调和Bergman空间上以${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$为符号的Toeplitz算子的正规性

Normality of Toeplitz Operator with ${\left|z\right|}^{}$

DOI: 10.12677/pm.2026.161015, PDF, HTML, XML,  被引量   
作者: 郝 蕾, 孙 涛：辽宁师范大学数学学院，辽宁 大连
关键词: 调和Bergman空间；Toeplitz算子；算子正规性；Harmonic Bergman Space； Toeplitz Operator； Operator Normality

摘要: 本文刻画了在调和Bergman空间上以${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ 为符号的Toeplitz算子的正规性问题。本文先对调和Bergman空间及Toeplitz算子的相关知识进行了介绍，梳理了调和Bergman空间、Toeplitz算子研究的具有代表性的相关成果。本文还给出了参数相关的以${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ 为符号的Toeplitz算子在调和Bergman空间上的正规性的充分必要条件，在该充要条件的基础上提出了两个推论，建立及推广了该符号下Toeplitz算子的自伴性与正规性的等价关系，补充了这类算子结构性质的相关结论。

Abstract: This paper investigates the normality of Toeplitz operators with the symbol ${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ on the harmonic Bergman space. First, it introduces the relevant knowledge of the harmonic Bergman space and Toeplitz operators, and summarizes the representative research achievements in the study of the harmonic Bergman space and Toeplitz operators. In addition, the paper presents the necessary and sufficient conditions for the normality of parameter-dependent Toeplitz operators with the symbol ${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ on the harmonic Bergman space. Based on these necessary and sufficient conditions, two corollaries are proposed, the equivalence relationship between the self-adjointness and normality of Toeplitz operators under this symbol is established and generalized, and the relevant conclusions on the structural properties of such operators are supplemented.

文章引用：郝蕾, 孙涛. 调和Bergman空间上以${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$为符号的Toeplitz算子的正规性[J]. 理论数学, 2026, 16(1): 122-126. https://doi.org/10.12677/pm.2026.161015

1. 引言

作为现代算子理论中一个重要的特殊算子类别，Toeplitz算子是算子理论和算子代数领域不可或缺的组成部分。调和Bergman空间是算子理论研究的重要载体，该空间上Toeplitz算子的正规性问题具有一定的研究意义。与以单一类型${\left|z\right|}^2,z^m,{\overline{z}}^n$ 为符号的Toeplitz算子相比，以${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ 为符号的Toeplitz算子建立了从简单解析符号到混合符号的联系。另外，调和Bergman空间上以${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ 为符号的Toeplitz算子可看作复值物理量建模中相关算子的简化形式，故本文刻画的在调和Bergman空间上以${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ 为符号的Toeplitz算子的正规性问题，可为后续相关物理问题的研究提供一定的理论支撑。

2. 问题背景

Toeplitz算子的概念最早是由数学家Toeplitz提出的，目前其性质仍在被广泛关注和研究[1]。复分析和泛函分析的发展推动了Toeplitz算子拓展，Toeplitz算子的研究被延伸到了连续函数空间中，其中一个具有代表性的就是Toeplitz算子在Hardy空间中的研究。S. Axler [2]等人借助Douglas代数工具，构造了在单变量Hardy空间上Toeplitz算子紧扰动的充分必要条件。L. A. Coburn [3]将奇异积分算子与Toeplitz算子建立了联系，进一步给出了当符号连续时在Hardy空间上Toeplitz算子乘积是某Toeplitz算子紧扰动的充分条件，为研究算子紧性打开了思路。Axler与Shields [4]提出了逼近定理，该定理以调和Bergman空间为代表的有界符号下Toeplitz算子的交换性的约束分析提供了理论基础。Guo与Zheng [5]对调和Bergamn空间上有界符号Toeplitz算子的紧性进行了完整刻画，得到了在调和Bergamn下有界符号下Toeplitz算子是紧的充要条件，并且该条件区别于Bergman空间下有界符号下算子紧的判定条件。王晓峰，谢启敏[6]研究了圆盘上加权调和Bergman空间Toeplitz算子的本性范数逼近公式。Jingyu Yang等[7]针对复杂的调和Bergman空间上的以拟其次函数为符号的多个调和Toeplitz算子的有限秩问题的展开讨论。Y. Peng and X. Zhao [8]刻画了对偶Toeplitz算子在调和Bergman空间的正交补空间上的有界、紧、谱的结构等相关问题。

3. 基本知识

命题3.1 设$m,n$ 是任意的正整数，$P$ 是从Lebesgue空间$L^2$ 到Bergman空间上的正交投影，有

$P\left({\overline{z}}^m{z}^n\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{n-m+1}{n+1}{z}^{n-m},\hfill & n\ge m\hfill \\ 0,\hfill & n<m.\hfill \end{array}$

设$Q$ 是从Lebesgue空间$L^2$ 到调和Bergman空间上的正交投影，那么对$\forall f\in L^2$ ，有

$Q\left(f\right)=P\left(f\right)+\overline{P\left(\overline{f}\right)}-P\left(f\right)\left(0\right)$ .

