公共物品动态提供博弈的HK-δ-核心

The HK-δ-Core of the Dynamic Voluntary Provision of Public Goods

摘要: 本文在一类$n$ -人公共物品动态提供博弈中，引入了HK-$\delta$ -核心解，证明当$n=2$ 时，HK-$\delta$ -核心与$\gamma$ -核心相等且非空；当$n\ge 3$ 时，HK-$\delta$ -核心作为$\gamma$ -核心的子集可能为空。

Abstract: This paper presents the HK-$\delta$ -core in the dynamic voluntary provision of public goods. It shows that the HK-$\delta$ -core is equal to the$\gamma$ -core and non-empty in the 2-player case; it may be empty as the subset of the$\gamma$ -core in the multi-player case ($n\ge 3$ ).

1. 引言

公共物品的动态提供问题最早由Fershtman和Nitzan (1991) [1]在一个无限期微分博弈中建立。该文证明，在非合作环境中，不论基于开环还是反馈信息结构，搭便车问题总会存在。后续出现若干基于非合作博弈方法研究，如Wirl (1996)，Fujiwara和Matsueda (2009)，Wang和Ewald (2010) [2]-[4]等。这些研究表明，由于搭便车效应的存在，公共物品博弈中很难形成有约束力的协议。

Zheng和Wang (2025) [5]扩展了Fershtman和Nitzan (1991) [1]的研究，提出基于合作博弈的核心解概念，证明上述公共物品动态提供博弈中$\alpha ,\beta$ 和$\gamma$ -核心的存在性，并证明$\alpha$ -核心与$\beta$ -核心相等且包含$\gamma$ -核心。由于核心解同时满足个体理性，联盟理性和Pareto有效性，因此具有有趣的反搭便车性质。

不同的信念往往导致不同的联盟值和核心[6]。公共物品动态提供博弈的其他核心解是否存在仍然是重要的开问题。作为Zheng和Wang (2025) [5]工作的继续，本文致力于研究HK-$\delta$ -核心的存在性。HK-$\delta$ -核心最早由Hart和Kurz (1983) [7]在研究联盟形成理论时提出。HK-$\delta$ -核心由HK-$\delta$ -特征函数确定。HK-$\delta$ -特征函数的计算假设当一个新的联盟形成时，外部局中人选择继续保持在原来的联盟中。这一假设与$\gamma$ -特征函数的计算有着重要的区别。后者假设当一个新的联盟形成时，外部局中人不再结盟，坚持个体理性的策略选择。

本文首先将Fershtman和Nitzan (1991) [1]模型转化为具有开环信息的可转移效用(TU)联盟博弈，然后基于Pontryagin极大值原理计算HK-$\delta$ -特征函数，并与$\gamma$ -特征函数进行比较，最后研究HK-$\delta$ -核心的存在性问题。本文证明当$n=2$ 时，HK-$\delta$ -核心与$\gamma$ -核心相等且非空；当$n\ge 3$ 时，HK-$\delta$ -核心作为$\gamma$ -核心的子集可能是空的。

论文的后续章节安排如下：第2章引入动态公共物品博弈模型；第3章计算HK-$\delta$ -特征函数；第4章讨论HK-$\delta$ -核心的存在性；第5章总结。

2. 模型设定与符号说明

假设$n$ 个局中人致力于某一公共项目，每个局中人随时间持续做出贡献。公共物品的总积累量$K$ 随时间演化，由以下微分方程描述：

$\dot{K}\left(t\right)={\displaystyle \sum _{i\text{=1}}^n{I}_i\left(t\right)}-\delta K\left(t\right),K\left(0\right)=K_0,$ (1)

其中$K\left(t\right)$ 表示为时刻$t$ 公共物品的积累量，$I_i\left(t\right)$ 表示局中人在时刻$t$ 的贡献率，$\delta \ge 0$ 为常值退化因子。无论局中人是否提供公共物品，都能从公共物品的积累中获得收益。局中人$i$ 在时刻$t$ 的瞬时支付由下式给出：

$R_i\left(K,I_i\right)=f\left(K\left(t\right)\right)-C\left(I_i\left(t\right)\right),$ (2)

其中$f(\cdot )$ 是生产函数且连续单调递增，$C\left(I_i\left(t\right)\right)$ 为局中人$i$ 的成本函数。

假设每个局中人的目标是最大化其贴现效用，即：

${\Pi }_i={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-rt}}\left[f\left(K\left(t\right)\right)-C\left(I_i\left(t\right)\right)\right]\text{d}t,i=1,2,\cdots ,n,$ (3)

