2}}{f_{2}^{3} f_{12}^{3} f_{16}^{2}} - 2 \frac{f_{8} f_{12}^{3} f_{16}^{2}}{f_{2} f_{4}^{2} f_{6} f_{24}^{2}} . \end{matrix}$ (18)

对于(18)，用 $- q$ 代替 $q^{2}$ ，利用(10)得到

$\begin{matrix} S (q^{3}) T (q) + q S (q^{q}) T (q^{3}) = 2 \frac{f_{4} f_{6}^{3} f_{8}^{2}}{f_{- 1} f_{2}^{2} f_{- 3} f_{16}^{2}} - \frac{f_{2}^{2} f_{- 3} f_{4}^{3} f_{12}^{2}}{f_{- 1}^{3} f_{6}^{3} f_{8}^{2}} \\ = 2 \frac{f_{4} f_{6}^{3} f_{8}^{2}}{f_{2}^{2} f_{16}^{2}} \times \frac{f_{1} f_{4}}{f_{2}^{3}} \times \frac{f_{3} f_{12}}{f_{6}^{3}} - \frac{f_{2}^{2} f_{- 3} f_{4}^{3} f_{12}^{2}}{f_{- 1}^{3} f_{6}^{3} f_{8}^{2}} \times \frac{f_{6}^{3}}{f_{3} f_{12}} \times \frac{f_{1}^{3} f_{4}^{3}}{f_{2}^{9}} \\ = 2 \frac{f_{1} f_{3} f_{4}^{2} f_{8}^{2}}{f_{2}^{5} f_{12}} - \frac{f_{1}^{3} f_{4}^{6} f_{12}}{f_{2}^{7} f_{3} f_{8}^{2}} . \end{matrix}$ (19)

模关系2得证。

4. 结束语

本文探讨并建立了两个新的涉及Göllnitz-Gordon函数的新模关系。通过已知的连分数的2-剖分，通过奇偶分离的方法，可以系统地构造一系列新的涉及Göllnitz-Gordon函数的模关系。涉及Göllnitz-Gordon函数的模关系是连接 $q$ -级数、数论、模形式理论的关键环节，其理论价值和重要性不仅体现在对经典模关系体系的拓展，更在于为组合数学、数论等领域的问题解决提供了新的工具和视角。此外，还有其他方法可以证明涉及Göllnitz-Gordon函数的模关系。例如2011年Chadwick Gugg通过另外的方法证明了两个新的涉及Göllnitz-Gordon函数的立方的模关系。今后可研究是否这两种方法可以共同证明相同的模关系，是否可以得到新的模关系。

参考文献

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[2]	Gordon, B. (1965) Some Continued Fractions of the Rogers-Ramanujan Type. Duke Mathematical Journal, 32, 741-748. [Google Scholar] [CrossRef]
[3]	Gugg, C. (2012) Modular Equations for Cubes of the Rogers-Ramanujan and Ramanujan-Göllnitz-Gordon Functions and Their Associated Continued Fractions. Journal of Number Theory, 132, 1519-1553. [Google Scholar] [CrossRef]
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[5]	Baruah, N.D. and Ojah, K.K. (2012) Analogues of Ramanujan’s Partition Identities and Congruences Arising from His Theta Functions and Modular Equations. The Ramanujan Journal, 28, 385-407. [Google Scholar] [CrossRef]
[6]	Xia, E.X.W. and Yao, O.X.M. (2012) Some Modular Relations for the Göllnitz-Gordon Functions by An Even-Odd Method. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 387, 126-138. [Google Scholar] [CrossRef]

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