命题3.2 设$m,n$ 是任意的正整数，$Q$ 是从Lebesgue空间$L^2$ 到调和Bergman空间上的正交投影，那么有

$Q\left({\overline{z}}^m{z}^n\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{n-m+1}{n+1}{z}^{n-m},\hfill & n\ge m\hfill \\ \frac{m-n+1}{m+1}{\overline{z}}^{m-n},\hfill & n<m.\hfill \end{array}$

定义3.3 在调和Bergman空间$b^2$ 上，以$u\in L^2$ 为符号的Toeplitz算子定义为：对$\forall f\in b^2$ ，$T_{u}f=Q\left(uf\right)$ ，其中$Q$ 是从Lebesgue空间$L^2$ 到调和Bergman空间$b^2$ 的Hilbert正交投影。

定理3.4 [9] 设$u,v\in b^2$ 为非常数函数，并且其中一个为多项式，那么在调和Bergman空间上的Toeplitz算子$T_u$ 与$T_v$ 可交换当且仅当$\exists \alpha ,\beta \in ℂ$ 使得$u\left(z\right)=\alpha v\left(z\right)+\beta$ 。

4. 以${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ 为符号的Toeplitz算子的正规性

由于$u\left(z\right)={\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ 中$z^m,{\overline{z}}^n$ 的位置在形式上具有对称性，因此在下文的讨论中不妨假设$m\ge n$ ，对于$m<n$ 的情况可以由对称性得到。

定理4.1 若$u\left(z\right)={\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ ，其中$m\ge n$ ，$a,b\in ℂ$ ，则在调和Bergman空间中$T_u{T}_u^{*}=T_u^{*}{T}_u$ 当且仅当至少下面的一种情况成立：

(1) 当$m=n$ 时，$a=\overline{b}$ ；

(2) 当$m>n>0$ 时，$a=b=0$ ；

(3) 当$m>n=0$ 时，$a=0,b\in ℂ$ 。

证明：首先证明必要性。

在调和Bergman空间中的Toeplitz算子$T_u$ 满足$T_u^{*}=T_u$ ，那么$T_u{T}_u^{*}=T_u^{*}{T}_u$ 等价于

$T_{{\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n}{T}_{{\left|z\right|}^2+\overline{a}{\overline{z}}^m+\overline{b}{z}^n}=T_{{\left|z\right|}^2+\overline{a}{\overline{z}}^m+\overline{b}{z}^n}{T}_{{\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n}$ 。设$p$ 是正整数，且$p\ge m+n$ ，将等式两边同时作用在$z^p$ 上。

根据Toeplitz算子的线性性质，

$\begin{array}{c}{T}_{{\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n}{T}_{{\left|z\right|}^2+\overline{a}{\overline{z}}^m+\overline{b}{z}^n}=T_{{\left|z\right|}^2}{T}_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)+\overline{a}{T}_{{\left|z\right|}^2}{T}_{{\overline{z}}^m}\left(z^p\right)+\overline{b}{T}_{{\left|z\right|}^2}{T}_{z^n}\left(z^p\right)\\ +a{T}_{z^m}{T}_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)+{\left|a\right|}^2{T}_{z^m}{T}_{{\overline{z}}^m}\left(z^p\right)+a\overline{b}{T}_{z^m}{T}_{z^n}\left(z^p\right)\\ +b{T}_{{\overline{z}}^n}{T}_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)+\overline{a}b{T}_{{\overline{z}}^n}{T}_{{\overline{z}}^m}\left(z^p\right)+{\left|b\right|}^2{T}_{{\overline{z}}^n}{T}_{z^n}\left(z^p\right).\end{array}$

根据命题3.2及定义3.3，$T_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)=Q\left(\overline{z}{z}^{p+1}\right)=\frac{p+1}{p+2}{z}^p$ ，那么

$T_{{\left|z\right|}^2}{T}_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)=\frac{{\left(p+1\right)}^2}{{\left(p+2\right)}^2}{z}^p.$

