六自由度并联平台无约束运动阶段的改进自抗扰控制

Research on Active Disturbance Rejection Motion Control Algorithm for the Unconstrained Motion Phase of a Printing Press Sleeve Assembly Robot

摘要: 针对六自由度Stewart并联平台在无约束运动阶段的高精度轨迹跟踪控制需求，本文开展基于扩张状态观测器(ESO)的自抗扰控制(ADRC)方法研究。针对平台在自由运动空间中的模型不确定性和外部扰动问题，设计了完整的自抗扰控制框架。首先建立平台的无约束运动动力学模型，然后提出改进的稳定化自抗扰控制算法，通过扩张状态观测器实时估计并补偿总扰动，引入自适应ESO带宽调整和饱和非线性函数，解决控制输入震荡问题，实现参数在线自整定。

Abstract: To address the high-precision trajectory tracking control requirements of a six-degree-of-freedom Stewart parallel platform during its unconstrained motion phase, this paper conducts research on an Active Disturbance Rejection Control (ADRC) method based on an Extended State Observer (ESO). Aiming at the problems of model uncertainty and external disturbances when the platform operates in free-motion space, a complete ADRC framework is designed. Firstly, the unconstrained motion dynamics model of the platform is established. Then, an improved stabilized ADRC algorithm is proposed. This algorithm utilizes the ESO to estimate and compensate for the total disturbance in real time. By introducing an adaptive ESO bandwidth adjustment mechanism and a saturation nonlinear function, it solves the control input oscillation issue and achieves online parameter self-tuning.

1. 引言

并联机器人凭借高精度、高刚度与强承载能力等优势，已在航空航天、精密制造及医疗器械等领域广泛应用。作为其典型代表，六自由度Stewart平台集成了多传感器、先进驱动与实时控制技术，是现代机电一体化的集中体现。该平台通过六根伺服支链的协同运动实现空间六自由度精确控制。然而，其多刚体、强耦合、非线性的特性也导致了模型不确定等问题，对高精度控制构成严峻挑战。因此，实现高性能控制需深入探究其机构构型与运动学特性，建立精确动力学模型，并设计先进控制策略。

自抗扰控制(ADRC)是一种基于扩张状态观测器(ESO)的先进控制方法。其核心思想是将系统内部不确定性与外部扰动统一视为“总扰动”并进行实时估计与补偿，从而对模型参数变化和外部干扰展现出极强鲁棒性。ESO具有模型依赖度低、动态响应快、结构简单等优点。关于并联机器人的控制方法，已有多项研究提出了不同的解决方案。对于自抗扰控制来说，虽然结构简单且易于实现，但其控制精度和鲁棒性有限，难以适应复杂工况下的控制需求。在自抗扰控制方面，在控制输入平滑性、参数自适应机制等方面仍有改进空间。

基于上述分析，本文提出一种改进的稳定化自抗扰控制算法。该算法在标准自抗扰控制框架基础上，通过引入自适应ESO带宽调整机制、设计饱和非线性函数以及实施控制输入平滑处理，旨在解决标准自抗扰控制在并联平台应用中存在的控制输入震荡问题，同时保持其优良的抗扰性能，并实现参数在线自适应整定。本文将首先建立六自由度Stewart平台的动力学模型，继而详细阐述改进自抗扰控制器的设计与实现，分析其稳定性与收敛特性，最后通过仿真实验，与传统Proportional-Integral-Derivative Control (PID)、标准ADRC等控制方法进行综合对比，验证所提方法的优越性。

2. 六自由度并联机器人分析与建模

2.1. 结构分析

六自由度Stewart平台是一种典型的并联机构，由上下两个平台通过六根可独立伸缩的驱动支链连接而成。该平台采用对称分布设计，具有结构刚度大、承载能力强、精度高等优点。上平台(动平台)通过球节与连杆相连，下平台(静平台)通过基座固定，连杆通过球节连接，使得平台可以在六个自由度上进行运动：三个平移自由度(沿x、y和z轴)和三个旋转自由度(绕x、y和z轴)，通过精确控制各杆长度实现动平台在空间中的六自由度运动[1]。

2.2. 运动学分析

六自由度Stewart平台结构简图如图1所示。

Figure 1. Structural diagram of the six-degree-of-freedom Stewart platform

图1. 六自由度Stewart平台结构简图

上平台(动平台)：如图中{A}坐标系所示，呈椭圆形状，其形心为点P。平台周边均匀分布六个铰链点A₁~A₆，通过球节与各连杆相连。下平台(静平台)：如图1中{C}坐标系所示，为多边形结构，其形心为点O。平台周边均匀分布六个铰链点B₁~B₆，通过基座固定。

