1. 引言
数学并非孤立概念、定理与公式的“知识碎片堆”，而是内部紧密联系、并与外部世界广泛关联的“有机生命体”。传统数学教学侧重知识单向传授与技能重复训练，导致学生虽掌握大量零散知识点，却难以洞察内在逻辑、灵活解决实际问题，这种“见木不见林”的学习方式严重制约了数学思维与综合素养的提升。
在此背景下，“数学联结力”的重要性日益凸显。美国全国数学教师理事会(NCTM)在《学校数学的原则与标准》中将“联结”列为核心内容[1]，我国《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》提出的“逻辑推理”“数学建模”等核心素养，其形成均依赖强大的数学联结能力[2]。曹才翰先生也曾指出：“数学学习重要的是能够建立广泛的、紧密的联系”[3]。因此，深入探讨数学联结力的内涵、价值与培养路径，对推动数学教育转型具有重要理论与实践价值。
2. 国内外研究综述与研究空白
2.1. 国外研究现状与评述
国外关于数学联结力的研究已形成“理论建构–实践干预–测评探索”的完整链条。20世纪80年代，Hiebert和Carpenter (1986)提出数学理解本质是新旧知识建立联系的过程[4]，为后续研究奠定基础。近年来，研究呈现多元化发展：教学实践层面，动态几何软件(GeoGebra)、跨学科项目学习(PBL)成为培养重要载体[5] [6]；理论深化层面，认知神经科学为联结力形成提供了神经科学依据[5]；测评研究方面，部分学者尝试构建多维度评价框架，但尚未形成标准化工具[7]。
近五年研究热点集中在：一是数字化工具与联结力培养的深度融合，如虚拟现实技术在跨学科联结中的应用；二是不同学段联结力发展规律的差异化研究；三是多元文化背景下联结教学模式的适配性探索。但现有研究存在明显不足：其一，针对东亚应试教育背景下的本土化适配研究较少，多数模式难以直接应用于我国课堂；其二，对核心教学策略的长效性验证不足，短期干预研究占比过高[8]；其三，评价工具的信度与效度仍需提升，缺乏可操作的量化测评体系[9]。
2.2. 国内研究现状与评述
我国学者对数学联结力的系统研究始于21世纪初，顾泠沅(1994)率先强调知识联结对数学理解的核心作用[3]，李善良(2005)从概念学习视角探讨了数学联结在克服理解障碍中的作用[10]。随着核心素养理念普及，国内研究呈现三大特点：一是将数学联结力正式纳入核心素养框架；二是聚焦数学与生活、其他学科的联结路径探索；三是开发基于项目学习、探究学习的联结培养模式。
近五年研究进展主要体现在：其一，实证研究比例有所提升，部分学者尝试验证特定教学策略的效果[11]；其二，跨学科联结研究向纵深发展，出现“数学 + STEM”“数学 + 艺术”等专项研究[12]；其三，信息技术融合研究日益深入，大数据、人工智能等技术开始应用于联结力培养[13]。但现有研究仍存在明显空白：一是缺乏以核心理论为支撑的系统性培养框架，研究碎片化严重；二是实证研究样本量较小、周期较短，结论普适性不足[14]；三是评价体系不完善，缺乏可操作的量化评价工具，难以有效衡量联结力发展水平[10]。
2.3. 本文研究贡献
针对上述研究空白，本文的核心贡献体现在两方面：其一，以认知负荷理论为贯穿全文的分析工具，系统构建了“内涵–价值–问题–策略–评价”的本土化数学联结力培养框架，填补了现有研究理论支撑不足、体系松散的缺陷；其二，通过为期一学期的大规模行动研究，验证了问题驱动教学模式的长效有效性，为联结力培养提供了坚实的实证支持；其三，设计了可操作的数学联结力评价量规(见表1)，解决了现有研究中评价工具缺失的关键问题。
Table 1. Evaluation rubric for mathematical connectivity
表1. 数学联结力评价量规
评价维度 |
水平等级(1~4级) |
具体描述 |
数学内部联结 |
1级(基础) |
能识别少量基础概念间的直接关联，如知道“正方形是特殊的长方形”，但无法解释逻辑关系 |
2级(发展) |
能建立多个相关概念、定理间的关联，如理解函数与方程的转化关系，能在单一知识领域内进行简单联结应用 |
3级(良好) |
能建立跨领域的知识联结，如运用数形结合思想解决问题，能灵活进行多元表征转换 |
4级(优秀) |