因为$p\ge m+n$ ，故根据命题3.2及定义3.3，$T_{{\overline{z}}^m}\left(z^p\right)=Q\left({\overline{z}}^m{z}^p\right)\frac{p-m+1}{p+1}{z}^{p-m}$ ，

$T_{{\left|z\right|}^2}\left(z^{p-m}\right)=Q\left(\overline{z}{z}^{p-m+1}\right)=\frac{p-m+1}{p-m+2}{z}^{p-m}.$

进行相似的计算并合并同类项可得

$\begin{array}{l}{T}_{{\left|z\right|}^2}{T}_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)+\overline{a}{T}_{{\left|z\right|}^2}{T}_{{\overline{z}}^m}\left(z^p\right)+\overline{b}{T}_{{\left|z\right|}^2}{T}_{z^n}\left(z^p\right)+a{T}_{z^m}{T}_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)+{\left|a\right|}^2{T}_{z^m}{T}_{{\overline{z}}^m}\left(z^p\right)\\ +a\overline{b}{T}_{z^m}{T}_{z^n}\left(z^p\right)+b{T}_{{\overline{z}}^n}{T}_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)+\overline{a}b{T}_{{\overline{z}}^n}{T}_{{\overline{z}}^m}\left(z^p\right)+{\left|b\right|}^2{T}_{{\overline{z}}^n}{T}_{z^n}\left(z^p\right)\\ =\left[\frac{{\left(p+1\right)}^2}{{\left(p+2\right)}^2}+{\left|a\right|}^2\frac{p-m+1}{p+1}+{\left|a\right|}^2\frac{p+1}{p+n+1}\right]z^p+\overline{b}\frac{p+n+1}{p+n+2}{z}^{p+n}+a\frac{p+1}{p+2}{z}^{p+m}+a\overline{b}{z}^{p+m+n}\\ +b\frac{p-n+1}{p+2}{z}^{p-n}+\overline{a}\frac{p-m+1}{p+1}\frac{p-m+1}{p-m+2}{z}^{p-m}+\overline{a}b\frac{p-m-n+1}{p+1}{z}^{p-m-n}\cdot \end{array}$

同理可得

$\begin{array}{c}{T}_{{\left|z\right|}^2+\overline{a}{\overline{z}}^m+\overline{b}{z}^n}{T}_{{\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n}\left(z^p\right)=\left[\frac{{\left(p+1\right)}^2}{{\left(p+2\right)}^2}+{\left|b\right|}^2\frac{p-n+1}{p+1}+{\left|a\right|}^2\frac{p+1}{p+m+1}\right]z^p+a\frac{p+m+1}{p+m+2}{z}^{p+m}\\ +\overline{b}\frac{p+1}{p+2}{z}^{p+n}+a\overline{b}{z}^{p+m+n}+\overline{a}\frac{p-m+1}{p+2}{z}^{p-m}\\ +b\frac{p-n+1}{p+1}\frac{p-n+1}{p-n+2}{z}^{p-n}+\overline{a}b\frac{p-m-n+1}{p+1}{z}^{p-m-n}\cdot \end{array}$

当$m=n$ 时，观察等式两边$z^{p+n}$ 的系数得到下面的等式

$\overline{b}\frac{p+m+1}{p+m+2}+a\frac{p+1}{p+2}=a\frac{p+m+1}{p+m+2}+\overline{b}\frac{p+1}{p+2}\cdot$