固定坐标系{C}：固联于下平台，原点为O点，基矢量分别为x_C、y_C、z_C，其中z_C轴垂直向上。动坐标系{A}：固联于上平台，原点为P点，基矢量分别为x_A、y_A、z_A。此坐标系随上平台运动。位姿是描述刚体在三维空间中位置和姿态的完整信息。对于六自由度Stewart平台，位姿由6个独立参数[2]确定：3个平移自由度(位置)和3个旋转自由度(姿态)。

动平台中心点P在固定坐标系中的坐标：

$P=\left[\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

式中，x，y，z为x_C、y_C、z_C。

绕各坐标轴的基本旋转矩阵以Z-Y-X欧拉角展开：

$R=\left[\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}\cos \psi \cos \theta & \cos \psi \sin \theta \sin \varphi -\sin \psi \cos \varphi & \cos \psi \sin \theta \cos \varphi +\sin \psi \sin \varphi \end{array}\\ \begin{array}{ccc}\sin \psi \cos \theta & \sin \psi \sin \theta \sin \varphi -\cos \psi \cos \varphi & \sin \psi \sin \theta \cos \varphi -\cos \psi \sin \varphi \end{array}\\ \begin{array}{ccc}-\sin \theta & \cos \theta \sin \varphi & \cos \theta \cos \varphi \end{array}\end{array}\right]$

式中$\varphi$ 、$\theta$ 、$\psi$ 、为绕X、Y、Z轴旋转，分别描述动平台偏转、俯仰、横滚角。

令${}^{A}a{}_i={\left[{\alpha }_{ix},{\alpha }_{iy},{\alpha }_{iz}\right]}^{\text{T}},{}^{C}b{}_i={\left[b_{ix},b_{iy},b_{iz}\right]}^{\text{T}}$

式中，${}^{A}a{}_i$ 为上平台铰链点$a_i$ 在动坐标系{A}中的坐标；${}^{C}b{}_i$ 为下平台铰链点$b_i$ 在固定坐标系{C}中的坐标；可得，杆长矢量在固定坐标系{C}中表示为

$L_i=\sqrt{{\left(P+R\cdot {}^{A}a{}_i-{}^{C}b{}_i\right)}^{\text{T}}\left(P+R\cdot {}^{A}a{}_i-{}^{C}b{}_i\right)}$

P为动坐标系原点在固定坐标系中的位置向量；R为动坐标系相对于固定坐标系的旋转矩阵。可得：

$\begin{array}{l}\Delta x_i=x+\left[\cos \psi \cos \theta \right]a_{ix}+\left[\cos \psi \sin \theta \sin \varphi -\sin \psi \cos \varphi \right]a_{iy}+\left[\cos \psi \sin \theta \cos \varphi +\sin \psi \sin \varphi \right]a_{iz}-b_{ix}\\ \Delta y_i=y+\left[\sin \psi \cos \theta \right]a_{ix}+\left[\sin \psi \sin \theta \sin \varphi -\cos \psi \cos \varphi \right]a_{iy}+\left[\sin \psi \sin \theta \cos \varphi -\cos \psi \sin \varphi \right]a_{iz}-b_{iy}\\ \Delta z_i=z+\left[-\sin \theta \right]a_{iz}+\left[\cos \theta \sin \varphi \right]a_{iy}+\left[\cos \theta \cos \varphi \right]a_{iz}-b_{iz}\end{array}$

最终杆长公式：

$L_i=\sqrt{{\left(\Delta x_i\right)}^2+{\left(\Delta y_i\right)}^2+{\left(\Delta z_i\right)}^2}$

当给定任意上平台姿态P、$\varphi$ 、$\theta$ 、$\psi$ 的值时可以求解出上平台处于给定姿态时对应杠长，并且通过控制6条机械臂长度可使上平台运动到指定位姿。

2.3. 动力学建模

拉格朗日法是建立并联机构动力学模型的有效方法[3]，其核心是通过系统的动能和势能分析来推导动力学方程。该方法避免了复杂的受力分析，特别适用于多自由度系统的建模。

拉格朗日函数L定义为系统的动能K和势能P之差，即：

$L=K-P$

对于六自由度Stewart平台，广义坐标选取为$q={\left[x,y,z,\psi ,\theta ,\varphi \right]}^{\text{T}}$ ，拉格朗日方程表示为：

