一类非线性微分方程的超越亚纯函数解

On Transcendental Meromorphic Solutions of One Type of Nonlinear Differential Equations

Abstract: This study employed Nevanlinna theory to examine finite-order meromorphic solutions of nonlinear differential equations with the form $f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}+P_d\left(z,f\right)=p_1\left(z\right){\text{e}}^{a_1\left(z\right)}+p_2\left(z\right){\text{e}}^{a_2\left(z\right)}+p_3\left(z\right){\text{e}}^{a_3\left(z\right)}$ Where $P_d\left(z,f\right)$ is polynomial of degree $d$ , $p_i\left(i=1,2,3\right)$ are non-zero constants, and $a_i\left(z\right)\left(i=1,2,3\right)$ are distinct non-constant polynomials. Corresponding examples are provided for illustration.

1. 引言与主要结果

本文使用Nevanlinna值分布理论的基本结果和标准记号[1] [2]。现对文中使用的主要符号做出如下

说明：设$f$ 是整个复平面$C$ 上的亚纯函数，$f$ 的级表示为$\rho \left(f\right)=\underset{r\to \infty }{\lim }\frac{{\log }^{+}T\left(r,f\right)}{\log r}$ ；对于$a\in C$ ，对于一

个不恒为零的亚纯函数$\alpha \left(z\right)$ ，若满足$T\left(r,\alpha \right)=S\left(r,f\right)$ ，(这里$S\left(r,f\right)=o\left(T\left(r,f\right)\right)$ $\left(r\to \infty \right)$ ，除去关于$r$ 的一个可能存在的有限例外集)则称$\alpha \left(z\right)$ 为$f\left(z\right)$ 的小函数。用$P_d\left(z,f\right)$ 表示$f\left(z\right)$ 的$d$ 次微分多项式$P_d\left(z,f\right)$ 为：

$P_d\left(z,f\right)={\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }{a}_{\lambda }}{\displaystyle \prod _{i=0}^{n_1}{\left(f^{\left(i\right)}\left(z\right)\right)}^{{\lambda }_i}},$ (1)

其中$a_{\lambda }$ 为$f$ 小函数，$\Lambda$ 是非负整数的有限指标集，且$\lambda =\left({\lambda }_0,{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_{n1}\right)$ 和

$d:=\mathrm{deg}\left(P_d\left(z,f\right)\right)={\max }_{\lambda \in \Lambda }\left\{{\displaystyle \sum _{i=0}^{n_1}{\lambda }_i}\right\}$ 。

如今，复微分方程在许多学科中发挥重要作用，非线性微分方程的整函数解(亚纯解)的存在性与唯一性的探讨与分类具有理论意义，大量学者运用Nevanlinna值分布理论，广泛研究一系列的微分方程(参见文献[3]-[8])，以下仅列举部分成果。

2011年，李平[3]仅得到如下结果

定理1.1设$n\ge 2$ 为整数，$p_1$ ，$p_2$ ，${\alpha }_1$ ，${\alpha }_2$ 为非零常数且满足${\alpha }_1\ne {\alpha }_2$ ，$Q_d\left(z,f\right)$ 为$f\left(z\right)$ 的微分多项式，次数至多为$n-2$ 次。若$f$ 是方程

$f^n\left(z\right)+Q_d\left(z,f\right)=p_1{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z}+p_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}$ (2)

的超越亚纯解，且满足$N\left(r,f\right)=S\left(r,f\right)$ ，则以下三种情况之一成立：

(i) $f\left(z\right)=c_0+c_1{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z/n}$ ；

(ii) $f\left(z\right)=c_0+c_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z/n}$ ；

(iii) $f\left(z\right)=c_1{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z/n}+c_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z/n}$ ，且$a_1+a_2=0$ ，其中$c_0$ 为$f\left(z\right)$ 的小函数，$c_j$ 为常数并且满足$c_j^n=p_j,j=1,2$ 。

2020年刘慧芳和毛志强[6]对减弱定理1.1中的限制条件$d\le n-2$ ，并证明了如下定理。

定理1.2设$n\ge 2$ 为正整数，$P_d\left(z,f\right)$ 为关于$f$ 的次数不超过$d\le n-1$ 的微分多项式，系数为多项式，

$p_j,a_j\left(j=1,2\right)$ 为非零常数且满足$\frac{a_1}{a_2}\in \left\{\frac{t}{n},\frac{n}{t}:1\le t\le n\right\}$ 。若$f(z)$ 是方程(1.2)的亚纯解并满足

$N\left(r,f\right)=S\left(r,f\right)$ ，则以下两种情形之一成立：

(i) $f\left(z\right)={\gamma }_1\left(z\right)+c_1{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_{1}z}{n}},\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_2}=\frac{n}{t}$ ，

