多目标废旧动力电池回收车辆路径优化问题研究

Research on Multi-Objective Vehicle Routing Optimization Problem for Recycling of Waste Power Batteries

摘要: 随着全球新能源汽车产业的快速发展，动力电池退役规模持续扩大。打造安全、高效、低成本的回收体系，能有效解决动力电池的大规模退役问题。其中，科学合理规划回收路线，对降低运营成本和运输风险，构建高效的回收体系至关重要。本文针对废旧动力电池在回收过程中存在运输风险的特性，引入运输风险度量函数，构建同时考虑运营成本和运输风险的多目标优化模型。针对模型特点，采用NSGA-II算法进行求解，并通过算例分析验证了模型和算法的有效性，为企业在回收过程中平衡经济性与安全性提供决策支持。

Abstract: With the rapid development of the global new energy vehicle industry, the scale of power battery retirement continues to expand. Building a safe, efficient, and low-cost recycling system is crucial to effectively addressing the large-scale retirement of power batteries. In particular, the scientific and rational planning of recycling routes is essential for reducing operational costs and transportation risks, thereby establishing an efficient recycling system. This paper addresses the transportation risks associated with waste power batteries during transit by introducing a transportation risk measurement function and constructing a multi-objective optimization model that considers both operational costs and transportation risks. Based on the characteristics of the model, the NSGA-II algorithm is employed to solve the case study. The effectiveness of the model and algorithm is verified through case analysis, providing decision support for enterprises to balance safety and costs during the recycling process.

1. 引言

在全球新能源汽车产业蓬勃发展的时代背景下，作为其核心部件的动力电池也迎来了前所未有的发展机遇。然而，动力电池使用寿命并非无限，当电池容量衰减至额定容量的80%以下时，则需进行回收处理[1]。与普通货物的回收不同，废旧动力电池作为国际规定的第九类危险品，其在运输过程中存在泄漏、起火、爆炸等潜在风险，一旦发生事故，将对沿途居民的生命财产安全与生态环境造成不可逆的损害[2]。因此，企业在规划废旧动力电池回收方案时，不仅要关注运营成本，还需将运输风险纳入决策目标，实现经济性与安全性的协调与优化。

当前关于动力回收问题的研究，主要集中在回收模式、回收处理技术以及回收网络设计等领域。在回收网络设计方面，Lin等[3]以最大化网络整体收益为目标构建循环型供应链框架，明确了设施布局与物流调配之间的联系，并将废旧动力电池的回收利用再制造纳入考量，显著提升了网络运行效益。Guan等[4]采用废旧动力电池第三方回收模式，构建了回收网络的多目标优化模型，运用遗传算法进行求解，研究社会负面效应的调节参数对设施选址以及网络总成本的影响。方云飞等[5]以车辆固定、行驶以及充电成本最小为优化目标，考虑载重和行驶里程对能耗的影响，研究多车场废旧动力电池回收车辆路径问题。并设计文化基因算法进行求解，为企业进行废旧动力电池的路径规划决策提供支持。Zhao等[6]研究退役动力电池回收网络优化问题，构建异构电池混装选址–路径模型。设计改进的深度强化学习算法，通过双层编解码结构实现设施选址与运输路径的协同优化，提升回收效率并降低环境风险。

