高斯域上离散数列短区间加权的Erdös-Kac定理

Erdös-Kac Theorem of Short Interval Weighting of Discrete Series on Gaussian Domain

摘要: 设K是高斯域，a_K(n)是$\mathbb{Z}\left[i\right]$ 中范数为n的非零整理想的个数。本文建立了高斯域上离散数列短区间上以$a_K{\left(n^2\right)}^l\left(l\in {\mathbb{Z}}^{+}\right)$ 加权的Erdös-Kac型定理，将使用推广的Selberg-Delange方法来研究此定理。

Abstract: The Gaussian domain is the number of non-zero integer ideals in the middle norm. This article has established a high. The Erdös-Kac type theorem, which is weighted by N on the short interval of discrete sequences on the Squain, will use the generalized. The Selberg-Delange method is used to study this theorem.

1. 引言

设$K$ 是有理数域$\mathbb{Q}$ 上的$d$ 次代数扩张，类似于有理数域上的Riemann zeta函数，可以定义数域$K$ 上对应的Dedekind zeta函数

${\zeta }_K\left(s\right)={\displaystyle \sum _a\frac{1}{{\left(\Re a\right)}^s}},\left(\Re s>1\right)$

其中$\Re a$ 是一个非零整理想$a$ 的范数。又定义理想计数函数$a_K\left(n\right)$ 为数域$K$ 的整环${\mathbb{O}}_K$ 上范数为$n$ 的非零整理想的个数，则Dedekind zeta函数可以改写为

${\zeta }_K\left(s\right)={\displaystyle \sum _{n\ge 1}\frac{a_K\left(n\right)}{n^s}}$

函数$a_K\left(n\right)$ 在代数数论中有着非常重要的作用，由于它的分布是不规律的，许多数学家都致力于研究$a_K\left(n\right)$ 的均值渐近估计。1927年，Landau [1]给出了一个关于$a_K\left(n\right)$ 渐近公式并给出了证明，其中$K$ 为有理域$\mathbb{Q}$ 上的阶数为$d\ge 2$ 的代数数域，有

${\displaystyle \sum _{n\le x}{a}_K\left(n\right)}=cx+O\left(x^{1-\frac{2}{d+1}+\epsilon }\right)$ ，

其中$c$ 是${\zeta }_K\left(s\right)$ 在其简单极点$s=1$ 处的常数，$\epsilon >0$ 是一个任意小的常数。

Landau的结果是很难被改进的，1993年，Nowak [2]证明了对于扩张次数$d\ge 3$ 的代数数域$K$ 有如下结果

${\displaystyle \sum _{n\le x}{a}_K\left(n\right)}=cx+\{\begin{array}{l}O\left(x^{1-\frac{2}{d}+\frac{8}{d\left(5d+2\right)}}{\left(logx\right)}_{}^{\frac{10}{5d+2}}\right),3\le d\le 6,\\ O\left(x^{1-\frac{2}{d}+\frac{3}{2d^2}}{\left(logx\right)}_{}^{\frac{2}{d}}\right),d\ge 7.\end{array}$

当$K$ 为有理数域上的阶数为$d\ge 2$ 的伽罗瓦扩张。2010年，Lü和Wang [3]给出了$a_K\left(n\right)$ 高次的均值渐近公式，对于$\forall \epsilon >0$ 和任意整数$l\ge 2$ ，有

${\displaystyle {\sum }_{n\le x}{a}_K{\left(n\right)}^l}=x{P}_l\left(logx\right)+O\left(x^{1-\frac{3}{d^l+6}+\epsilon }\right)$

其中$P_l\left(t\right)$ 关于$t$ 阶为$d^{l-1}-1$ 的一个多项式。

Lü 和Yang给出了在二次域$K$ 上$a_K{\left(n\right)}^l$ 在平方处的渐近公式。对于任意整数$l\ge 1$ ，

${\displaystyle {\sum }_{n\le x}{a}_K{\left(n^2\right)}^l}=x{P}_m\left(logx\right)+O\left(x^{1-\frac{3}{2m+2}+\epsilon }\right)$

其中$m=\frac{3^l+1}{2}$ ，$P_m\left(t\right)$ 是关于$t$ 阶为$m-1$ 的多项式，$\epsilon >0$ 是一个任意小的正常数。 而且，当$l\ge 3$ 时，得

到了更精确的误差项为

${\displaystyle {\sum }_{n\le x}{a}_K{\left(n^2\right)}^l}=x{P}_m\left(logx\right)+O\left(x^{1-\frac{3}{2m-1}+\epsilon }\right)$

2015年，Zhai [4]给出算术函数$a_K{\left(n\right)}^2$ 的均值渐近公式和最优余项，其中$K$ 为有理域上的阶数为$d=2$ 的一个扩张，有

