基于预不变凸区间值优化问题的最优性条件

Optimality Conditions for Preinvex Interval-Valued Optimization Problems

摘要: 现有模糊优化相关研究中，最优性条件多围绕伪不变凸函数展开，而预不变凸场景下的区间值优化最优性条件尚未得到充分探讨，存在研究空白。基于此，本文引入预不变凸区间值函数，明确其与可微性的关联，构建预不变凸环境下的区间值优化模型，推导可微条件下的最优性充分与必要条件，既完善区间值优化的理论体系，也为模糊优化问题的求解提供间接的理论支撑。

Abstract: In existing research on fuzzy optimization, optimality conditions are mostly centered on pseudoinvex functions, while the optimality conditions for interval-valued optimization under the preinvex scenario have not been fully explored, leaving a research gap. Based on this, this paper introduces the preinvex interval-valued function, clarifies its connection with differentiability, establishes an interval-valued optimization model under the preinvex framework, and derives the sufficient and necessary optimality conditions under differentiable conditions. This not only improves the theoretical system of interval-valued optimization but also provides indirect theoretical support for solving fuzzy optimization problems.

1. 引言

模糊优化能更好解决不确定性问题，通过模糊数截集可将其转化为区间值优化问题，为复杂问题求解提供有效路径。而现有模糊优化相关研究中，最优性条件多围绕伪不变凸函数展开，如文献[1]，但预不变凸场景下的区间值优化最优性条件尚未得到充分探讨，存在研究空白。本文围绕预不变凸区间值优化问题的最优性条件展开研究。首先梳理了区间的表示方法、运算规则以及序关系，明确了$gH$ 差等关键概念；其次定义了E-α-预不变凸区间值函数，建立了与E-可微性的等价判定定理；最后构建了E-α-预不变凸环境下的区间值优化问题(IVOPE)，说明了可行集、可行方向与有效解的概念，通过理论推导给出了该问题在E-可微条件下满足KKT假设时的最优性充分条件与必要条件，为相关优化问题的求解提供了思路。

2 预备知识

实数集$R$ 上所有有界闭区间族记为$K_C=\left\{\left[\underset{\_}{a},\overline{a}\right]|\underset{\_}{a},\overline{a}\in R且\underset{\_}{a}\le \overline{a}\right\}$，给定$A=\left[\underset{\_}{a},\overline{a}\right],B=\left[\underset{\_}{b},\overline{b}\right]\in K_C$ ，$\lambda \in R$ ，定义其标准加法和数乘运算：

$A+B=\left[\underset{\_}{a},\overline{a}\right]+\left[\underset{\_}{b},\overline{b}\right]=\left[\underset{\_}{a}+\underset{\_}{b},\overline{a}+\overline{b}\right],$

$\lambda A=\left\{\lambda a:a\in A\right\}=\{\begin{array}{l}\left[\lambda \underset{\_}{a},\lambda \overline{a}\right],\lambda \ge 0,\\ \left[\lambda \overline{a},\lambda \underset{\_}{a}\right],\lambda <0.\end{array}$

显然，$-A=\left[-\overline{a},-\underset{\_}{a}\right],B-A=B+\left(-A\right)=\left[\underset{\_}{b}-\overline{a},\overline{b}-\underset{\_}{a}\right]$ (Minkowski差)。

下面定义给出了区间的LU-序关系。

定义1 [2]令$A=\left[\underset{\_}{a},\overline{a}\right],B=\left[\underset{\_}{b},\overline{b}\right]\in K_C$ ，则

(1) $A{\underset{\_}{\underset{\_}{\prec }}}_{LU}B\iff \underset{\_}{a}\le \underset{\_}{b}$ 且$\overline{a}\le \overline{b}$ ；

(2) $A{\underset{\_}{\prec }}_{LU}B\iff A{\underset{\_}{\underset{\_}{\prec }}}_{LU}B$ ，且$A\ne B$ ，即$\underset{\_}{a}\le \underset{\_}{b},\overline{a}\le \overline{b}$ 中至少有一个不等式严格成立；

