基于CRITIC与最小化最大妥协模型的消费者复购平台选择

Consumer Repurchase Platform Selection Based on CRITIC and Minimax Compromise Model

摘要: 在电商行业竞争白热化的背景下，消费者网购复购率对平台有不可替代的核心价值。针对消费者复购决策存在信息模糊、影响因素多元及群决策主体偏好差异的问题，提出一种最小化最大妥协模型，并将其应用于消费者网购复购平台决策分析。一方面，使用CRITIC的客观赋权方法确定各评价指标的客观权重；另一方面，基于最小化最大妥协模型整合多主体评价信息，减少决策群体的内部矛盾，实现备选方案的综合排序与复购决策推荐。实证结果表明，该模型能有效处理复购决策中的不确定性信息，平衡多维度评价冲突，提升决策结果的科学性与可靠性，为消费者选择最优的复购平台提供理论支持，同时为电商平台优化客户关系管理、商家制定精准复购激励策略提供实践参考。

Abstract: Against the backdrop of the intense competition in the e-commerce industry, the repeat purchase rate of consumers in online shopping holds an irreplaceable core value for e-commerce platforms. In response to the issues of ambiguous information in consumers’ repeat purchase decisions, multiple influencing factors, and differences in the preferences of group decision-making subjects, a minimax compromise model is proposed and applied to the decision-making analysis of consumers’ online shopping repeat purchase platforms. On the one hand, the objective weighting method of CRITIC is used to determine the objective weights of each evaluation index. On the other hand, based on the minimax compromise model, the evaluation information of multiple subjects is integrated to reduce the internal contradictions within the decision-making group, achieving the comprehensive ranking of alternative options and the recommendation of repeat purchase decisions. Empirical results indicate that this model can effectively handle the uncertain information in repeat purchase decisions, balance multi-dimensional evaluation conflicts, enhance the scientificity and reliability of decision-making results, provide theoretical support for consumers to select the optimal repeat purchase platform, and offer practical references for e-commerce platforms to optimize customer relationship management and for merchants to formulate precise repeat purchase incentive strategies.

1. 引言

在电商行业竞争白热化的背景下，消费者网购复购率对平台的核心价值无可替代。首先，复购用户是平台交易额稳定增长的基石；其次，高复购率可以显著降低平台对高额流量投放的依赖度；最后，长期沉淀的品牌口碑与用户粘性，可有效抵御竞争对手价格战等策略的冲击[1]。然而，消费者复购平台的选择受商品质量、价格、售后服务、物流服务等多因素的影响[2]-[5]。本文在区间直觉模糊数环境下建立最小化最大妥协模型以解决消费者在网购复购时面对的复杂的决策问题，同时为电商平台制定精准的复购激励策略提供理论支持。

在消费者网购复购的多属性决策过程中，由于复杂、不确定的决策环境，难以使用精确数据对决策问题进行评价。Zadeh [6]首次提出模糊集理论，解决模糊、不确定的决策问题。但是当决策者对复杂的决策问题有一定的不确定度时，模糊集理论就有了很大的局限。由此，Atanassov [7]定义了包括隶属度、非隶属度和犹豫度的直觉模糊集(IF)，为了更好地表达不确定信息，Atanassov [8]定义了区间直觉模糊集(IVIFS)和区间直觉模糊数(IVIFN)。

相比于直觉模糊数，区间直觉模糊数能更好的表现出对不确定信息决策时的踌躇性和不确定度。徐泽水[9]在直觉模糊数的基础上，进一步对区间直觉模糊数集结方法进行研究，给出区间直觉模糊数的加权算术和加权几何集成算子。李磊等[10]为了尽可能减小个体偏好值与群体偏好值的差异，提出了直觉模糊数最小化最大妥协的集结方法。但是没有考虑决策者的犹豫度与踌躇性对决策过程的影响。

本文在区间直觉模糊数环境下，充分考虑决策者对复杂不确定信息的踌躇性，然后将区间直觉模糊数转化为直觉模糊数，使用最小化最大妥协的方法集结。此外使用CRITIC客观赋权方法，确定各评价指标的客观权重，避免主观因素对决策结果的影响，在现实环境中，更大程度减小个体偏好值与群体偏好值的差异，提高决策结果的认可程度，减少决策群体内部的矛盾。