危险品车辆路径优化问题(Hazardous Materials Vehicle Routing Problem, HVRP)与经典车辆路径问题(Vehicle Routing Problem, VRP)的核心差异在于，HVRP需要将运输风险作为关键决策目标纳入考量。废旧动力电池在运输过程中潜藏泄漏、起火、爆炸等风险，其路径规划必须兼顾安全性与经济性。现有文献针对危险货物的研究集中在对于危险品的运输风险进行分析评估中。Revelle等[7]提出了评估危险品运输风险综合框架，提出人口暴露数量在风险量化中的重要性。在此基础上，袁文燕等[8]基于人口暴露模型与车辆实时载重对运输风险进行评估，实现风险度量的动态化。石剑云等[9]则关注道路时变特性对运输风险的影响，建立了时变状态下的路径优化模型，并使用改进增强型Pareto进化算法进行求解，提高了路径优化的科学性和求解速度。随着“双碳”目标的提出，全球不断发展低碳经济，在交通领域也需要考虑绿色低碳的因素。然而针对危险品运输的车辆路径优化问题，运输工具仍以传统燃油车为主，采用电动运输车开展危险品运输作业的研究较少。当前，电动汽车车辆路径问题(Electric Vehicle Routing Problem, EVRP)作为低碳物流领域的研究热点，其技术特性与应用场景逐渐受到关注。电动汽车在运输成本结构中呈现出高固定成本、低可变成本的显著特征，尤其适用于中短途、高频次、固定路线的物流场景。Qin等[10]对现有的电动汽车车辆路径问题进行了综述，并对各类问题的模型约束及求解策略展开了分析。揭婉晨等[11]针对顾客需求可拆分的EVRP问题，结合换电策略与里程限制设计分支定价算法。高远等[12]基于种群的启发式算法，运用蚁群算法求解取送货的电车路径优化模型。上述研究均围绕普通货物运输的模型约束展开，未涉及危险品运输的风险量化与协同优化。

综上所述，现有研究多聚焦于宏观层面的回收模式比较、供应链协调或战略性网络设计，而针对回收车辆路径优化问题的探讨仍显不足。此外，现有废旧动力电池回收问题的研究多是从经济层面进行目标设计，较少从危险品运输安全的角度出发，综合考虑成本与安全的协调优化。目前针对危险品运输的研究，多采用燃油车进行运输，而电动汽车作为低碳环保的运输工具，较少被应用于危险品车辆路径优化问题的研究中。因此，本文针对废旧动力电池作为危险品运输的逆向回收场景，采用电动运输车作为运输工具，构建同时考虑运营成本和运输风险的多目标优化模型，并采用NSGA-II算法进行求解，为企业在回收过程中平衡经济性与安全性提供决策支持。

2. 问题描述和数学模型

本文研究的多目标废旧动力电池回收车辆路径优化问题可以描述为：在一定区域内，存在多个回收处理中心，采用电动运输车向回收点提供废旧动力电池回收服务。车辆从回收处理中心出发，在所有回收点的回收需求得到满足后，返回回收处理中心。在运输途中若电力不足，车辆可前往最近的充电站进行电量补充，具体回收网络图如图1所示。本文以总运营成本和总运输风险最小为优化目标，建立多目标车辆路径优化模型。为便于研究，本文做出如下假设：

(1) 参与回收任务的电动运输车均为相同型号。

(2) 回收网络中的回收处理中心、回收点、充电站的位置分布信息已知。

(3) 废旧动力电池的运输风险主要取决于运输路段周边的暴露人口数量和运输途中的载货量。运载的废旧动力电池数量和路段暴露人口数量越多，节点间运输路径的风险越高；反之运输风险越小。

Figure 1. Multi-objective waste power battery recycling vehicle routing network diagram