(ii) $f\left(z\right)={\gamma }_2\left(z\right)+c_2{\text{e}}^{\frac{{\alpha }_{2}z}{n}},\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_2}=\frac{t}{n}$ ，其中${\gamma }_j\left(z\right)$ 是$f\left(z\right)$ 的小函数，$c_j$ 为常数并且满足$c_j^n=p_j,j=1,2$ 。

2023年陈敏风[8]研究了方程(2)右边包含三项线性无关的指数函数，并得到定理1.3

定理1.3设$n\ge 3$ 为正整数，$P_d\left(z,f\right)$ 为关于$f$ 的次数不超过$d\le n-1$ 的微分多项式，系数为小函数，$p_j,\left(j=1,2,3\right)$ 为非零常数，且$a_j,\left(j=1,2,3\right)$ 为互异的非零常数，如果$f$ 为方程

$f^n\left(z\right)+P_d\left(z,f\right)=p_1{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z}+p_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}+p_3{\text{e}}^{{\alpha }_{3}z}$ (3)

的有限级亚纯解，并且满足$N\left(r,f\right)=S\left(r,f\right)$ 则以下两种情况成立：

(1) $f\left(z\right)=\gamma {\text{e}}^{\beta z}$ 其中$\gamma ，\beta$ 为非零常数，且满足${\gamma }^n=p_1$ (或$p_2$ 或$p_3$ ) $n\beta =a_1$ ($a_2$ 或$a_{\text{3}}$ )

而且必有$p_d\left(z,0\right)\equiv 0$ 并存在正整数$l_1,l_2,l_3$ 满足$\left\{l_1,l_2,l_3\right\}=\left\{1,2,3\right\}$ 以及互异的正整数$k_1,k_2$ 满足$1\le k_1,k_2\le d$ ，使得$a_{l_1}:a_{l_2}:a_{l_3}=n:k_1:k_2$ 。

(2) $T\left(r,f\right)\le 3\overline{N}\left(r,\frac{1}{f}\right)+S\left(r,f\right)$ 。

通过观察定理1.3，因此本文考虑到用$a{f}^{n-2}{f}^{″}+p_d\left(z,f\right)$ 取代将方程(3)中的$p_d\left(z,f\right)$ ，同时将互异非零常数$a_1,a_2,a_3$ 推广$a_j\left(z\right),\left(j=1,2,3\right)$ 为互异的非常数多项式，故得到如下定理。

定理A:设$n\ge 7$ 为正整数，$P_d\left(z,f\right)$ 为关于$f$ 的微分多项式且次数为$d\le n-5$ ，定义为(1)，$p_j\left(j=1,2,3\right)$ 为非零常数，且$a_j\left(z\right),\left(j=1,2,3\right)$ 为互异的非常数多项式且满足$\mathrm{deg}\left({\alpha }_i-{\alpha }_j\right)\ge 1\left(i\ne j\right)$ 。其中$a\in C\left(a\ne 0\right)$ ，如果$f$ 为方程

$f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}+P_d\left(z,f\right)=p_1{\text{e}}^{{\alpha }_1\left(z\right)}+p_2{\text{e}}^{{\alpha }_2\left(z\right)}+p_3{\text{e}}^{{\alpha }_3\left(z\right)}$ (4)

的有限级超越亚纯解，并满足$N\left(r,f\right)=S\left(r,f\right)$ ，则以下情况成立。

$f\left(z\right)=C{\text{e}}^{\beta z+\gamma }$ ，其中$C,\beta$ 为非零常数，${\alpha }_1\left(z\right),{\alpha }_2\left(z\right),{\alpha }_3\left(z\right)$ 均为一次多项式，且存在正整数$i_1,i_2,i_3$ 满足$\left\{i_1,i_2,i_3\right\}=\left\{1,2,3\right\}$ 及整数$j\left(1\le j\le d\right)$ 使得：

$n\beta ={{\alpha }^{\prime }}_{i_1}\left(z\right),\left(n-1\right)\beta ={{\alpha }^{\prime }}_{i_2}\left(z\right),j\beta ={{\alpha }^{\prime }}_{i_3}\left(z\right),$

系数满足$C^n=p_{i_1},a{C}^{n-1}\beta =p_{i_2}$ ，且$P_d\left(z,C{\text{e}}^{\beta z}\right)=p_{i_3}{\text{e}}^{{\alpha }_{i_3}\left(z\right)}$ 。

下面的例1.1-1.3说明满足定理A结论的亚纯解是存在的。

• 例1.1. $f\left(z\right)={\text{e}}^z$ 为微分方程

$f^7+f^5{f}^{″}+f^{″}={\text{e}}^{6z}+{\text{e}}^{7z}+{\text{e}}^z$

的解，此时$n=7$ ，$p_1=p_2=p_3=1$ ，${\alpha }_1\left(z\right)=7z$ ，${\alpha }_2\left(z\right)=6z$ ，${\alpha }_3\left(z\right)=z$ ，$\alpha =1$ ，$a$ 为任意非零

