1. 引言
线性代数以向量、向量空间(线性空间)、线性变换及有限维线性方程组为研究核心，其思想与方法已渗透到科学研究与工程实践的方方面面。在人工智能领域，从机器学习算法底层的矩阵运算、特征值分解、奇异值分解(SVD)，到深度学习模型中神经网络层间的线性变换，再到数据降维与特征提取常用的主成分分析(PCA)，线性代数始终扮演着不可或缺的角色。正如文献[1]指出的，大数据时代背景下，作为数据科学根基的线性代数，其教学改革已成为必然趋势。
AI时代的到来，不仅强化了线性代数的工具属性，更对其教学提出了更高要求：教学不能停留在知识传递层面，更需着力培养学生的计算思维、抽象思维、创新意识，以及运用数学工具解决复杂实际问题的能力。然而，传统线性代数教学仍存在诸多局限。文献[2]针对“高等代数”课程的研究，以及文献[3]对高等数学教学的观察均发现，传统教学普遍存在内容抽象枯燥、教学方法单一(多依赖“板书 + PPT”的单向讲授)、师生互动匮乏、考核重结果轻过程、理论与实践脱节等问题。
文献[4]探讨的“互联网+”时代混合式教学改革，为破解这些难题提供了思路，但如何将AI技术深度、有效地融入线性代数教学全流程，推动教学从“以教为中心”向“以学为中心”转变，仍需进一步探索。文献[5]前瞻性地研究了DeepSeek等先进AI平台对高等数学教学范式的重构，其关于师生角色重塑、AI工具功能模块设计的论述，为线性代数教学创新提供了宝贵启示；文献[6]针对职教本科提出的发展策略，强调教学内容与职业场景的结合、项目式学习及虚拟实验室建设，这对普通本科线性代数教学的实践性转型同样具有借鉴意义。立足AI时代的新特征与新要求，本文系统梳理线性代数教学面临的挑战与机遇，借鉴现有研究成果，从多维度构建线性代数教学改革与创新框架，旨在推动该课程从知识灌输向能力赋能转型，从传统封闭模式向智能开放模式演进。
2. 线性代数教学现状与人工智能时代带来的挑战与机遇
2.1. 传统线性代数教学中的主要问题
1) 教学内容抽象，学生理解受阻：向量空间、线性变换等核心概念具有高度抽象性，传统教学过度侧重定义解读、定理推导与公式记忆，忽视几何阐释与现实应用场景引入，导致学生机械记忆、难以建立数学直觉，产生畏难情绪。
2) 教学方法单一，课堂互动薄弱：多数课堂采用“满堂灌”模式，学生处于被动接收状态，师生之间缺乏有效交流；多媒体课件多为板书替代品，未能发挥动态演示与可视化交互优势，教学效果有限。
3) 理论与实践脱节，学用难以结合：教材与课堂教学追求理论体系完整性，未与AI、数据科学等前沿领域紧密对接，学生虽掌握矩阵分解等方法，却不了解其在推荐系统、图像压缩等场景的应用价值，学习动力不足。
4) 考核方式固化，评价不够全面：以期末闭卷考试为主，平时成绩占比低，仅能考查理论知识与计算技巧，无法有效评估学生的逻辑思维、创新应用及团队协作等综合素养。
5) 个性化辅导缺失，因材施教困难：班级规模较大，教师难以精准把握每位学生的学习状态与认知难点，无法提供及时、个性化指导，导致基础好的学生“吃不饱”、基础薄弱的学生“跟不上”。
2.2. 人工智能时代为线性代数教学改革创造的机遇
1) AI技术革新教学手段：DeepSeek、WolframAlpha、MATLAB、Python相关库等工具，具备符号计算、数值模拟、动态图形生成等功能，可将抽象的线性代数概念转化为直观呈现形式，降低学生认知负担。
2) 推动教学模式转型：AI技术支撑的智慧树、超星学习通等在线平台，为“课前线上预习–课中线下研讨–课后线上巩固”的混合式教学提供坚实基础，实现学习资源智能推送、学习过程动态监控与学习效果即时评估。
3) 实现个性化学习与精准辅导：依托大数据分析与机器学习算法，AI系统可追踪学生学习行为数据，构建个性化画像，诊断知识薄弱点，规划专属学习路径，推荐针对性资源，真正实现“因材施教”。