${\displaystyle {\sum }_{n\le x}{a}_K{\left(n\right)}^2}=B_{0}xlogx+B_{1}x+O\left(x^{1/2}{\left(logx\right)}^3\right)$

其中$D$ 为$K$ 的判别式，

$B_0=\frac{6}{{\pi }^2}{L}^2\left(1,{\chi }_D\right){\displaystyle \prod _{p|D}\frac{p}{p+1}}$

$L\left(s,{\chi }_D\right)$ 是Dirichlet$L$ 函数，且${\chi }_D$ 为模$\left|D\right|$ 的非主实特征。Zhai还证明了$a_K{\left(n\right)}^2$ 在短区间上的均值渐近公式估计，当$y=o\left(x\right),x\to \infty$ ，有$y/\left(x^{1/2}\log x\right)\to \infty$ 时间，有

${\displaystyle \sum _{x<n\le x+y}{a}_K{\left(n\right)}^2}~B_{0}y\log x$

算术函数分布问题的讨论可以从概率的观点出发。1939年，Erdös和Kac [5]利用概率的观点证明了$\omega \left(n\right)$ 在集合$\left\{n\in N:n\le x\right\}$ 上的概率分布近似于高斯分布，即对任意$\lambda \in ℝ$ ，有

$\frac{1}{x}{\displaystyle \sum _{n\le x,\omega \left(n\right)-{\log }_{2}x\le \lambda {\left({\log }_{2}x\right)}^{1/2}}1}\to \Phi \left(\lambda \right),x\to \infty$

研究加权Erdös-Kac定理的关键工具是推广的Selberg-Delange方法。1954年至1971年间，Selberg [6]和Delange [7] [8]利用与算术函数相关的Dirichlet级数的解析性质，了一种相当普遍的方法，是现在所知Selberg-Delange法。设$f\left(n\right)$ 为算术函数，相对应的Dirichlet级数为

$F\left(s\right):={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{f\left(n\right)}{n^s}}$

假设$F\left(s\right)$ 可以分解

$F\left(s\right)=G\left(s;z\right)\zeta {\left(s\right)}^z$

$\Re s>1$ ，其中$\zeta \left(s\right)$ 是Riemann$\zeta$ 函数，$z\in ℂ$ ，我们可以应用Selberg-Delange方法建立和函数

$S_f\left(x\right):={\displaystyle \sum _{n\le x}f\left(n\right)}$

精确的渐近公式。Tenenbaum在文献[9]中对这个理论进行了很好的阐述。

近些年，Lau和Wu[10]，Gui，Lü和Wu [11]，M. Tip Easter Phaovibul [12]，Wu和Wu [13]和Labihi和Raoujand等一些数学家在不同的方向和领域推广了Selberg-Delange方法。利用上面推广的方法，Liu 和Yang [14]建立了在短区间上加权为$a_K{\left(n^2\right)}^l\left(l\in {\mathbb{Z}}^{+}\right)$ 的Erdős-Kac型定理，其中K是高斯域，$a_K\left(n\right)$ 是$\mathbb{Z}\left[i\right]$ 上范数为$n$ 的非零整理个数。Wang [15]利用了Labihi的方法建立了在离散短区间上加权为$d{\left(n\right)}^{\alpha }$ 的Erdös-Kac型定理，其中$d\left(n\right)$ 是除数函数。在本文中我们将利用Wang的方法推广Liu和Yang的相关结果，即研究高斯域上短区间内离散算术序列上$a_K{\left(n\right)}^2$ 加权为的Erdös-Kac型定理。定义和函数为

${\displaystyle {\cup }_l\left(x,y\right)}:={\displaystyle \sum _{x<g\left(n\right)\le x+y}{a}_K{\left(n^2\right)}^l}$

其中$g\left(n\right)=nh\left(n\right)$ ，对于任意的$n\ge 1$ ，有

$h\left(n\right)>0,h\left(n\right)\gg \frac{1}{n^{\beta }},$

$\lim \sup \frac{\log n}{\log g\left(n\right)}\ll \frac{1}{1-\beta },0\le \beta <\frac{1}{3}$

$h\left(p\right)=\frac{1}{\eta },h\left(p^2\right)=\gamma ,\eta >1,\gamma >0$

对于任意的素数$p$ ，我们得到了如下定理。

定理1.1. $l\in R,\epsilon >0$ ，对于每个实数$\lambda$ ，有

$\frac{1}{{\displaystyle {\cup }_l\left(x,y\right)}}{\displaystyle \sum _{x<g\left(n\right)\le x+y,\omega \left(n\right)-3^l\eta {\log }_{2}x\le {\left(3^l\eta {\log }_{2}x\right)}^{1/2}}{a}_K{\left(n^2\right)}^l}=\varphi \left(\lambda \right)+O\left(\frac{1}{{\left({\log }_{2}x\right)}^{1/2}}\right)$