2. 理论基础

定义1 [11]在直觉模糊数$\alpha =\left({\mu }_{\alpha },{\nu }_{\alpha }\right)$ 中，其得分函数$S$ 为：

$s\left(\alpha \right)={\mu }_{\alpha }-{\nu }_{\alpha }$ (1)

$s\left(\alpha \right)\in \left[-1,1\right]$ ，$s\left(\alpha \right)$ 为$\alpha$ 的得分值。

定义2 [12]对于复杂、不确定的客观问题，${\mu }_{\alpha }\left(x\right)$ 和${\nu }_{\alpha }\left(x\right)$ 用精确数难以表示，进而使用区间数${\mu }_{\alpha }\left(x\right)$ 、${\nu }_{\alpha }\left(x\right)$ 表示，满足${\mu }_{\alpha }\left(x\right)\subset \left[0,1\right]$ ，${\nu }_{\alpha }\left(x\right)\subset \left[0,1\right]$ ，且$\sup {\mu }_{\alpha }\left(x\right)+\sup {\nu }_{\alpha }\left(x\right)\le 1$ ，$\forall x\in X$ ，$X$ 为区间直觉模糊集。

区间直觉模糊数是由元素$x\in X$ 的隶属度区间$\left[\underset{\_}{{\mu }_{\alpha }}\left(x\right),\overline{{\mu }_{\alpha }}\left(x\right)\right]$ 和非隶属度区间$\left[\underset{\_}{{\nu }_{\alpha }}\left(x\right),\overline{{\nu }_{\alpha }}\left(x\right)\right]$ 组成的区间对$\left(\left[\underset{\_}{{\mu }_{\alpha }}\left(x\right),\overline{{\mu }_{\alpha }}\left(x\right)\right],\left[\underset{\_}{{\nu }_{\alpha }}\left(x\right),\overline{{\nu }_{\alpha }}\left(x\right)\right]\right)$ )构成。

类似地，${\pi }_{\alpha }\left(x\right)=\left[\underset{\_}{{\pi }_{\alpha }}\left(x\right),\overline{{\pi }_{\alpha }}\left(x\right)\right]$ 表示$x\in X$ 的犹豫度，且满足：

$\underset{\_}{{\pi }_{\alpha }}\left(x\right)=1-\overline{{\mu }_{\alpha }}\left(x\right)-\overline{{\nu }_{\alpha }}\left(x\right)$ (2)

$\overline{{\pi }_{\alpha }}\left(x\right)=1-\underset{\_}{{\mu }_{\alpha }}\left(x\right)-\underset{\_}{{\nu }_{\alpha }}\left(x\right)$ (3)

定义3对任意直觉模糊数$\alpha =\left({\mu }_{\alpha },{\nu }_{\alpha }\right)$ ，和区间直觉模糊数$\left(\left[\underset{\_}{{\mu }_{\alpha }}\left(x\right),\overline{{\mu }_{\alpha }}\left(x\right)\right],\left[\underset{\_}{{\nu }_{\alpha }}\left(x\right),\overline{{\nu }_{\alpha }}\left(x\right)\right]\right)$ 均能够将其映射至平面直角坐标系中。其横坐标为隶属度${\mu }_{\alpha }$ ，纵坐标为非隶属度${\nu }_{\alpha }$ 。则直觉模糊数表现为平面直角坐标系中的坐标点，区间直觉模糊数表现为平面直角坐标系中的线段。

定义4 [10]对任意直觉模糊数${\alpha }_1=\left({\mu }_{{\alpha }_1},{\nu }_{{\alpha }_1}\right)$ ，${\alpha }_2=\left({\mu }_{{\alpha }_2},{\nu }_{{\alpha }_2}\right)$ ，定义${\alpha }_1$ 至${\alpha }_2$ 的妥协度为$f_{{\alpha }_1}\left({\alpha }_2\right)$ ，取值为

$f_{{\alpha }_1}\left({\alpha }_2\right)=\sqrt{\left({\left({\mu }_{{\alpha }_1}-{\mu }_{{\alpha }_2}\right)}^2+{\left({\nu }_{{\alpha }_1}-{\nu }_{{\alpha }_2}\right)}^2\right)}$ (4)

