Lambert W函数与指数和线性函数组合方程的求解

Solving Equations Combining Exponential and Linear Functions by Lambert W Function

摘要: Lambert W函数形式为$W\left(x\right)=x{e}^x$ ，是一类特殊函数，x在[−1/e, 0]区间内，W(x)有双值，x在[0, +∞)区间内，W(x)是单值。利用Lambert W函数，本文对于指数和线性函数的多个组合方程进行求解，并得出多种组合方程的标准解。

Abstract: The Lambert W function, in the form $W\left(x\right)=x{e}^x$ , is a special class of functions. W(x) has two values in the interval [−1/e, 0], and is single-valued in the interval [0, +∞). Using the Lambert W function, this paper solves multiple combined equations of exponential and linear functions, and derives standard solutions for various combined equations.

1. Lambert W 函数

1758年，Lambert兰伯特通过对x的q次幂进行级数展开，解出了三项式方程$x=q+x^m$ 。后来，他将该方程数扩展至x的给定次幂[1] [2]。在文献[3]中，欧拉将兰伯特方程变换成更对称的形式

$x^{\alpha }-x^{\beta }=\left(\alpha -\beta \right)v{x}^{\alpha -\beta }$ (1)

用$x^{-\beta }$ 代替x，设$m=\alpha /\beta$ 且$q=\left(\alpha -\beta \right)v$ 。欧拉版本的兰伯特级数解如下：

$\begin{array}{l}{x}^n=1+nv+\frac{1}{2}n\left(n+\alpha +\beta \right)v^2+\frac{1}{6}n\left(n+\alpha +2\beta \right)\left(n+2\alpha +\beta \right)v^3\\ +\frac{1}{24}n\left(n+\alpha +3\beta \right)\left(n+2\alpha +2\beta \right)\left(n+3\alpha +\beta \right)v^4+\cdots \end{array}$ (2)

推导完级数后，欧拉开始研究特殊情况，首先是$\alpha =\beta$ 。为了理解在原始三项式方程中的含义，我们将(1.1)除以$\left(\alpha -\beta \right)$ ，然后令$\beta \to \alpha$ ，得到

$\log x=v{x}^{\alpha }.$ (3)

欧拉注意到，如果我们能解方程(1.3)中$\alpha =1$ 的解，那么我们就能解任意$\alpha \ne 0$ 的解。为了证明这一点，将方程(3)乘以$\alpha$ ，将$\alpha \log x$ 化为$\log x^{\alpha }$ ，令$z=x^{\alpha }$ ，且$u=\alpha v$ 。我们得到$\log z=uz$ ，它就是$\alpha =1$ 的方程(3)。

为了利用式(2)求解该方程，欧拉首先令$\alpha =\beta =1$ ，然后将(2)式重写为$\left(x^n-1\right)/n$ 的级数。接下来，他令n = 0，得到左边为$\log x$ ，右边为一个级数形式：

$\log x=v+\frac{2^1}{2!}{v}^2+\frac{3^2}{3!}{v}^3+\frac{4^3}{4!}{v}^4+\frac{5^4}{5!}{v}^5+\cdots$ . (4)

该级数在$\left|v\right|<1/\text{e}$ 时收敛，定义一个函数T(v)，称为树函数[4]。它等于$-W\left(-v\right)$ ，其中W(z)定义为满足

$W\left(z\right){\text{e}}^{W\left(z\right)}=z,$

$W\left(z\right)=z{\text{e}}^z.$ (5)

这两个函数有许多应用：例如，树木的枚举[4]-[8]；水波高度的计算[9]；以及Pόlya和Szegö考虑的问题[10] (问题III. 209，第146页)。Wright使用W的复数分支和更一般的指数多项式的根来求解线性常系数延迟方程[11]。在[12]中，Fritsch、Shafer和Crowley提出了一种算法，用于对x > 0时W(x)的一个分支进行固定精度计算。计算机代数系统Maple多年来一直对W的这个实数值分支提供任意精度实现，并且从Release 2开始对所有分支都提供任意精度实现[13]。