(3) $A{\prec }_{LU}B\iff \underset{\_}{a}<\underset{\_}{b}$ 且$\overline{a}<\overline{b}$ 。

定义2 [2] ($gH$ 差)对于$A=\left[\underset{\_}{a},\overline{a}\right],B=\left[\underset{\_}{b},\overline{b}\right]\in K_C$ ，存在$C$ ，使得：

$A{\ominus }_{gH}B=C\iff \{\begin{array}{l}A=B+C,\\ 或B=A+\left(-1\right)C.\end{array}$

$A{\ominus }_{gH}B=\left[\min \left\{\underset{\_}{a}-\underset{\_}{b},\overline{a}-\overline{b}\right\},\max \left\{\underset{\_}{a}-\underset{\_}{b},\overline{a}-\overline{b}\right\}\right]\subset A-B.$

3. 凸模糊映射与可微性

定义3 [3]设$K$ 为$R^n$ 的一个非空子集，如果$\forall x,y\in K,\lambda \in \left[0,1\right]$ ，存在向量值函数$\eta :K\times K\to R^n$ 使得$y+\lambda \eta \left(x,y\right)\in K$ ，则称$K$ 为关于$\eta$ 的不变凸集。

定义4 [3]设$K$ 为关于$\eta$ 的不变凸集，如果$\forall x,y\in K,\lambda \in \left[0,1\right]$ ，存在实值函数$f:R^n\to R$ ，有，$f\left(y+\lambda \eta \left(x,y\right)\right)\le \lambda f\left(x\right)+\left(1-\lambda \right)f\left(y\right)$ ，则称$f$ 为关于$\eta$ 的预不变凸实值函数。

定义5 [3]设$K$ 为$R^n$ 的一个非空子集，如果$\forall x,y\in K,\lambda \in \left[0,1\right]$ ，存在向量值函数$\eta :K\times K\to R^n$ 与$E:R^n\to R^n$ ，使得$E\left(y\right)+\lambda \eta \left(E\left(x\right),E\left(y\right)\right)\in K$ ，则称$K$ 为关于$\eta$ 的E-不变凸集。

定义6 [4]设$K$ 为关于$\eta$ 的E-不变凸集，如果存在实值函数$f:R^n\to R$ ，对$\forall x,y\in K,\lambda \in \left[0,1\right]$ 有$f\left(E\left(y\right)+\lambda \eta \left(E\left(x\right),E\left(y\right)\right)\right)\le \lambda f\left(E\left(x\right)\right)+\left(1-\lambda \right)f\left(E\left(y\right)\right)$ ，则称$f$ 为关于$\eta$ 的E-预不变凸实值函数。

定义7 [5] (E-α-预不变凸区间值函数)设$K$ 为关于$\eta$ 与$\alpha$ 的E-α-不变凸集，如果存在区间值函数$f:R^n\to R$ ，对$\forall x,y\in K,\lambda \in \left[0,1\right]$ ，有

$f\left(E\left(y\right)+\lambda \alpha \left(E\left(x\right),E\left(y\right)\right)\eta \left(E\left(x\right),E\left(y\right)\right)\right){\preccurlyeq }_{LU}\lambda f\left(E\left(x\right)\right)+\left(1-\lambda \right)f\left(E\left(y\right)\right)$ ，

则称$f$ 为关于$\eta$ 与$\alpha$ 的E-α-预不变凸区间值函数。$f$ 为$K$ 上关于$\eta$ 与$\alpha$ 的E-α-预不变凸区间值函数，当且仅当$\underset{\_}{f}$ 与$\overline{f}$ 是$K$ 上关于$\eta$ 与$\alpha$ 的E-α-预不变凸区间值函数。

定理1 [5]设$K$ 是关于$\eta$ 与$\alpha$ 的E-α-不变凸集，$F$ 是$K$ 上的E-α-预不变凸E-可微实值函数，则对$\forall x_1,x_2\in K$ ，有：