图1. 多目标废旧动力电池回收路径网络图

3. 多目标废旧动力电池回收车辆路径优化模型

3.1. 符号说明

模型的相关符号说明如表1所示：

Table 1. Variable and parameter definitions

表1. 变量与符号说明

类别	符号	参数定义
集合	$R$	回收处理中心集合
	$C$	回收点集合
	$D$	充电站集合
	$V$	电动物流车集合
	$I$	车辆可访问节点集合，即$R\cup C\cup D$
参数	$F_1$	固定成本
	$F_2$	单位距离变动成本
	$\beta$	单位能耗成本
	$d_{ij}$	节点之间的距离
	$K_{ij}$	车辆在节点之间的行驶速度
	$g$	万有引力系数
	$C_r$	滚动阻力系数
	$C_d$	空气阻力系数
	$m$	车辆正面面积
	$\rho$	空气密度
	$W$	车辆的空载质量
	$e_{ijv}$	节点之间的能耗
	$E$	车辆的电池最大容量
	$Q$	车辆的最大载重
	$\lambda$	事故影响半径
	$S_{ij}$	受影响面积
	$Po{p}_{ij}$	暴露人口数量
	$p_{ij}$	发生事故的概率
	$r_{ij}$	节点$i$ 到节点$j$ 路段上的运输风险
	$R_{ijv}$	车辆$v$ 在节点$i$ 到节点$j$ 路段上的运输风险
	$d_i$	回收点废旧动力电池回收量
变量	$U_{iv}^1$	车辆$v$ 到达节点$i$ 时的载货量
	$U_{iv}^2$	车辆$v$ 离开节点$i$ 时的载货量
	$S_{iv}^1$	车辆$v$ 到达节点$i$ 时的电量
	$S_{iv}^2$	车辆$v$ 离开节点$i$ 时的电量
	$P_{iv}$	车辆$v$ 在充电站$i$ 的充电量
	$X_{ijv}$	若车辆$v$ 从节点$i$ 行驶到节点$j$ ，则为1，否则为0，$\forall i,j\in I$
	$Y_{iv}$	若车辆$v$ 在充电站$i$ 充电，则为1，否则为0，$\forall i,j\in I$

3.2. 数学模型

(1) 载重影响的能耗函数

本文使用电动运输车运输废旧动力电池，在运输过程中势必会产生能耗。由于动力电池重量较大，载重对车辆电能消耗的影响较大，为了能使电动运输车能耗的计算与实际情况更为吻合，本文参考相关文献[13]，采用非线性能耗模型计算电动物流车行驶过程中总的能耗，车辆行驶过程中的能耗函数设计如下：

$e_{ijv}=\frac{\left(g{C}_r\left(W+U_{iv}^2\right)+0.5C_{d}m\rho K_{ij}^2\right)\ast d_{ij}}{3600}$ (1)

(2) 运输风险度量函数

废旧动力电池作为国际规定的第九类危险品，其在运输过程中可能发生泄漏、起火、爆炸等事故。传统风险模型定义为事故概率与受影响人数的乘积度量运输风险。而本文参考相关文献[14]，综合考虑了人口暴露量、事故发生概率、车辆载重以及受影响面积等多个因素，量化运输风险的综合效应。

设发生危险时受影响的区域半径为$\lambda$ ，则受影响范围为：

$S_{ij}=2\lambda d_{ij}+\pi {\lambda }^2$ (2)

人口密度表示为${\rho }_{ij}$ ，所以受危险影响的人口数量可以表示为：

$Po{p}_{ij}=S_{ij}{\rho }_{ij}$ (3)

而发生事故的概率与运输距离有关，可表示为：

$p_{ij}=p{d}_{ij}$ (4)

其中$p$ 为初始事故概率。

因此运输风险为：

$r_{ij}=p_{ij}Po{p}_{ij}$ (5)

除事故概率和受影响人数以外，载货量的动态变化亦是影响风险评估的关键因素，不同载货量的车辆在同一处发生事故所造成的后果截然不同。因此，构建如下运输风险度量函数：

$R_{ijv}=\frac{U_{iv}^1}{Q}{r}_{ij}{X}_{ijv}$ (6)

(3) 多目标废旧动力电池回收车辆路径优化模型

目标函数为：

$\min {{\rm Z}}_1={\displaystyle \sum }_{v\in V}{\displaystyle \sum }_{i\in R}{\displaystyle \sum }_{j\in C}{F}_1{X}_{ijv}+{\displaystyle \sum }_{v\in V}{\displaystyle \sum }_{i\in I}{\displaystyle \sum }_{j\in I,i\ne j}{F}_2{d}_{ij}{X}_{ijv}+{\displaystyle \sum }_{v\in V}{\displaystyle \sum }_{i\in I}{\displaystyle \sum }_{j\in \in I,i\ne j}\beta e_{ijv}{X}_{ijv}$ (7)

$\min {{\rm Z}}_2={\displaystyle \sum }_{\forall i\in I}{\displaystyle \sum }_{\forall j\in I,j\ne i}{\displaystyle \sum }_{\forall v\in V}\frac{U_{iv}^1}{Q}{r}_{ij}{X}_{ijv}$ (8)