常数，$P_d\left(z,f\right)=f^{″}$ ，满足定理A的结论。

2. 引理

引理2.1 [9] (Clunie引理)设$f$ 为方程

$f^n\left(z\right)P\left(z,f\right)=Q\left(z,f\right)$

的一个超越亚纯解，其中$P\left(z,f\right),Q\left(z,f\right)$ 为关于$f$ 及其导数的多项式，系数为亚纯函数，记为$\left\{a_{\lambda }|\lambda \in I,I�指�集\right\}$ ，对所有的$\lambda \in I$ 满足$m\left(r,a_{\lambda }\right)=S\left(r,f\right)$ 。如果$Q\left(z,f\right)$ 关于$f$ 及其导数的总次数$\le n$ 则

$m\left(r,P\left(z,f\right)\right)=S\left(r,f\right)$

对所有$r$ 的成立，至多需除去一个对数测度有限的例外集E。

引理2.2 [10] (Cramer法则)，考虑线性方程组$AX=B$ 其中

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\text{and}B=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right).$

如果$\det \left(A\right)\ne 0$ ，那么该线性方程组有唯一解

$\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=\left(\frac{\det \left(A_1\right)}{\det \left(A\right)},\frac{\det \left(A_2\right)}{\det \left(A\right)},\cdots ,\frac{\det \left(A_n\right)}{\det \left(A\right)}\right),$

其中

$A_i=\left(\begin{array}{cccccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right),且i=1,2,\cdots ,n.$

引理2.3[11]设$n\ge 2$ ，$f_j\left(z\right)$ $\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$ 为亚纯函数，$g_j\left(z\right)$ $\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$ 为整函数并满足以下条件：

(1) ${\displaystyle \sum }_{j=1}^n{f}_j\left(z\right){\text{e}}^{g_j\left(z\right)}\equiv 0$ ；

(2) 当$1\le j<k\le n$ 时，$g_j\left(z\right)-g_k\left(z\right)$ 不为常数；

(3) 当$1\le j\le n$ ，$1\le h<k\le n$ 时，$T\left(r,f_j\left(z\right)\right)=o\left(T\left(r,{\text{e}}^{g_h\left(z\right)-g_k\left(z\right)}\right)\right),r\to \infty ,r\notin E$ ，其中$E\subset \left(1,\infty \right)$ 具有有限线性测度或对数测度，那么有$f_j\left(z\right)\equiv 0\left(j=1,\cdots ,n\right)$ 成立。

引理2.4 [11] (Hadamard分解定理)。设$f\left(z\right)$ 为复平面上的有穷级亚纯函数，级为$\rho \left(f\right)$ ，如果在$z=0$ 附近，有

$f\left(z\right)=a_k{z}^k+a_{k+1}{z}^{k+1}+\cdots \left(其中a_k\ne 0\right)$

则

$f\left(z\right)=z^k{\text{e}}^{Q\left(z\right)}\frac{P_1\left(z\right)}{P_2\left(z\right)},$

其中$p_1\left(z\right),p_2\left(z\right)$ 分别为$f\left(z\right)$ 非零点和极点的典型乘积，$Q\left(z\right)$ 为次数至多为$\rho \left(f\right)$ 的多项式。

3. 定理A的证明

假设方程(4)有一个亚纯解$f\left(z\right)$ 满足$N\left(r,f\right)=S\left(r,f\right)$ ，记

$h\left(z\right)=f^n+a{f}^{n-2}{f}^{\prime }+P_d\left(z,f\right)$

则方程(4)可化为

$h\left(z\right)=p_1{\text{e}}^{{\alpha }_1\left(z\right)}+p_2{\text{e}}^{{\alpha }_2\left(z\right)}+p_3{\text{e}}^{{\alpha }_3\left(z\right)}$ (5)

易证$f\left(z\right)$ 是超越的，否则，若$f\left(z\right)$ 为有理函数，则方程(5)左边为有理函数，由于$a_j\left(z\right),\left(j=1,2,3\right)$ 互异的非常数多项式，且$\mathrm{deg}\left({\alpha }_i-{\alpha }_j\right)\ge 1\left(i\ne j\right)$ 。故${\text{e}}^{a_j\left(z\right)}\left(j=1,2,3\right)$ 为超越整函数，因此右边是超越函数，左边是有理函数，矛盾。故$f\left(z\right)$ 是超越亚纯函数。