$\alpha \left(E\left(x_1\right),E\left(x_2\right)\right)\eta \left(E\left(x_1\right),E\left(x_2\right)\right)\nabla F{\left(E\left(x_2\right)\right)}^{\text{T}}\le F\left(E\left(x_1\right)\right)-F\left(E\left(x_2\right)\right).$

定理2 [5]设$K$ 是关于$\eta$ 与$\alpha$ 的E-α-不变凸集，$f$ 是$K$ 上的E-α-预不变凸E-可微区间值函数$f=\left[\underset{\_}{f},\overline{f}\right]$ ，则对任意$\forall x_1,x_2\in K$ ，有：

$\alpha \left(E\left(x_1\right),E\left(x_2\right)\right)\eta \left(E\left(x_1\right),E\left(x_2\right)\right)\nabla \underset{\_}{f}{\left(E\left(x_2\right)\right)}^{\text{T}}\le \underset{\_}{f}\left(E\left(x_1\right)\right)-\underset{\_}{f}\left(E\left(x_2\right)\right)$

$\alpha \left(E\left(x_1\right),E\left(x_2\right)\right)\eta \left(E\left(x_1\right),E\left(x_2\right)\right)\nabla \overline{f}{\left(E\left(x_2\right)\right)}^{\text{T}}\le \overline{f}\left(E\left(x_1\right)\right)-\overline{f}\left(E\left(x_2\right)\right)$

定义8 [6]设集合$X\subseteq R^n$ ，映射$E:X\to R^n$ ，$f$ 是$X$ 上的区间值函数，$x_0\in X$ ，如果实值函数$\overline{f}\left(E(·)\right)$ 与$\underset{\_}{f}\left(E(·)\right)$ 是可微的，且有：

$\underset{\_}{f}\left(E\left(x\right)\right)=\underset{\_}{f}\left(E\left(x_0\right)\right)+\nabla \underset{\_}{f}\left(E\left(x_0\right)\right)\left(x-x_0\right)+\underset{\_}{\theta }\left(x_0,x-x_0\right)\Vert x-x_0\Vert$ ，

$\overline{f}\left(E\left(x\right)\right)=\overline{f}\left(E\left(x_0\right)\right)+\nabla \overline{f}\left(E\left(x_0\right)\right)\left(x-x_0\right)+\overline{\theta }\left(x_0,x-x_0\right)\Vert x-x_0\Vert$ ，

其中：当$x\to x_0$ 时，$\underset{\_}{\theta }\left(x,x-x_0\right)\to 0$ ，$\overline{\theta }\left(x,x-x_0\right)\to 0$ ，则称区间值函数$f\left(x\right)$ 在$x_0$ 处E-可微。

E-可微的几何意义：区间值函数由上下界曲面围成的带状图像，在该点附近可被上下界各自的切平面所夹的线性带状区域局部近似，实现区间值函数的“局部线性化”，是实值函数切线近似的推广。

定理3 [6]设$f_1,f_2$ 是$K$ 上的E-α-预不变凸函数，${\lambda }_1,{\lambda }_2\ge 0$ ，则${\lambda }_1{f}_1+{\lambda }_2{f}_2$ 仍为$K$ 上的E-α-预不变凸函数。

证明：由于$f_1,f_2$ 是$K$ 上的E-α-预不变凸区间值函数，由定义8，对$\forall x,y\in K,\lambda \in \left[0,1\right]$ ，有：

$f_1\left(E\left(y\right)+\lambda \alpha \left(E\left(x\right),E\left(y\right)\right)\eta \left(E\left(x\right),E\left(y\right)\right)\right){\underset{\_}{\prec }}_{LU}\lambda f_1\left(E\left(x\right)\right)+\left(1-\lambda \right)f_1\left(E\left(y\right)\right),$ (1)

$f_2\left(E\left(y\right)+\lambda \alpha \left(E\left(x\right),E\left(y\right)\right)\eta \left(E\left(x\right),E\left(y\right)\right)\right){\underset{\_}{\prec }}_{LU}\lambda f_2\left(E\left(x\right)\right)+\left(1-\lambda \right)f_2\left(E\left(y\right)\right).$ (2)