当$x\to \infty$ 和$x^{\frac{24}{19+\epsilon }}\le y\le x$ ，隐含常数取决于$l,\eta ,\gamma ,\beta ,\epsilon$ ，此时误差项也是最优的。

为了证明误差项的最优性，下面给出Laudan素数定理。对$l\in R$ 和$k\in Z$ ，定义

${\displaystyle {\cup }_{K,l}\left(x,y\right)}:={\displaystyle \sum _{x<g\left(n\right)\le x+y,\omega \left(n\right)=k}{a}_K{\left(n^2\right)}^l}$

得到以下的结果。

定理 1.2. $l\in R,\epsilon >0$ ，有

${\displaystyle {\cup }_{K,l}\left(x,y\right)}:=\frac{y}{\log x}\frac{{\left(3^l\eta {\log }_{2}x\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}\times \left\{Y\left(I_1\left(l\right),I_2\left(l\right),\frac{k-1}{3^l\eta {\log }_{2}x}\right)+O\left(\frac{{\left({\log }_{2}x\right)}^2}{k\log x}+\frac{k-1}{{\left({\log }_{2}x\right)}^2}\right)\right\}$

其中

$Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)=\frac{3^l\eta }{\Gamma \left(3^l\eta z+1\right)}{{\displaystyle \prod _{p\equiv 1\left(\mathrm{mod}4\right)}\left(1-\frac{1}{p}\right)}}^{3^l\eta z}\left(1+{\displaystyle \sum _{v\ge 1}\frac{z{\left(2v+1\right)}^l}{g\left(p^v\right)}}\right){{\displaystyle \prod _{p\equiv -1\left(\mathrm{mod}4\right)}\left(1-\frac{1}{p}\right)}}^{-3^l\eta z}$

2. 若干引理

假设$f:N^{\ast }\to ℂ$ 是一个算术函数，$g:N^{\ast }\to \left[0,\infty \right)$ 为满足下述条件的算术函数

$\underset{n\to \infty }{lim}g(n)=\infty$ ，$log\sup \frac{\log n}{\log g\left(n\right)}=\kappa \in ℝ$

设复数$s=\sigma +it$ ，其中$\sigma$ 和$t$ 均为实数。定义Dirichlet级数

$F\left(s\right)={\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{f\left(n\right)}{g{\left(n\right)}^s}}$

在$\sigma \ge {\sigma }_c$ 内收敛，且绝对收敛，其中$\sigma \ge {\sigma }_c+\kappa$ 为方便后面描述，下面给出两个定义。

定义 2.1. 按横坐标收敛的Dirichlet级数$F\left(s\right)={\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }f\left(n\right)g{\left(n\right)}^{-s}}$ 是$P\left(A,M,M_1,\sigma ,l_1,l_2\right)$ 型的，若满足下列条件：

(1) $g\left(n\right)$ 是实值算数函数，使得$g:N\to \left[0,\infty \right)$ ，$g\left(n\right)$ 随着$n\to \infty$ 趋于无穷大，并且

$\lim {\sup }_{n\to \infty }\frac{\log n}{\log g\left(n\right)}=\kappa$

对于任意的$\kappa \ge 0$ 。

(2) $F\left(s\right)$ $$ \mathrm{满}\mathrm{足}$$

$F\left(s\right)=G\left(s,l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)\right)\cdot \zeta {\left(s\right)}^{l_1\left(s\right)}\cdot \zeta {\left(2s\right)}^{l_2\left(s\right)},\sigma >1$

(3) 函数$G\left(s,l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)\right)$ 在区域$\sigma >\frac{1}{2}$ 且满足

$\left|G\left(s,l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)\right)\right|\le M{\left(3+\left|t\right|\right)}^{\max \left\{\sigma \left(1-\sigma \right),0\right\}}\cdot {\log }^A\left(3+\left|t\right|\right)$

(4) 函数$l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)$ 在区域$\sigma >\frac{1}{2}$ 内是解析的，且满足

$\left|l_1\left(s\right)\right|\le M_1,\left|l_2\left(s\right)\right|\le M_2,\sigma \in \left[\frac{1}{2},2+\epsilon \right]$

定义 2.2. 假设Dirichlet级数$F\left(s\right)={\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }f\left(n\right)g{\left(n\right)}^{-s}}$ 具有$P\left(A,M,M_1,M_2,\sigma ,l_1,l_2\right)$ 性质，则称$F\left(s\right)$ 是$\tau \left(A,M,M_1,M_2,\sigma ,l_1,l_2,{\tilde{l}}_1,{\tilde{l}}_2\right)$ 型的，如果存在一个正实数列${\tilde{f}}^{+}{\left(n\right)}_{n>1}$ 使得

$\left|f\left(n\right)\right|\le {\tilde{f}}^{+}\left(n\right),n\ge 1$

和Dirichlet级数

${\tilde{F}}^{+}\left(s\right):={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\tilde{F}}^{+}\left(n\right)}{g{\left(n\right)}^s}}$