将式(5)用函数标准形式写下来，如式(6)所示。

$W\left(x\right)=x{\text{e}}^x,$

$W\left(x\right){\text{e}}^{W\left(x\right)}=x.$ (5)

如果x为实数，则当$-1/\text{e}\le x$ 时，$W\left(x\right)$ 有两个可能的实数值(见图1)。当满足$-1\le W\left(x\right)$ 时，我们将分支记为$W_0\left(x\right)$ ，或者直接记为$W\left(x\right)$ ，当这样就不会造成混淆时，满足$W\left(x\right)\le -1$ 的分支记为$W_{-1}\left(x\right)$ 。$W_0\left(x\right)$ 称为W函数的主分支。

Figure 1. The two real branches of W(x). ——, W0(x); – – –, W−1(x)

图1. W(x)的两个实数分支。——，W0(x)；– – –，W−1(x)

2. W(x)函数的导数

$y=W\left(x\right)=W\left(y{\text{e}}^y\right)$

$x=y{\text{e}}^y$

两边同时对x求导

$1=\left({\text{e}}^y+y{\text{e}}^y\right)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{{\text{e}}^y+y{\text{e}}^y}$

$\because x=y{\text{e}}^y$

$\therefore \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{{\text{e}}^y+x}$

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{{\text{e}}^{W\left(x\right)}+x}$

3. 求解方程$x^x=5^{2500}$

$\ln x^x=\ln 5^{2500}$

$x\ln x=2500\ln 5$

${\text{e}}^{\ln x}\ln x=2500\ln 5$

两边使用W(x)函数

$W\left({\text{e}}^{\ln x}\ln x\right)=W\left(2500\ln 5\right)$

$\ln x=W\left(2500\ln 5\right)$

$x={\text{e}}^{W\left(2500\ln 5\right)}$

$2500=4\cdot 5^4$

$W\left(2500\ln 5\right)=W\left(4\cdot 5^4\ln 5\right)=W\left(5^4\ln 5^4\right)=\ln 5^4$

$x={\text{e}}^{\ln 5^4}=5^4$

$x=5^4$

通用形式为

$x^x=c$ ，c为一常数。

$x\ln x=\ln c$

${\text{e}}^{\ln x}\ln x=\ln c$

$W\left({\text{e}}^{\ln x}\ln x\right)=W\left(\ln c\right)$

$\ln x=W\left(\ln c\right)$

$x={\text{e}}^{W\left(\ln c\right)}$

4. 求解方程$5^x=8x+6$

$1=\left(8x+6\right)5^{-x}$

$\frac{1}{8}=\frac{\left(8x+6\right)}{8}{5}^{-x}$

$-\frac{1}{8}\cdot 5^{-\frac{3}{4}}=\left(-x-\frac{3}{4}\right)5^{-x-\frac{3}{4}}$

$-\frac{1}{8}\cdot 5^{-\frac{3}{4}}=\left(-x-\frac{3}{4}\right){\text{e}}^{\left(\ln 5\right)\left(-x-\frac{3}{4}\right)}$

$-\frac{1}{8}\cdot 5^{-\frac{3}{4}}\cdot \ln 5=\left(-x-\frac{3}{4}\right){\text{e}}^{\left(\ln 5\right)\left(-x-\frac{3}{4}\right)}\cdot \ln 5$

两边使用W(x)函数

$W\left(-\frac{1}{8}\cdot 5^{-\frac{3}{4}}\cdot \ln 5\right)=W\left[\left(-x-\frac{3}{4}\right){\text{e}}^{\left(\ln 5\right)\left(-x-\frac{3}{4}\right)}\cdot \ln 5\right]$

$W\left(-\frac{1}{8}\cdot 5^{-\frac{3}{4}}\cdot \ln 5\right)=\left(-x-\frac{3}{4}\right)\cdot \ln 5$