对${\lambda }_1,{\lambda }_2\ge 0$ ，将式(1)乘${\lambda }_1$ 、式(2)乘${\lambda }_2$ 后相加，得：

${\lambda }_1{f}_1(\cdot )+{\lambda }_2{f}_2(\cdot ){\underset{\_}{\prec }}_{LU}{\lambda }_1\left[\lambda f_1\left(E\left(x\right)\right)+\left(1-\lambda \right)f_1\left(E\left(y\right)\right)\right]+{\lambda }_2\left[\lambda f_2\left(E\left(x\right)\right)+\left(1-\lambda \right)f_2\left(E\left(y\right)\right)\right].$

将右侧展开并整理，可得：

$\begin{array}{l}\left({\lambda }_1{f}_1+{\lambda }_2{f}_2\right)\left(E\left(y\right)+\lambda \alpha \left(E\left(x\right),E\left(y\right)\right)\eta \left(E\left(x\right),E\left(y\right)\right)\right)\\ {\underset{\_}{\prec }}_{LU}\lambda \left({\lambda }_1{f}_1+{\lambda }_2{f}_2\right)\left(E\left(x\right)\right)+\left(1-\lambda \right)\left({\lambda }_1{f}_1+{\lambda }_2{f}_2\right)\left(E\left(y\right)\right).\end{array}$

上式满足定义8中E-α-预不变凸区间值函数的判定条件，故${\lambda }_1{f}_1+{\lambda }_2{f}_2$ 是$K$ 上的E-α-预不变凸区间值函数。

4. 最优性条件

$K$ 是关于$\eta$ 与$\alpha$ 的E-α-不变凸集，在E-可微情况下可建立如下优化问题(IVOPE)

$\{\begin{array}{l}\min f\left(E\left(x\right)\right)=\left[\underset{\_}{f}\left(E\left(x\right)\right),\overline{f}\left(E\left(x\right)\right)\right]\\ \text{s}\text{.t}\text{.}{G}_i\left(E\left(x\right)\right){\underset{\_}{\prec }}_{LU}\left[0,0\right],i=1,\cdots ,m,\\ x\in X_E,\end{array}$

其中$f$ 与$G_i\left(E\left(x\right)\right)$ 均为定义在$K$ 上的E-α-预不变凸区间值函数，约束条件$G_i\left(E\left(x\right)\right){\underset{\_}{\prec }}_{LU}\left[0,0\right]$ ，由$LU$ 序关系可得$\underset{\_}{G_i}\left(E\left(x\right)\right)\le 0$ 且$\overline{G_i}\left(E\left(x\right)\right)\le 0$ $\left(i=1,\cdots ,m\right)$ 。$\underset{\_}{G_i}\left(E\left(x\right)\right)$ 和$\overline{G_i}\left(E\left(x\right)\right)$ 为E-α-预不变凸实值函数，则问题(IVOPE)的E-可行集为

$X_E=\left\{x\in K:\underset{\_}{G_i}\left(E\left(x\right)\right)\le 0,\overline{G_i}\left(E\left(x\right)\right)\le 0,i=1,\cdots ,m\right\}$

其中$X_E$ 为$K$ 的E-α-不变凸子集。

定义9 [7]设$X_E$ 是非空可行集，$x^{\ast }\in cl{X}_E$ 。如果存在$\delta >0$ ，使得$E\left(x^{\ast }\right)+\beta d\in X_E$ ，对于$\forall \beta \in \left(0,\delta \right)$ 成立，则称$d\ne 0$ 为在$x^{\ast }$ 处的可行方向，$D$ 称为可行方向集，记作

$D=\left\{d\in R^n:d\ne 0,\exists \delta >0,\text{st}.E\left(x^{\ast }\right)+\beta d\in X_E,\forall \beta \in \left(0,\delta \right)\right\}.$