4) 丰富教学资源与应用场景：AI技术可协助开发微课、动画、虚拟实验等多媒体资源；同时，AI领域的发展为线性代数提供了大量鲜活应用案例，让教学内容与科技前沿紧密对接，激发学生学习兴趣。
5) 重塑师生角色，助力能力培养：AI的融入促使教师从“知识传授者”转变为“学习引导者” “系统架构师”，学生从“被动接受者”转变为“主动探索者”，教师可将更多精力投入高阶思维训练与创新能力培养。
3. 人工智能时代线性代数教学改革的核心理念与目标
3.1. 核心理念
1) 以学生为中心：教学重心从教师的“教”转向学生的“学”，所有教学设计与活动组织，都围绕促进学生有效学习、深度学习与个性化学习展开，充分尊重学生的个体差异与学习需求。
2) 能力导向：教学目标不仅是让学生掌握知识，更注重培养其数学抽象能力、逻辑推理能力、计算思维能力、数学建模能力、创新应用能力及终身学习能力，为学生未来发展奠定坚实基础。
3) 人机协同：明确AI技术在教学中的辅助定位，充分发挥其处理重复性、计算性任务及提供个性化支持的优势；同时，强调教师在情感交流、价值引领、思维启发与创造性活动组织中的不可替代作用，构建人机优势互补的教学新生态。
4) 产教融合：紧密对接人工智能、大数据等产业发展需求，将行业真实案例、前沿技术应用融入教学内容，凸显线性代数作为解决实际问题工具的价值，提升学生的职业素养与就业竞争力。
3.2. 改革目标
提升学习成效：通过可视化、个性化、互动化的教学手段，帮助学生深化对线性代数核心概念与思想的理解，提高知识掌握程度与实际应用能力。
激发学习兴趣：引入AI应用案例、项目式学习与虚拟实验，让学生切实感受线性代数的魅力与实用价值，实现从“要我学”到“我要学”的转变。
培养创新思维：设计开放性问题，鼓励学生探索多种解法，开展小组讨论与项目实践，培养学生的批判性思维、发散性思维与创新能力。
构建智慧学习环境：整合AI技术与在线教学平台，建设丰富的数字化教学资源库，打造支持随时随地学习、个性化学习、交互式学习的智慧教学空间。
完善综合评价体系：建立过程性评价与终结性评价相结合、线上评价与线下评价相补充、知识考核与能力评估并重的多元化考核评价机制，全面反映学生的学习成果与能力发展。
4. 人工智能时代线性代数教学改革与创新的具体路径
4.1. 教学内容的重构与更新
1) 强化几何直观与应用背景：讲解抽象概念时，充分利用AI工具的可视化功能。例如，借助Manim、GeoGebra或MATLAB展示矩阵乘法对向量的线性变换效果，如旋转、缩放、剪切；将特征值与特征向量解读为变换中“保持方向”的特殊向量及其缩放比例；介绍奇异值分解(SVD)时，结合图像压缩的实际案例，让学生直观感受SVD在数据降维中的作用。
2) 融入人工智能前沿案例：将线性代数在AI领域的典型应用系统融入教学。
3) 实施模块化与分层教学：借鉴文献[4]提出的模块化教学思想，根据不同专业需求，对线性代数教学内容进行模块化设计。
4.2. 教学方法的创新与混合式教学模式构建
4.2.1. 深化线上线下混合式教学
课前：教师通过教学平台推送微视频(讲解基本概念、展示几何动画)、预习课件与引导性问题；学生借助DeepSeek的数学问题解析模块等AI工具进行初步探索与自测，完成基础知识学习；平台记录预习数据，为课中教学提供依据。
课中：线下课堂主要用于深度讲解重点难点、开展师生互动答疑、组织小组讨论、进行项目汇报与思维拓展训练；教师利用AI工具的实时交互功能，如投票、弹幕、随机点名，增强课堂互动性；针对学生普遍存在的疑难问题，借助AI进行动态演示与多角度解析。
课后：平台推送个性化的巩固练习与拓展阅读材料；基于DeepSeek构建的答疑系统，实现7 * 24小时在线答疑；鼓励学生运用AI工具开展自主探究，完成项目作业。
4.2.2. 推广项目式学习(PBL)与案例教学