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=\tau$

式中：$\tau$ 为广义力向量。

建立六自由度Stewart平台的拉格朗日矩阵形式的动力学方程为：

$M\left(q\right)\ddot{q}+C\left(q,\dot{q}\right)\dot{q}+G\left(q\right)=J^{\text{T}}\tau$

式中：$M\left(q\right)$ 为正定对称惯性矩阵；$C\left(q,\dot{q}\right)$ 为向心和哥氏力的系数矩阵；$G\left(q\right)$ 为重力项；$J^{\text{T}}$ 为平台的雅可比矩阵；$\dot{q}$ 为广义速度向量(一阶时间导数)；$\ddot{q}$ 为广义加速度向量(二阶时间导数)。

由于机器人系统存在未建模动态及多种不确定空间环境干扰，动力学方程[4]改写为：

$M\left(q\right)\ddot{q}+C\left(q,\dot{q}\right)\dot{q}+G\left(q\right)=J^{\text{T}}\tau +d\left(t\right)$(1)

式中：$d\left(t\right)$ 为集总干扰项，包含参数不确定性、未建模动态和外部扰动。

3. 自抗扰控制器设计

针对六自由度Stewart并联平台在无约束运动阶段的高精度轨迹跟踪控制需求，本节设计一种改进的稳定化自抗扰控制方法[5]。该控制器在标准自抗扰控制框架基础上，通过引入自适应扩张状态观测器(ESO) [6]带宽调整、饱和非线性函数以及控制输入平滑处理机制，在保持强抗扰性能的同时有效抑制控制输入震荡，实现参数在线自适应整定。已有研究表明，ESO在实际工程应用中能够有效抑制不确定性因素对系统的影响，增强控制系统的稳定性和精度，具有良好的实用性和有效性[7]。

根据第二章建立的六自由度Stewart平台动力学方程，定义状态变量：

$\begin{array}{l}{x}_1=q\\ x_2=\dot{q}\end{array}$

将动力学方程改写为状态空间形式：

$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=f\left(x_1,x_2\right)+b_0\tau +w\left(t\right)\end{array}$

其中$b_0$ 为控制增益矩阵；$w\left(t\right)$ 为系统总扰动，包含模型不确定性、未建模动态及外部扰动。

$f\left(x_1,x_2\right)=M^{-1}\left(x_1\right)\left[-C\left(x_1,x_2\right)x_2-G\left(x_1\right)\right]$

$b_0=M^{-1}\left(x_1\right)J^{\text{T}}$

$w\left(t\right)=M^{-1}\left(x_1\right)d\left(t\right)$

将总扰动$w\left(t\right)$ 扩张为新的状态变量$x_3$ ，得到扩张状态系统：

$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=x_3+b_0\tau \\ {\dot{x}}_3=h\left(t\right)\end{array}$

建立改进的扩张状态观测器：

$\{\begin{array}{l}{\dot{z}}_1=z_2-{\beta }_1{\varphi }_1\left(z_1-x_1\right)\\ {\dot{z}}_2=z_3-{\beta }_2{\varphi }_2\left(z_1-x_1\right)+b_0\tau \\ {\dot{z}}_3=-{\beta }_3{\varphi }_3\left(z_1-x_1\right)\end{array}$ (2)

式中：$z_1,z_2,z_3$ 为位置、速度和总扰动的估计值；${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 为观测器增益矩阵；${\varphi }_1(·),{\varphi }_2(·),{\varphi }_3(·)$ 为改进的饱和非线性函数。

3.1. 自适应ESO带宽调整机制

为增强ESO对不同工况的适应性，本文提出自适应ESO带宽调整机制。观测器增益矩阵采用带宽参数化方法设计：

$\begin{array}{l}{\beta }_1=3{\omega }_{0}I\\ {\beta }_2=3{\omega }_0^{2}I\\ {\beta }_3=3{\omega }_0^{3}I\end{array}$

其中${\omega }_0$ 为观测器带宽，根据跟踪误差自适应调整：

${\omega }_0\left(t\right)={\omega }_1+k_1\Vert e\left(t\right)\Vert +k_2\Vert \dot{e}\left(t\right)\Vert$

