基于不同准则的机械零件疲劳强度计算教学探讨

Teaching Exploration on Fatigue Strength Calculation of Mechanical Components Based on Different Criteria

摘要: 机械零件在稳定循环变应力作用下的疲劳强度计算是《机械设计》课程的教学重点，也是工程实践中的关键问题。教材中基于等寿命疲劳曲线的分析方法适用于平均应力为正的工况，难以处理发动机连杆等部件中出现的平均应力为负的情况。本文通过理论分析和算例验证，系统研究了Goodman、Gerber和Soderberg三种平均应力修正准则在负平均应力工况下的适用性。研究结果表明，三种准则均能有效处理此类工况，但表现出不同的特性：Gerber准则预测的疲劳强度最高，Goodman准则居中，Soderberg准则最为保守。本文建立了针对不同工程需求的准则选择框架，为机械设计课程的教学内容完善提供了补充。

Abstract: The calculation of fatigue strength for mechanical components under steady cyclic variable stresses is a key focus in the Mechanical Design course and a critical issue in engineering practice. The analytical methods based on the equal-life fatigue curves in textbooks are primarily suitable for conditions with positive mean stress, making them less effective for dealing with cases where components, such as engine connecting rods, experience negative mean stress. This study systematically investigates the applicability of three mean stress correction criteria—Goodman, Gerber, and Soderberg—under negative mean stress conditions, through theoretical analysis and case validation. The results indicate that all three criteria are capable of effectively handling such conditions, but exhibit different characteristics: the Gerber criterion predicts the highest fatigue strength, the Goodman criterion provides intermediate results, and the Soderberg criterion is the most conservative. A criterion selection framework tailored to different engineering needs is established, which contributes to the enhancement of the teaching content of the Mechanical Design course.

1. 引言

机械零件的疲劳失效是工业领域的重要挑战，其中非对称循环应力作用下的破坏尤为突出[1]。为处理平均应力的影响，工程领域发展出多种修正理论。Gerber基于试验数据首次提出了描述平均应力影响的抛物线模型，但因计算复杂而在应用上受限[2]。Goodman提出了以材料抗拉强度为边界的线性模型，该模型简洁安全，成为工程实践中的主流方法之一[3]。后续Soderberg提出了以屈服强度为边界的线性模型，进一步强化了设计的保守性，特别适用于需防止宏观塑性变形的场合[4]。这三大经典准则共同构成了处理平均应力问题的理论基础。

《机械设计》课程中的疲劳强度理论教学主要基于等寿命疲劳曲线，该方法适用于平均应力为正值、工作点位于极限应力图第一象限的常规工况。发动机连杆等关键部件常工作在平均应力为负的工况下[5]，其工作点位于第二象限，这使得教材中的常规方法难以直接应用。为弥补这一不足，本文以发动机连杆为研究对象，探讨平均应力为负值时不同修正准则的适用性。通过理论分析、算例验证和对比研究，系统梳理三种典型平均应力修正准则的理论基础和应用特点；通过具体算例揭示各准则的计算差异，并建立基于工程需求的准则选择框架，为机械设计课程的教学完善提供参考。

2. 疲劳强度基础与等寿命疲劳曲线

2.1. 应力分类与疲劳失效机理

在设计机械零件时，根据所受应力随时间变化的特征，可将其划分为静应力与变应力两大类，二者对材料行为与寿命的影响机制存在着根本性的不同。

静应力是指大小和方向不随时间变化或变化速率缓慢的应力，常见于承受稳定载荷的结构，如桥梁墩柱、设备基座等。静应力下的失效模式主要为宏观塑性屈服或脆性断裂。设计准则通常以保证最大工作应力低于材料的屈服强度(考虑塑性材料)或抗拉强度(考虑脆性材料)为依据。由于应力恒定，材料不会因载荷波动而产生损伤累积，故通常无需考虑疲劳问题。

变应力是指随时间作周期性或随机性变化的应力，广泛存在于轴承、齿轮、轴等动载零件中。如图1所示，根据应力变化规律，变应力可分为稳定循环变应力、不稳定循环变应力和随机变应力。变应力引发的失效机制核心是疲劳失效，即使在应力峰值远低于材料屈服强度的条件下，应力反复作用也会导致微观裂纹萌生并稳定扩展，最终发生突然断裂。这种“高周疲劳”破坏具有极大的隐蔽性和危险性[6]。因此，变应力下的疲劳强度计算必须考虑应力幅值${\sigma }_a$ 、平均应力${\sigma }_m$ 和循环次数的共同影响。