比较系数可得$a=\overline{b}$ ；

当$m>n>0$ 时，观察等式两边$z^{p+n}$ 的系数得到下面的等式

$\overline{b}\frac{p+n+1}{p+n+2}=\overline{b}\frac{p+1}{p+2}.$

那么有$b=0$ ，同理比较$z^{p+m}$ 的系数，可得$a=0$ ；

当$m>n=0$ 时，观察等式两边$z^{p+m}$ 的系数得到等式

$a\frac{p+1}{p+2}=a\frac{p+m+1}{p+m+2}.$

于是得$a=0,b\in ℂ$ 。

下面证明充分性。

当$m=n$ 时，$a=\overline{b}$ ，此时$u\left(z\right)=\overline{u\left(z\right)}={\left|z\right|}^2+a{z}^m+\overline{a}{\overline{z}}^m$ ，显然满足$T_u{T}_u^{*}=T_u^{*}{T}_u$ ；当$m>n>0$ 时，$a=b=0$ ，此时$u\left(z\right)=\overline{u\left(z\right)}={\left|z\right|}^2$ ；当$m>n=0$ 时，$a=0,b\in ℂ$ ，此时$u\left(z\right)={\left|z\right|}^2+b$ ，$\overline{u\left(z\right)}={\left|z\right|}^2+\overline{b}$ ，那么$T_u{T}_u^{*}=T_{{\left|z\right|}^2+b}{T}_{{\left|z\right|}^2+\overline{b}}=T_{{\left|z\right|}^2}{T}_{{\left|z\right|}^2}+b{T}_{{\left|z\right|}^2}+\overline{b}{T}_{{\left|z\right|}^2}+{\left|b\right|}^{2}I$ ，$T_u^{*}{T}_u=T_{{\left|z\right|}^2+\overline{b}}{T}_{{\left|z\right|}^2+b}=T_{{\left|z\right|}^2}{T}_{{\left|z\right|}^2}+b{T}_{{\left|z\right|}^2}+\overline{b}{T}_{{\left|z\right|}^2}+{\left|b\right|}^{2}I$ ，其中$I$ 是恒等算子，此时满足$T_u{T}_u^{*}=T_u^{*}{T}_u$ 。

推论4.2 若$u\left(z\right)={\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ ，其中$m\ge n>0,a,b\in ℂ$ ，则在调和Bergman空间中$T_u{T}_u^{*}=T_u^{*}{T}_u$ 当且仅当$T_u$ 是自伴算子。

证明：先证明充分性。因为$T_u$ 是自伴算子，那么由自伴算子的定义有$T_u^{*}=T_u$ ，于是有$T_u{T}_u^{*}=T_u^{*}{T}_u$ 。

下证必要性。当$m=n$ 时，由定理4.1可知，此时$a=\overline{b}$ ，那么$u\left(z\right)=\overline{u\left(z\right)}={\left|z\right|}^2+a{z}^m+\overline{a}{\overline{z}}^m$ ，此时显然有$T_u^{*}=T_{\overline{u}}=T_u$ 。

当$m>n>0$ 时，根据定理4.1可得，$a=b=0$ ，那么此时$u\left(z\right)={\left|z\right|}^2$ ，于是$T_u^{*}=T_{\overline{u}}=T_u$ 成立。

推论4.3 $u\left(z\right)=c{\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ ，$m\ge n\ge 0$ ，$a,b,c\in ℝ$ ，则在调和Bergman空间中，Toeplitz算子$T_u$ 正规当且$T_u$ 是自伴算子。

证明：充分性的证明同推论4.2的充分性，下证必要性。

当$c\ne 0$ 时，$\frac{u\left(z\right)}{c}={\left|z\right|}^2+\frac{a}{c}{z}^m+\frac{b}{c}{\overline{z}}^n$ ，由定理4.1可知$T_u^{*}=T_{\overline{u}}=T_u$ ，即$T_u$ 是自伴算子。

当$c=0$ ，$a,b$ 至少有一个不为零时，$u\left(z\right)=a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ ，$\overline{u\left(z\right)}=a{\overline{z}}^m+b{z}^n$ 。又因为$T_u$ 正规等价于$T_u{T}_{\overline{u}}=T_{\overline{u}}{T}_u$ 。由定理3.4知，$\exists \alpha ,\beta \in ℂ$ 使得$u\left(z\right)=\alpha \overline{u\left(z\right)}+\beta$ ，即$a{z}^m+b{\overline{z}}^n=\alpha \left(a{\overline{z}}^m+b{z}^n\right)+\beta$ ，其中$\alpha ,\beta \in ℂ$ 。于是$\beta =0$ ，$m=n$ ，$\alpha a=a$ ，$\alpha b=b$ 。此时$\alpha =1$ ，$u\left(z\right)=\overline{u\left(z\right)}$ ，$T_u^{*}=T_{\overline{u}}=T_u$ ，即$T_u$ 是自伴的。当$a=b=0$ ，显然$T_u$ 是自伴的。

