带有Stieltjes积分边界条件的Minkowski平均曲率问题正解的存在性

Existence of Positive Solutions for the Minkowski Mean Curvature Problem with Stieltjes Integral Boundary Conditions

摘要: 本文运用锥上的不动点指数理论研究了在含有Stieltjes积分边值条件下Minkowski平均曲率问题$\{\begin{array}{l}-{\left[\phi \left(u^{\prime }\left(t\right)\right)\right]}^{\prime }=f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right)，t\in \left[0,1\right],\hfill \\ u^{\prime }\left(0\right)=0，u\left(1\right)=\alpha \left[u\right]\hfill \end{array}$ 正解的存在性。其中$f:\left[0,1\right]\times \left[0,+\infty \right)\times \left(-1,0\right]\to \left[0,+\infty \right)$ 连续，$\alpha \left[u\right]={\displaystyle {\int }_0^{1}u\left(t\right)\text{d}A\left(t\right)}$ ，$A$ 是有界变差函数，$\phi \left(s\right)=\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}$ ，$s\in \left(-1,1\right)$ 。

Abstract: In this paper, by using the theory of fixed point index on cones, we discuss the existence of positive solutions for the following second-order differential equations with mean curvature operator in Minkowski space under Stieltjes boundary condition $\{\begin{array}{l}-{\left[\phi \left(u^{\prime }\left(t\right)\right)\right]}^{\prime }=f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right)，t\in \left[0,1\right],\hfill \\ u^{\prime }\left(0\right)=0，u\left(1\right)=\alpha \left[u\right]\hfill \end{array}$ where $f:\left[0,1\right]\times \left[0,+\infty \right)\times \left(-1,0\right]\to \left[0,+\infty \right)$ is continuous and $\alpha \left[u\right]={\displaystyle {\int }_0^{1}u\left(t\right)\text{d}A\left(t\right)}$ , $A$ is a function of bounded variation $\phi \left(s\right)=\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}$ , $s\in \left(-1,1\right)$ .

1. 引言

众所周知Minkowski平均曲率问题在相对论和几何领域有着广泛的应用。近年来，诸多学者研究了齐次平均曲率问题，参见文[1]-[7]。膜是扩展的动力学物体，在弦论和膜物理学中，膜世界与相对论性膜的运动的研究，多需要运用在Minkowski空间中的平均曲率问题。在无外力的情况下，一个理想的、仅由其张力驱动的膜，其运动方程(即它的历史轨迹应满足的方程)就是其世界体积的平均曲率为零。这被称为极值超曲面方程或Nambu-Goto型方程。除此之外，在广义相对论中，黑洞的边界——事件视界，是一个具有特殊几何性质的类光超曲面。Minkowski空间中平均曲率也在其中扮演关键角色。另外，带有Stieltjes边界条件的二阶非齐次微分方程在热传导和工程力学等方面有着深远影响，Stieltjes积分用来描述一个弹性体(如梁、膜)在边界上不仅受到连续分布的支撑力(如躺在弹性地基上)，还在某些特定点受到点支撑、点载荷或点焊。因此，将Minkowski空间中的平均曲率问题与Stieltjes积分边值条件相结合，可以在膜物理学中，我们能更好地分析膜在更复杂的受力情况下的状态，见文[8]-[12]。然而，带有Stieltjes积分边界条件的平均曲率问题很少被研究。

2006年，Webb等人在文[10]中运用了一种统一的非线性方法研究非线性微分方程

$-u^{″}\left(t\right)=g\left(t\right)f\left(t,u\left(t\right)\right),\forall t\in \left(0,1\right)$

在如下各种非局部边界条件下

$u\left(0\right)=\alpha \left[u\right],u\left(1\right)=\beta \left[u\right],$

$u\left(0\right)=\alpha \left[u\right],u^{\prime }\left(1\right)=\beta \left[u\right],$

$u\left(0\right)=\alpha \left[u\right],u^{\prime }\left(1\right)+\beta \left[u\right]=0,$

$u^{\prime }\left(0\right)=\alpha \left[u\right],u\left(1\right)=\beta \left[u\right],$

$u^{\prime }\left(0\right)=\alpha \left[u\right],u\left(1\right)=\beta \left[u\right]$

多重正解的存在性。其中$\beta \left[u\right]={\displaystyle {\int }_0^{1}u\left(s\right)\text{d}B}\left(s\right),g\in L^1\left(0,1\right)$ 。