能构建系统的知识网络，自主发现知识间的深层逻辑关联，能创造性运用联结思想解决复杂问题 |
数学与生活联结 |
1级(基础) |
能识别生活中简单的数学现象，如购物中的价格计算，但无法建立实质性关联 |
2级(发展) |
能将简单实际问题转化为数学问题，如运用比例知识解决购物折扣问题，有初步的应用意识 |
3级(良好) |
能主动识别生活中的数学元素，将复杂实际问题转化为数学模型并求解，如运用统计知识分析生活数据 |
4级(优秀) |
能创造性地运用数学知识解决复杂生活问题，能反思数学应用的合理性与局限性，形成应用迁移能力 |
数学与其他学科联结 |
1级(基础) |
知道数学与部分学科有联系，但无法举例说明具体关联 |
2级(发展) |
能识别其他学科中的数学元素，如物理中的公式计算，能进行简单的跨界应用 |
3级(良好) |
能主动建立数学与多学科的联结，如运用几何知识分析艺术作品构图，能在跨学科任务中整合应用数学知识 |
4级(优秀) |
能构建跨学科知识网络，创造性地运用数学思想解决多学科复杂问题，形成系统的跨学科思维 |
联结策略与灵活性 |
1级(基础) |
缺乏主动联结意识，需在教师引导下才能建立简单联结 |
2级(发展) |
能运用单一策略建立联结，如通过记忆例题建立关联，但灵活性不足 |
3级(良好) |
能运用多种联结策略，如类比、归纳、转化等，能根据问题情境调整联结方式 |
4级(优秀) |
能自主创新联结策略，灵活应对复杂问题，能反思并优化联结过程，形成个性化的联结思维模式 |
3. 数学联结力的内涵、结构与核心价值(基于认知负荷理论的阐释)
3.1. 内涵界定
基于认知负荷理论与国内外研究成果，数学联结力被界定为：学习者在数学学习过程中，主动识别、理解、建构并灵活运用三类关系的综合性能力——数学知识内部的逻辑关系、数学与现实生活的应用关系、数学与其他学科的跨界关系。它并非单纯的认知技能，而是贯穿学习全过程的思维习惯和认知倾向，其核心要素包括主动性(主动发起联结而非被动接受)、建构性(自主思考建立关系而非记忆现成联系)、灵活性(根据问题情境调整联结方式)。
认知负荷理论认为，人类工作记忆容量有限，孤立的知识点会占据大量工作记忆资源，导致学习效率低下且易遗忘[4]。而数学联结力通过建立知识间的有机关联，实现知识的“组块化”存储，能有效降低外部认知负荷，提升信息处理效率，这正是联结力区别于单纯知识记忆的本质特征。
3.2. 结构层次
数学联结力是相互关联、逐步递进的三层结构体系：
数学内部联结：基础层次，指数学知识体系内部的关联，包括概念与概念、领域与领域、表征与表征的联结(如函数与方程的转化、代数与几何的融合、二次函数四种表征形式的转换)。这一层次的联结力直接决定知识结构的完整性与逻辑性，为后续联结提供知识与思维支撑。
数学与生活、现实的联结：应用层次，表现为识别现实生活中的数学元素，将实际问题转化为数学问题并解决。如运用一次函数分析手机套餐选择、利用统计概率解读社会热点数据。认知负荷理论表明，这种联结能为抽象知识提供“情境锚点”，降低内在认知负荷，促进知识的深度理解与迁移[4]。
数学与其他学科的联结：拓展层次，体现数学的基础性与通用性，如物理中的导数应用、艺术中的黄金分割、经济学中的函数模型。这一层次能帮助学生形成跨学科视野，彰显数学的普遍应用价值。
3.3. 核心价值
促进知识深度理解：认知负荷理论指出，通过联结形成的知识网络属于“有意义学习”，能有效降低认知负荷，提升记忆持久性[4]。例如，学习“一元二次方程”时，建立其与二次函数图像、因式分解的联结，能形成整体性理解，实现从“知其然”到“知其所以然”的跨越。
提升问题解决与迁移能力：强大的联结力能帮助学生在陌生问题与熟悉知识间建立桥梁，将非标准化问题转化为标准化数学问题。如“校园快递点选址”问题，需联结坐标系、距离公式、统计等知识，这种迁移能力正是创新思维的核心[6]。
激发学习兴趣与内在动机：通过联结发现数学与生活、艺术、科技的关联，能消解数学的“距离感”。如用黄金分割分析美术作品、用数列解读音乐节奏，让学生直观感受数学的实用价值与审美价值，形成持久内在动机[7]。
塑造整体化与跨学科认知观：联结力培养能让学生摆脱“碎片化”认知模式，认识到数学是逻辑自洽的有机整体，同时形成跨学科视野，适应未来社会对复合型人才的需求[15]。