约束条件为：

${\displaystyle \sum }_{j\in I,i\ne j}{\displaystyle \sum }_{v\in V}{X}_{ijv}=1,\forall i\in C$ (9)

${\displaystyle \sum }_{i\in I,i\ne j}{X}_{ijv}-{\displaystyle \sum }_{i\in I,r\ne j}{X}_{jiv}=0,\forall j\in I,v\in V$ (10)

${\displaystyle \sum }_{j\in C\cup D}{X}_{ijv}={\displaystyle \sum }_{j\in C\cup D}{X}_{jiv}=1,\forall i\in R,v\in V$ (11)

${\displaystyle \sum }_{j\in D,i\ne j}{\displaystyle \sum }_{i\in D}{X}_{ijv}=0,\forall v\in V$ (12)

$U_{iv}^2=U_{iv}^1,\forall i\in D,v\in V$ (13)

$U_{iv}^2+d_j+M\left(X_{ijv}-1\right)\le U_{jv}^2,\forall i\in I,j\in C,i\ne j,v\in V$ (14)

$U_{iv}^1\le Q,\forall i\in R,v\in V$ (15)

$S_{iv}^1=S_{iv}^2,\forall i\in C,v\in V$ (16)

$S_{jv}^1\le S_{iv}^2-e_{ijv}{X}_{ijv}+M\left(1-X_{ijv}\right),\forall i,j\in I,i\ne j,v\in V$ (17)

$S_{iv}^1+Y_{iv}{P}_{iv}=S_{iv}^2,\forall i\in D,v\in V$ (18)

$S_{iv}^1\le E,\forall i\in I,v\in V$ (19)

$Y_{iv}\le {\displaystyle \sum }_{j\in C\cup R}{X}_{ijv},\forall i\in D,v\in V$ (20)

$X_{ijv}\in \left\{0,1\right\},\forall i,j\in I,i\ne j,v\in V$ (21)

$Y_{iv}\in \left\{0,1\right\},\forall i\in D,v\in V$ (22)

$U_{iv}^1,U_{iv}^2,S_{iv}^1,S_{iv}^2\ge 0,\forall i\in I,v\in V$ (23)

$P_{iv}\ge 0,\forall i\in D,v\in V$ (24)

其中，目标函数(7)表示由车辆固定成本、变动成本与能耗成本所构成的总运营成本最小。目标函数(8)表示运输风险最小。式(9)保证每个回收点仅能被一辆车访问一次。式(10)为流量守恒约束。式(11)保证车辆只能从回收处理中心出发，最后返回回收处理中心。式(12)表示充电设施之间无车辆路径。式(13)~(14)描述车辆在各节点前后的载重关系；式(15)为车辆载重限制约束。式(16)~(18)车辆在各节点前后的电量关系；式(19)为车辆的电池容量限制约束；式(20)表示决策变量之间的限制关系；式(21)~(24)表示变量的取值范围。

4. 求解算法

由于本文所构建的多目标废旧动力电池回收车辆路径优化模型属于典型的NP-hard问题，结构复杂且求解难度大。因此，本文选用NSGA-II算法求解此问题，该算法通过结合遗传算法，考虑快速非支配排序、拥挤距离计算以及精英策略，在维持种群多样性的同时保证了解的收敛性能，能够有效逼近问题的Pareto最优解集。

4.1. 编码与解码

在本文所研究的多目标废旧动力电池车辆路径优化问题中，采用自然数对染色体进行编码。假设该回收网络中存在$R$ 个回收处理中心，$C$ 个回收点和$D$ 个充电站，则分别用$1~R$ ，$R+1~R+C$ 和$R+C+1$ ，$R+C+D$ 的数字进行编码。其中，基因位置分割点指染色体中表示回收处理中心的基因所在位置，通过在染色体中设置回收中心对应的基因位置作为分割点，将整条染色体划分为若干路径片段，并在每个片段末尾显式添加起始节点，形成完整的闭环路径。结合基因位置分割与编码规则，对染色体进行解码。