2007年，Bereanu等人在文[2]中运用Leray-Schauder度理论得到了非局部平均曲率问题

$\{\begin{array}{l}-{\left[\phi \left(u^{\prime }\right)\right]}^{\prime }=f\left(t,u,u^{\prime }\right),t\in \left[0,T\right],\hfill \\ l\left(u,u^{\prime }\right)=0\hfill \end{array}$ (1.1)

多重解的存在性。其中$l\left(u,u^{\prime }\right)=0$ 分别满足Dirchlet边值条件、Neuman边值条件和周期边值条件。2008年，Bereanu在文[3]研究了(1.1)在非齐次边界条件下多重正解的存在性。

2019年，Ming等人在文[8]中运用锥上不动点指数理论研究了带有Stieltjes积分边界条件的二阶微分方程

$\{\begin{array}{l}-u^{″}\left(t\right)=f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right],\hfill \\ au\left(0\right)-b{u}^{\prime }\left(0\right)=\alpha \left[u\right],cu\left(1\right)+d{u}^{\prime }\left(1\right)=\beta \left[u\right]\hfill \end{array}$

正解的存在性，其中$f:\left[0,1\right]\times \left[0,+\infty \right)\times \left(-\infty ,+\infty \right)\to \left[0,+\infty \right)$ 连续。

基于上述工作以及受[3] [12]的启发，本文研究带有Stieltjes积分边值条件的平均曲率边值问题

$-{\left[\phi \left(u^{\prime }\left(t\right)\right)\right]}^{\prime }=f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right],$ (1.2)

$u^{\prime }\left(0\right)=0,u\left(1\right)=\alpha \left[u\right]$ (1.3)

正解的存在性。由$\phi$ 的定义可知$\left|u^{\prime }\right|<1$ ，那么存在$0<\delta <1$ ，使得

${u^{\prime }}^2\le 1-{\delta }^2,\forall t\in \left(1,0\right]$

在文[10]提供了一类统一方法的前提下，本文针对具体的一维Minkowski空间中带有平均曲率算子的问题进行了转化，利用添加扰动项的方法，找到等价积分算子。

再在文[8]的基础上，运用不动点指数理论找到正解的存在性，区别于文[8]，我们重点强调了如何将平均曲率问题转化成二阶非线性微分方程，对问题转化前后的等价性进行了证明，并且奇异点处给出了带有平均曲率算子特点的处理方式。

众所周知，记

$k\left(t,s\right)=\{\begin{array}{ll}1-t,\hfill & 0\le s\le t\le 1,\hfill \\ 1-s,\hfill & 0\le t\le s\le 1\hfill \end{array}$

为问题

$\{\begin{array}{l}-u^{″}\left(t\right)=0,t\in \left[0,1\right],\hfill \\ u^{\prime }\left(0\right)=0,u\left(1\right)=0\hfill \end{array}$

的Green函数。

本文总假定：

(C1) $f:\left[0,1\right]\times \left[0,+\infty \right)\times \left[-1,0\right)\to \left[0,+\infty \right)$ 连续；

(C2) ${\mathcal{K}}_A\left(s\right):={\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(t,s\right)\text{d}A\left(t\right)}\ge 0$ ；

(C3) $0\le \alpha \left[1\right]<1$ 。

2. 预备知识

设$E=C^1\left[0,1\right]$ 在${\Vert u\Vert }_{C^1}=\text{max}\left\{{\Vert u\Vert }_C,{\Vert u^{\prime }\Vert }_C\right\}$ 下构成的Banach空间，其中${\Vert u\Vert }_C=\text{max}\left|u\right|$ ，${\Vert u^{\prime }\Vert }_C=\text{max}\left|u^{\prime }\right|$ ，定义$E$ 上开集 ${\Omega }_r=\left\{u\in E:{\Vert u\Vert }_{C^1}<r,r>0\right\}$ 。

通过一系列计算，问题(1.2)~(1.3)可转化为如下二阶微分边值问题

$-u^{″}\left(t\right)=f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}},t\in \left[0,1\right],$ (2.1)

$u^{\prime }\left(0\right)=0,u\left(1\right)=\alpha \left[u\right].$ (2.2)