4. 教学中阻碍联结力形成的问题(基于认知负荷理论的诊断)
4.1. 知识教学的“碎片化”
当前教学仍遵循“概念–定理–例题–练习”的线性模式，聚焦单个知识点的讲解与操练，忽视知识间的内在关联。如三角函数教学过度训练恒等变换技巧，未与单位圆、现实波动现象建立联结，导致学生“只见公式，不见思想”。
从认知负荷理论视角看，这种教学方式使知识呈“点状分布”，缺乏有机关联，学生需消耗大量工作记忆资源记忆孤立知识点，不仅增加外部认知负荷，还无法形成结构化知识网络，直接阻碍数学内部联结力发展[3]。
4.2. 教学过程的“去背景化”
为追求应试效率，许多教学将数学知识从历史背景、现实情境中剥离，直接呈现为抽象的形式化结论。如讲解“对数”跳过其解决大数计算的历史渊源，介绍“导数”忽略其描述变化率的现实意义。
这种“空降式”教学剥夺了学生知识“再创造”的过程，无法为抽象知识提供“情境锚点”，导致内在认知负荷过高，学生难以理解知识本质意义，切断了数学与现实、其他学科的天然联结[10]。
4.3. 问题设计的“封闭性”
教材与课堂练习多为条件清晰、答案唯一的封闭性习题。这类习题虽能巩固基础技能，但长期主导教学会固化学生思维，使其习惯于在单一数学框架内思考，缺乏将知识向外延伸的意识与能力。
从认知负荷理论看，封闭性问题仅激活单一知识模块，无法促进知识的“组块化”整合，难以提升学生在复杂情境中分配认知资源、建立多元联结的能力，制约联结力的综合发展[15]。
4.4. 评价导向的“单一化”
现行评价体系仍侧重考查知识点掌握与程序性技能熟练度，对知识联结、实际应用能力考查不足。如高考中直接考查单个知识点的题目占比仍较高，综合性题目占比较低。“考什么教什么”的导向使教学重心向知识点讲授、解题技巧训练倾斜，对联结力等高层级思维能力的培养缺乏重视，形成“评价单一–教学功利–联结力薄弱”的恶性循环[2]。同时，缺乏科学的评价工具，无法准确衡量联结力发展水平，也导致联结培养缺乏明确目标导向。
5. 数学联结力的培养策略(基于认知负荷理论的构建)
5.1. 创设联结导向的教学情境
真实、启发性的教学情境能为知识提供“锚点”，降低内在认知负荷，帮助学生建立抽象概念与具体经验的关联。
案例：函数单调性教学
情境引入：展示一周气温变化曲线图、股票日K线图，激活生活经验；
直观感知：让学生用语言描述曲线变化特征，建立“单调性”直观认识；
抽象概括：结合直观经验引入严格定义，完成从直观到抽象的过渡；
联结强化：通过不同函数图像分析，强化“单调性”与函数图像的联结；
应用拓展：让学生运用单调性知识分析人口变化曲线、商品销量变化图，建立数学与生活的联结。
这种设计贯穿“生活–数学–生活”逻辑，既促进数学内部的表征联结，又强化应用联结，有效降低认知负荷[10]。
5.2. 采用问题驱动的教学模式
问题驱动学习(PBL)是培养综合联结力的有效路径，通过真实复杂的问题，迫使学生自主整合多领域知识，在解决问题中自然形成各类联结。
案例：校园最佳快递点选址
提出真实问题：学校计划新增快递点，如何选址能使全校师生平均取件距离最短？
拆解问题：引导学生分析需收集的数据、建立数学模型的方法、最优解的计算方式；
合作探究：学生分组测量数据、建立模型、计算分析，联结坐标系、距离公式、统计等知识；
拓展延伸：提出“考虑道路布局、人流密度，模型如何优化？”的进阶问题，深化联结灵活性。
行动研究表明，这种模式能有效促进知识整合与联结应用，降低外部认知负荷，提升学习效率[6]。
5.3. 强化反思与元认知训练
反思是联结内化的关键环节，通过引导学生反思思维过程，能显性化联结策略，提升联结的自觉性与有效性。
具体实施路径：一是引导学生撰写“解题反思日志”，记录知识联结、障碍及解决方法；二是定期开展“知识网络图”绘制活动，可视化知识结构；三是组织错题分析研讨会，聚焦“联结错误”类型，针对性优化策略[4]。元认知训练能帮助学生从“被动联结”转向“主动建构”，显著提升联结力发展质量[15]。
5.4. 善用信息技术促进联结
信息技术能突破传统教学限制，直观展示复杂联结关系，降低认知负荷，提升培养效率。
具体应用：利用GeoGebra动态展示数学概念间的关联，如实时呈现函数图像与解析式的联动变化；借助Python等工具处理真实数据，建立数学与统计学、现实问题的联结；运用虚拟现实(VR)技术创设沉浸式情境，如模拟建筑设计中的几何应用，强化跨学科联结[5]。信息技术作为“联结催化剂”，能让抽象联结直观化、隐蔽路径显性化。