其中$r$ 为贴现因子且为正。

贡献路径的帕累托最优$n$ 元组由以下问题的解确定：

$\underset{I_1\left(t\right),\cdots ,I_n\left(t\right)}{\max }{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-rt}}}\left[f\left(K\left(t\right)\right)-C\left(I_i\left(t\right)\right)\right]\text{d}t,$ s.t. (1)

每个局中人选择贡献率$I_i\left(t\right)$ 以最大化集体收益。记$K^e$ 为公共资源积累量的帕累托最优稳态水平。

开环信息的纳什均衡是一个贡献路径的$n$ 元组$\left(I_1^{*}\left(t\right),\cdots ,I_n^{*}\left(t\right)\right)$ ，使得对于每一个局中人$i$ ，在给定其他局中人贡献策略的条件下，$I_i^{*}\left(t\right)$ 在约束(1)下最大化收益(3)。 平稳均衡是一个平稳的路径策略均衡，

满足$K\left(0\right)=K^{*}$ 且${\displaystyle \sum _{j=1}^n{I}_j^{*}}\left(t\right)=\delta K^{*}$ 。

为确保可解性，假设公共物品供给的生产函数和成本函数是线性二次的，即：

$f\left(K\left(t\right)\right)=\left(a-K\right)K,K<a/2,$ (4)

$C\left(I_i\left(t\right)\right)=\frac{1}{2}c{I}_i^2,i\in N,$ (5)

其中$a>0$ 且$c>0$ 。

式(1)~(5)定义了一个线性二次微分博弈，可参考[8]-[10]。Fershtman和Nitzan (1991) [1]已经得到，上述公共物品动态提供博弈的帕累托最优稳态积累量由下式给出：

$K^e=\frac{n^{2}a}{\delta \left(r+\delta \right)c+2n^2},$ (7)

唯一的平稳开环纳什均衡由下式给出：

$K^{*}=\frac{na}{\delta \left(r+\delta \right)c+2n},$

$I^{*}=\frac{\delta a}{\delta \left(r+\delta \right)c+2n},$

${\Pi }^{*}=\frac{\left[\left(2n^2-{\delta }^2\right)a+2\delta \left(r+\delta \right)c\right]a}{2r{\left[\delta \left(r+\delta \right)c+2n\right]}^2}.$ (8)

对$a>0,c>0$ ，有$K^{*}<K^e$ 。因此，在非合作的环境中，搭便车问题是存在的。

现在假设局中人通过合作实现帕累托有效的结果来提高自身收益，那么全体局中人面临的问题将是合作协议的稳定性。

令$N=\left\{1,\cdots ,n\right\}$ 表示$n$ 个局中人的集合。一个联盟TU博弈由集函数$\left\{N,v\right\}$ 给出，它为每个联盟$M\subseteq N$ 指定一个非负特征函数$v\left(M\right)$ ，且$v(\varnothing )=0$ 。给定联盟博弈，$v\left(N\right)$ 的一个分配是一个收益向量$\theta =\left({\theta }_1,\cdots ,{\theta }_n\right)\in R_{+}^n$ ，满足${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\theta }_i}=v\left(N\right)$ ，其中${\theta }_i$ 代表局中人$i$ 的收益，$i\in N$ 。如果${\displaystyle {\sum }_{i\in M}{\theta }_i}\ge v\left(M\right)$ ，那么称分配$\theta$ 对于联盟$M\subseteq N$ 是理性的。如果$\theta$ 对所有$M\subseteq N$ 都是理性的，则该分配属于核心。因此，核心由下式定义：

$C\left(N,v\right)=\left\{\theta \in R_{+}^n|{\displaystyle {\sum }_{i\in M}{\theta }_i}\ge v\left(M\right),\forall M\subset N,{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\theta }_i}=v\left(N\right)\right\}.$

为得到合作博弈$\left\{N,v\right\}$ 的核心解，需针对所有$M\subseteq N$ 计算特征函数$v\left(M\right)$ 。不同的核心的源于特征函数$v\left(M\right)$ 的不同定义方式[6]。

在$\gamma$ -信念下[7]，当联盟$M$ 形成时，$N\backslash M$ 中的局中人将选择“各自为战”的策略。因此，求解$v\left(M\right)=v^{\gamma }\left(M\right)$ 涉及求解一个$\left(n-m+1\right)$ -人博弈问题。下面的引理1可参考Zheng和Wang (2025) [5]。