接下来将证明$f\left(z\right)$ 仅有有限多个零点，对方程(5)逐次求导两次，得到以下式子

$h^{\prime }\left(z\right)=p_1{{\alpha }^{\prime }}_1\left(z\right){\text{e}}^{{\alpha }_1\left(z\right)}+p_2{{\alpha }^{\prime }}_2\left(z\right){\text{e}}^{{\alpha }_2\left(z\right)}+p_3{{\alpha }^{\prime }}_3\left(z\right){\text{e}}^{{\alpha }_3\left(z\right)}$

$h^{″}(z)=p_1\left({{\alpha }^{″}}_1\left(z\right)+{\left({{\alpha }^{\prime }}_1\left(z\right)\right)}^2\right){\text{e}}^{{\alpha }_1\left(z\right)}+p_2\left({{\alpha }^{″}}_2\left(z\right)+{\left({{\alpha }^{\prime }}_2\left(z\right)\right)}^2\right){\text{e}}^{{\alpha }_2\left(z\right)}+p_3\left({{\alpha }^{″}}_3\left(z\right)+{\left({{\alpha }^{\prime }}_3\left(z\right)\right)}^2\right){\text{e}}^{{\alpha }_3\left(z\right)}$

故得到关于${\text{e}}^{{\alpha }_1\left(z\right)},{\text{e}}^{{\alpha }_2\left(z\right)},{\text{e}}^{{\alpha }_3\left(z\right)}$ 线性方程组：

$\{\begin{array}{l}h\left(z\right)=p_1{\text{e}}^{{\alpha }_1\left(z\right)}+p_2{\text{e}}^{{\alpha }_2\left(z\right)}+p_3{\text{e}}^{{\alpha }_3\left(z\right)}\\ h^{\prime }\left(z\right)=p_1{{\alpha }^{\prime }}_1\left(z\right){\text{e}}^{{\alpha }_1\left(z\right)}+p_2{{\alpha }^{\prime }}_2\left(z\right){\text{e}}^{{\alpha }_2\left(z\right)}+p_3{{\alpha }^{\prime }}_3\left(z\right){\text{e}}^{{\alpha }_3\left(z\right)}\\ h^{″}(z)=p_1\left({{\alpha }^{″}}_1\left(z\right)+{\left({{\alpha }^{\prime }}_1\left(z\right)\right)}^2\right){\text{e}}^{{\alpha }_1\left(z\right)}+p_2\left({{\alpha }^{″}}_2\left(z\right)+{\left({{\alpha }^{\prime }}_2\left(z\right)\right)}^2\right){\text{e}}^{{\alpha }_2\left(z\right)}+p_3\left({{\alpha }^{″}}_3\left(z\right)+{\left({{\alpha }^{\prime }}_3\left(z\right)\right)}^2\right){\text{e}}^{{\alpha }_3\left(z\right)}\end{array}$ (6)

其中$X_j={\text{e}}^{{\alpha }_j\left(z\right)}$ 由(6)得到系数矩阵为

$A\left(z\right)=\left(\begin{array}{ccc}{p}_1& p_2& p_3\\ p_1{{\alpha }^{\prime }}_1& p_2{{\alpha }^{\prime }}_2& p_3{{\alpha }^{\prime }}_3\\ p_1\left({{\alpha }^{″}}_1+{\left({{\alpha }^{\prime }}_1\right)}^2\right)& p_2\left({{\alpha }^{″}}_2+{\left({{\alpha }^{\prime }}_2\right)}^2\right)& p_3\left({{\alpha }^{″}}_3+{\left({{\alpha }^{\prime }}_3\right)}^2\right)\end{array}\right).$

其行列式为

$D_0\left(z\right)=\det A\left(z\right)=\left|\begin{array}{ccc}{p}_1& p_2& p_3\\ p_1{{\alpha }^{\prime }}_1& p_2{{\alpha }^{\prime }}_2& p_3{{\alpha }^{\prime }}_3\\ p_1\left({{\alpha }^{″}}_1+{\left({{\alpha }^{\prime }}_1\right)}^2\right)& p_2\left({{\alpha }^{″}}_2+{\left({{\alpha }^{\prime }}_2\right)}^2\right)& p_3\left({{\alpha }^{″}}_3+{\left({{\alpha }^{\prime }}_3\right)}^2\right)\end{array}\right|$

$D_0\left(z\right)$ 是一个有理函数，我们考虑

$D_1\left(z\right)=\left|\begin{array}{ccc}h& p_2& p_3\\ h^{\prime }& p_2{{\alpha }^{\prime }}_2& p_3{{\alpha }^{\prime }}_3\\ h^{″}& p_2\left({{\alpha }^{″}}_2+{\left({{\alpha }^{\prime }}_2\right)}^2\right)& p_3\left({{\alpha }^{″}}_3+{\left({{\alpha }^{\prime }}_3\right)}^2\right)\end{array}\right|$