5.5. 行动研究：问题驱动教学对数学联结力的影响
5.5.1. 研究设计
为验证问题驱动教学策略的有效性，在某普通高中高二年级2个平行班(共86名学生)开展为期一学期的行动研究。实验班(43人)采用问题驱动教学策略，对照班(43人)采用传统教学方法，两班师资、生源基础无显著差异。
研究工具：数学联结力测试卷(前后测)：参照已有研究编制，包含三个维度，信度系数α = 0.82，效度良好；
课堂观察记录表：聚焦学生联结行为的发生频率与质量；
学生访谈提纲：围绕学习体验、联结能力变化、策略掌握情况设计半结构化问题。
研究过程：前期(第1~2周)进行前测与基线观察；中期(第3~16周)实施教学干预；后期(第17~18周)进行后测、访谈与数据整理。
5.5.2. 研究结果
量化结果：实验班前测平均分为62.3分，后测平均分为74.7分，提升12.4分；对照班前测平均分为61.8分，后测平均分为67.5分，提升5.7分。独立样本t检验表明，实验班后测成绩显著高于对照班(t = 3.26, p < 0.01)。分维度分析显示，实验班在“数学与生活联结”(提升15.2分)和“数学与其他学科联结”(提升13.7分)的提升幅度显著高于“数学内部联结”(提升8.3分)。
质性结果：课堂观察发现，实验班学生主动提出联结性问题的频率(平均每节课8.6次)显著高于对照班(平均每节课2.3次)，能自主整合多领域知识解决问题的学生比例从32.6%提升至67.4%；访谈结果显示，83.7%的实验班学生认为“问题驱动教学帮助自己看到了知识之间的联系”，76.7%的学生表示“更清楚如何将数学知识用于解决实际问题”。
5.5.3. 研究结论
问题驱动教学策略能有效促进学生数学联结力的整体发展，尤其在强化跨界联结、应用联结方面效果显著。其核心机制在于：真实复杂的问题为联结提供了天然载体，迫使学生主动整合知识、跨界思考；问题解决过程中的合作探究、思维碰撞，进一步优化了联结策略，降低了认知负荷，促进了联结内化。
6. 实施建议
6.1. 教师培训：强化联结理念与教学能力
一是通过专题培训、教学研讨，帮助教师树立“联结教学”理念，认识联结力的核心价值；二是开展情境创设、问题设计、信息技术融合等专项能力培训，提升实践操作能力；三是建立教学案例分享机制，推广优秀联结培养案例，提供具体参考[3]。
6.2. 课程设计：构建联结导向的课程内容体系
一是以核心概念为主线重构课程内容，打破知识点孤立格局，突出逻辑关联[8]；二是增加跨学科主题单元，如“数学与艺术”“数学与物理”等，为跨界联结提供课程载体；三是设计开放性、探究性学习任务，减少封闭性习题比例，增加综合性任务[10]。
6.3. 评价改革：建立多元化评价体系
一是优化评价内容，增加对知识联结、应用能力、思维方法的考查，设计更多情境化、综合性评价任务；二是丰富评价方式，结合过程性评价(如知识网络图、反思日志)与终结性评价(如综合能力测试)，采用多元评价主体；三是参考附录中的数学联结力评价量规，开展标准化测评，提升评价的科学性与针对性[2]。
7. 结论与展望
数学联结力是数学核心素养的重要组成部分，其核心价值在于促进知识深度理解、提升问题解决能力、激发学习兴趣、塑造整体化认知观。当前教学中存在的知识碎片化、教学去背景化、问题封闭化、评价单一化等问题，从认知负荷理论视角看，本质上是未能有效降低外部认知负荷、优化内在认知负荷，导致联结难以形成。通过创设联结导向的教学情境、采用问题驱动的教学模式、强化反思与元认知训练、善用信息技术等策略，能够有效破解这些难题。
行动研究验证了问题驱动教学策略的有效性，为联结力培养提供了实证支持。本文构建的本土化培养框架与评价量规，填补了现有研究的空白。未来研究可聚焦三个方向：一是探索不同学段学生数学联结力的发展规律，开发差异化培养策略；二是进一步完善评价量规，提升其信度与效度；三是结合人工智能技术，构建个性化联结力培养路径，实现精准教学。数学联结力的培养，本质上是数学教育从“知识传授”向“素养培育”转型的关键抓手。唯有将联结理念贯穿教学全过程，才能让学生真正理解数学本质，掌握数学思维方法，实现数学素养全面提升。