引理1. 对于(1)~(5)定义的公共物品动态提供博弈的任意联盟$M\subseteq N$ ($\left|M\right|=m$ )，其$\gamma$ -特征函数由下式给出：

$v^{\gamma }\left(M\right)=\frac{m\left[2{\left(m^2+n-m\right)}^2+m^2\delta \left(2r+\delta \right)c+2\left(n-m\right)\delta \left(r+\delta \right)c\right]a^2}{2r{\left[\delta \left(r+\delta \right)c+2\left(n-m\right)+2m^2\right]}^2},$ (">)">

平稳的公共物品积累量以及局中人相应的贡献率分别为：

$K^{\gamma }=\frac{\left(m^2+n-m\right)a}{\delta \left(r+\delta \right)c+2\left(n-m\right)+2m^2},$ (10)

$I_{i,M}^{\gamma }=\frac{m\delta a}{\delta \left(r+\delta \right)c+2\left(n-m\right)+2m^2},i\in M,$ (11)

$I_j^{\gamma }=\frac{\delta a}{\delta \left(r+\delta \right)c+2\left(n-m\right)+2m^2},j\in N\backslash M.$ (12)

3. HK-$\delta$ -特征函数

在HK-$\delta$ -信念下，当联盟$M$ 形成时，外部局中人选择继续留在联盟$N\backslash M$ 中。因此，求解HK-$\delta$ -特征函数问题即为求解2-人博弈的纳什均衡问题：$M$ 作为一个局中人，$N\backslash M$ 则作为另一个局中人。

引理2. 对于(1)~(5)定义的公共物品动态提供博弈的任意联盟$M\subseteq N$ ($\left|M\right|=m$ )，其HK-$\delta$ -特征函数由下式给出：

$v^{\delta }\left(M\right)=\frac{2m\left[m^2+{\left(n-m\right)}^2\right]\left[m^2+{\left(n-m\right)}^2+c\delta \left(r+\delta \right)\right]a^2-m{\left(am\delta \right)}^{2}c}{2r{\left[\delta \left(r+\delta \right)c+2{\left(n-m\right)}^2+2m^2\right]}^2},$ (13)

平稳的公共物品积累量以及联盟$M$ 与联盟$N\backslash M$ 中局中人相应的贡献率分别为：

$K^{\delta }=\frac{\left[m^2+{\left(n-m\right)}^2\right]a}{\delta \left(r+\delta \right)c+2{\left(n-m\right)}^2+2m^2},$ (14)

$I_{i,M}^{\delta }=\frac{m\delta a}{\delta \left(r+\delta \right)c+2{\left(n-m\right)}^2+2m^2},i\in M,$ (15)

$I_j^{\delta }=\frac{\left(n-m\right)\delta a}{\delta \left(r+\delta \right)c+2{\left(n-m\right)}^2+2m^2},j\in N\backslash M.$ (16)

证明：为计算HK-$\delta$ -特征函数，需要针对任意联盟$M\subseteq N$ ，求解下述问题的纳什均衡：

$\underset{I_i\left(t\right),i\in M}{\max }{\displaystyle \sum _{i\in M}{\Pi }_i}=\underset{I_i\left(t\right),i\in M}{\max }{\displaystyle \sum _{i\in M}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-rt}}}\left[\left(a-K\right)K-\frac{c{I}_i^2}{2}\right]\text{d}t,$

$\underset{{}_{I_j\left(t\right),j\in N\backslash M}}{\max }{\Pi }_j=\underset{{}_{I_j\left(t\right),j\in N\backslash M}}{\max }{\displaystyle \sum _{j\in N\backslash M}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-rt}}}\left[\left(a-K\right)K-\frac{c{I}_j^2}{2}\right]\text{d}t,$

s.t.