接下来将分两种情况讨论：

情形1：若$D_0\left(z\right)\cancel{\equiv }0$

由引理2.2得

${\text{e}}^{{\alpha }_1\left(z\right)}=\frac{D_1\left(z\right)}{D_0\left(z\right)}$ (7)

将$D_1\left(z\right)$ 按第一列展开得到：

$D_1\left(z\right)=M_{11}\left(z\right)h-M_{21}\left(z\right)h^{\prime }+M_{31}\left(z\right)h^{″}$ (8)

其中

$\begin{array}{l}{M}_{11}\left(z\right)=\left|\begin{array}{cc}{p}_2{{\alpha }^{\prime }}_2& p_3{{\alpha }^{\prime }}_3\\ p_2\left({{\alpha }^{″}}_2+{\left({{\alpha }^{\prime }}_2\right)}^2\right)& p_3\left({{\alpha }^{″}}_3+{\left({{\alpha }^{\prime }}_3\right)}^2\right)\end{array}\right|=p_2{p}_3\left({{\alpha }^{\prime }}_2\left({{\alpha }^{″}}_3+{\left({{\alpha }^{\prime }}_3\right)}^2\right)-{{\alpha }^{\prime }}_3\left({{\alpha }^{″}}_2+{\left({{\alpha }^{\prime }}_2\right)}^2\right)\right),\\ M_{21}\left(z\right)=\left|\begin{array}{cc}{p}_2& p_3\\ p_2\left({{\alpha }^{″}}_2+{\left({{\alpha }^{\prime }}_2\right)}^2\right)& p_3\left({{\alpha }^{″}}_3+{\left({{\alpha }^{\prime }}_3\right)}^2\right)\end{array}\right|=p_2{p}_3\left(\left({{\alpha }^{″}}_3+{\left({{\alpha }^{\prime }}_3\right)}^2\right)-\left({{\alpha }^{″}}_2+{\left({{\alpha }^{\prime }}_2\right)}^2\right)\right),\\ M_{31}\left(z\right)=\left|\begin{array}{cc}{p}_2& p_3\\ p_2{{\alpha }^{\prime }}_2& p_3{{\alpha }^{\prime }}_3\end{array}\right|=p_2{p}_3\left({{\alpha }^{\prime }}_3-{{\alpha }^{\prime }}_2\right).\end{array}$

由于$\mathrm{deg}\left({\alpha }_i-{\alpha }_j\right)\ge 1$ ，${{\alpha }^{\prime }}_i\ne {{\alpha }^{\prime }}_j$ ，故$M_{31}\left(z\right)\ne 0$ 对(7)式微分得到

${{\alpha }^{\prime }}_{\text{1}}\left(z\right){\text{e}}^{{\alpha }_1\left(z\right)}=\frac{{D^{\prime }}_{\text{1}}\left(z\right)D_0\left(z\right)-D_1\left(z\right){D^{\prime }}_{\text{0}}\left(z\right)}{{\left(D_0\left(z\right)\right)}^2}.$ (9)

结合(7)和(9)消去${\text{e}}^{{\alpha }_1\left(z\right)}$ 得到

${D^{\prime }}_{\text{1}}\left(z\right)D_0\left(z\right)-D_1\left(z\right){D^{\prime }}_{\text{0}}\left(z\right)={{\alpha }^{\prime }}_{\text{1}}\left(z\right)D_1\left(z\right)D_0\left(z\right).$ (10)

将(8)带入(10)得到

${D^{\prime }}_{\text{1}}={M^{\prime }}_{\text{11}}h+M_{11}{h}^{\prime }-{M^{\prime }}_{\text{21}}{h}^{\prime }-{M^{\prime }}_{21}{h}^{″}+{M^{\prime }}_{\text{31}}{h}^{″}+M_{31}{h}^{‴}.$

将上式带入(10)整理得到关于$h$ 的三阶线性微分方程：

$A_1\left(z\right)h+A_2\left(z\right)h^{\prime }+A_3\left(z\right)h^{″}+A_4\left(z\right)h^{‴}=\text{0}$ (11)

其中系数$A_j\left(z\right)$ 为多项式

$\begin{array}{l}{A}_1\left(z\right)={M^{\prime }}_{\text{11}}{D}_0-M_{11}\left({D^{\prime }}_{\text{0}}+{{\alpha }^{\prime }}_{\text{1}}{D}_0\right),\\ A_2\left(z\right)=\left(\begin{array}{c}{M}_{11}-{M^{\prime }}_{\text{21}}\end{array}\right)D_0+M_{21}\left(\begin{array}{c}{D^{\prime }}_{\text{0}}+{{\alpha }^{\prime }}_{\text{1}}{D}_0\end{array}\right),\\ A_3\left(z\right)=\left(-M_{21}+{M^{\prime }}_{\text{31}}\right)D_0-M_{31}\left({D^{\prime }}_{\text{0}}+{{\alpha }^{\prime }}_{\text{1}}{D}_0\right),\\ A_4\left(z\right)=M_{31}{D}_0.\end{array}$ 特别的$A_4\left(z\right)=M_{31}\left(z\right)D_0\left(z\right)\cancel{\equiv }0$