式中：${\omega }_1$ 为基础带宽；$k_1,k_2$ 为调整增益；$e\left(t\right)=q_d\left(t\right)-z_1\left(t\right)$ 为跟踪误差；为防止带宽过大导致噪声放大，设置限幅${\omega }_0^{\min }\le {\omega }_0\left(t\right)\le {\omega }_0^{\max }$ 。

3.2. 改进的饱和非线性函数设计

针对标准非线性函数在误差较大时可能导致控制输入剧烈震荡的问题[8]，本文设计如下饱和非线性函数：

${\varphi }_i\left(e_i,{\alpha }_i,{\delta }_i,M_i\right)=\{\begin{array}{l}{M}_i\cdot sat\left(\frac{e}{\Vert e\Vert }\right)\Vert e\Vert >e_{\max }\\ fal\left(e,{\alpha }_i,{\delta }_i\right)e_{\min }\le \Vert e\Vert \le e_{\max }\\ K_i\cdot e\Vert e\Vert <e_{\min }\end{array}$

其中，$fal$ 函数定义为

$fal\left(e,\alpha ,\delta \right)=\{\begin{array}{l}{\Vert e\Vert }^{\alpha }\cdot sign\left(e\right)\Vert e\Vert >\delta \\ e/{\delta }^{1-\alpha }\Vert e\Vert \le \delta \end{array}$

4. 改进的稳定化自抗扰控制器设计

针对六自由度Stewart平台六个自由度的轨迹跟踪控制，定义状态跟踪误差为$e=q_d-z_1$ ，其中$q_d$ 为期望轨迹。

4.1. 非线性状态误差反馈律设计

基于扩张状态观测器提供的状态估计$z_1$ ，$z_2$ 和扰动估计$z_3$ ，设计非线性状态误差反馈律：

$\tau =b_0^{-1}\left[u_0-z_3\right]$ (3)

其中$u_0$ 为基于状态误差的非线性反馈控制量：

$u_0=K_p{\varphi }_p\left(e,{\alpha }_p,{\delta }_p\right)+K_d{\varphi }_d\left(\dot{e},{\alpha }_d,{\delta }_d\right)$

式中：

$K_p,K_d$ 为比例和微分增益矩阵；

${\varphi }_p(·),{\varphi }_d(·)$ 为改进的饱和非线性函数；

$\dot{e}={\dot{q}}_d-z_2$ 为速度跟踪误差。

4.2. 控制输入平滑处理

为抑制控制输入震荡，引入控制输入平滑处理机制。前馈–反馈复合控制：

$\tau ={\tau }_{ff}+{\tau }_{fb}$

其中前馈项${\tau }_{ff}$ 基于期望轨迹的动力学计算，反馈项${\tau }_{fb}$ 基于误差设计。低通滤波：

${\tau }_f\left(s\right)=\frac{1}{T_{f}s+1}\tau \left(s\right)$ ${\tau }_f\left(s\right)=\frac{1}{T_{f}s+1}\tau \left(s\right)$

其中$T_f$ 为滤波时间常数，根据系统带宽选择。变化率限制：

$\left|{\dot{\tau }}_i\right|\le {\dot{\tau }}_{\max },i=1,2,3,4,5,6$

4.3. 参数在线自整定机制

为实现控制器参数的自适应调整，设计基于模糊逻辑的参数在线自整定机制[9]：

输入变量：跟踪误差$e$ 及其变化率$\dot{e}$ ；输出变量：控制器增益调整量$\Delta K_p,\Delta K_d$ ；模糊规则：如IF误差大且变化快THEN增加增益，IF误差小且变化慢THEN减小增益；

参数更新：$\begin{array}{l}{K}_p\left(t\right)=K_{p0}+\Delta K_p\left(t\right)\\ K_d\left(t\right)=K_{d0}+\Delta K_d\left(t\right)\end{array}$

5. 稳定性证明

为保证系统在改进的稳定化自抗扰控制器作用下的稳定运行，下面对控制系统在扩张状态观测器和自抗扰控制器作用下的稳定性进行分析。

5.1. 扩张状态观测器收敛性证明

令扩张状态观测器观测值和系统实际状态量的误差为：

$\begin{array}{l}{e}_1=z_1-q\\ e_2=z_2-\dot{q}\\ e_3=z_3-f_{total}\end{array}$

其中：$f_{total}={{\rm M}}^{-1}\left[d\left(t\right)-\Delta C\dot{q}-\Delta G\right]$ 为总扰动。