$\dot{K}\left(t\right)={\displaystyle \sum _{i\in N}{I}_i}\left(t\right)-\delta K\left(t\right),K\left(0\right)=K_0.$

省略时间参数$t$ ，分别写出联盟$M$ 和联盟$N\backslash M$ 的当前值哈密顿函数：

$H_M^{\delta }\left(I_1,\cdots ,I_n,K,{\mu }_M\right)={\displaystyle \sum _{i\in M}\left[\left(a-K\right)K-\frac{c{I}_i^2}{2}\right]}+{\mu }_M\left({\displaystyle \sum _{i\in N}{I}_i}-\delta K\right),$

$H_{N\backslash M}^{\delta }\left(I_1,\cdots ,I_n,K,{\mu }_{N\backslash M}\right)={\displaystyle \sum _{j\in N\backslash M}\left[\left(a-K\right)K-\frac{c{I}_j^2}{2}\right]}+{\mu }_{N\backslash M}\left({\displaystyle \sum _{i\in N}{I}_i}-\delta K\right),$

其中${\mu }_M$ 和${\mu }_{N\backslash M}$ 为伴随变量。

假设内点解存在，则开环纳什均衡的必要条件包括：

$\dot{K}\left(t\right)={\displaystyle \sum _{i\in N}{I}_i}\left(t\right)-\delta K\left(t\right),K\left(0\right)=K_0,$ (17)

${\dot{\mu }}_M=\left(r+\delta \right){\mu }_M-am+2mK,$ (18)

${\dot{\mu }}_{N\backslash M}=\left(r+\delta \right){\mu }_{N\backslash M}-a\left(n-m\right)+2\left(n-m\right)K,$ (19)

$\frac{\partial H_M^{\delta }}{\partial I_i}=0\Rightarrow {\mu }_M=c{I}_i,i\in M,$ (20)

$\frac{\partial H_{N\backslash M}^{\delta }}{\partial I_j}=0\Rightarrow {\mu }_{N\backslash M}=c{I}_j,j\in N\backslash M,$ (21)

$\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{-rt}{\mu }_M\left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{-rt}{\mu }_{N\backslash M}\left(t\right)=0.$ (22)

对(20)关于时间$t$ 求导，并将${\dot{\mu }}_M$ 和${\mu }_M$ 代入(18)，可得：

$c{\dot{I}}_i=\left(r+\delta \right)c{I}_i-am+2mK,i\in M.$ (23)

对(21)关于时间$t$ 求导，并将${\dot{\mu }}_{N\backslash M}$ 和${\mu }_{N\backslash M}$ 带入(19)，可得：

$c{\dot{I}}_j=\left(r+\delta \right)c{I}_j-a\left(n-m\right)+2\left(n-m\right)K,j\in N\backslash M.$ (24)

分别由联盟$M$ 和联盟$N\backslash M$ 中局中人的对称性，并注意到在稳态点处有${\dot{I}}_i\left(t\right)={\dot{I}}_j\left(t\right)={\dot{\mu }}_M={\dot{\mu }}_{N\backslash M}=0$ ($i\in M,j\in N\backslash M$ )。通过(17)和(23)~(24)求得(14)~(16)中的平稳积累量以及局中人的贡献率。在联盟$M$ 的目标函数中代入公共物品的平稳积累量以及局中人的贡献率，得到由(13)给出的HK-$\delta$ -特征函数。引理2证毕。

推论1. 在(1)~(5)定义的动态公共物品博弈中，$v^{\delta }\left(N\right)=v^{\gamma }\left(N\right)$ ；当$\left|M\right|=n-1$ 时，$v^{\delta }\left(M\right)=v^{\gamma }\left(M\right)$ 。对满足$\left|M\right|<n-1$ 的联盟$M$ ，HK-$\delta$ -特征函数值严格大于$\gamma$ -特征函数值，即$v^{\delta }\left(M\right)>v^{\gamma }\left(M\right)$ 。因此，当$n=2$ 时，HK-$\delta$ -核心与$\gamma$ -核心相等；当$n\ge \text{3}$ 时，HK-$\delta$ -核心为$\gamma$ -核心的子集。

证明：根据$\gamma$ -特征函数值(9)与HK-$\delta$ -特征函数值(13)，令

$\begin{array}{c}P\left(m\right)=\left[v^{\delta }\left(M\right)-v^{\gamma }\left(M\right)\right]\frac{2r{\left[\delta \left(r+\delta \right)c+2{\left(n-m\right)}^2+2m^2\right]}^2}{m{a}^2}\\ =2\left[A^2+xA-{\left(m^2+n-m\right)}^2-x{m}^2-x\left(n-m\right)\right],\end{array}$

其中：$A=m^2+{\left(n-m\right)}^2$ ，$x=\delta \left(r+\delta \right)c$ ，$y=c{\delta }^2$ ，$x>y>0$ 。化简得：