4.2. 初始化种群

采用混合策略生成初始种群：80%的个体通过节约算法与最近领域法生成，确保初始解的质量；剩余20%的个体通过随机生成，以增强种群的多样性。对所有个体均需进行可行性校验，满足载重约束，电量约束和回收点全覆盖约束。

4.3. 快速非支配排序

本文研究的最小化运营成本与运输风险的双目标模型，采用非支配排序方法对种群中的路径方案赋予等级。针对种群内表征回收路径的个体开展高效排序判断个体之间的支配关系。若某个体在运营成本或运输风险任一目标上优于另一个体，且在其他目标上不劣于该个体，则称前者支配后者。

4.4. 拥挤距离计算

拥挤距离计算同一非支配层内个体的拥挤距离，以维持解集多样性：针对同一非支配层的边界染色体设拥挤距离。先将前沿内个体按运营成本、运输风险进行升序排序，将第一个染色体和最后一个染色体的拥挤距离为无穷大，避免被淘汰。针对非边界染色体的拥挤距离设置，通过计算相邻个体在双目标维度的差值之和计算，由于本文研究的两个目标函数在数值量级上存在显著差异，若直接使用原始目标值计算拥挤距离，可能导致某一目标主导拥挤度评估，影响解集的分布均匀性。因此采用线性归一化方法消除量纲影响，具体拥挤度$d_i$ 的计算方式如式(25)，其中$f_k^{i+1}$ 用和$f_k^{i-1}$ 表示在第各$k$ 目标上个体$i$ 相邻的两个个体的函数值，$f_k^{\max }$ 和$f_k^{\min }$ 表示目标$k$ 在当前非支配层内的最大值和最小值。最终按距离降序筛选，防止优质回收路径因目标值趋同被剔除。

$d_i={\displaystyle \sum }_{\forall k\in K}\frac{\left|f_k^{i+1}-f_k^{i-1}\right|}{f_k^{\max }-f_k^{\min }}$ (25)

4.5. 选择、交叉与变异操作

采用锦标赛法进行选择操作。随机选取两个个体进行选择操作，优先选择非支配等级高的个体；若等级相同，则选择拥挤距离大的个体，以兼顾收敛性与分布性。交叉操作通过随机生成含2~3个关键节点(回收点/充电站)的基因片段，生成新的子代路径。交换后通过建立映射关系修复重复节点，确保路径可行性，同时继承父代的优良路径特征。变异操作通过从路径个体中筛选非起止点的2个关键节点，交换二者位置后，实时校验新路径的载重与电量约束，既能避免无效路径生成，又能打破局部最优。

4.6. 精英策略

精英策略以“筛选优质路径 + 维持解集多样性”为核心，针对父代与子代合并后的个回收路径个体进行快速非支配排序。根据等级由低至高的优先级筛选，同等级内则按拥挤距离降序排序(保留分布更分散的路径)。同时对候选个体实时校验载重与电量约束，最终选取有效个体组成新一代种群，既确保每轮迭代保留兼顾成本与风险的精英回收路径，又避免优质路径因目标趋同被淘汰，为算法向Pareto前沿收敛提供保障。

5. 随机算例实验与分析

本文基于50个回收点、2个回收处理中心、5个充电站的核心场景进行算例测试。设定各节点坐标在100 km × 100 km的区域内随机生成，其中回收点的回收需求在[100, 600] kg之间的随机值，人口密度在[0, 800]之间随机抽样。参考现有文献进行参数设置，具体的参数设置如表2所示。使用python编写程序，NSGA-II算法参数设置如下：种群大小为100，交叉概率为0.9，变异概率为0.1，最大迭代次数为300。

Table 2. Parameter settings

表2. 参数设置表

参数	描述	赋值
$F_1$	固定成本	400
$F_2$	单位距离变动成本	2
$\beta$	单位能耗成本	1.4
$g$	万有引力系数	9.8
$C_r$	滚动阻力系数	0.01
$C_d$	空气阻力系数	0.4
$m$	车辆正面面积	3.2
$\rho$	空气密度	1.293
$K_{ij}$	车辆行驶速度	50
$W$	整车重量	2000
$E$	车辆电池容量	50
$Q$	车辆额定载重	1500
$\lambda$	事故影响半径	5
$p$	初始事故概率	10^−^6