将$h\left(z\right)=f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}+P_d\left(z,f\right)$ 带入(11)式整理得

$A_1\left(f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}\right)+A_2{\left(f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}\right)}^{\prime }+A_3{\left(f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}\right)}^{\prime \text{}\prime }+A_4{\left(f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}\right)}^{\prime \text{}\prime \text{}\prime }=Q\left(z\right)$ (12)

其中$Q\left(z\right)=-\left(A_1{P}_d+A_2{P^{\prime }}_d+A_3{P^{″}}_d+A_4{P^{‴}}_d\right)$ 且$Q\left(z\right)$ 是次数不超过$d$ 的微分多项式，为了简化(12)的左端，我们引入以下记号：

${\psi }_1\left(z\right)=\frac{{\left(f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}\right)}^{\prime }}{f^{n-5}},{\psi }_2\left(z\right)=\frac{{\left(f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}\right)}^{\prime \text{}\prime }}{f^{n-5}},{\psi }_3\left(z\right)=\frac{{\left(f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}\right)}^{\prime \text{}\prime \text{}\prime }}{f^{n-5}}$ (13)

将(12)两边除以$f^{n-5}$ 整理得到

$f^{n-5}R\left(z\right)=Q\left(z\right).$ (14)

其中

$R\left(z\right)=A_1{f}^5+a{A}_1{f}^3{f}^{″}+A_2{\psi }_1+A_3{\psi }_2+A_4{\psi }_3$ (15)

由于$d\ge n-6$ ，所以$n-5\ge d$ ，结合(14)和引理2.1得

$m\left(r,R\right)=O\left(\log r\right)$

另外由于$f\left(z\right)$ 仅有有限个极点，因此我们有

$T\left(r,R\right)=m\left(r,R\right)+N\left(r,R\right)=O\left(\log r\right),$

所以$R\left(z\right)$ 是一个有理函数，接下来将分以下两种子情况：

情形1.1：如果$R\left(z\right)\cancel{\equiv }0$

由(14)可得$f^{n-6}\left(fR\left(z\right)\right)=Q\left(z\right)$ .再次应用引理2.1得到$m\left(r,fR\left(z\right)\right)=O\left(\log r\right)$ ，同理$fR$ 极点有限，故$T\left(r,fR\right)=m\left(r,fR\right)+N\left(r,fR\right)=O\left(\log r\right)$ ，即$fR$ 为有理函数，因此$f=\left(fR\right)/R$ 必为有理函数，与$f\left(z\right)$ 为超越亚纯函数矛盾。

情形1.2：如果$R\left(z\right)\equiv 0$

由(15)式可得

$A_1{f}^5+a{A}_1{f}^3{f}^{″}=-\left(A_2{\psi }_1+A_3{\psi }_2+A_4{\psi }_3\right).$ (16)

我们断言$f$ 只能有有限多个零点，用反证法，假设$f$ 有无穷多个零点，任取一个零点$z_0$ 设其重数$p\ge 2$ 即$f\left(z_0\right)={\left(z-z_0\right)}^{p}g\left(z\right)$ ，其中$g\left(z_0\right)\ne \text{0}$ ，$z_0$ 且不为(16)式系数的零点，现在分析(16)式两边在$z_0$ 的零点重数。

左边项$A_1{f}^5$ 零点重数为$5p$ ，项$a{A}_1{f}^3{f}^{″}$ 的零点重数为$4p-2$ ，因为$p\ge 2$ ，所以$\text{4}p-2<5p$ ，因此左边整体的零点重数为$4p-2$ 。

右边项关键在${\psi }_3$ ，通过展开${\left(f^n+a{f}^{n-2}{f}^{\prime }\right)}^{\prime \text{}\prime \text{}\prime }$ 可知，存在一项形如$C{f}^{n-5}{\left(f^{\prime }\right)}^3{f}^{″}$ ($C$ 为非零常数)，除以$f^{n-5}$ 后得到$C{\left(f^{\prime }\right)}^3{f}^{″}$ ，不含$f$ ，因此该项在$z_0$ 处的零点重数为$4p-5$ ，由于$A_4\left(z\right)\cancel{\equiv }0$ ，且其他项含$f$ 的正幂项，故右边整体重数不超过$4p-5$ 。

因为$p\ge 2$ ，所以$\text{4}p-2>4p-5$ ，矛盾，当$p=1$ 时，左边重数为2，右边重数为−1，左右两边零点重数不相等，亦矛盾，从而$f$ 只有有限个零点。