参考文献

[1]	Toeplitz, O. (1911) Zur Theorie der quadratischen und bilinearen formen von unendlichvielen veränderlichen. Mathematische Annalen, 70, 351-376. [Google Scholar] [CrossRef]
[2]	Axler, S., Chang, S.A. and Sarason, D. (1978) Products of Toeplitz Operators. Integral Equations and Operator Theory, 1, 285-309. [Google Scholar] [CrossRef]
[3]	Coburn, L.A. (1967) The ��*-Algebra Generated by an Isometry. Bulletin of the American Mathematical Society, 73, 722-726. [Google Scholar] [CrossRef]
[4]	Axler, S. and Shields, A. (1987) Algebras Generated by Analytic and Harmonic Functions. Indiana University Mathematics Journal, 36, 631-638. [Google Scholar] [CrossRef]
[5]	Guo, K. and Zheng, D. (2002) Toeplitz Algebra and Hankel Algebra on the Harmonic Bergman Space. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 276, 213-230. [Google Scholar] [CrossRef]
[6]	王晓峰, 谢启敏. 加权调和Bergman空间上Toeplitz与Hankel算子的本性范数[J]. 广州大学学报: 自然科学版, 2015, 14(2): 1-5.
[7]	Yang, J., Lu, Y. and Wang, X. (2016) Algebraic Properties of Toeplitz Operators on the Harmonic Bergman Space. Journal of Mathematics Research, 36, 495-503.
[8]	Peng, Y. and Zhao, X.F. (2021) Dual Toeplitz Operators on the Orthogonal Complement of the Harmonic Bergman Space. Acta Mathematica Sinica, English Series, 37, 1143-1155. [Google Scholar] [CrossRef]
[9]	Choe, B.R. and Lee, Y.J. (1999) Commuting Toeplitz Operators on the Harmonic Bergman Space. Michigan Mathematical Journal, 46, 163-174. [Google Scholar] [CrossRef]

摘要: 本文刻画了在调和Bergman空间上以${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ 为符号的Toeplitz算子的正规性问题。本文先对调和Bergman空间及Toeplitz算子的相关知识进行了介绍，梳理了调和Bergman空间、Toeplitz算子研究的具有代表性的相关成果。本文还给出了参数相关的以${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ 为符号的Toeplitz算子在调和Bergman空间上的正规性的充分必要条件，在该充要条件的基础上提出了两个推论，建立及推广了该符号下Toeplitz算子的自伴性与正规性的等价关系，补充了这类算子结构性质的相关结论。

Abstract: This paper investigates the normality of Toeplitz operators with the symbol ${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ on the harmonic Bergman space. First, it introduces the relevant knowledge of the harmonic Bergman space and Toeplitz operators, and summarizes the representative research achievements in the study of the harmonic Bergman space and Toeplitz operators. In addition, the paper presents the necessary and sufficient conditions for the normality of parameter-dependent Toeplitz operators with the symbol ${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ on the harmonic Bergman space. Based on these necessary and sufficient conditions, two corollaries are proposed, the equivalence relationship between the self-adjointness and normality of Toeplitz operators under this symbol is established and generalized, and the relevant conclusions on the structural properties of such operators are supplemented.

1. 引言

作为现代算子理论中一个重要的特殊算子类别，Toeplitz算子是算子理论和算子代数领域不可或缺的组成部分。调和Bergman空间是算子理论研究的重要载体，该空间上Toeplitz算子的正规性问题具有一定的研究意义。与以单一类型${\left|z\right|}^2,z^m,{\overline{z}}^n$ 为符号的Toeplitz算子相比，以${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ 为符号的Toeplitz算子建立了从简单解析符号到混合符号的联系。另外，调和Bergman空间上以${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ 为符号的Toeplitz算子可看作复值物理量建模中相关算子的简化形式，故本文刻画的在调和Bergman空间上以${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ 为符号的Toeplitz算子的正规性问题，可为后续相关物理问题的研究提供一定的理论支撑。

2. 问题背景

Toeplitz算子的概念最早是由数学家Toeplitz提出的，目前其性质仍在被广泛关注和研究[1]。复分析和泛函分析的发展推动了Toeplitz算子拓展，Toeplitz算子的研究被延伸到了连续函数空间中，其中一个具有代表性的就是Toeplitz算子在Hardy空间中的研究。S. Axler [2]等人借助Douglas代数工具，构造了在单变量Hardy空间上Toeplitz算子紧扰动的充分必要条件。L. A. Coburn [3]将奇异积分算子与Toeplitz算子建立了联系，进一步给出了当符号连续时在Hardy空间上Toeplitz算子乘积是某Toeplitz算子紧扰动的充分条件，为研究算子紧性打开了思路。Axler与Shields [4]提出了逼近定理，该定理以调和Bergman空间为代表的有界符号下Toeplitz算子的交换性的约束分析提供了理论基础。Guo与Zheng [5]对调和Bergamn空间上有界符号Toeplitz算子的紧性进行了完整刻画，得到了在调和Bergamn下有界符号下Toeplitz算子是紧的充要条件，并且该条件区别于Bergman空间下有界符号下算子紧的判定条件。王晓峰，谢启敏[6]研究了圆盘上加权调和Bergman空间Toeplitz算子的本性范数逼近公式。Jingyu Yang等[7]针对复杂的调和Bergman空间上的以拟其次函数为符号的多个调和Toeplitz算子的有限秩问题的展开讨论。Y. Peng and X. Zhao [8]刻画了对偶Toeplitz算子在调和Bergman空间的正交补空间上的有界、紧、谱的结构等相关问题。