(a) 静应力 (b) 稳定循环变应力

(c) 不稳定循环变应力 (d) 随机变应力

Figure 1. Variation patterns of different stress amplitudes

图1. 不同应力的幅值变化规律

2.2. 单向稳定变应力时零件的等寿命疲劳强度计算

在诸多变应力形式中，单向稳定变应力是工程中一种常见且重要的类型。在此过程中，应力幅值与平均应力均保持稳定，但材料仍会因持续的循环载荷作用而逐渐累积损伤，最终导致疲劳失效。如图2所示为不同形式的稳定循环变应力。

(a) 非对称循环变应力

(b) 对称循环变应力 (c) 脉动循环变应力

Figure 2. Variation pattern of steady cyclic stress amplitude

图2. 稳定循环变应力幅值变化规律

对变应力进行准确分析的前提是建立统一的应力符号约定。在工程实践中，普遍将导致材料伸长的拉应力定义为正应力，而将导致材料缩短的压应力定义为负应力。应力循环的特性通常由应力比$r$ (定义为$r={\sigma }_{\text{min}}/{\sigma }_{\text{max}}$ )来量化。根据《机械设计》(高等教育出版社，第十一版)的规范，应力比$r$ 的取值范围被限定在−1至1之间，涵盖了从对称循环到脉动循环乃至静应力的各种典型状态。

如图3所示为零件极限应力图，该简化模型通常由折线ADC构成。零件的工作应力若处于OAGC区域内，则表示不会发生破坏；ADG线段表示零件发生疲劳失效的临界条件，GC线段表示零件发生塑性屈服的临界条件[7]。$K_{\sigma }$ 表示零件综合影响系数，其中点A (${\sigma }_m=0,{\sigma }_a={\sigma }_{-1}/K_{\sigma }$ )对应对称循环疲劳极限($r=-1$ )，适用于方向交替变化的交变应力。点D (${\sigma }_m={\sigma }_0/2,{\sigma }_a={\sigma }_0/2K_{\sigma }$ )对应脉动循环疲劳极限($r=0$ )，适用于从零到最大值的单向应力循环。点C (${\sigma }_m={\sigma }_s,{\sigma }_a=0$ )对应静强度极限($r=1$ )，适用于静应力状态。教材模型明确其适用范围主要为工作点位于第一象限(即${\sigma }_m\ge 0$ )的工况，通过“等应力比射线”求解与极限应力线的交点，从而计算安全系数，为处理平均应力为零或为正的疲劳强度计算提供了有效方法。

Figure 3. Component limit stress diagram

图3. 零件极限应力图

3. 疲劳强度计算其他方法

教材为零件平均应力为正的工况提供了有效的疲劳强度计算方法。然而，当零件承受以压应力为主的载荷(如发动机连杆工况)而导致平均应力为负时，其工作点将位于极限应力线图的第二象限。为解决此类工况，工程中发展了多种平均应力修正准则[8]。以下介绍三种广泛应用的修正方法：Goodman准则、Gerber准则和Soderberg准则。

3.1. Goodman准则

Goodman准则建立在线性损伤累积的假设之上，其经验基础主要源于对脆性材料(如铸铁)的早期疲劳试验观测，适用于脆性材料或高循环疲劳分析[9]。该准则假设平均应力${\sigma }_m$ 和应力幅${\sigma }_a$ 对疲劳失效的影响是线性的，其失效边界由材料的对称循环疲劳极限和抗拉强度共同决定。

Goodman准则基本公式：

$\frac{{\sigma }_a}{{\sigma }_{-1e}}+\frac{{\sigma }_m}{{\sigma }_b}=1$ (1)

其中，${\sigma }_b$ 为材料的抗拉强度。

其安全系数$S$ 可由以下公式直接计算：

$S=\frac{1}{\frac{{\sigma }_a}{{\sigma }_{-1e}}+\frac{{\sigma }_m}{{\sigma }_b}}$ (2)

${\sigma }_m-{\sigma }_a$ 坐标系中，在纵轴上取点$\left(0,{\sigma }_{-1e}\right)$ ，在横轴上取点$\left({\sigma }_b,0\right)$ ，用直线连接上述两点，所得线段即为Goodman疲劳失效边界，该直线以下区域为安全区。