$\frac{W\left(-\frac{1}{8}\cdot 5^{-\frac{3}{4}}\cdot \ln 5\right)}{\ln 5}=-x-\frac{3}{4}$

$\frac{W\left(-\frac{1}{8}\cdot 5^{-\frac{3}{4}}\cdot \ln 5\right)}{\ln 5}+\frac{3}{4}=-x$

$x=-\frac{W\left(-\frac{1}{8}\cdot 5^{-\frac{3}{4}}\cdot \ln 5\right)}{\ln 5}-\frac{3}{4}$

$-\frac{1}{8}\cdot 5^{-\frac{3}{4}}\cdot \ln 5=-\frac{1}{8}\sqrt[4]{125}\cdot \ln 5\approx -0.672685<-0.3678\approx \frac{1}{\text{e}}$

说明W函数有两个根，分别求解，得$x_1\approx -0.710139$

$x_2\approx -1.8968$

标准形式为：

$a^x=kx+b$ ，a、b、k为常数。

$1=\left(kx+b\right)a^{-x}$

$-\frac{1}{k}=\left(-x-\frac{b}{k}\right)a^{-x}$

$-\frac{1}{k}{a}^{-b/k}=\left(-x-\frac{b}{k}\right)a^{-x-b/k}$

$-\frac{1}{k}{a}^{-\frac{b}{k}}\cdot \ln a=\left(-x-\frac{b}{k}\right){\text{e}}^{\left(-x-\frac{b}{k}\right)\cdot \ln a}\cdot \ln a$

$W\left[-\frac{1}{k}{a}^{-\frac{b}{k}}\cdot \ln a\right]=W\left[\left(-x-\frac{b}{k}\right){\text{e}}^{\left(-x-\frac{b}{k}\right)\cdot \ln a}\cdot \ln a\right]$

$W\left[-\frac{1}{k}{a}^{-\frac{b}{k}}\cdot \ln a\right]=\left(-x-\frac{b}{k}\right)\cdot \ln a$

$-x-b=\frac{W\left[-\frac{1}{k}{a}^{-\frac{b}{k}}\cdot \ln a\right]}{\ln a}$

$x=-b-\frac{W\left[-\frac{1}{k}{a}^{-\frac{b}{k}}\cdot \ln a\right]}{\ln a}$

5. 求解方程$3x+e^{4x}=0$

${\text{e}}^{4x}=-3x$

$1=-3x{\text{e}}^{-4x}$

$\frac{4}{3}=-4x{\text{e}}^{-4x}$

两边使用W(x)函数：

$W\left(\frac{4}{3}\right)=W\left(-4x{\text{e}}^{-4x}\right)$

$W\left(\frac{4}{3}\right)=-4x$

$x=-\frac{1}{4}W\left(\frac{4}{3}\right)$

$x=-0.1693$

标准形式为：

$kx+{\text{e}}^{ax}=0$

k和a为常数。

${\text{e}}^{ax}=-kx$

$1=-kx{\text{e}}^{-ax}$

$\frac{a}{k}=-ax{\text{e}}^{-ax}$

两边使用W(x)函数：

$W\left(\frac{a}{k}\right)=W\left(-ax{\text{e}}^{-ax}\right)$

$W\left(\frac{a}{k}\right)=W\left(-ax{\text{e}}^{-ax}\right)$

$W\left(\frac{a}{k}\right)=-ax$

$x=-\frac{1}{a}W\left(\frac{a}{k}\right)$

6. 求解方程$3x+e^{7x}=2$

${\text{e}}^{7x}=2-3x$

$1=\left(2-3x\right){\text{e}}^{-7x}$

$\frac{7}{3}=\left(\frac{14}{3}-7x\right){\text{e}}^{-7x}$

$\frac{7}{3}{\text{e}}^{\frac{14}{3}}=\left(-7x+\frac{14}{3}\right){\text{e}}^{-7x+\frac{14}{3}}$