3. 基本知识

命题3.1 设$m,n$ 是任意的正整数，$P$ 是从Lebesgue空间$L^2$ 到Bergman空间上的正交投影，有

$P\left({\overline{z}}^m{z}^n\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{n-m+1}{n+1}{z}^{n-m},\hfill & n\ge m\hfill \\ 0,\hfill & n<m.\hfill \end{array}$

设$Q$ 是从Lebesgue空间$L^2$ 到调和Bergman空间上的正交投影，那么对$\forall f\in L^2$ ，有

$Q\left(f\right)=P\left(f\right)+\overline{P\left(\overline{f}\right)}-P\left(f\right)\left(0\right)$ .

命题3.2 设$m,n$ 是任意的正整数，$Q$ 是从Lebesgue空间$L^2$ 到调和Bergman空间上的正交投影，那么有

$Q\left({\overline{z}}^m{z}^n\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{n-m+1}{n+1}{z}^{n-m},\hfill & n\ge m\hfill \\ \frac{m-n+1}{m+1}{\overline{z}}^{m-n},\hfill & n<m.\hfill \end{array}$

定义3.3 在调和Bergman空间$b^2$ 上，以$u\in L^2$ 为符号的Toeplitz算子定义为：对$\forall f\in b^2$ ，$T_{u}f=Q\left(uf\right)$ ，其中$Q$ 是从Lebesgue空间$L^2$ 到调和Bergman空间$b^2$ 的Hilbert正交投影。

定理3.4 [9] 设$u,v\in b^2$ 为非常数函数，并且其中一个为多项式，那么在调和Bergman空间上的Toeplitz算子$T_u$ 与$T_v$ 可交换当且仅当$\exists \alpha ,\beta \in ℂ$ 使得$u\left(z\right)=\alpha v\left(z\right)+\beta$ 。

4. 以${\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ 为符号的Toeplitz算子的正规性

由于$u\left(z\right)={\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ 中$z^m,{\overline{z}}^n$ 的位置在形式上具有对称性，因此在下文的讨论中不妨假设$m\ge n$ ，对于$m<n$ 的情况可以由对称性得到。

定理4.1 若$u\left(z\right)={\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ ，其中$m\ge n$ ，$a,b\in ℂ$ ，则在调和Bergman空间中$T_u{T}_u^{*}=T_u^{*}{T}_u$ 当且仅当至少下面的一种情况成立：

(1) 当$m=n$ 时，$a=\overline{b}$ ；

(2) 当$m>n>0$ 时，$a=b=0$ ；

(3) 当$m>n=0$ 时，$a=0,b\in ℂ$ 。

证明：首先证明必要性。

在调和Bergman空间中的Toeplitz算子$T_u$ 满足$T_u^{*}=T_u$ ，那么$T_u{T}_u^{*}=T_u^{*}{T}_u$ 等价于

$T_{{\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n}{T}_{{\left|z\right|}^2+\overline{a}{\overline{z}}^m+\overline{b}{z}^n}=T_{{\left|z\right|}^2+\overline{a}{\overline{z}}^m+\overline{b}{z}^n}{T}_{{\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n}$ 。设$p$ 是正整数，且$p\ge m+n$ ，将等式两边同时作用在$z^p$ 上。

根据Toeplitz算子的线性性质，

$\begin{array}{c}{T}_{{\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n}{T}_{{\left|z\right|}^2+\overline{a}{\overline{z}}^m+\overline{b}{z}^n}=T_{{\left|z\right|}^2}{T}_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)+\overline{a}{T}_{{\left|z\right|}^2}{T}_{{\overline{z}}^m}\left(z^p\right)+\overline{b}{T}_{{\left|z\right|}^2}{T}_{z^n}\left(z^p\right)\\ +a{T}_{z^m}{T}_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)+{\left|a\right|}^2{T}_{z^m}{T}_{{\overline{z}}^m}\left(z^p\right)+a\overline{b}{T}_{z^m}{T}_{z^n}\left(z^p\right)\\ +b{T}_{{\overline{z}}^n}{T}_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)+\overline{a}b{T}_{{\overline{z}}^n}{T}_{{\overline{z}}^m}\left(z^p\right)+{\left|b\right|}^2{T}_{{\overline{z}}^n}{T}_{z^n}\left(z^p\right).\end{array}$