5.1. 算法性能验证分析

为验证NSGA-II算法的求解性能，本文基于上述核心场景随机生成5组算例，各算例的Pareto前沿如图2所示。算例结果表明，所有算例的Pareto前沿均呈现平滑分布，解集在目标空间具有较好的分散性和收敛性。这表明本文采用的NSGA-II算法在求解所构建的多目标路径优化模型时，能够有效探索解空间，获得分布均匀的非劣解集，验证了模型和算法的有效性。

Figure 2. Pareto fronts for test cases 1~5

图2. 算例1~5的Pareto前沿

5.2. 决策结果分析

以算例1为例，最终Pareto最优解集中共有16个方案，各方案对应的总运成本、各子成本(固定成本、变动成本、能耗成本)以及运输风险如表3所示。

Table 3. Objective details of pareto solutions for test case 1

表3. 算例1 Pareto解的目标明细

运输方案	总运营成本	固定成本	变动成本	能耗成本	总运输风险
1	6160.92	3600.00	1859.58	701.34	29.19
2	6186.94	3600.00	1873.09	713.85	28.30
3	6279.85	3600.00	1927.95	751.90	27.71
4	6314.36	3600.00	1953.24	761.12	26.86
5	6384.81	3600.00	1990.88	793.93	26.42
6	6461.14	3600.00	2041.03	820.11	26.17
7	6531.67	3600.00	2078.73	852.94	25.87
8	6620.27	4000.00	1903.52	716.75	25.65
9	6784.78	4000.00	1999.23	785.55	25.51
10	6854.50	4000.00	2036.50	818.00	25.36
11	6982.09	4000.00	2113.90	868.19	25.10
12	7102.83	4400.00	1964.16	738.67	24.90
13	7256.25	4400.00	2034.19	822.06	24.76
14	7337.24	4400.00	2077.12	860.12	24.25
15	7447.92	4800.00	1941.93	705.99	24.08
16	7547.93	4800.00	1997.00	750.93	23.88

由表3可知，Pareto解集展现了多目标废旧动力电池回收车辆路径优化中运营成本与运输风险的典型权衡关系，验证了不存在同时最小化总运营成本和总运输风险的绝对最优方案。不同运输方案总运营成本的差异主要来源于固定成本、变动成本与能耗成本三者的协同变化。方案16以最低总运输风险为核心优势，总运输风险为23.88。其通过增加车辆、优化路径以规避高风险区域，但导致需承担7547.93的高运营总成本，适合运输风险敏感性需求，对比方案1，可降低18.19%的总运输风险。方案1以最低总运营成本6160.92为核心优势，通过减少车辆使用并规划路径有效控制了各项经济成本。但其运输风险高达29.19，适合成本敏感性需求，对比方案16，可降低18.38%的总运营成本。中间方案如方案8和9，通过平衡总运营成本和运输风险设计运输方案，适合对两者均有适度要求的场景。通过进行运输方案对比，决策者在规划回收路径时需要明确优先级，若追求保证运输安全且预算充足，方案16可最大化保证运输安全；若以经济性为目的，方案1更具优势；而中间方案则为均衡需求提供了灵活选择，二者兼顾性最优，适用于大多数通用场景。Pareto最优解集凸显了运输方案对总运营成本和总运输风险的影响，决策者需要结合自身偏好，权衡成本和风险选择适配的运输方案。

6. 结论

在全球新能源汽车产业快速发展和“双碳”战略深化推进的背景下，构建经济高效的废旧动力电池回收体系已成为推动行业可持续发展的关键因素。本文聚焦回收体系中的路径优化问题，建立了同时考虑运输风险与运营成本的多目标优化模型，并设计NSGA-II算法进行求解。通过算例验证表明，该模型与算法能够有效提供兼顾安全性与经济性的回收路径方案，为相关企业的运营决策提供决策支持。但本研究主要考虑了确定环境下的路径优化问题，后续研究可进一步拓展不确定因素环境下的路径规划，以增强模型的实际应用价值。