情形2：若$D_0\left(z\right)\equiv 0$

如果$D_0\left(z\right)\equiv 0$ ，此时系数矩阵的秩小于3。但方程组(6)有解，因此增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，因此，$D_0\left(z\right)$ 的所有$3\times 3$ 子式都为零，这意味着$D_1\left(z\right)\equiv 0$

$D_1\left(z\right)=\left|\begin{array}{ccc}h& p_2& p_3\\ h^{\prime }& p_2{{\alpha }^{\prime }}_2& p_3{{\alpha }^{\prime }}_3\\ h^{″}& p_2\left({{\alpha }^{″}}_2+{\left({{\alpha }^{\prime }}_2\right)}^2\right)& p_3\left({{\alpha }^{″}}_3+{\left({{\alpha }^{\prime }}_3\right)}^2\right)\end{array}\right|\equiv 0$

将$D_1\left(z\right)\equiv 0$ 展开得到：

$M_{11}\left(z\right)h-M_{21}\left(z\right)h^{\prime }+M_{31}\left(z\right)h^{″}=0.$ (17)

将$h\left(z\right)=f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}+P_d\left(z,f\right)$ 带入(17)得：

$M_{11}\left(f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}\right)-M_{21}{\left(f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}\right)}^{\prime }+M_{31}{\left(f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}\right)}^{\prime \text{}\prime }=Q^{*}\left(z\right),$ (18)

其中$Q^{*}\left(z\right)=-\left[M_{11}{P}_d-M_{21}{P^{\prime }}_d+M_{31}{P^{″}}_d\right]$ ，其次数不超过$d$

定义：

${\xi }_1\left(z\right)=\frac{{\left(f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}\right)}^{\prime }}{f^{n-4}},{\xi }_2\left(z\right)=\frac{{\left(f^n+a{f}^{n-2}{f}^{″}\right)}^{\prime \text{}\prime }}{f^{n-4}}.$

将其带入(18)整理得到：

$f^{n-4}{R}^{*}\left(z\right)=Q^{*}\left(z\right).$ (19)

其中$R^{*}\left(z\right)=M_{11}{f}^4+a{M}_{11}{f}^2{f}^{\prime }-M_{21}{\xi }_1+M_{31}{\xi }_2$

由于$d\ge n-5$ ，所以$n-4\ge d$ ，结合引理2.1可得，$R^{*}\left(z\right)$ 为有理函数，若$R^{*}\left(z\right)\cancel{\equiv }0$ ，则类似情形1.1方法推出$f$ 为有理函数，故矛盾，因此$R^{*}\left(z\right)\equiv 0$ ，则得到

$M_{11}{f}^4+a{M}_{11}{f}^2{f}^{\prime }=M_{21}{\xi }_1-M_{31}{\xi }_2.$ (20)

假设$f$ 有无穷多个零点，任取一个零点$z_1$ 设其重数$p\ge 2$ 即$f\left(z_1\right)={\left(z-z_1\right)}^{p}g\left(z\right)$ 。其中$g\left(z_1\right)\ne \text{0}$ ，类似情形1.2的方法分析等式两边的零点重数不一样，故矛盾，因此$f$ 只有有限多个零点。

由于$f$ 是有限级超越亚纯函数，且只有有限多个零点和极点，由引理2.4 (Hadamard分解定理)，$f$ 可以表示为以下形式：

$f\left(z\right)=q\left(z\right){\text{e}}^{P\left(z\right)}$ (21)

其中$q\left(z\right)$ 是非零有理函数，$P\left(z\right)$ 是非常数多项式(若$P\left(z\right)$ 为常数，则$f$ 为有理函数，矛盾)。

将(21)带入(4)计算得：

$q^n{\text{e}}^{nP}+a{q}^{n-2}\left(q^{″}+2q^{\prime }{p}^{\prime }+q{p}^{″}+q{\left(p^{\prime }\right)}^2\right){\text{e}}^{\left(n-1\right)P}+P_d\left(z,q{\text{e}}^P\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^3{p}_j{\text{e}}^{\alpha j\left(z\right)}}$ (22)

由于$P_d$ 关于$f$ 及其导数的微分多项式，且$f\left(z\right)=q\left(z\right){\text{e}}^{P\left(z\right)}$ ，其任意阶导数均可写成${\text{e}}^p$ 乘以关于$q,q^{\prime },\cdots ,p,p^{\prime },p^{″},\cdots$ 的有理函数，故$P_d\left(z,q{\text{e}}^P\right)$ 可表示为：

$P_d\left(z,q{\text{e}}^P\right)={\displaystyle \sum _{m=0}^d{\beta }_m}\left(z\right){\text{e}}^{mP\left(z\right)}$ (23)