根据命题3.2及定义3.3，$T_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)=Q\left(\overline{z}{z}^{p+1}\right)=\frac{p+1}{p+2}{z}^p$ ，那么

$T_{{\left|z\right|}^2}{T}_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)=\frac{{\left(p+1\right)}^2}{{\left(p+2\right)}^2}{z}^p.$

因为$p\ge m+n$ ，故根据命题3.2及定义3.3，$T_{{\overline{z}}^m}\left(z^p\right)=Q\left({\overline{z}}^m{z}^p\right)\frac{p-m+1}{p+1}{z}^{p-m}$ ，

$T_{{\left|z\right|}^2}\left(z^{p-m}\right)=Q\left(\overline{z}{z}^{p-m+1}\right)=\frac{p-m+1}{p-m+2}{z}^{p-m}.$

进行相似的计算并合并同类项可得

$\begin{array}{l}{T}_{{\left|z\right|}^2}{T}_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)+\overline{a}{T}_{{\left|z\right|}^2}{T}_{{\overline{z}}^m}\left(z^p\right)+\overline{b}{T}_{{\left|z\right|}^2}{T}_{z^n}\left(z^p\right)+a{T}_{z^m}{T}_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)+{\left|a\right|}^2{T}_{z^m}{T}_{{\overline{z}}^m}\left(z^p\right)\\ +a\overline{b}{T}_{z^m}{T}_{z^n}\left(z^p\right)+b{T}_{{\overline{z}}^n}{T}_{{\left|z\right|}^2}\left(z^p\right)+\overline{a}b{T}_{{\overline{z}}^n}{T}_{{\overline{z}}^m}\left(z^p\right)+{\left|b\right|}^2{T}_{{\overline{z}}^n}{T}_{z^n}\left(z^p\right)\\ =\left[\frac{{\left(p+1\right)}^2}{{\left(p+2\right)}^2}+{\left|a\right|}^2\frac{p-m+1}{p+1}+{\left|a\right|}^2\frac{p+1}{p+n+1}\right]z^p+\overline{b}\frac{p+n+1}{p+n+2}{z}^{p+n}+a\frac{p+1}{p+2}{z}^{p+m}+a\overline{b}{z}^{p+m+n}\\ +b\frac{p-n+1}{p+2}{z}^{p-n}+\overline{a}\frac{p-m+1}{p+1}\frac{p-m+1}{p-m+2}{z}^{p-m}+\overline{a}b\frac{p-m-n+1}{p+1}{z}^{p-m-n}\cdot \end{array}$

同理可得

$\begin{array}{c}{T}_{{\left|z\right|}^2+\overline{a}{\overline{z}}^m+\overline{b}{z}^n}{T}_{{\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n}\left(z^p\right)=\left[\frac{{\left(p+1\right)}^2}{{\left(p+2\right)}^2}+{\left|b\right|}^2\frac{p-n+1}{p+1}+{\left|a\right|}^2\frac{p+1}{p+m+1}\right]z^p+a\frac{p+m+1}{p+m+2}{z}^{p+m}\\ +\overline{b}\frac{p+1}{p+2}{z}^{p+n}+a\overline{b}{z}^{p+m+n}+\overline{a}\frac{p-m+1}{p+2}{z}^{p-m}\\ +b\frac{p-n+1}{p+1}\frac{p-n+1}{p-n+2}{z}^{p-n}+\overline{a}b\frac{p-m-n+1}{p+1}{z}^{p-m-n}\cdot \end{array}$

当$m=n$ 时，观察等式两边$z^{p+n}$ 的系数得到下面的等式

$\overline{b}\frac{p+m+1}{p+m+2}+a\frac{p+1}{p+2}=a\frac{p+m+1}{p+m+2}+\overline{b}\frac{p+1}{p+2}\cdot$