3.2. Soderberg准则

Soderberg准则是另一种线性模型，它在Goodman线性模型的基础上进行了改进，建立了一种新的应力修正关系，该关系通过平均应力与材料屈服强度的比值以及应力幅值与对称循环屈服强度的比值来描述材料的疲劳特性[10]。与Goodman准则类似，但采用材料的屈服强度${\sigma }_s$ 代替抗拉强度${\sigma }_b$ 作为失效边界，确保了零件在循环载荷下不仅避免疲劳失效，也防止发生宏观塑性屈服。

Soderberg准则基本公式：

$\frac{{\sigma }_a}{{\sigma }_{-1e}}+\frac{{\sigma }_m}{{\sigma }_s}=1$ (3)

相应的安全系数计算公式为：

$S=\frac{1}{\frac{{\sigma }_a}{{\sigma }_{-1e}}+\frac{{\sigma }_m}{{\sigma }_s}}$ (4)

在纵轴上取点$\left(0,{\sigma }_{-1e}\right)$ ，在横轴上取点$\left({\sigma }_s,0\right)$ ，用直线连接上述两点，所得线段即为Soderberg失效边界。由于${\sigma }_s$ 通常小于${\sigma }_b$ ，此直线位于Goodman线之下，定义了一个更小的安全区。

3.3. Gerber准则

Gerber准则采用抛物线模型来描述平均应力与应力幅的相互作用，更贴合许多韧性金属材料的实际疲劳试验数据[11]。该模型认为平均应力对疲劳极限的影响是非线性的，在低平均应力区影响较小，而在高拉伸平均应力区影响显著。这种非线性关系能更准确地描述材料微观层面的塑性变形和损伤累积机制，通过一个抛物线方程来更精确地拟合在高平均应力区域材料的实际承载能力。

Gerber准则基本公式：

$\frac{{\sigma }_a}{{\sigma }_{-1e}}+{\left(\frac{{\sigma }_m}{{\sigma }_b}\right)}^2=1$ (5)

相应的安全系数计算公式为：

$S=\frac{1}{{\sigma }_a/{\sigma }_{-1e}+{\left({\sigma }_m/{\sigma }_b\right)}^2}$ (6)

在纵轴上取点$\left(0,{\sigma }_{-1e}\right)$ ，在横轴上取点$\left(\pm {\sigma }_b,0\right)$ ，以一条连接上述三点、开口向下的平滑抛物线作为Gerber疲劳失效边界。该曲线在大部分区域位于Goodman直线之上，表明其计算的极限应力更高。

4. 教学案例及分析

4.1. 教学目标

基于前文对疲劳强度和三种平均应力修正准则理论的系统分析，设计了机械零件疲劳强度计算教学案例。该教学案例的核心目标分为三个层面：知识层面学生需深入理解应力分类及稳定循环变应力，掌握平均应力与应力幅等概念；能力层面重点培养学生针对特定工况选择、应用与批判性评估不同设计准则的能力，同时提升其通过文献检索、软件仿真及团队协作解决复杂工程问题的综合能力；在素养层面，则着眼于塑造学生的工程安全与经济性权衡意识，锻炼其在不确定性条件下进行决策并清晰表达观点的工程师特质。

4.2. 教学任务与流程

围绕教学目标开展三个阶段性任务。首先教师通过课堂讲授，明确阐述发动机连杆的受力特点及其负平均应力工况，引导学生认识到教材经典方法的局限性，从而自然引出三种修正准则的理论需求。在此基础上，学生需手动完成三种准则下的安全系数计算，并检索一种新材料的参数，探究材料变更对准则优选顺序的影响，以强化理论认知并初步建立材料敏感性；随后为软件仿真验证，指导学生应用有限元分析软件建立连杆简化模型，获取危险点应力分布，进行安全系数仿真，通过对比手动计算结果，分析差异成因，从而连接理论与现代设计工具，培养数值结果的批判性分析能力。最后，在课堂辩论与决策阶段，选择进行分组辩论与陈述，模拟真实工程决策场景，深刻理解技术选择背后的价值权衡。教学实施的流程如图4所示。

Figure 4. Flowchart of teaching implementation

图4. 教学实施流程图

4.3. 算例说明

为具体阐述上述教学过程的实施，本文以某发动机连杆为分析对象，其在工作过程中承受单向稳定变应力。具体工况为：气缸点火时，连杆受到轴向压力500 kN；吸气开始时，则受到轴向拉力120 kN。该零件的材料性能与几何参数如表1所示：

Table 1. Basic parameters of the connecting rod

表1. 连杆基本参数

参数	数值和单位
对称循环疲劳极限${\sigma }_{-1}$	260 Mpa
屈服强度${\sigma }_s$	350 Mpa
脉动循环疲劳极限${\sigma }_0$	430 Mpa
综合影响系数$K_{\sigma }$	1.42
危险截面直径$d$	70 mm
抗拉强度${\sigma }_b$	430 Mpa