是$P\left(A,M,M_1,M_2,\sigma ,{\tilde{l}}_1,{\tilde{l}}_2\right)$ 型的。

首先，我们给出了Labihi和Raoujand在短区间Selberg-Delange方法上的一般结果，这对定理1.1的证明起着关键作用。

引理 2.1 假设Dirichlet级数$F\left(s\right)={\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }f\left(n\right)g{\left(n\right)}^{-s}}$ 是$\tau \left(A,M,M_1,M_2,\sigma ,l_1,l_2,{\tilde{l}}_1,{\tilde{l}}_2\right)$ 型的，那么对于任意的$\epsilon >0$ ，有

${\displaystyle \sum _{x<g\left(n\right)\le x+y,n\ge 1}f\left(n\right)}=y{\left(\log x\right)}^{l_1\left(1\right)-1}\cdot \left\{\lambda \left(l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)\right)+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\right\}$

对于$x\ge 2$ ，$x^{\theta +\epsilon }\le y\le x$ ，$\theta :=1-\frac{1}{\left(24/5\right)+2\delta }$ ，$\left|l_1\left(s\right)\right|\le M_1$ ，$\left|l_2\left(s\right)\right|\le M_2$ ，其中

$\lambda \left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right)\right):=\frac{G\left(1,l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)\right)\zeta {\left(2\right)}^{l_2\left(1\right)}}{\Gamma \left(l_1\left(1\right)\right)}$ ，$G\left(s,l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)\right):=F\left(s\right)\zeta {\left(s\right)}^{-l_1\left(s\right)}\zeta {\left(2s\right)}^{-l_2\left(s\right)}$

$O$ 项的隐含常数只$a,A,M_1,M_2,\delta ,\epsilon$ 有关。

对于定理1的证明，本文使用了加性函数理论中的高斯误差定律和Berry-Esseen不等式。

引理 2.2 让$f\left(n\right)$ 是满足$f\left(m_1{m}_2\right)=f\left(m_1\right)+f\left(m_2\right)$ ，其中$\left(m_1,m_2\right)=1$ ，假设

$F\left(n\right)={\displaystyle \sum _{p<n}{\frac{f\left(p\right)}{p}}^2}$

发散，那么

$f\left(m\right)<{\displaystyle \sum _{p<m}\frac{f\left(p\right)}{p}}+\omega \sqrt{2F\left(m\right)}$

等价于

$\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\omega }\exp \left(-y^2\right)\text{d}y}$

对于任意的实数$\omega$ 。

假设$F\left(x\right)$ 是一个满足$F\left(-\infty \right)=0$ ，$F\left(\infty \right)=1$ 的分布函数。定义$F\left(x\right)$ 的特征函数为

$f\left(\tau \right):={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{i\tau x}\text{d}F\left(x\right)}$

引理 2.3 设$F$ ，$G$ 为分布函数，分别具有特征函数$f$ ，$g$ ，设$G$ 可微且$G^{\prime }$ 在$R$ 上有界，则

${\Vert F-G\Vert }_{\infty }\le 16\frac{{\Vert G^{\prime }\Vert }_{\infty }}{T}+6{\displaystyle {\int }_{-T}^T\left|\frac{f\left(\tau \right)-g\left(\tau \right)}{\tau }\right|\text{d}\tau }$

对于$T>0$ ，其中，对于任意实值函数$H\left(x\right)$ ，${\Vert H\Vert }_{\infty }:={\sup }_{\lambda \in R}\left|H\left(\lambda \right)\right|$ 。

为了证明定理2，下面给出了一个关于$a_K{\left(n^2\right)}^l{z}^{\omega \left(n\right)}$ 更一般的求和公式。

引理 2.4 让$B>0,\left|z\right|\le B,\epsilon >0$ ，那么

${\displaystyle \sum _{x<g\left(n\right)<x+y}{a}_K{\left(n^2\right)}^l{z}^{\omega \left(n\right)}}=y{\left(\log x\right)}^{3^l\eta z-1}\left\{zY\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\right\}$

对于$x\ge 2$ 和$x^{19/24+\epsilon }\le y\le x$ ，其中

$Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)=\frac{3^l\eta }{\Gamma \left(3^l\eta z+1\right)}{{\displaystyle \prod _{p\equiv 1\backslash pmod4}\left(1-\frac{1}{p}\right)}}^{3^l\eta z}\left(1+{\displaystyle \sum _{v\ge 1}\frac{z{\left(2v+1\right)}^l}{g\left(p^v\right)}}\right){{\displaystyle \prod _{p\equiv -1\backslash pmod4}\left(1-\frac{1}{p}\right)}}^{-3^l\eta z}$

特别地

$U_1\left(x,y\right)=y{\left(logx\right)}^{3^l\eta -1}\times Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),1\right)+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)$