若$d\ne 0$ 为在$x^{\ast }$ 处的可行方向且$\nabla \underset{\_}{f}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}d<0$ ，$\nabla \overline{f}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}d<0$，则称$d$ 为在$x^{\ast }$ 处的可行下降方向。易知，若$x^{\ast }$ 是(IVOPE)问题的有效解，则函数$f$ 在$x^{\ast }$ 处没有可行下降方向。

命题1 [8]设$X_E$ 是非空可行集，且$x^{\ast }\in X_E$ 。若$G_i$ 在$x^{\ast }$ 处E-可微$\left(i=1,\cdots ,m\right)$ ，不妨令积极约束指标集为

$J:=\left\{i:\underset{\_}{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)=0,\overline{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)=0\right\}$ ，

则有，

$D\subseteq \left\{d\in R^n:\nabla \underset{\_}{G_i}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}d\le 0,\nabla \overline{G_i}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}d\le 0,\forall i\in J\right\}.$

定义10 [9]如果不存在可行点$\overline{x}\in X_E$ ，使得$f\left(E\left(\overline{x}\right)\right){\prec }_{LU}f\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)$ ，则称$x^{*}$ 是问题(IVOPE)的有效解。

KKT假设条件：若$X_E=\left\{x\in K:\underset{\_}{G_i}\left(E\left(x\right)\right)\le 0,\overline{G_i}\left(E\left(x\right)\right)\le 0,i=1,\cdots ,m\right\}$ 为(IVOPE)问题的可行集且点$x^{*}\in X_E$ 。其中$\underset{\_}{G_i},\overline{G_i}$ 是定义在$K$ 上的E-α-预不变凸实值函数，并且对每个$i=1,\cdots ,m$ 在$x^{*}$ 处连续E-可微，则称实值函数$\underset{\_}{G_i},\overline{G_i}$ 在$x^{*}$ 处满足KKT假设条件。

下面，给出(IVOPE)的KKT最优性充分条件。

定理4 设$f$ 是定义在$K$ 上的E-可微E-α-预不变凸区间值函数，$\underset{\_}{G_i},\overline{G_i},i=1,\cdots ,m$ 在$x^{*}$ 处满足KKT假设条件。如果存在拉格朗日乘子$0<\underset{\_}{\lambda },\overline{\lambda }\in R,0\le \underset{\_}{{\mu }_i},\overline{{\mu }_i}\in R,i=1,\cdots ,m$有

$\underset{\_}{\lambda }\nabla \underset{\_}{f}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^m\underset{\_}{{\mu }_i}}\nabla \underset{\_}{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)=0,$ (3)

$\overline{\lambda }\nabla \overline{f}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^m\overline{{\mu }_i}}\nabla \overline{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)=0,$(4)

$\underset{\_}{{\mu }_i}\underset{\_}{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)=0,i=1,\cdots ,m,$ (5)

$\overline{{\mu }_i}\overline{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)=0,i=1\cdots ,m,$ (6)

则$x^{*}$ 是(IVOPE)优化问题的有效解。

证明:假设$x^{*}$ 不是问题(IVOPE)的有效解，则存在$\overline{x}\ne x^{*}$ ，使得$f\left(E\left(\overline{x}\right)\right){\prec }_{LU}f\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)$ ，由$f\left(E\left(\overline{x}\right)\right){\prec }_{LU}f\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)$ 可知有以下三种情况

(i) $\underset{\_}{f}\left(E\left(\overline{x}\right)\right)<\underset{\_}{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right),\overline{f}\left(E\left(\overline{x}\right)\right)<\overline{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right)$ ，

(ii) $\underset{\_}{f}\left(E\left(\overline{x}\right)\right)\le \underset{\_}{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right),\overline{f}\left(E\left(\overline{x}\right)\right)<\overline{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right)$ ，

(iii) $\underset{\_}{f}\left(E\left(\overline{x}\right)\right)<\underset{\_}{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right),\overline{f}\left(E\left(\overline{x}\right)\right)\le \overline{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right)$ 。