妥协度等于两个直觉模糊数在坐标系中的欧氏距离。

假定${\alpha }_1=\left({\mu }_{{\alpha }_1},{\nu }_{{\alpha }_1}\right)$ 权重为$\xi$ ，定义${\alpha }_1$ 至${\alpha }_2$ 的加权妥协度为$F_{{\alpha }_1}\left({\alpha }_2\right)$ ，取值为

$F_{{\alpha }_1}\left({\alpha }_2\right)=\sqrt{\left({\left({\mu }_{{\alpha }_1}-{\mu }_{{\alpha }_2}\right)}^2+{\left({\nu }_{{\alpha }_1}-{\nu }_{{\alpha }_2}\right)}^2\right)}\cdot \xi$ (5)

定义5 [10]任意直觉模糊数${\alpha }_1=\left({\mu }_{{\alpha }_1},{\nu }_{{\alpha }_1}\right)$ ，妥协度$f_{{\alpha }_1}$ ,可得其妥协域：

$U_{{\alpha }_1}\left(f_{{\alpha }_1}\right):{\left(x-{\mu }_{{\alpha }_1}\right)}^2+{\left(y-{\nu }_{{\alpha }_1}\right)}^2\le f_{{\alpha }_1}^2$ (6)

显然，${\alpha }_1$ 与妥协域$U_{{\alpha }_1}$ 内任一点的妥协度均小于等于$f_{{\alpha }_1}$ 。任意${\alpha }_1=\left({\mu }_{{\alpha }_1},{\nu }_{{\alpha }_1}\right)$ ，${\alpha }_2=\left({\mu }_{{\alpha }_2},{\nu }_{{\alpha }_2}\right)$ ，妥协域$U_{{\alpha }_1}\left(f_{{\alpha }_1}\right)$ ，$U_{{\alpha }_2}\left(f_{{\alpha }_2}\right)$ ，存在以下关系：

若$U_{{\alpha }_1}\left(f_{{\alpha }_1}\right)\cap U_{{\alpha }_2}\left(f_{{\alpha }_2}\right)=U^{*}\ne \varnothing$ ，

那么对$\forall P\in U^{*}$ ，$f_{{\alpha }_1}\left(P\right)\le f_{{\alpha }_1}$ ，$f_{{\alpha }_2}\left(P\right)\le f_{{\alpha }_2}$ ；

若$\forall P\in U^{*}$ ，$f_{{\alpha }_1}\left(P\right)\le f_{{\alpha }_1}$ ，$f_{{\alpha }_2}\left(P\right)\le f_{{\alpha }_2}$ ，

那么$U_{{\alpha }_1}\left(f_{{\alpha }_1}\right)\cap U_{{\alpha }_2}\left(f_{{\alpha }_2}\right)=U^{*}\ne \varnothing$ 。

3. 模型构建

3.1. 问题描述

假设$M=\left\{1,2,\cdots ,m\right\}$ ，$N=$ $\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ ，$T=\left\{1,2,\cdots ,t\right\}$ ，$i\in M$ ，$j\in N$ ，$k\in T$ 。

假设$A=\left\{a_1,a_2,\cdots ,a_m\right\}$ 表示有$m$ 个网购平台作为备选方案，$B=\left\{b_1,b_2,\cdots ,b_n\right\}$ 表示有$n$ 个评价指标，$\rho =\left\{{\rho }_1,{\rho }_2,\cdots ,{\rho }_n\right\}$ 表示指标权重，且满足$0\le {\rho }_j\le 1$ ，${\displaystyle \sum _{j=1}^n{\rho }_j}=1$ ，$C=\left\{c_1,c_2,\cdots ,c_t\right\}$ 表示决策者集合，$W=\left\{{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_t\right\}$ 表示决策者权重，且满足$0\le {\omega }_k\le 1$ ，${\displaystyle \sum _{k=1}^t{\omega }_k}=1$ ，每名决策者初始权重相等，分别给出区间直觉模糊数形式的评价矩阵$Q_k,k\in T$ 。

3.2. 评价指标选取与赋权

3.2.1. 指标选取

本文遵循客观实用、多维系统、科学有效的原则，结合现有文献[2]-[5]，选取质量$b_1$ 、价格$b_2$ 、物流时效$b_3$ 、售后服务$b_4$ 四个指标对复购平台进行综合评价，并对各指标进行标准化处理。