对于$x\ge 2$ 和$x^{19/24+\epsilon }\le y\le x$ ，其中

$Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),1\right)=\frac{2^{\frac{\left(1-3^l\right)\eta }{2}}}{\Gamma \left(\left(3^l+1\right)\eta /2\right)}{\displaystyle \prod _{p\equiv 1\left(mod4\right)}{\left(1-\frac{1}{p}\right)}^{\frac{\left(3^l+1\right)\eta }{2}}}\left(1+{\displaystyle \sum _{v\ge 1}^{\infty }\frac{{\left(2v+1\right)}^l}{g\left(p^v\right)}}\right){\displaystyle \prod _{p\equiv -1\left(mod4\right)}{\left(1-\frac{1}{p}\right)}^{\frac{\left(3^l-1\right)\eta }{2}}}$

证明定理 2. 定义

$U_{\left(k,l\right)}={\displaystyle \sum _{x<g\left(n\right)<x+y,\omega \left(n\right)=k}{a}_K{\left(n^2\right)}^l}$

并且假设

${\displaystyle \sum _{x<g\left(n\right)<x+y}{a}_K{\left(n^2\right)}^l{z}^{\omega \left(n\right)}}={\displaystyle \sum _k{U}_{\left(k,l\right)}\left(x,y\right)z^k}$

由柯西积分公式可得

$U_{k,l}=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}\left({\displaystyle \sum _{x<g\left(n\right)<x+y}{a}_K{\left(n^2\right)}^l{z}^{\omega \left(n\right)}}\right)}\frac{\text{d}z}{z^{k+1}}$

其中$r=\frac{k}{3^l\eta \log \left(2x\right)}$ ，由定理2.4，可以推出

$U_{k,l}\left(x,y\right)=\frac{y}{\log x}{I}_{k,l}\left(x,r\right)+O\left(\frac{y{\log }_{2}x}{{\left(\log x\right)}^2}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}\frac{{\left(\log x\right)}^{3^l\eta \Re z}}{{\left|z\right|}^{k+1}}}\left|\text{d}z\right|\right)$

对于任意的$x\ge 2,x^{19/24+ϵ}\le y\le x,\left|z\right|\le B,k\le 3^l\eta {\log }_{2}x$ ，其中

$I_{k,l}\left(x,r\right):=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}\frac{{\left(logx\right)}^{3^l\eta z}Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)}{z^k}\text{d}z}$

对于$U_{k,l}\left(x,y\right)$ 的误差项，有以下的估计

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=1}\frac{\left(logx\right)3^l\eta \Re z}{z^{k+1}}}\left|\text{d}z\right|={\left(\frac{3^l\eta {\log }_{2}x}{k}\right)}^k{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\text{e}}^{k\cos \theta }}\text{d}\theta \\ \ll {\left(\frac{3^l\eta {\log }_{2}x}{k}\right)}^k\left({\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\text{e}}^{k\cos \theta }}\text{d}\theta +1\right)\\ \ll {\left(\frac{3^l\eta {\log }_{2}x}{k}\right)}^k\left({\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\text{e}}^{-t}}{t}^{-1/2}\text{d}t+1\right)\\ \ll {\left(\frac{3^l\eta {\log }_{2}x}{k!}\right)}^k\end{array}$

其中用$t=k\left(1-kcos\theta \right)$ 进行替换。

下面来估计$I_{k,l}\left(x,y\right)$ 在$k=1$ 和$k\ge 2$ 的两种情况下。对于$k=1$ ，当$\left|z\right|\le B$ 时，当$z\to Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)$ ，由柯西积分公式有，

$\begin{array}{c}{I}_{k,l}\left(x,r\right):=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}\frac{{\left(logx\right)}^{3^l\eta z}Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)}{z^k}\text{d}z}\\ =Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),0\right)=3^l\eta \end{array}$

代入(3.1)，可以推出

$U_{1,l}\left(x,y\right)=\frac{3^l\eta y}{\log x}\left\{1+O_{l,ϵ}\left(\frac{{\left(lo{g}_{2}x\right)}^2}{\log x}\right)\right\}$

对于$k\ge 2$ ，当$\left|z\right|\le B$ 时，当$z\to Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)$ ，由柯西积分公式有，

$I_{k,l}\left(x,r\right)=I_{k,l}\left(x,r_0\right),r_0=\left(k-1\right)/\left(3^l\eta {\log }_{2}x\right)$

在$z=r_0$ 处$Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)$ 的泰勒展开是

$\begin{array}{c}Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)=Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)+Y^{\prime }\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)\left(z-r_0\right)\\ +{\left(z-r_0\right)}^2{\displaystyle {\int }_0^1\left(1-t\right)Y^{″}}\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0+t\left(z-r_0\right)\right)\text{d}t\end{array}$