不失一般性，仅考虑(i) $\underset{\_}{f}\left(E\left(\overline{x}\right)\right)<\underset{\_}{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right),\overline{f}\left(E\left(\overline{x}\right)\right)<\overline{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right)$ 情形。由$f$ 是E-α-预不变凸的E-可微区间值函数，结合预不变凸函数的微分性质，有：

$\alpha \left(E\left(\overline{x}\right),E\left(x^{*}\right)\right)\eta \left(E\left(\overline{x}\right),E\left(x^{*}\right)\right)\nabla \underset{\_}{f}{\left(E\left(x^{*}\right)\right)}^T\le \underset{\_}{f}\left(E\left(\overline{x}\right)\right)-\underset{\_}{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right)<0$ (7)

$\alpha \left(E\left(\overline{x}\right),E\left(x^{*}\right)\right)\eta \left(E\left(\overline{x}\right),E\left(x^{*}\right)\right)\nabla \overline{f}{\left(E\left(x^{*}\right)\right)}^{\text{T}}\le \overline{f}\left(E\left(\overline{x}\right)\right)-\overline{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right)<0$(8)

令$d=\lambda \alpha \left(E\left(\overline{x}\right),E\left(x^{*}\right)\right)\eta \left(E\left(\overline{x}\right),E\left(x^{*}\right)\right)$ 。因为$X_E$ 是E-α-不变凸子集，且$x^{*},\overline{x}\in X_E$ ，则对$\forall \beta \in \left[0,1\right]$ 有$E\left(x^{\ast }\right)+\beta d\in X_E$ ，即$d$ 是$x^{\ast }$ 处的可行方向。结合命题1，可得$\nabla \underset{\_}{G_i}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}d\le 0$ ，$\nabla \overline{G_i}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}d\le 0$，$i\in J$ 。

对式(5)和(6)两边同乘$\beta \lambda >0$ ，整理得：

$\nabla \underset{\_}{f}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}\beta d<0$ ，$\nabla \overline{f}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}\beta d<0$。记$x_0=\beta d$ ，分下界与上界两种情况分析：

情况1：(下界$\underset{\_}{f}$ 的矛盾推导)令$A=\nabla \underset{\_}{f}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}$ ，$C=\nabla \underset{\_}{G_i}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}$ ，则$A{x}_0<0$ ，$C{x}_0\le 0$ 。由[8]易知，不存在$\underset{\_}{\lambda }>0,\underset{\_}{{\mu }_i}\ge 0$ 使得$\underset{\_}{\lambda }A+{\displaystyle \sum _{i\in J}\underset{\_}{{\mu }_i}}C=0$ ，结合式(3)的互补松弛条件，$\underset{\_}{{\mu }_i}\underset{\_}{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)=0$ ，当$i\notin J$ 时$\underset{\_}{{\mu }_i}=0$ ，与定理的KKT条件假设矛盾。

情况2：(上界$\overline{f}$ 的矛盾推导)令$B=\nabla \overline{f}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}$，$D=\nabla \overline{G_i}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}$，则$B{x}_0<0$ ，$D{x}_0\le 0$ 。同理，不存在$\overline{\lambda }>0,\overline{{\mu }_i}\ge 0$ 使得$\overline{\lambda }B+{\displaystyle \sum _{i\in J}\overline{{\mu }_i}}D=0$ ，结合式(3)的互补松弛条件，$\overline{{\mu }_i}\overline{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)=0$ ，当$i\notin J$ 时$\overline{{\mu }_i}=0$ ，与定理的KKT条件假设矛盾。综上，反证的假设不成立，故$x^{*}$ 是(IVOPE)优化问题的有效解。

接下来，给出(IVOPE)的KKT最优性必要条件。

定理5 设$f$ 是定义在$K$ 上的E-可微E-α-预不变凸区间值函数，$\underset{\_}{G_i},\overline{G_i},i=1,\cdots ,m$ 在$x^{*}$ 处满足KKT假设条件。如果$x^{*}$ 是(IVOPE)优化问题的有效解，则存在拉格朗日乘子$0<\underset{\_}{\lambda },\overline{\lambda }\in R,0\le \underset{\_}{{\mu }_i},\overline{{\mu }_i}\in R,i=1,\cdots ,m$有