其中${\beta }_m$ 为有理函数，结合(22)得到：

$q^n{\text{e}}^{nP}+a{q}^{n-2}\left(q^{″}+2q^{\prime }{p}^{\prime }+q{p}^{″}+q{\left(p^{\prime }\right)}^2\right){\text{e}}^{\left(n-1\right)P}+{\displaystyle \sum _{m=0}^d{\beta }_m}\left(z\right){\text{e}}^{mP\left(z\right)}={\displaystyle \sum _{j=1}^3{p}_j{\text{e}}^{\alpha j\left(z\right)}}$ (24)

由引理2.3得，${\text{e}}^{nP},{\text{e}}^{\left(n-1\right)P},{\text{e}}^{mP}$ 与${\text{e}}^{{\alpha }_i}$ 线性独立，除非指数成比例，因此存在正整数$i_1,i_2,i_3$ ，使得$\left\{i_1,i_2,i_3\right\}=\left\{1,2,3\right\}$ ，整数$j\left(0\le j\le d\right)$ 满足

$nP\left(z\right)={\alpha }_{i_1}\left(z\right)+C_1,\left(n-1\right)P\left(z\right)={\alpha }_{i_2}\left(z\right)+C_2,jP\left(z\right)={\alpha }_{i_3}\left(z\right)+C_3.$ (25)

其中$C_1,C_2,C_3$ 为常数，对(25)分别求导，常数项消失，故得到：

$n{P}^{\prime }\left(z\right)={{\alpha }^{\prime }}_{i_1}\left(z\right),\left(n-1\right)P^{\prime }\left(z\right)={{\alpha }^{\prime }}_{i_2}\left(z\right),j{P}^{\prime }\left(z\right)={{\alpha }^{\prime }}_{i_3}\left(z\right).$ (26)

由此可得比例关系：

${{\alpha }^{\prime }}_{i_1}\left(z\right):{{\alpha }^{\prime }}_{i_2}\left(z\right):{{\alpha }^{\prime }}_{i_3}\left(z\right)=n:\left(n-1\right):j.$ (27)

由于比值为常数，此推出，${\alpha }_1\left(z\right),{\alpha }_2\left(z\right),{\alpha }_3\left(z\right)$ 均为一次多项式。故设

${\alpha }_{i_1}\left(z\right)=n\beta z+c_1,{\alpha }_{i_2}\left(z\right)=\left(n-1\right)\beta z+c_2,{\alpha }_{i_3}\left(z\right)=j\beta z+c_3,$ (28)

其中$\beta \ne 0,c_1,c_2,c_3$ 为常数。

代入(28)式第一个式子得到

$nP\left(z\right)=n\beta z+c_1+C_1\text{,}P\left(z\right)=\beta z+\gamma ,$ (29)

其中$\gamma =\left(c_1+C_1\right)/n$ 。

将$P\left(z\right)=\beta z+\gamma$ 带入原方程并结合(28)匹配指数，比较系数得到：

$q{\left(z\right)}^n=p_{i_1}{\text{e}}^{-C_1},aq{\left(z\right)}^{n-2}\left(q^{\prime }\left(z\right)+q\left(z\right)\beta \right)=p_{i_2}{\text{e}}^{-C_2},{\beta }_j\left(z\right)=p_{i_3}{\text{e}}^{-C_3},$ (30)

由于$q{\left(z\right)}^n$ 为常数，故$q\left(z\right)$ 必为常数，记$q\left(z\right)=C$ (非零常数)，则$q{\left(z\right)}^{\prime }=0$ ，调整常数，可设

$C^n=p_{i_1},a{C}^{n-1}\beta =p_{i_2},{\beta }_j=p_{i_3}.$ (31)

其中${\beta }_j\left(z\right)$ 是微分多项式$P_d\left(z,C{\text{e}}^{\beta z}\right)$ 中对应${\text{e}}^{j\beta z}$ 项的系数，其他${\beta }_m\equiv 0$ ，故

$P_d\left(z,C{\text{e}}^{\beta z}\right)=p_{i_3}{\text{e}}^{{\alpha }_{i_3}\left(z\right)}.$ (32)

至此，定理A完全得证。

4. 结论

本文研究了带导数项$a{f}^{n-2}{f}^{″}$ 的非线性微分方程，在$a\ne 0$ 且$a_j\left(z\right)$ 为非常数多项式的条件下，证明了该方程存在有限极点的超越亚纯解，则解必为简单的指数函数，$a_j\left(z\right)$ 必须退化为一次多项式，其导数之间满足严格的比例关系:$n:\left(n-1\right):j$ 。该结果推广了经典的Li–Yang型定理，此类方程也应用数学物理中的若干模型，未来可探讨$k>3$ 的情形。

NOTES

^*通讯作者。