由公式(1)和(2)可得扩张状态观测器误差方程：

$\{\begin{array}{l}{\dot{e}}_1=e_2-{\beta }_1{\varphi }_1\left(e_1\right)\\ {\dot{e}}_2=e_3-{\beta }_2{\varphi }_2\left(e_1\right)\\ {\dot{e}}_3=-{\beta }_3{\varphi }_3\left(e_1\right)-f_{total}\end{array}$

通过选择合适的扩张状态观测器参数使得矩阵A为Hurwitz矩阵[10]，其中：

$A=\left[\begin{array}{ccc}-{\beta }_1{k}_1& I& 0\\ -{\beta }_2{k}_2& 0& I\\ -{\beta }_3{k}_3& 0& 0\end{array}\right]$

其中$k_1,k_2,k_3$ 为非线性函数的Lipschitz常数。则存在正定矩阵$P$ 满足$A^{{\rm T}}P+PA=-P$ ，其中$I$ 为单位矩阵。因此通过选择合适的${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ ，即可使特征值全部位于左半平面，观测器误差收敛。

5.2. 改进的自抗扰控制器稳定性及收敛性证明

进行闭环系统稳定性分析。定义跟踪误差$e=q_d-q$ ，构造Lyapunov函数为：

$V=\frac{1}{2}{\dot{e}}^{\text{T}}M\dot{e}+\frac{1}{2}{e}^{\text{T}}{K}_{p}e+V_{eso}$

其中$V=\frac{1}{2}{e}_1^{\text{T}}{P}_1{e}_1+\frac{1}{2}{e}_2^{\text{T}}{P}_2{e}_2+\frac{1}{2}{e}_3^{\text{T}}{P}_3{e}_3$ 为ESO的Lyapunov函数。

对V求时间导数，由(1)和(3)可推导出：

$\begin{array}{c}\dot{V}={\dot{e}}^{\text{T}}M\ddot{e}+\frac{1}{2}{\dot{e}}^{\text{T}}\dot{M}\dot{e}+{\dot{e}}^{\text{T}}{K}_{p}e+{\dot{V}}_{eso}\\ ={\dot{e}}^T\left[M{\ddot{q}}_d-\left(C\dot{q}+G\right)-\tau -d\left(t\right)\right]+\frac{1}{2}{\dot{e}}^{\text{T}}\dot{M}\dot{e}+{\dot{e}}^{\text{T}}{K}_{p}e+{\dot{V}}_{eso}\end{array}$

代入改进的自抗扰控制律$\tau =b_0^{-1}\left[K_p{\varphi }_p\left(e\right)+K_d{\varphi }_d\left(\dot{e}\right)-z_3\right]$ ，并利用斜对称性$\dot{M}-2C$ 的性质，可得：

$\dot{V}\le -{\dot{e}}^{\text{T}}{K}_d\dot{e}+{\dot{e}}^{\text{T}}{e}_3-\alpha V_{eso}+\nu h_{\max }$

其中$\alpha ,\nu >0$ 为常数，$h_{\max }$ 为扰动导数上界。

应用Young不等式：

${\dot{e}}^{\text{T}}{e}_3\le \frac{1}{2\eta }{\Vert \dot{e}\Vert }^2+\frac{\eta }{2}{\Vert e_3\Vert }^2$

其中$\eta >0$ 为设计参数。则：

$\dot{V}\le -\left({\lambda }_{\min }\left(K_d\right)-\frac{1}{2\eta }\right){\Vert \dot{e}\Vert }^2-\alpha V_{eso}+\frac{\eta }{2}{\Vert e_3\Vert }^2+\gamma h_{\max }$

当选择$\eta$ 满足${\lambda }_{\min }\left(K_d\right)>\frac{1}{2\eta }$ ，且ESO估计误差有界$\Vert e_3\Vert \le \epsilon$ 时，有：

$V\le -{\lambda }_1{\Vert \dot{e}\Vert }^2-\alpha V_{eso}+{\lambda }_2$

其中${\lambda }_1={\lambda }_{\min }\left(K_d\right)-\frac{1}{2\eta }>0,{\lambda }_2=\frac{\eta }{2}{\epsilon }^2+\gamma h_{\max }$ 。

5.3. 收敛性分析

当系统进入稳态时，$\dot{V}=0$ ，此时：

${\Vert \dot{e}\Vert }^2\le \frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1},V_{cso}\le \frac{{\lambda }_2}{\alpha }$