$\underset{\_}{\lambda }\nabla \underset{\_}{f}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^m\underset{\_}{{\mu }_i}}\nabla \underset{\_}{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)=0,$ (9)

$\overline{\lambda }\nabla \overline{f}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^m\overline{{\mu }_i}}\nabla \overline{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)=0,$(10)

$\underset{\_}{{\mu }_i}\underset{\_}{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)=0,i=1,\cdots ,m,$ (11)

$\overline{{\mu }_i}\overline{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)=0,i=1,\cdots ,m.$ (12)

证明：(反证法)，假设存在着一个$d\in R^n$ ，使得

$\nabla \underset{\_}{f}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{T}d<0,\nabla \overline{f}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{T}d<0$

$\nabla \underset{\_}{G_i}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}d\le 0,\nabla \overline{G_i}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}d\le 0,i\in J.$

因为$\underset{\_}{G_i},\overline{G_i},i=1,\cdots ,m$ 在$x^{*}$ 处满足KKT假设条件，且$i\in J$ ，则存在$x\in X_E$ ，使得

$\underset{\_}{G_i}\left(E\left(x\right)\right)<0=\underset{\_}{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right),\overline{G_i}\left(E\left(x\right)\right)<0=\overline{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right).$

又因为$\underset{\_}{G_i},\overline{G_i}$ 是K上的E-α-预不变凸实值函数，所以有

$\nabla \underset{\_}{G_i}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}\alpha \left(E\left(x\right),E\left(x^{\ast }\right)\right)\eta \left(E\left(x\right),E\left(x^{\ast }\right)\right)\le \underset{\_}{G_i}\left(E\left(x\right)\right)-\underset{\_}{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)<0,$

$\nabla \overline{G_i}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}\alpha \left(E\left(x\right),E\left(x^{\ast }\right)\right)\eta \left(E\left(x\right),E\left(x^{\ast }\right)\right)\le \overline{G_i}\left(E\left(x\right)\right)-\overline{G_i}\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)<0,$

令$d^{*}:=\alpha \left(E\left(x\right),E\left(x^{\ast }\right)\right)\eta \left(E\left(x\right),E\left(x^{\ast }\right)\right)$ ，那么由于$x,x^{*}\in X_E$ ，通过E-α-不变凸性则有 $x^{*}+\lambda \alpha \left(E\left(x\right),E\left(x^{\ast }\right)\right)\eta \left(E\left(x\right),E\left(x^{\ast }\right)\right)\in X_E$ 所以可得$x^{*}+\lambda d^{*}\in X_E$ ，因此$d^{*}$ 为$x^{*}$ 的一个可行方向。设 $\widehat{d}=d+\frac{1}{n}{d}^{*}$ ，则有

$\nabla \underset{\_}{G_i}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}\widehat{d}\le 0,$

$\nabla \overline{G_i}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}\widehat{d}\le 0.$

因此$\widehat{d}$ 为$x^{*}$ 处的一个可行方向。对于足够大的n，我们有

$\nabla \underset{\_}{f}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}\widehat{d}\le 0,\nabla \overline{f}{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}\widehat{d}\le 0,$

即

$\nabla f{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}\widehat{d}\le 0.$

将上述式子分两种情况来讨论：

(1) 当$\nabla f{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}\widehat{d}=0$时，显然存在拉格朗日乘子$0<\underset{\_}{\lambda },\overline{\lambda }\in R$ 和$0\le \underset{\_}{{\mu }_i},\overline{{\mu }_i}\in R,i=1,\cdots ,m$ 使得其满足(7) (8)。

(2) 当$\nabla f{\left(E\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\text{T}}\widehat{d}<0$时，显然$\widehat{d}$ 是可行下降方向，与$x^{*}$ 是有效解矛盾。因此，根据文献[8]可知，存在拉格朗日乘子$0<\underset{\_}{\lambda },\overline{\lambda }\in R,0\le \underset{\_}{{\mu }_i},\overline{{\mu }_i}\in R,i=1,\cdots ,m$使得