下面将估算(3.3)右边三项对$I_{k,l}\left(x,r_0\right)$ 的贡献。根据柯西积分公式，第一项的贡献是

$\frac{Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=0}\frac{{\text{e}}^{z{3}^l\eta {\log }_{2}x}\left(z-r_0\right)}{z^k}\text{d}z}=\frac{{\left(3^l\eta {\log }_{2}x\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),\frac{k-1}{3^l\eta {\log }_{2}x}\right)$

同样的，第二项的贡献是

$\begin{array}{l}{Y}^{\prime }\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)\frac{Y^{\prime }\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r_0}\frac{{\text{e}}^{z{3}^l\eta }{\log }_{2}x\left(z-r_0\right)}{z^k}\text{d}z}\\ =Y^{\prime }\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)\left(\frac{{(3^l\eta {\log }_{2}x)}^{k-2}}{\left(k-2\right)!}-r_0\frac{{\left(3^l\eta {\log }_{2}x\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}\right)\\ =0\end{array}$

当$0<t\le 1$ 和$\left|z\right|=r_0$ 时。其中，

$\left|r_0+t\left(z-r_0\right)\right|=\left|r_0\left(1-t\right)+tz\right|\le r_0\left(1-t\right)+t\left|z\right|=r_0$

由$Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)$ 对$\left|z\right|\le B$ 的解析性可知，存在一个正常数$C_{\alpha }$ ，使得$Y^{″}\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)<C_{\alpha }$ ，以下是第三项对$I_{k,l}\left(x,r_0\right)$ 的贡献

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r_0}\frac{{\left(logx\right)}^{3^l\eta \Re z}{\left|z-r_0\right|}^2}{{\left|z\right|}^k}\left|\text{d}z\right|}\ll r_0^{-\left(k-3\right)}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\text{e}}^{\left(k-1\right)\cos \theta }}{\left|{\text{e}}^{i\theta }-1\right|}^2\text{d}\theta \\ \ll r_0^{-\left(k-3\right)}\left({\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\text{e}}^{\left(k-1\right)\cos \theta }}\left(1-\cos \theta \right)\text{d}\theta +\pi \right)\\ \ll r_0^{-\left(k-3\right)}{\text{e}}^{k-1}{\left(k-1\right)}^{-3/2}\left({\displaystyle {\int }_0^{k-1}{\text{e}}^{-t}}{t}^{-1/2}\text{d}t+\pi \right)\\ \ll \frac{{\left(3^l\eta {\log }_{2}x\right)}^{k-3}}{\left(k-2\right)!}\end{array}$

其中用到了$t=\left(k-1\right)\left(1-cos\theta \right)$ 进行替换。将(3.2)，(3.4)，(3.6)带入(3.1)，可以得到

(3.7) $\begin{array}{c}{U}_{k,l}\left(x,y\right)=\frac{y}{\log x}\frac{{\left(3^l\eta {\log }_{2}x\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),\frac{k-1}{3^l\eta {\log }_{2}x}\right)\\ +O\left(\frac{y{\log }_{2}x}{{\left(\log x\right)}^2}\frac{{\left(3^l\eta {\log }_{2}x\right)}^k}{k!}+\frac{y}{\log x}\frac{{\left(3^l\eta {\log }_{2}x\right)}^{k-3}}{\left(k-2\right)!}\right)\end{array}$

证明定理 1. 定义

$F_{x,y}\left(\lambda \right):=\frac{1}{U_l\left(x,y\right)}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}x<g\left(n\right)\le x+y\\ \omega \left(n\right)-3^l\eta {\log }_{2}x\le {\left(\lambda 3^l\eta {\log }_{2}x\right)}^{\frac{1}{2}}\end{array}}{a}_K}{\left(n^2\right)}^l$

让${\phi }_{x,y}$ 是$F_{x,y}\left(\lambda \right)$ ，例

$\begin{array}{c}{\phi }_{x,y}\left(\tau \right):={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{i\tau \lambda }\text{d}{F}_{x,y}\left(\lambda \right)}\\ =\frac{1}{U_l\left(x,y\right)}{\displaystyle \sum _{x<g\left(n\right)\le x+y}{a}_K}{\left(n^2\right)}^l\exp \left\{i\tau \frac{\omega \left(n\right)-3^l\eta {\log }_{2}x}{\sqrt{3^l\eta {\log }_{2}x}}\right\}\end{array}$

$\frac{{\text{e}}^{-i\tau T}}{U_l\left(x,y\right)}={\displaystyle \sum _{x<g\left(n\right)\le x+y}{a}_K}{\left(n^2\right)}^l{\text{e}}^{i\left(\tau /T\right)\omega \left(n\right)}$

其中$T=\sqrt{3^l\eta {\log }_{2}x}$ ，由引理2。3$F,G=\left(F_{x,y},\Phi \right)$ ，可以得到以下