跟踪误差$e$ 满足：

$\Vert e\Vert \le \sqrt{\frac{2}{{\lambda }_{\min }\left(K_p\right)}\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}+\frac{{\lambda }_2}{\alpha }\right)}$

可知系统在Lyapunov意义下是渐近稳定的，跟踪误差能在有限时间内收敛到平衡点附近的有界区域内。因此，系统是输入状态稳定的，跟踪误差最终有界。

6. 仿真分析

为验证改进自抗扰控制算法(Improved ADRC)在六自由度Stewart平台轨迹跟踪控制中的有效性，采用MATLAB仿真软件搭建多算法对比模型进行仿真测试。对Stewart平台的X、Y、Z三个平动自由度进行仿真分析，观察系统在不同控制策略下的轨迹跟踪性能。其中，各控制器的参数设定如表1所示。

Table 1. System resulting data of standard experiment

表1. 改进自抗扰控制算法控制器参数表统计结果数据

控制器类型	参数名称	参数值
改进ADRC	控制器增益$k_p$	180
	控制器增益$k_d$	35
	控制增益$b_0$	1.0
	ESO增益${\beta }_1$	120
	ESO增益${\beta }_2$	350
	ESO增益${\beta }_3$	900
PID控制器	比例增益$K_p$	60
	积分增益$K_i$	1
	微分增益$K_d$	8

续表

	滑模面参数$\lambda$	15
	控制增益$k$	12
平台参数	质量$m$	150.0 kg
	刚度系数$k$	120.0 N/m
	阻尼系数$c$	8.0 N∙s/m

仿真1。为验证控制算法的基本跟踪能力[11]，设定平台初始位置均为零(X = 0, Y = 0, Z = 0)，原轨迹为复合平滑信号，包含2~5秒的平滑过渡段和5~10秒的稳定跟踪段，得到期望轨迹曲线如图2所示。

Figure 2. Desired trajectory curve

图2. 期望轨迹曲线

由图2可知，X方向在2~5秒内从0平滑过渡到2 cm，Y方向从0平滑过渡到0.8 cm，Z方向从0平滑过渡到1.5 cm，之后分别以0.3、0.2、0.5 cm的幅值进行正弦波动，形成具有实际工程意义的参考轨迹。

仿真2。为验证改进ADRC控制算法的跟踪性能，将ADRC控制下的跟踪轨迹与原轨迹在同一坐标系中进行对比分析，结果如图3~5所示。

在改进ADRC控制下，系统的跟踪误差始终维持在较小范围内。X方向最大跟踪误差为0.032 cm，Y方向最大跟踪误差为0.012 cm，Z方向最大跟踪误差为0.033 cm。在5秒左右的脉冲扰动期间，ADRC控制能够快速抑制扰动影响，在0.5秒内恢复稳定跟踪状态，验证了其良好的抗扰能力。各方向的具体误差如表2所示。

Figure 3. Comparison of ADRC tracking trajectory and desired trajectory in the x-direction

图3. X方向ADRC跟踪轨迹与期望轨迹对比

Figure 4. Comparison of ADRC tracking trajectory and desired trajectory in the y-direction

图4. Y方向ADRC跟踪轨迹与期望轨迹对比

Figure 5. Comparison of ADRC tracking trajectory and desired trajectory in the z-direction

图5. Z方向ADRC跟踪轨迹与期望轨迹对比

Table 2. Improved ADRC controller parameter results

表2. 改进自抗扰控制算法控制器参数表统结果数据

方向	最大误差(cm)	平均误差(cm)
X方向	0.032	0.0040
Y方向	0.012	0.0034
Z方向	0.033	0.0054

仿真3。多算法控制性能对比验证，为验证改进ADRC控制算法的优越性，在相同初始条件、期望轨迹和扰动环境下，将改进自抗扰控制器(Improved ADRC)与PID控制器(PID)和滑模控制器(SMC) [12]进行仿真对比。

Figure 6. Algorithm comparison in the X-direction

图6. X方向算法仿真对比

Figure 7. Algorithm comparison in the Y-direction

图7. Y方向算法仿真对比

Figure 8. Algorithm comparison in the Z-direction

图8. Z方向算法仿真对比

Table 3. Statistical results of algorithm errors

表3. 算法误差统计

方向	ADRC误差平均值(cm)	PID误差(cm)	滑膜控制误差平均值(cm)
X方向	0.00412	0.00442	0.00441
Y方向	0.00343	0.00361	0.00351
Z方向	0.00544	0.00575	0.00558