$P\left(m\right)=2\left(n-m\right)\left(n-m-1\right)\left[m^2+{\left(n-m\right)}^2+m^2+n-m+x\right].$

由于$m^2+{\left(n-m\right)}^2>0$ ，$m^2+n-m>0$ 且$x=\delta \left(r+\delta \right)c>0$ ，故方括号内表达式为正。从而，

$v^{\delta }\left(M\right)-v^{\gamma }\left(M\right)=P\left(m\right)\frac{m{a}^2}{2r{\left[\delta \left(r+\delta \right)c+2{\left(n-m\right)}^2+2m^2\right]}^2}\{\begin{array}{ll}>0,\hfill & m\le n-2,\hfill \\ =0,\hfill & m=n-1,m=n.\hfill \end{array}$

推论1得证。

4. HK-$\delta$ -核心的存在性

第3章，我们计算了HK-$\delta$ -特征函数值，并确定了HK-$\delta$ -核心与$\gamma$ -核心的关系。本章讨论HK-$\delta$ -核心的存在性。由Moulin (1981) [11]可知，一个对称博弈具有非空的核心，当且仅当大联盟具有最大的平均收益，即对于任意$M\subseteq N$ ，$v^{\delta }\left(M\right)/m\le v^{\delta }\left(N\right)/n$ 成立，其中$\left|M\right|=m$ 。由推论1可知HK-$\delta$ -核心与$\gamma$ -核心在$\text{2-}$ 人博弈中相等；Zheng和Wang (2025) [5]已证明在(1)~(5)定义的公共物品动态提供博弈中$\gamma$ -核心是非空的。从而得到：

定理1. 在(1)~(5)给出的$n$ -人公共物品动态提供博弈中，当$n=2$ 时，HK-$\delta$ -核心非空。

下面将给出$n$ -人公共物品动态提供博弈中HK-$\delta$ -核心存在以及不存在的两个数值例子。

例1. 考虑一个$3$ -人公共物品动态提供博弈，参数为$a=3,c=2,r=0.1,\delta =0.5$ 。根据引理2，我们计算出每个联盟$M\subseteq N$ 的特征函数值，如表1所示。

Table 1. The value of the HK-$\delta$ -characteristic function in Example 1

表1. 例1中的HK-$\delta$ -特征函数值

$\left|M\right|$	$v^{\delta }\left(M\right)$	$v^{\delta }\left(M\right)/m$
1	22.227661	22.227661
2	43.253827	21.626913
3	65.673777	21.891259

由表1可以看到，当$\left|M\right|=1$ 时，$v^{\delta }\left(3\right)/\text{3}<v^{\delta }\left(1\right)$ 。因此，HK-$\delta$ -核心是空的。

• 考虑一个3-人公共物品动态提供博弈，参数为$a=3,c=2,r=5,\delta =0.5$ 。根据引理2，我们计算出每个联盟$M\subseteq N$ 的特征函数值，如表2所示。

Table 2. The value of the HK-$\delta$ -characteristic function in Example 2

表2. 例2中的HK-$\delta$ -特征函数值

$\left|M\right|$	$v^{\delta }\left(M\right)$	$v^{\delta }\left(M\right)/m$
1	0.391467	0.391467
2	0.771696	0.385848
3	1.254052	0.418017

由表2可得，$v^{\delta }\left(1\right)<v^{\delta }\left(3\right)/\text{3}$ ，$v^{\delta }\left(2\right)/\text{2}<v^{\delta }\left(\text{3}\right)/\text{3}$ 。因此，HK-$\delta$ -核心非空。

结合例1与例2的数值例子可得下述结论。

定理2. 在(1)-(5)定义的$n$ -人公共物品动态提供博弈中，当$n\ge 3$ 时，HK-$\delta$ -核心可能是空的。

5. 结论

本文在一个线性二次的公共物品动态提供微分博弈中，引入了HK-$\delta$ -核心解概念。在合作博弈的框架下，首先计算了HK-$\delta$ -特征函数值，并比较了HK-$\delta$ -特征函数值与$\gamma$ -特征函数值的大小关系，明确了HK-$\delta$ -核心与$\gamma$ -核心的关系，最后证明当$n=2$ 时，HK-$\delta$ -核心非空；当$n\ge 3$ 时，HK-$\delta$ -核心可能是空的。本文的结果有待扩展到其他的核心解概念[6]以及常数替代弹性的情形[3]。