${\Vert F_{x,y}-\Phi \Vert }_{\infty }\le \frac{16}{\sqrt{2\pi }T}+6{\displaystyle {\int }_{-T}^T\left|\frac{{\phi }_{x,y}\left(\tau \right)-{\text{e}}^{-{\tau }^2/2}}{\tau }\right|\text{d}\tau }$

其中$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ 是$\Phi$ 的最大值，下面需要得到

(4.2) ${\displaystyle {\int }_{-T}^T\left|\frac{{\phi }_{xy}\left(\tau \right)-{\text{e}}^{-{\tau }^2/2}}{\tau }\right|\text{d}\tau }\ll \frac{1}{T}$

对于$x\ge 2,x^{19/24+ϵ}\le y\le x$ 。将$z={\text{e}}^{it}$ 应用到引理2.4，可以推出

$\frac{1}{U_l\left(x,y\right)}{\displaystyle \sum _{x<g\left(n\right)\le x+y}{a}_K}{\left(n^2\right)}^l{\text{e}}^{it\omega \left(n\right)}={\left(logx\right)}^{3^l\eta \left({\text{e}}^{it}-1\right)}\left\{A\left({\text{e}}^{it}\right)+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\right\}$

对于$t\in R,x\ge 2,x^{19/24+ϵ}\le y\le x$ ，并有

$A\left(z\right):=\frac{zY\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)}{Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),1\right)}$

对于$\left|z\right|\le B$ 是解析的函数，其中$A\left(1\right)=1;Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right),Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),1\right)$ 是引理2.4中所定义的。 将$t=\tau /T$ 带入上面的渐近公式，可以得出

(4.3) ${\phi }_{x,y}\left(\tau \right)={\left(logx\right)}^{3^l\eta \left({\text{e}}^{i\tau /T}-1\right)}{\text{e}}^{-i\tau T}\left\{A\left({\text{e}}^{i\tau /T}\right)+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\right\}$

对于任意$x\le 2,x^{19/24+ϵ}\le y\le x$ 和$\left|\tau \right|\le T$ ，对于$cost-1\le -2{\left(t/\pi \right)}^2$ ，$\left|t\right|\le 1$ 有

$\left|{\left(logx\right)}^{3^l\eta \left({\text{e}}^{i\tau T}-1\right)}{\text{e}}^{-i\tau T}\right|={\text{e}}^{\left(cos\left(\tau /T\right)-1\right)T^2}\le {\text{e}}^{-2{\left(\tau /\pi \right)}^2}$

因此，可以推出

${\phi }_{x,y}\left(\tau \right){\ll }_{ϵ}{\text{e}}^{-2{\left(\tau /\pi \right)}^2}$

对于任意$x\le 2,x^{19/24+ϵ}\le y\le x,\left|\tau \right|\le T$ 。有以下的结论

(4.4) ${\displaystyle {\int }_{\pm T^{1/3}}^{\pm T}\left|\frac{{\phi }_{xy}\left(\tau \right)-{\text{e}}^{-{\tau }^2/2}}{\tau }\right|\text{d}\tau }\ll {\displaystyle {\int }_{T^{1/3}}^T{\text{e}}^{-2{\left(\tau /\pi \right)}^2}\text{d}\tau }\ll \frac{1}{T}$

对于任意${\left(\log x\right)}^{-1}<\left|\tau \right|\le T^{1/3}$ ，利用泰勒展开

$A\left({\text{e}}^{i\tau /T}\right)=1+O\left(\tau /T\right)$

${\text{e}}^{i\tau /T}-1=i\tau /T-\frac{1}{2}{\left(\tau /T\right)}^2+O\left({\left(\tau /T\right)}^3\right)$

从而可以得到

$\begin{array}{l}{\left(\log x\right)}^{3^l\eta \left({\text{e}}^{i\tau /T}-1\right)}A\left({\text{e}}^{i\tau /T}\right){\text{e}}^{-i\left(\tau /T\right)}\\ ={\text{e}}^{-{\tau }^2/2+O\left({\tau }^3/T\right)}\left\{1+O\left(\frac{\left|\tau \right|}{T}\right)\right\}\\ ={\text{e}}^{-{\tau }^2/2}\left\{1+O\left(\frac{\left|\tau \right|+{\left|\tau \right|}^3}{T}\right)\right\}\end{array}$

将上述式子代入(4.3)

${\phi }_{x,y}\left(\tau \right)={\text{e}}^{-{\tau }^2/2}\left\{1+O\left(\frac{\left|\tau \right|+{\left|\tau \right|}^3}{T}\right)\right\}\left\{1+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\right\}$

对于任意$x\le 2,x^{19/24+ϵ}\le y\le x,{\left(\log x\right)}^{-1}<\left|\tau \right|\le T^{1/3}$ ，通过对${\phi }_{x,y}\left(\tau \right)$ 的估计，可以推出