其中，零件的对称循环疲劳极限${\sigma }_{-1e}$ 需通过综合影响系数进行修正，其值为：

${\sigma }_{-1e}=\frac{{\sigma }_{-1}}{K_{\sigma }}$ (7)

4.4. 结果对比及分析

由发动机连杆的工作受力情况和基本参数可得最大应力为${\sigma }_{\max }=31.18\text{Mpa}$ (拉应力为正)，最小应力为${\sigma }_{\min }=-129.92\text{Mpa}$ (压应力为负)。

发动机连杆工作时的平均应力：

${\sigma }_m=\frac{{\sigma }_{\max }+{\sigma }_{\min }}{2}=-49.37\text{Mpa}$ (8)

发动机连杆工作时的应力幅：

${\sigma }_a=\frac{{\sigma }_{\max }-{\sigma }_{\min }}{2}=80.55\text{Mpa}$ (9)

将前述发动机连杆的应力数据分别代入三种准则的安全系数计算公式(2)、(4)及(6)中，可得到如表2所示的对比结果。

Table 2. Safety factor calculation results under different fatigue criteria

表2. 不同疲劳准则下的安全系数计算结果

计算准则	安全系数S	特点描述
Goodman准则	3.08	线性模型，工程中广泛应用
Soderberg准则	2.21	线性模型，以屈服强度为界
Gerber准则	3.35	抛物线模型，贴合材料实际

可以清晰地观察到各准则的保守性排序：Soderberg准则(S = 2.21)最为保守，Goodman准则(S = 3.08)居中，而Gerber准则(S = 3.35)最为激进。这一排序与各准则的理论基础紧密相关。Goodman准则作为线性模型，在工程实践中应用最为广泛，其计算结果体现了良好的平衡性；Gerber准则采用抛物线模型，更准确地反映了韧性材料在高平均应力下的实际疲劳行为，因此给出了最高的安全系数；Soderberg准则以材料的屈服强度为设计边界，确保了极高的安全裕度，这在涉及人身安全或极端工况的设计中具有重要价值[12]。值得注意的是，在负平均应力工况下，各准则的计算结果均显示出较高的安全系数，这证实了压应力对疲劳裂纹扩展的抑制作用[13]。

三种准则的核心区别在于它们对平均应力${\sigma }_m$ 影响的不同假设，这直接决定了其失效边界在极限应力图上的形态与位置。如图5所示，Soderberg线最低，因此其极限应力点离工作点最近，安全系数最小；Gerber曲线最高，极限应力点离工作点最远，安全系数最大。Goodman准则的结果则介于二者之间。本例中平均应力为负值(压应力)，在一定程度上削弱了不同准则间的差异，若平均应力为较高的正值，三者计算结果的差异将更为显著。

Figure 5. Comparison of three criterion curves

图5. 三种准则曲线对比

4.5. 结论与准则选用建议

(1) Soderberg准则适合用于对安全性要求极高的场合，特别是当构件尺寸受限于重量或空间、主要设计瓶颈是材料屈服强度，或结构可能承受未预见的冲击载荷时。

(2) Goodman准则是通用工程设计的首选。它较好地平衡了安全性与经济性，尤其适用于脆性材料、高周疲劳设计以及在缺乏详尽材料疲劳数据时的保守估算。

(3) Gerber准则适用于高精度设计和对重量敏感的领域(如航空航天)。当使用高质量的韧性材料，且工作载荷下的平均应力为较高的拉应力时，采用Gerber准则可以充分发挥材料性能，实现轻量化设计目标。

5. 结语

在机械设计课程教学中，零件疲劳强度计算通常围绕平均应力为正值(第一象限)的情况展开。本文探讨了平均应力为负值(压应力)时，Goodman、Soderberg和Gerber三种平均应力修正方法，并通过发动机连杆算例对比分析了三种准则的保守性排序及其适用条件。结合准则对比与实例分析，学生能够在真实工程案例中理解三种疲劳准则的应用特点，构建起从材料参数查找，到理论计算，再到仿真验证的系统化工程分析流程，从而有效提升理论知识与工程实践的贯通能力。该教学设计为《机械设计》课程中疲劳强度模块的教学提供了可实践、可推广的教学范例，对推动课程改革、促进学生工程能力培养具有积极意义。

基金项目

郑州大学教育教学改革研究与实践重点项目(2024ZZUJGXM063)。