由图6~8，表3可知，在相同初始状态和期望轨迹条件下，改进ADRC控制器的跟踪误差平均值最小，表现出最强的抗干扰能力。PID控制器和滑模控制器由于参数被削弱且受到测量噪声影响，跟踪误差大，跟踪精度低于改进ADRC。与PID相比，由改进ADRC在X方向的误差降低了6.79%，Y方向降低了4.99%，Z方向降低了5.39%；与滑模控制器相比，改进ADRC在X方向的误差降低了3.96%，Y方向降低了7.80%%，Z方向降低了4.39%。总体来看，改进ADRC相比PID控制器总体性能提升+5.66%，相比滑模控制器总体性能提升+5.11%，证明了改进ADRC在轨迹跟踪精度方面的优越性。

7. 实验验证

实验采用印刷机轴套装配机器人(如图9)，运动机构为Stewart六自由度并联平台，使用Trio PCI208运动控制卡完成多杆协同控制[13]，Trio PCI208运动控制卡允许同时控制6个伺服驱动器，为验证改进自抗扰控制算法的性能提供了高精度的数值。Stewart六自由度并联平台如图10所示。

Figure 9. Printing press sleeve assembly robot

图9. 印刷机轴套装配机器人

Figure 10. Stewart six-degree-of-freedom parallel platform

图10. Stewart六自由度并联平台

为验证改进自抗扰控制算法的可行性，对Stewart六自由度并联平台，进行实验验证，使用陀螺仪检测动平台的角度变化，将所测得平台的姿态数据保存至Excel中，导入MATLAB软件进行曲线绘制。

实验1。为验证控制器的鲁棒性，在平台稳定时加入5 kg的负载干扰，以陀螺仪观察并记录动平台的姿态变化，与仿真曲线进行对比。施加负载扰动和实验所使用陀螺仪如图11所示。

Figure 11. Stewart six-degree-of-freedom parallel platform and gyroscope

图11. 5 kg的负载干扰和陀螺仪

添加扰动后，实验曲线与仿真曲线对比图如图12所示。

Figure 12. Comparison of experimental and simulation curves

图12. 实验曲线与仿真曲线对比

仿真值和实际曲线基本吻合，突加负载扰动时最大波动值约为0.45度，在控制器的调节作用下，约1.6 s后平台逐渐趋于稳定。由此可见改进自抗扰控制算法对于突变干扰有较强的抗干扰性，平台的鲁棒性较强。

实验2。当平台姿态稳定时，在动平台中心加入5 kg负载扰动，观察三种控制器的控制效果。三种方法的对比曲线如图13所示。

Figure 13. Algorithm comparison

图13. 算法对比

由图13所示。可知：ADRC最低点高于与其他两种控制器0.18~0.10度，回稳用时提前0.91~0.29秒，改进自抗扰控制算法对突变扰动表现出更强的鲁棒性，在响应速度和超调抑制两方面均表现最佳，回稳时间分别提升了14.6%和39.1%，验证了此控制器的优越性。

实验3。为进一步验证控制器的优越性令Stewart六自由度并联平台绕y轴做正弦运动，与仿真曲线进行对比观察其轨迹跟踪能力，效果如图14所示。

Figure 14. Comparison of experimental and simulation curves under sinusoidal motion

图14. 正弦运动实验曲线与仿真曲线对比

Figure 15. Load disturbance recovery

图15. 负载扰动恢复

由图14可知平均绝对误差为0.551度，最大绝对误差为1.295度。由此可见改进自抗扰控制算法具有较好的轨迹跟踪能力，能够精准地跟踪目标轨迹。

实验4为进一步验证控制算法在动态轨迹跟踪过程中的抗干扰能力，令Stewart六自由度并联平台绕Y轴做正弦运动，并在运动过程中加入5 kg的负载扰动，观察控制效果，对比分析其轨迹跟踪精度、扰动抑制能力和恢复特性。

如图15所示，结果显示总扰动时间约为1.8 s，扰动幅度为0.5度，进一步验证了改进自抗扰控制算法在实际应用中能够满足高精度、强扰动环境下的轨迹跟踪控制需求，为Stewart六自由度并联平台的实际应用提供了可靠的控制方案。