比较系数可得$a=\overline{b}$ ；

当$m>n>0$ 时，观察等式两边$z^{p+n}$ 的系数得到下面的等式

$\overline{b}\frac{p+n+1}{p+n+2}=\overline{b}\frac{p+1}{p+2}.$

那么有$b=0$ ，同理比较$z^{p+m}$ 的系数，可得$a=0$ ；

当$m>n=0$ 时，观察等式两边$z^{p+m}$ 的系数得到等式

$a\frac{p+1}{p+2}=a\frac{p+m+1}{p+m+2}.$

于是得$a=0,b\in ℂ$ 。

下面证明充分性。

当$m=n$ 时，$a=\overline{b}$ ，此时$u\left(z\right)=\overline{u\left(z\right)}={\left|z\right|}^2+a{z}^m+\overline{a}{\overline{z}}^m$ ，显然满足$T_u{T}_u^{*}=T_u^{*}{T}_u$ ；当$m>n>0$ 时，$a=b=0$ ，此时$u\left(z\right)=\overline{u\left(z\right)}={\left|z\right|}^2$ ；当$m>n=0$ 时，$a=0,b\in ℂ$ ，此时$u\left(z\right)={\left|z\right|}^2+b$ ，$\overline{u\left(z\right)}={\left|z\right|}^2+\overline{b}$ ，那么$T_u{T}_u^{*}=T_{{\left|z\right|}^2+b}{T}_{{\left|z\right|}^2+\overline{b}}=T_{{\left|z\right|}^2}{T}_{{\left|z\right|}^2}+b{T}_{{\left|z\right|}^2}+\overline{b}{T}_{{\left|z\right|}^2}+{\left|b\right|}^{2}I$ ，$T_u^{*}{T}_u=T_{{\left|z\right|}^2+\overline{b}}{T}_{{\left|z\right|}^2+b}=T_{{\left|z\right|}^2}{T}_{{\left|z\right|}^2}+b{T}_{{\left|z\right|}^2}+\overline{b}{T}_{{\left|z\right|}^2}+{\left|b\right|}^{2}I$ ，其中$I$ 是恒等算子，此时满足$T_u{T}_u^{*}=T_u^{*}{T}_u$ 。

推论4.2 若$u\left(z\right)={\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ ，其中$m\ge n>0,a,b\in ℂ$ ，则在调和Bergman空间中$T_u{T}_u^{*}=T_u^{*}{T}_u$ 当且仅当$T_u$ 是自伴算子。

证明：先证明充分性。因为$T_u$ 是自伴算子，那么由自伴算子的定义有$T_u^{*}=T_u$ ，于是有$T_u{T}_u^{*}=T_u^{*}{T}_u$ 。

下证必要性。当$m=n$ 时，由定理4.1可知，此时$a=\overline{b}$ ，那么$u\left(z\right)=\overline{u\left(z\right)}={\left|z\right|}^2+a{z}^m+\overline{a}{\overline{z}}^m$ ，此时显然有$T_u^{*}=T_{\overline{u}}=T_u$ 。

当$m>n>0$ 时，根据定理4.1可得，$a=b=0$ ，那么此时$u\left(z\right)={\left|z\right|}^2$ ，于是$T_u^{*}=T_{\overline{u}}=T_u$ 成立。

推论4.3 $u\left(z\right)=c{\left|z\right|}^2+a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ ，$m\ge n\ge 0$ ，$a,b,c\in ℝ$ ，则在调和Bergman空间中，Toeplitz算子$T_u$ 正规当且$T_u$ 是自伴算子。

证明：充分性的证明同推论4.2的充分性，下证必要性。

当$c\ne 0$ 时，$\frac{u\left(z\right)}{c}={\left|z\right|}^2+\frac{a}{c}{z}^m+\frac{b}{c}{\overline{z}}^n$ ，由定理4.1可知$T_u^{*}=T_{\overline{u}}=T_u$ ，即$T_u$ 是自伴算子。

当$c=0$ ，$a,b$ 至少有一个不为零时，$u\left(z\right)=a{z}^m+b{\overline{z}}^n$ ，$\overline{u\left(z\right)}=a{\overline{z}}^m+b{z}^n$ 。又因为$T_u$ 正规等价于$T_u{T}_{\overline{u}}=T_{\overline{u}}{T}_u$ 。由定理3.4知，$\exists \alpha ,\beta \in ℂ$ 使得$u\left(z\right)=\alpha \overline{u\left(z\right)}+\beta$ ，即$a{z}^m+b{\overline{z}}^n=\alpha \left(a{\overline{z}}^m+b{z}^n\right)+\beta$ ，其中$\alpha ,\beta \in ℂ$ 。于是$\beta =0$ ，$m=n$ ，$\alpha a=a$ ，$\alpha b=b$ 。此时$\alpha =1$ ，$u\left(z\right)=\overline{u\left(z\right)}$ ，$T_u^{*}=T_{\overline{u}}=T_u$ ，即$T_u$ 是自伴的。当$a=b=0$ ，显然$T_u$ 是自伴的。