借鉴文献[4]在职教本科中的实践策略，设计一系列与AI相关的线性代数项目，如“基于PCA的人脸识别系统初探” “利用矩阵分解实现简易电影推荐” “神经网络中的线性变换可视化”等。学生以小组为单位，完整经历问题定义、文献查阅、模型建立、算法实现(可借助Python、MATLAB或AI代码生成工具)、结果分析与展示的全过程，综合运用所学知识解决实际问题。
4.2.3. 利用AI工具赋能课堂互动与探究
可视化探究：课堂上实时运用AI工具演示矩阵变换对图形的影响，观察参数变化引发的结果改变，引导学生发现规律。
即时反馈与分层任务：借助智慧课堂等工具发布随堂练习，AI即时统计答题情况，教师根据反馈调整教学策略，或为不同小组分配难度各异的探究任务。
协作学习：利用在线平台的讨论区、协作文档等功能，支持学生开展小组合作学习，AI辅助管理小组进程，提供资源支持。
4.3. 教学资源的智能化建设
1) 建设动态知识图谱：运用自然语言处理与知识图谱技术，构建线性代数知识图谱，清晰呈现概念、定理、方法之间的逻辑关联与依赖关系。该图谱与教学平台集成，学生可按图索骥开展自主学习与复习，系统也能根据学生的知识掌握状态，智能推荐待学习或需巩固的知识节点。
2) 开发交互式虚拟实验室：借助VR/AR或WebGL技术，开发线性代数虚拟实验室。学生可在虚拟环境中操作“向量” “矩阵”，直观观察线性变换效果，进行矩阵分解模拟实验，甚至在虚拟场景中解决与专业相关的应用问题，如机器人运动学中的坐标变换。
3) 完善智能题库与答疑库：建设涵盖不同难度、类型与应用场景的习题库，利用AI实现题目的自动生成、智能组卷与个性化推荐；建立动态更新的答疑知识库，收录学生常见疑难问题及详细解答(包含文字、图示、视频等多种形式)，供学生自主查询学习，弥补传统答疑在时空上的限制(文献[3])。
4) 集成多功能AI助教平台：参考文献[5]对DeepSeek功能模块的设计，构建或引入集成符号计算、定理证明辅助、多模态资源生成、自适应学习、虚拟实验、错题分析等功能的综合性AI教学辅助平台，为师生开展教学活动提供技术支撑。
4.4. 体系的多元化改革
打破“一考定乾坤”的局面，构建贯穿学习全过程、多维度的综合评价体系。参考文献[4]和[7]提出的考核方式，建议成绩构成如表1所示。
Table 1. Grade composition of linear algebra course
表1. 线性代数成绩构成
评价维度 |
具体内容 |
占比 |
线上学习过程 |
预习任务完成度与效果(视频观看、课前测试) |
10% |
在线作业完成情况(系统自动评测 + 教师评价) |
10% |
线上讨论参与度与质量(论坛发帖、回复) |
5% |
章节测试成绩 |
5% |
线下学习表现 |
课堂参与度(提问、回答、讨论) |
10% |
小组项目成绩(报告、演示、团队合作) |
15% |
期中考试 |
5% |
期末综合考核 |
期末考试(可部分开卷，侧重综合应用能力) |
40% |
该体系借助AI技术与大数据分析，对学生的线上学习行为进行量化评估，同时结合教师的质性评价，更全面、客观地反映学生的学习投入、知识掌握与能力发展水平。
4.5. 教师角色的转型与发展
在AI时代，线性代数教师的角色需实现深刻转型，具体如表2所示(参考文献[5])。
教师需主动拥抱技术变革，积极参与相关培训，提升自身的信息化素养与AI应用能力，适应新角色要求。
Table 2. Renewal of teacher role positioning
表2. 教师角色定位的更新
传统角色 |
AI时代新定位 |
能力要求与行动方向 |
知识传授者 |
学习引导者与课程设计师 |
精通混合式教学设计，能将AI工具与资源有效整合，引导学生开展探究性学习。 |
课堂主导者 |
互动组织者与学习促进者 |
善于组织讨论、项目学习，营造积极的学习氛围，激发学生的主动性与参与度。 |
标准答案提供者 |
思维启发者与元认知教练 |
鼓励学生质疑、探索多种解法，利用AI工具分析思维过程，培养学生的批判性思维。 |