正向指标进行正向化处理：

$X_{ij}=\frac{X_{ij}-\min \left(X_{1j},X_{2j},\cdots ,X_{nj}\right)}{\max \left(X_{1j},X_{2j},\cdots ,X_{nj}\right)-\min \left(X_{1j},X_{2j},\cdots ,X_{nj}\right)}$ (7)

负向指标进行逆向化处理：

${X^{\prime }}_{ij}=\frac{\max \left(X_{1j},X_{2j},\cdots ,X_{nj}\right)-X_{ij}}{\max \left(X_{1j},X_{2j},\cdots ,X_{nj}\right)-\min \left(X_{1j},X_{2j},\cdots ,X_{nj}\right)}$ (8)

3.2.2. 复购平台评价指标的CRITIC客观权重确定

本文使用CRITIC方法充分利用数据自身的客观属性确定权重。

指标变异性：使用标准差来表示各指标内取值的差异波动情况，标准差越大，其自身数值差异越大，所包含的信息量越多，指标权重就越大。公式为：

${\sigma }_j=\sqrt{\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_{ij}-\overline{X_j}\right)}^2}}{n-1}}$ (9)

其中，${\sigma }_j$ 是第$j$ 个指标的标准差，$\overline{X_j}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_{ij}}}{n}$ 。

指标冲突性：用相关系数来衡量指标冲突性，指标之间相关系数越大，与其他指标的相关性越强，反映出相同的信息越多，权重越小。公式为：

$r_{ij}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(X_i-\overline{X_i}\right)\left(X_j-\overline{X_j}\right)}}{\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X_i}\right)}^2{\left(X_j-\overline{X_j}\right)}^2}}},i\ne j$ (10)

其中，$\overline{X_i}$ 和$\overline{X_j}$ 为第$i$ 个指标和第$j$ 个指标的平均值。

第$i$ 个指标与其他指标的冲突性为：

$R_i={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(1-r_{ij}\right)},i\ne j$ (11)

指标的信息量：由指标的变异性和冲突性综合衡量的，信息量越大，指标权重越大。公式为：

$D_i={\sigma }_i{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(1-r_{ij}\right)}={\sigma }_i\times R_i$ (12)

则第$i$ 个指标的客观权重${\rho }_i$ 为：

${\rho }_i=\frac{D_i}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{D}_i}}$ (13)

3.3. 最小化最大妥协度集结的求解思路

决策者$c_k$ 给出区间直觉模糊数形式的个体评价矩阵$Q_k$ ，对每个个体评价矩阵的每一个备选方案进行集结，本文直接使用区间直觉模糊数加权平均算子[9]：

$f_{\omega }\left({\tilde{\alpha }}_1,{\tilde{\alpha }}_2,\cdots ,{\tilde{\alpha }}_n\right)=([1-{\displaystyle \prod _{j=1}^n{\left(1-{\underset{\_}{\mu }}_{{\alpha }_j}\right)}^{{\rho }_j}},1-{\displaystyle \prod _{j=1}^n{\left(1-{\overline{\mu }}_{{\alpha }_j}\right)}^{{\rho }_j}}],\left[{\displaystyle \prod _{j=1}^n{\underset{\_}{\nu }}_{{\alpha }_j}^{{\rho }_j}},{\displaystyle \prod _{j=1}^n{\overline{\nu }}_{{\alpha }_j}^{{\rho }_j}}\right])$ (14)

其中，$\rho ={\left({\rho }_1,{\rho }_2,\cdots ,{\rho }_n\right)}^{\text{T}}$ 为${\tilde{\alpha }}_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$ 的权重向量，$0\le {\rho }_j\le 1$ ，${\displaystyle \sum _{j=1}^n{\rho }_j}=1$ 。

由此得到集结后的评价值$\left(\left[{\underset{\_}{\mu }}_i^k,{\overline{\mu }}_i^k\right],\left[{\underset{\_}{\nu }}_i^k,{\overline{\nu }}_i^k\right],\left[{\underset{\_}{\pi }}^k{}_i,{\overline{\pi }}_i^k\right]\right)$ ，针对每个备选方案，将各决策者的个体评价矩阵的每一行集结得到的区间直觉模糊数形式的评价值映射到平面直角坐标系中，横轴为隶属度$\mu$ ，纵轴为非隶属度$\nu$ ，区间直觉模糊数形式的评价值表现为两条线段，将两条线段连接补成长方形，求得长方形的重心，重心即为转化后的评价值。此时的评价值为直觉模糊数形式。计算公式如下：