两边使用W(x)函数：

$W\left(\frac{7}{3}{\text{e}}^{\frac{14}{3}}\right)=W\left[\left(-7x+\frac{14}{3}\right){\text{e}}^{-7x+\frac{14}{3}}\right]$

$W\left(\frac{7}{3}{\text{e}}^{\frac{14}{3}}\right)=-7x+\frac{14}{3}$

$-7x=W\left(\frac{7}{3}{\text{e}}^{\frac{14}{3}}\right)-\frac{14}{3}$

$x=-\frac{1}{7}W\left(\frac{7}{3}{\text{e}}^{\frac{14}{3}}\right)+\frac{2}{3}$

$x\approx 0.08061$

标准形式为：

$kx+{\text{e}}^{ax}=b$

k、a和b为常数。

${\text{e}}^{ax}=b-kx$

$1=\left(b-kx\right){\text{e}}^{-ax}$

$\frac{a}{k}=\left(\frac{ab}{k}-ax\right){\text{e}}^{-ax}$

$\frac{a}{k}{\text{e}}^{\frac{ab}{k}}=\left(\frac{ab}{k}-ax\right){\text{e}}^{\frac{ab}{k}-ax}$

两边使用W(x)函数：

$W\left[\frac{a}{k}{\text{e}}^{\frac{ab}{k}}\right]=W\left[\left(\frac{ab}{k}-ax\right){\text{e}}^{\frac{ab}{k}-ax}\right]$

$W\left[\frac{a}{k}{\text{e}}^{\frac{ab}{k}}\right]=\frac{ab}{k}-ax$

$-ax=\frac{-ab}{k}+W\left[\frac{a}{k}{\text{e}}^{\frac{ab}{k}}\right]$

$x=\frac{b}{k}-\frac{1}{a}W\left[\frac{a}{k}{\text{e}}^{\frac{ab}{k}}\right]$

7. 求解方程$x^3{e}^{5x}=27$

${\left(x^3{\text{e}}^{5x}\right)}^{1/3}={27}^{1/3}$

$x{\text{e}}^{5x/3}=3$

$\frac{5}{3}x{\text{e}}^{5x/3}=3\cdot \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3}x{\text{e}}^{5x/3}=5$

两边使用W(x)函数：

$W\left(\frac{5}{3}x{\text{e}}^{5x/3}\right)=W\left(5\right)$

$\frac{5}{3}x=W\left(5\right)$

$x=\frac{3}{5}W\left(5\right)\approx 0.79603$

标准形式为：

$x^b{\text{e}}^{ax}=c$

${\left(x^b{\text{e}}^{ax}\right)}^{1/b}=c^{1/b}$

$x{\text{e}}^{ax/b}=c^{1/b}$

$\frac{a}{b}x{\text{e}}^{ax/b}=\frac{a}{b}{c}^{1/b}$

两边使用W(x)函数：

$W\left(\frac{a}{b}x{\text{e}}^{ax/b}\right)=W\left(\frac{a}{b}{c}^{1/b}\right)$

$\frac{a}{b}x=W\left(\frac{a}{b}{c}^{1/b}\right)$

$x=\frac{b}{a}W\left(\frac{a}{b}{c}^{1/b}\right)$

8. 结论

Lambert W函数形式为$W\left(x\right)=x{\text{e}}^x$ ，利用该函数，可以对各种指数函数与线性函数的组合方程进行求解。在本论文中，对于几种组合形式的方程进行了求解，证明Lambert W函数对于这种组合形式的方程都可以进行求解，并可以给出解的标准形式。同时由于在[−1/e, 0]定义域内有两个值，所以引用Lambert W函数求解时，会有两个解存在。当定义域在(−∞, −1/e)，Lambert W函数无解，因此，如果求解的方程中W函数的定义域在此范围内，整体指数函数与线性函数的组合方程无解。

基金项目

季华实验室科研项目(X220011TN220)。

NOTES

^*通讯作者。