教学资源使用者 |
智能教育资源的策展人与开发者 |
具备筛选、评估、整合乃至合作开发智能化教学资源的能力，丰富教学内容与形式。 |
学业评价者 |
学习数据分析师与成长顾问 |
能够解读AI平台提供的学情数据，精准诊断学生问题，给予个性化的学习反馈与发展建议。 |
4.6. AI与核心知识点深度融合教学案例——以“特征值与特征向量”为例
特征值与特征向量是线性代数的核心知识点，具有抽象性强、应用广泛的特点，是AI与数学深度融合的理想载体。本案例围绕“知识理解–工具应用–实践创新”的逻辑，设计完整的AI融合教学流程，实现抽象概念的具象化、教学过程的互动化、学习成果的实践化。
4.6.1. 教学目标
知识目标：理解特征值与特征向量的定义及几何意义，掌握n阶矩阵特征值与特征向量的计算方法，明确其在降维、变换等场景中的应用原理。
能力目标：能够熟练运用AI可视化工具探究概念本质，借助AI数据分析库处理实际问题，提升数字化探究能力与实践应用能力。
素养目标：培养逻辑推理与跨学科思维，树立科学的学习态度，增强创新意识与团队协作能力。
4.6.2. 课前预习：AI驱动的自主探究
1) 教师通过校级AI教学平台，针对“特征值与特征向量”的核心难点，推送定制化预习资源，包括概念解析动画、历史发展背景短视频、基础例题讲解等，满足不同层次学生的预习需求。
2) 学生自主登录平台学习资源，利用内置AI问答工具(如定制化豆包教学版)查询疑问，例如“特征值为零的几何意义是什么” “如何快速判断矩阵是否存在实特征向量”等，工具将结合知识点关联度生成个性化解答与拓展内容。
3) 借助AI思维导图工具梳理知识框架，标注重点难点，生成个人预习笔记并上传至学习空间。教师通过平台数据分析功能，查看学生预习完成率、高频疑问关键词、知识框架完整性等数据，精准把握学生学习起点，确定课堂重点讲解内容。
4.6.3. 课中互动：AI 赋能的可视化与即时反馈
1) 可视化探究环节：教师运用GeoGebraAI插件创建互动教学场景，引导学生输入各类矩阵(如对角矩阵、对称矩阵等)，实时生成特征向量的旋转动画与特征值变化曲线，直观揭示“线性变换中方向不变”的数学本质。学生通过自主调整矩阵参数，观察特征系统变化规律，结合小组讨论与教师针对性指导，深化概念理解。
2) 即时反馈环节：AI答题系统随堂推送多样化练习题。学生提交后，系统即时批改并生成个人诊断报告，精准标注错因、推送对应讲解与练习。教师则依据系统汇总的班级数据，聚焦共性难题集中讲解，并针对个性问题实施一对一辅导。
3) 小组协作环节：学生以4人小组为单位，借助AI协作平台共同完成“矩阵特征分析任务”。各小组需分析来自电路网络、人口迁移等实际场景的矩阵，探究其特征值与特征向量的物理意义。在此过程中，教师可通过平台实时查看各组的计算过程、可视化结果与讨论记录，从而对遇到困难的小组进行精准指导。
4.6.4. 课后项目：AI支持的迷你应用实践
1) 项目主题：基于AI工具的图像压缩案例分析——利用特征值与特征向量的降维原理，完成简单图像压缩与还原实践，验证特征值数量对压缩效果与精度的影响。
2) 实施流程：学生以小组为单位，使用Python + Scikit-learn AI数据分析库处理图像数据，将图像转化为灰度矩阵，通过特征值分解提取核心特征向量，分别保留前10%、30%、50%、80%的特征值进行图像重构，对比不同保留比例下的图像清晰度、文件大小与还原误差。过程中可利用AI代码辅助工具(如GitHub Copilot)解决编程问题，借助AI数据可视化工具(如Matplotlib)生成压缩效果对比图与误差分析曲线。
3) 成果形式：提交包含“数据处理代码 + 可视化结果图 + 压缩效果对比表 + 原理分析”的综合报告，要求明确阐述特征值与特征向量在降维中的作用机制，分析不同场景下的最优特征值保留比例。
4.6.5. 评价细则
基于AI支持的应用实践的具体评价细则如表3所示。