对于任意区间直觉模糊数$\left(\left[{\underset{\_}{\mu }}_{\alpha },{\overline{\mu }}_{\alpha }\right],\left[{\underset{\_}{\nu }}_{\alpha },{\overline{\nu }}_{\alpha }\right]\right)$ ：

${\mu }_{\alpha }^{*}=\frac{{\underset{\_}{\mu }}_{\alpha }+{\overline{\mu }}_{\alpha }}{2}$ (15)

${\nu }_{\alpha }^{*}=\frac{{\underset{\_}{\nu }}_{\alpha }+{\overline{\nu }}_{\alpha }}{2}$ (16)

其中，${\mu }_{\alpha }^{*}$ 表示区间直觉模糊数转化为直觉模糊数后的隶属度，${\nu }_{\alpha }^{*}$ 表示区间直觉模糊数转化为直觉模糊数后的非隶属度。

假设有$\phi$ 个决策者给出评价矩阵，根据公式(14)可得到各方案集结后的评价值，再根据公式(15)和公式(16)将区间直觉模糊数转化为直觉模糊数，并由定义3，将$\phi$ 个直觉模糊数形式的评价值，映射到平面直角坐标系中，可得出$\phi$ 个坐标点。设$P_0\left(x_0,y_0\right)$ 为妥协后最终的群体偏好点，$P_1\left(x_1,y_1\right),P_2\left(x_2,y_2\right),P_3\left(x_3,y_3\right),\cdots ,P_{\phi }\left(x_{\phi },y_{\phi }\right)$ 是初始个体偏好点。$\phi$ 个决策者的权重相同，妥协度就等于两个直觉模糊数形式的评价值在坐标系中的欧氏距离，于是$P_i\left(x_i,y_i\right)$ 至$P_0\left(x_0,y_0\right)$ 的妥协度为：

$f_{p_i}\left(p_0\right)=l_i=\sqrt{\left({\left(x_i-x_0\right)}^2+{\left(y_i-y_0\right)}^2\right)}$ (17)

于是，只有求解出$P_0\left(x_0,y_0\right)$ 坐标，且符合：$\min \left\{\max \left[f_{p_i}\left(p_0\right)\right]\right\},i=1,2,\cdots ,\phi$ 才能实现最小化最大妥协。

在平面直角坐标系中，假设$P_0^{\ast }\left(x_0^{\ast },y_0^{\ast }\right)$ 是满足最小化最大妥协度的点，$\phi$ 个决策者的妥协度为$\left\{l_1^{\ast },l_2^{\ast },l_3^{\ast },\cdots ,l_{\phi }^{\ast }\right\}$ ，$\min \left\{\max \left[l_1^{\ast },l_2^{\ast },l_3^{\ast },\cdots ,l_{\phi }^{\ast }\right]\right\}={\lambda }^{\ast }$ ，$l_1^{\ast },l_2^{\ast },l_3^{\ast },\cdots ,l_{\phi }^{\ast }\le {\lambda }^{\ast }$ 。

由定义6可知，此时：

$U_{{\alpha }_1}\left({\lambda }^{\ast }\right)\cap U_{{\alpha }_2}\left({\lambda }^{\ast }\right)\cap \cdots \cap U_{{\alpha }_{\phi }}\left({\lambda }^{\ast }\right)\ne \varnothing$ (18)

同时，对$\forall {\lambda }^{-}<{\lambda }^{\ast }$ ：

$U_{{\alpha }_1}\left({\lambda }^{-}\right)\cap U_{{\alpha }_2}\left({\lambda }^{-}\right)\cap \cdots \cap U_{{\alpha }_{\phi }}\left({\lambda }^{-}\right)=\varnothing$ (19)

即假设${\lambda }^{\ast }$ 是最终最小化的最大妥协度，那么$\phi$ 个个体偏好点对应的$U_{{\alpha }_1}\left({\lambda }^{\ast }\right)$ ，$U_{{\alpha }_2}\left({\lambda }^{\ast }\right)$ ，$U_{\alpha 3}\left({\lambda }^{\ast }\right)$ ，$\cdots$ ，$U_{{\alpha }_{\phi }}\left({\lambda }^{\ast }\right)$ 妥协域必然存在非空交集。而$\forall {\lambda }^{-}<{\lambda }^{\ast }$ ，妥协域必然不存在交集。