$\underset{\_}{\lambda }\nabla \underset{\_}{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i\in J}\underset{\_}{{\mu }_i}}\nabla \underset{\_}{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right)=0,$

$\overline{\lambda }\nabla \overline{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i\in J}\overline{{\mu }_i}}\nabla \overline{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right)=0.$

此外，令${\mu }_i=0,i\in \left\{1,\cdots ,m\right\}\backslash J$ ，则

$\underset{\_}{\lambda }\nabla \underset{\_}{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^m\underset{\_}{{\mu }_i}\nabla \underset{\_}{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right)}=0,$

$\overline{\lambda }\nabla \overline{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^m\overline{{\mu }_i}}\nabla \overline{f}\left(E\left(x^{*}\right)\right)=0.$

综上所述，若$x^{*}$ 是优化问题的有效解，则有(7)、(8)、(9)、(10)均成立。

5. 数值算例

考虑以下区间值目标规划

$\{\begin{array}{l}{\min }_{x\in ℝ}f\left(x\right)\\ \text{s}\text{.t}\text{.}g\left(x\right)=x-1\le 0\end{array}$ .

区间值函数$f:R\to I$ ($I$ 为$R$ 上闭区间全体)，其上下界函数定义为：

$\underset{\_}{f}\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,\hfill & x\le 0,\hfill \\ -x^2,\hfill & x>0;\hfill \end{array}\overline{f}\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1,\hfill & x\le 0,\hfill \\ -x^2+1,\hfill & x>0.\hfill \end{array}$

显然$f$ 为非传统凸函数，其不变凸集为$K=R$ ，辅助函数为$\eta \left(x,y\right)=x-y$ ，$\alpha =1$ 。对$\forall x,y\in R$ ，不妨取$\lambda =1$ ，则：$f\left(y+1\times \left(x-y\right)\right){\underset{\_}{\prec }}_{LU}{1}^{1}f\left(x\right)+\left(1-1^1\right)f\left(y\right)$ ，由定义8可知$f$ 为E-α-预不变凸函数。

由于$\underset{\_}{f}\left(x\right)$ 在$x\le 0$ 时单调递减，$x>0$ 时单调递减；约束$x\le 1$ 下，$x=1$ 处$\underset{\_}{f}\left(1\right)=-1$ (下界最小)、$\overline{f}\left(1\right)=0$ (上界最小)，故最优解$x^{*}=1$ 。

先看充分条件，要求存在$\lambda \ge 0$ ，满足假设条件：

$\nabla \underset{\_}{f}\left(x^{*}\right)+\lambda \nabla g\left(x^{*}\right)=0\text{ ,}\nabla \overline{f}\left(x^{*}\right)+\lambda \nabla g\left(x^{*}\right)=0$(13)

$\lambda g\left(x^{*}\right)=0$ (14)

计算得：$\nabla \underset{\_}{f}\left(1\right)=-2$ ，$\nabla \overline{f}\left(1\right)=-2$ ，$\nabla g\left(x\right)=1$ ，$g\left(x^{*}\right)=0$ ，满足(12)。代入(11)得$-2+\lambda \times 1=0$ ，解得$\lambda =2\ge 0$ ，满足假设条件。由定理4知$x^{*}=1$ 是最优解。

再看必要条件：若$x^{*}$ 是最优解，则必存在$\lambda \ge 0$ 满足假设条件。已知$x^{*}=1$ 是最优解，易找到$\lambda =2\ge 0$ 满足条件，故必要条件成立。

若假设$x=0$ 为最优解，$\nabla \underset{\_}{f}\left(0\right)=0$ ，则有$0+\lambda \times 1=0$ ，解得$\lambda =0$ ，但$\underset{\_}{f}\left(0\right)=0>-1=\underset{\_}{f}\left(1\right)$ ，故$x=0$ 非最优解，体现了定理5具有筛选作用。