Table 3. Evaluation detailed rules
表3. 评价细则
评价维度 |
评价指标 |
分值占比 |
评价方式 |
知识掌握 |
特征值与特征向量概念理解准确性、计算方法熟练度、应用原理清晰度 |
30% |
AI答题系统随堂测试成绩(60%) + 教师对概念应用表述评分(40%) |
工具应用 |
AI可视化工具操作熟练度、数据分析库使用规范性、代码编写质量 |
30% |
教学平台操作记录统计(40%) + 项目代码完整性与规范性评分(60%) |
项目成果 |
报告结构完整性、逻辑严谨性、数据支撑力度、创新应用点 |
30% |
教师评分(70%) + AI相似度检测(原创性验证，30%) |
参与表现 |
课前预习完成质量、课中互动积极性、小组协作贡献度 |
10% |
平台数据统计(50%) + 小组互评结果(50%) |
5. 改革方案的差异化实施与落地路径
AI赋能高校数学教学改革的落地，需充分考虑不同类型高校的办学定位、资源禀赋差异，制定分阶段、分层次的实施策略，确保改革的可行性与实效性。
5.1. 不同类型高校的方案调整
研究型大学：侧重AI与数学理论的深度融合，强化科研创新与跨学科能力。开设如“AI驱动的数学建模”等高阶课程，建设专用AI教学科研平台，并引进复合型师资。
应用型本科：注重AI工具的实际应用，对接职业场景，培养数字化技能人才。简化理论，加强AI在工程计算、数据处理等方面的实训，可引入成熟的AI教学平台以控制成本。
5.2. 分阶段、分层次实施路线图
为确保AI赋能高校数学教学改革有序推进，我们设计了为期三阶段的实施路线图。各阶段分别对应不同的改革重点、任务与目标，逐步由基础普及向深化应用与创新提升过渡。具体实施策略如表4所示。
Table 4. Three-stage implementation plan for AI-enabled reform of university mathematics teaching
表4. AI赋能高校数学教学改革三阶段实施规划表
实施阶段 |
核心任务 |
具体措施 |
达成目标 |
第一阶段(1~2学期)：基础普及期 |
完成AI教学基础设施搭建与全员通识培训，在核心课程中植入简单AI应用模块，培养师生基础素养。 |
1) 搭建基础AI教学平台，整合线上资源、AI问答、即时反馈等功能。2) 开展教师AI基础素养培训，覆盖工具操作与简单教案设计。3) 在《线性代数》《高等数学》等课程中选取3~5个知识点进行AI工具应用试点。 |
1) 师生能熟练使用基础AI教学工具。2) 完成试点课程初步改造，形成2~3个简单教学案例。3) 建立改革效果的初步监测机制。 |
第二阶段(3~4学期)：深化应用期 |
分专业制定差异化AI融合教学方案，建设案例库与资源平台，开展跨课程项目，完善评价体系。 |
1) 修订教学大纲，按专业需求增加AI应用模块(如工科重工程计算，经管重数据分析)。2) 建设校级AI + 数学教学案例库，实现资源共享。3) 开展跨课程AI应用项目(如结合“特征值与特征向量”等知识点设计数据分析项目)。4) 优化AI工具与人工相结合的多元评价体系。 |
1) 形成10~15个成熟AI融合教学案例，建成校级资源共享平台。2) 学生数字化实践与跨课程应用能力显著提升。3) 建立科学完善的改革评价指标体系。 |
第三阶段(5~6学期)：创新提升期 |
推进校际协同与校企合作，培育特色教学成果，推广成熟经验，形成可复制的模式。 |
1) 与同类高校建立改革联盟，共享资源与成果。2) 深化校企合作，共建产业学院或实验室，引入企业真实项目。3) 举办AI + 数学教学创新竞赛，鼓励教改研究与实践。4) 总结成果，申报教学成果奖，推广成熟模式与案例。 |
1) 形成具有本校特色的AI + 数学教学模式，建成省级以上示范中心。2) 培养一批AI教学骨干与优秀学生团队。3) 改革经验在区域内高校产生辐射效应。 |