假设${\lambda }^{\ast }={\lambda }^1$ ，若妥协域相交等于空集，则${\lambda }^{\ast }={\lambda }^1$ 不成立；

假设${\lambda }^{\ast }={\lambda }^2$ ，${\lambda }^2>{\lambda }^1$ ，如图1和图2所示，这时妥协域存在交集，交集内有且仅有一个元素$P_0\left(x_0,y_0\right)$ ，${\lambda }^{\ast }={\lambda }^2$ 成立；

Figure 1. ${\lambda }^{\ast }={\lambda }^2$ intersection of compromise domains

图1. ${\lambda }^{\ast }={\lambda }^2$ 时妥协域相交情况

Figure 2. ${\lambda }^{\ast }={\lambda }^2$ magnified view of the intersection area

图2. ${\lambda }^{\ast }={\lambda }^2$ 时相交区域放大图

假设${\lambda }^{\ast }={\lambda }^3$ ，${\lambda }^3>{\lambda }^2$ ，此时妥协域存在交集，交集内含有无数个元素，${\lambda }^{\ast }={\lambda }^3$ 成立。

显然，${\lambda }^2$ 满足前提条件，且取值最小，因此${\lambda }^2={\lambda }^{\ast }$ ，满足最小最大妥协度。

综上，$\phi$ 个直觉模糊数集结，满足最小最大妥协为${\lambda }^{\ast }$ 的充要条件：

① $U_{{\alpha }_1}\left({\lambda }^{\ast }\right)\cap U_{{\alpha }_2}\left({\lambda }^{\ast }\right)\cap \cdots \cap U_{{\alpha }_{\phi }}\left({\lambda }^{\ast }\right)=U^{\ast }\ne \varnothing$ (20)

② $card\left(U^{\ast }\right)=1$ (21)

其中$card\left(U^{\ast }\right)$ 为集合$U^{\ast }$ 中元素的个数。

4. 网购复购决策实证分析

本文使用文献研究法选取质量$b_1$ 、价格$b_2$ 、物流时效$b_3$ 、售后服务$b_4$ 四个评价指标，邀请5名长期从事相关研究的专家$C=\left\{c_1,c_2,c_3,c_4,c_5\right\}$ 组成评估小组，对某类日用品从$a_1$ 、$a_2$ 、$a_3$ 、$a_4$ 四个备选电商平台中筛选最优复购平台。专家权重$\omega ={\left(0.2,0.2,0.2,0.2,0.2\right)}^{\text{T}}$ ，$Q_k={\left(q_{ijk}\right)}_{4\times 4}$ 表示决策专家$c_k$ 的决策矩阵。将本文所提出的方法应用于该案例中，具体实施步骤如下：

步骤1：使用CRITIC方法计算各指标的客观权重，计算结果如表1所示：

Table 1. Objective weights of indicators

表1. 指标客观权重

评价指标	指标变异性	指标冲突性	信息量	权重
质量$b_1$	0.782	0.354	1.998	0.249
价格$b_2$	0.763	0.332	1.985	0.248
物流时效$b_3$	0.651	0.383	1.615	0.201
售后服务$b_4$	0.924	0.291	2.412	0.302

步骤2：各专家给出初始区间直觉模糊决策矩阵$Q_k\left(k=1,2,3,4,5\right)$ 。并使用区间直觉模糊数加权平均算子[9]，结合步骤1算出的各指标的客观权重，对各专家评价值进行集结，计算结果如表2：