(4.5) $\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\pm 1/\log x}^{\pm T^{1/3}}\left|\frac{{\phi }_{x,y}\left(\tau \right)-{\text{e}}^{-{\tau }^2/2}}{\tau }\right|\text{d}\tau }\ll {\displaystyle {\int }_{1/\log x}^{T^{1/3}}\left({\text{e}}^{-{\tau }^2/2}\frac{1+{\tau }^2}{T}+\frac{{\log }_{2}x}{\tau \log x}\right)\text{d}\tau }\\ \ll \frac{1}{T}+\frac{\left(lo{g}_{2}x\right)}{\log x}\ll \frac{1}{T}\end{array}$

对于任意$\left|\tau \right|\le {\left(logx\right)}^{-1}$ ，平凡地

$\left|\tau \frac{\omega \left(n\right)-3^l\eta {\log }_{2}x}{\sqrt{3^l\eta {\log }_{2}x}}\right|\ll \frac{\left|\tau \right|logx}{T}$ ，$\exp \left\{i\tau \frac{\omega \left(n\right)-3^l\eta {\log }_{2}x}{\sqrt{3^l\eta {\log }_{2}x}}\right\}=1+O\left(\frac{\left|\tau \right|logx}{T}\right)$

代入上述式子进入(4.1)，给出

$\begin{array}{l}{\phi }_{x,y}\left(\tau \right)=1+O\left(\frac{\left|\tau \right|logx}{T}\right)\\ {\text{e}}^{-{\tau }^2/2}=1+O\left({\tau }^2\right)\end{array}$

得到

(4.6) ${\displaystyle {\int }_{-1/logx}^{1/logx}\left|\frac{{\phi }_{x,y}\left(\tau \right)-{\text{e}}^{-{\tau }^2/2}}{\tau }\right|\text{d}\tau }\ll {\displaystyle {\int }_{-1/logx}^{1/logx}\left(\frac{\log x}{T}+\left|\tau \right|\right)\text{d}\tau }\ll \frac{1}{T}$

现在(4.2)立即从(4.4)~(4.6)开始。最后，证明误差项是最优的。定义

$R_{\lambda }\left(x,y\right):=\frac{1}{U_l\left(x,y\right)}{\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}x<g\left(n\right)\le x+y\\ \omega \left(n\right)-3^l\eta {\log }_{2}x\le \lambda {\left(3^l\eta {\log }_{2}x\right)}^{1/2}\end{array}}{a}_K}{\left(n^2\right)}^l-\Phi \left(\lambda \right)$

$R\left(x,y\right):=\underset{\lambda \in R}{\sup }\left|R_{\lambda }\left(x,y\right)\right|$

让，$k=\left[\begin{array}{c}{3}^l\eta {\log }_{2}x\end{array}\right],\theta =k-3^l\eta {\log }_{2}x$ 那么

(4.7) $\begin{array}{c}\frac{U_{k,l}\left(x,y\right)}{U_l\left(x,y\right)}=F_{x,y}\left(\frac{\theta }{\sqrt{3^l\eta {\log }_{2}x}}\right)-F_{x,y}\left(\frac{\theta -\frac{1}{3\sqrt{3\pi }}}{\sqrt{3^l\eta {\log }_{2}x}}\right)\\ \le \Phi \left(\frac{\theta }{\sqrt{3^l\eta {\log }_{2}x}}\right)-\Phi \left(\frac{\theta -\frac{1}{3\sqrt{3\pi }}}{\sqrt{3^l\eta {\log }_{2}x}}\right)+2R\left(x,y\right)\\ ={\displaystyle {\int }_{\left(\theta -\frac{1}{3\sqrt{3\pi }}\right)/\sqrt{3^l\eta {\log }_{2}x}}^{\theta /\sqrt{3^l\eta {\log }_{2}x}}{\text{e}}^{-{\tau }^2/2}}\text{d}\tau +2R\left(x,y\right)\\ \le \frac{1}{3\sqrt{\pi 3^{l+1}\eta {\log }_{2}x}}+2R\left(x,y\right)\end{array}$

用Stirling’s公式，定理2和引理2.4，我们可以推断出

$\frac{U_{k,l}\left(x,y\right)}{U_l\left(x,y\right)}\frac{Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),\frac{k-1}{3^l\eta {\log }_{2}x}\right)}{Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),1\right)}\frac{{\left(3^l\eta {\log }_{2}x\right)}^{k-1}}{{\left(logx\right)}^{3^l\eta }\left(k-1\right)!}$

结合(4.7)和(4.8)，就可以得出

$R\left(x,y\right)\ge \frac{1+o\left(1\right)}{2\sqrt{\pi 3^{l+1}\eta {\log }_{2}x}}-\frac{1}{6\sqrt{\pi 3^{l+1}\eta {\log }_{2}x}}=\frac{1+o\left(1\right)}{3\sqrt{\pi 3^{l+1}\eta {\log }_{2}x}}$

对于任意$x\le 2,x^{19/24+ϵ}\le y\le x$ 。