5.3. 教师AI素养提升的培训方案
教师是教学改革的核心主体，其AI素养直接影响改革落地效果。需构建分层分类、知行合一的培训体系，全面提升教师AI应用能力与教学创新能力。
5.3.1. 培训分层分类设计
全员通识培训：覆盖全体数学教师，聚焦AI基础素养与通用教学工具应用。培训内容包括AI教育政策解读、AI基础技术原理、智能办公工具(如AI课件生成工具、智能批改系统)操作、AI教学伦理与数据隐私保护等。培训方式以线上自主学习为主(依托国家智慧教育平台、校级教师发展中心线上课程)，辅以线下集中答疑，确保全员掌握基础AI教学技能。
骨干专项培训：选拔10~15名学科骨干教师、教学名师组成改革骨干团队，开展专项培训。培训内容包括AI融合教学设计方法、复杂AI工具(如可视化软件、数据分析库)实操、教学案例开发、跨学科项目设计等。邀请AI技术专家、资深教学设计师联合授课，采用“理论讲解 + 案例分析 + 实操演练 + 教学实践”的模式，培养教师AI教学创新能力。
新入职教师培训：将AI教学能力纳入新入职教师岗前培训核心内容，设置“AI + 数学教学基础” “常用教学工具实操” “优秀案例观摩与模仿”等模块。为每位新教师配备AI教学导师，进行一对一指导，通过备课指导、听课评课、教学反思等环节，帮助新教师快速适应AI赋能的教学模式。
5.3.2. 培训内容与方式优化
在培训内容上，我们将围绕“工具实操”“教学设计”和“综合素养”三个维度展开，帮助教师掌握GeoGebra、Python数据分析等实用工具，学会设计AI融合的教案与跨学科项目，并增强在AI伦理、数据隐私等方面的专业素养。在培训方式上，则采用线上线下相结合的形式：一方面建设校级资源库，提供录播课、直播讲座等灵活学习支持；另一方面定期组织线下工作坊、观摩交流等活动，推动教师集体备课、案例研讨。更重要的是，我们强调“学完即用”，鼓励教师在真实课堂中开展AI融合实践，并通过撰写反思报告、优化教学设计，形成“实践–反思–提升”的良性循环，切实保障培训效果落到实处。
5.3.3. 培训保障机制
组织保障：成立由教务处牵头，教师发展中心、人工智能学院、数学学院协同参与的培训工作小组，明确职责分工，统筹培训资源，制定培训计划与考核标准。
资源保障：设立AI教学改革专项经费，用于培训讲师聘请、培训平台建设、教学工具采购、案例库开发等；建设校级AI培训实验室，配备专用设备与软件，满足实操培训需求。
考核激励：建立培训成效考核机制，从线上学习进度、实操技能测试、教学实践效果等维度进行综合评价。将培训成效与教师考核、评优评先、职称晋升挂钩，对表现优秀的教师给予表彰奖励；设立AI教学创新项目专项基金，支持教师开展教学改革研究与案例开发。
6. 结论
人工智能时代为线性代数教学改革提供了技术支撑与范式革新机遇，也带来了全面挑战。传统教学中“抽象难懂、学用脱节、评价单一”的问题，在AI技术赋能下有望得到系统性解决。本文构建的“理念–目标–路径–保障”改革框架，明确了“学生为中心、能力为导向、人机协同”的核心理念，围绕教学内容、方法、资源、评价、教师角色、课程思政六大维度提出具体改革路径，为实践提供了可落地的方案。本文通过“特征值与特征向量”的AI深度融合教学案例，展示了“理论 + 工具 + 应用”的教学逻辑，为核心知识点的AI融合提供了可操作的参考范式；通过不同类型高校的差异化实施路径与分阶段推进策略，增强了改革方案的现实指导性与可行性。
未来，线性代数教学改革需持续优化：跟踪AI技术发展趋势，动态更新教学工具与资源；加强改革效果实证研究，形成“实践–反馈–优化”的闭环。唯有如此，才能不断完善智能时代的线性代数教学体系，为培养创新型、复合型人才提供坚实的数学基础支撑。
基金项目
中国民用航空飞行学院博士创新能力提升计划(25CAFUC04077, XJ2025008701)。
NOTES
*通讯作者。