Table 2. Initial assembly matrix

表2. 初始集结矩阵

	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$
$c_1$	$\begin{array}{l}\left[0.41,0.52\right],\\ \left[0.31,0.37\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.35,0.47\right],\\ \left[0.37,0.43\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.48,0.60\right],\\ \left[0.28,0.34\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.51,0.58\right],\\ \left[0.21,0.31\right]\end{array}$
$c_2$	$\begin{array}{l}\left[0.45,0.51\right],\\ \left[0.36,0.43\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.38,0.47\right],\\ \left[0.37,0.48\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.51,0.57\right],\\ \left[0.31,0.35\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.51,0.60\right],\\ \left[0.24,0.32\right]\end{array}$
$c_3$	$\begin{array}{l}\left[0.38,0.51\right],\\ \left[0.30,0.41\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.33,0.46\right],\\ \left[0.39,0.43\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.45,0.55\right],\\ \left[0.32,0.38\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.5,0.57\right],\\ \left[0.27,0.33\right]\end{array}$
$c_4$	$\begin{array}{l}\left[0.46,0.53\right],\\ \left[0.26,0.40\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.38,0.45\right],\\ \left[0.36,0.46\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.41,0.53\right],\\ \left[0.26,0.32\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.51,0.58\right],\\ \left[0.26,0.31\right]\end{array}$
$c_5$	$\begin{array}{l}\left[0.35,0.51\right],\\ \left[0.34,0.43\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.31,0.44\right],\\ \left[0.38,0.46\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.47,0.54\right],\\ \left[0.30,0.41\right]\end{array}$	$\begin{array}{l}\left[0.47,0.56\right],\\ \left[0.31,0.38\right]\end{array}$

步骤3：将决策者给出的区间直觉模糊数形式的评价值，映射到平面直角坐标系中，通过长方形的重心转化为直觉模糊数形式的评价值。即为各方案需要集结的圆心，结果如表3：

Table 3. Initial individual preference points of the minimax compromise model

表3. 最小化最大妥协的初始个体偏好点

	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$
$o_1$	$\left(0.47,0.34\right)$	$\left(0.41,0.40\right)$	$\left(0.54,0.31\right)$	$\left(0.55,0.26\right)$
$o_2$	$\left(0.48,0.40\right)$	$\left(0.43,0.43\right)$	$\left(0.54,0.33\right)$	$\left(0.56,0.28\right)$
$o_3$	$\left(0.45,0.36\right)$	$\left(0.40,0.41\right)$	$\left(0.50,0.35\right)$	$\left(0.54,0.30\right)$
$o_4$	$\left(0.50,0.33\right)$	$\left(0.42,0.41\right)$	$\left(0.47,0.29\right)$	$\left(0.55,0.29\right)$
$o_5$	$\left(0.43,0.39\right)$	$\left(0.38,0.42\right)$	$\left(0.51,0.36\right)$	$\left(0.52,0.35\right)$

步骤4：求出数形结合后的$\phi$ 个圆心$O=\left\{o_1,o_2,\cdots ,o_{\phi }\right\}$ ，妥协度$\lambda$ 即为各圆的半径，不断增大圆的半径直至符合条件的集结点，$\lambda$ 初始值为零，单次迭代步长为0.01。

步骤5：由定义5，通过$\lambda$ 和$\phi$ 个圆心$O=\left\{o_1,o_2,\cdots ,o_{\phi }\right\}$ ，能够生成对应的妥协域集$E=\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_{\phi }\right\}$ ，$e_i:{\left(x-{\mu }_{\alpha }\right)}^2-{\left(y-{\nu }_{\alpha }\right)}^2={\lambda }_i^2$ 。

步骤6：计算妥协域集内两两圆交点，并将结果添加至交点集$P=\left\{p_1,p_2,\cdots ,p_g\right\}$ 中，此时形成交点，表示随着决策者不断让步妥协，有部分决策者之间达成共识，偏好随之相交。

步骤7：分析交点集$P$ 中所有交点的归属情况，如果某个交点落在某个圆内，表示得到了该圆对应的决策者的认可，如果某个交点同时属于多个圆，表明该点获得了多个圆对应的多位决策者的认可。

步骤8：分析满足条件的共识点是否出现，共识点是$\phi$ 个圆的交点。

步骤9：若$\phi$ 个圆没有出现交点，则继续增大$\lambda$ ，取$\lambda +0.01\Rightarrow \lambda$ ，回到步骤4。

步骤10：取满足条件的共识点$P$ ，生成结果集$G$ ，存在以下两种情况：

① $card\left(G\right)=1$ ，集合$G$ 内有且仅有1个元素，这表明该点是满足共识条件的临界交点，即为$\phi$ 个决策者达成共识的最终结果；

② $card\left(G\right)\ge 2$ ，集合$G$ 内有多个元素，意味着算法中步长设置过大，使不同妥协域之间相交范围扩大，满足决策共识要求的区域出现。但由于实际采用的迭代步长$\lambda$ 很小，由此产生的误差值可控制在极低水平。于是，将集合$G$ 内各点坐标的均值作为最终共识结果。

步骤11：$m$ 个备选方案通过上述步骤得到最终的共识点后，根据定义1，$s\left(\alpha \right)={\mu }_{\alpha }-{\nu }_{\alpha }$ 对各备选方案进行评分。四个网购平台的得分如表4：

Table 4. Group preference points and scores for each alternative option

表4. 各备选方案群体偏好点及得分

备选方案	群体偏好值	得分
$a_1$	$\left(0.47,0.36\right)$	0.11
$a_2$	$\left(0.41,0.42\right)$	−0.01
$a_3$	$\left(0.51,0.33\right)$	0.18
$a_4$	$\left(0.55,0.29\right)$	0.26

如表4所示，网购平台$a_4$ 以0.26的最高得分成为满足最小化最大妥协要求的最优复购平台，其得分显著高于平台$a_3$ (0.18)、$a_1$ (0.11)及$a_2$ (−0.01)，体现了决策群体对该平台的高度共识。结合CRITIC方法计算的指标权重(售后服务0.302、质量0.249、价格0.248、物流时效0.201)，平台$a_4$ 的胜出核心源于其在高权重指标上的突出表现：在权重最高的售后服务指标中，其区间直觉模糊数转化后的隶属度与非隶属度组合呈现最优水平，对应其在实际服务中24小时售后响应、无理由退换货上门取件的高效保障，与消费者对日用品“买后保障优先”的核心需求精准匹配；在质量与价格这两个权重相近的关键指标上，平台$a_4$ 的评价值均处于前列，反映出其产品质量稳定且价格定位适中的竞争优势，契合消费者“质量价格兼顾”的消费习惯；即使在权重最低的物流时效指标上，其表现也达到行业中等偏上水平，未出现明显短板。

结合本文模型输出的指标表现差异，针对其他三个平台的优化建议如下：对于平台$a_2$ (得分−0.01，排名末位)，其售后服务指标的评价值显著低于$a_4$ ，应优先聚焦提升退换货处理效率与售后响应速度，可建立专属售后对接通道，将响应时长压缩至12小时内，同时推广上门取件服务全覆盖，针对性改善高权重指标的短板；对于平台$a_1$ (得分0.11)，其价格指标评价值相对薄弱，可设计“质量保障 + 价格让利”的性价比套餐，例如组合装折扣、复购满减等活动。质量指标评价值与平台$a_4$ 差距较小，在维持现有质量水平的基础上提升价格竞争力；对于平台$a_3$ (得分0.18)，其物流时效指标评价值为四个平台中最低，需强化物流服务承诺，可与头部物流企业合作优化配送链路，推出“超时必赔”机制，即超出承诺时效自动发放无门槛优惠券，通过明确的补偿规则降低消费者等待焦虑，弥补低权重指标的劣势。

本文通过区间直觉模糊数充分捕捉消费者决策时的犹豫度，经重心转化为直觉模糊数后，借助最小化最大妥协模型实现群体偏好的高效集结，同时通过CRITIC方法获得客观指标权重，彻底规避了主观赋权的偏差。这种方法不仅使平台$a_4$ 在多指标维度的优势得到量化验证，更让各平台的短板定位清晰可依，决策结果既减少了群体内部矛盾，也为商家制定针对性优化策略提供了可操作的量化依据，更具实践价值。

5. 结语

本文将区间直觉模糊数形式的评价值集结，将其转化为直觉模糊数形式。然后，将各评价值映射到坐标系中，建立最小化最大妥协模型，确定圆形妥协域。不断增加圆的半径，达成决策群体的共识。通过在消费者网购复购平台选择中的实例分析，充分证明了本文方法的有效性。

现有研究虽然已经对各种模糊数形式的评价值，提出了很多集结算子。但针对区间直觉模糊数环境仍缺乏有效降低群体内在冲突的决策模型。本文决策方法的优势在于，首先，选用区间直觉模糊数形式的评价值能更好地反应决策者面对复杂、不确定问题时的犹豫程度，其次，使用最小化最大妥协的集结方法，能最大程度上减少群体偏好值与个体偏好值的差异。通过实例分析，不仅有效减少了网购平台选择过程中消费者不可避免的意见分歧，更为各电商平台优化服务策略、商家制定精准复购激励方式提供实践参考。