引理1 问题(1.2)~(1.3)与问题(2.1)~(2.2)同解。

证明 显然，问题(1.2)~(1.3)的解是问题(2.1)~(2.2)的解。反之，假设$u$ 是问题(2.1)~(2.2)的解，只需证明${\Vert u^{\prime }\Vert }_C<1$ ，那么$u$ 是问题(1.2)~(1.3)的解。根据边界条件$u^{\prime }\left(0\right)=0$ ，现假设${\Vert u^{\prime }\Vert }_C=1$ ，由$u^{\prime }$ 的连续性可知，存在一点$t^{\text{*}}\in \left[0,1\right]$ ，使得$\left|u^{\prime }\left(t^{\text{*}}\right)\right|=1$ ，显然$0\ne t^{\text{*}}$ 。

对任意的$t\in \left[0,t^{\text{*}}\right)$ ，若$u$ 满足方程

$-{\left[\phi \left(u^{\prime }\left(t\right)\right)\right]}^{\prime }=f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right),t\in \left[0,t^{\text{*}}\right),$

对上述方程作积分运算，可得

$u^{\prime }\left(t\right)=-{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s\right).$

由于$f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right)\in C^1\left[0,1\right]$ ，那么

$\underset{t\to t^{\text{*}-}}{\text{lim}}{\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^t\left|f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\right|\text{d}s}\right)={\phi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^{t^{\text{*}}}\left|f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\right|\text{d}s}\right)<1$

则$\underset{t\to t^{\text{*}-}}{\text{lim}}\left|u^{\prime }\left(t\right)\right|<1$ 。这与$\left|u^{\prime }\left(t^{\text{*}}\right)\right|=1$ 矛盾，故${\Vert u^{\prime }\Vert }_C<1$ 。 □

文[12] [13]给出了问题(2.1)~(2.2)有解当且仅当解满足如下积分算子

$u\left(t\right)=\alpha \left[u\right]+{\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s}=:\left(Tu\right)\left(t\right)$ (2.3)

上式(2.3)由文[12]可得。下面令

$\left(Fu\right)\left(t\right):={\displaystyle {\int }_0^{1}k\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s}$ (2.4)

从而

$\left(Tu\right)\left(t\right)=\alpha \left[u\right]+\left(Fu\right)\left(t\right).$ (2.5)

对(2.5)等式两边同时作Stieltjes积分运算$\alpha \left[u\right]$ ，定义

$\left(Su\right)\left(t\right)=\frac{\alpha \left[Fu\right]}{1-\alpha \left[1\right]}+\left(Fu\right)\left(t\right),$

那么

$\begin{array}{c}\left(Su\right)\left(t\right)=\frac{1}{1-\alpha \left[1\right]}{\displaystyle {\int }_0^1{\mathcal{K}}_A}\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s\\ +{\displaystyle {\int }_0^{1}k}\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s\end{array}$ (2.6)

其中

$k_S\left(t,s\right)=\frac{1}{1-\alpha \left[1\right]}{\mathcal{K}}_A\left(s\right)+k\left(t,s\right).$ (2.7)

引理2 对于任意的$t\in \left[0,1\right]$ ，有$\max k_S\left(t,s\right)=k_S\left(0,s\right)$ 。

证明$k_S\left(t,s\right)=\frac{1}{1-\alpha \left[1\right]}{\mathcal{K}}_A\left(s\right)+k\left(t,s\right)\le \frac{1}{1-\alpha \left[1\right]}{\mathcal{K}}_A\left(s\right)+k\left(0,s\right)=k_S\left(0,s\right)$ 。 □

通过一系列计算，假定(C2)和(C3)成立。则存在非负函数$\Phi \left(s\right)$ ，满足

$\left(1-t\right)\Phi \left(s\right)\le k_S\left(t,s\right)\le \Phi \left(s\right),t,s\in \left[0,1\right],$

其中

$\Phi \left(s\right)=\frac{1}{1-\alpha \left[1\right]}{\mathcal{K}}_A\left(s\right)+\left(1-s\right)$ (2.8)

定义$E$ 上的两个锥以及一些线性算子

$P=\left\{u\in E:u\left(t\right)\ge 0,u^{\prime }\left(t\right)\le 0,\forall t\in \left[0,1\right]\right\},$ (2.9)

$K=\left\{u\in P:u\left(t\right)\ge \left(1-t\right){\Vert u\Vert }_C,\forall t\in \left[0,1\right],\alpha \left[u\right]\ge 0,u^{\prime }\left(0\right)=0\right\},$ (2.10)

$\left(L_{i}u\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(t,s\right)\left(a_{i}u\left(s\right)-b_i{u}^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s\left(i=1,2,4\right),$ (2.11)

$\left(L_{3}u\right)\left(t\right)=a_3{\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(t,s\right)u\left(s\right)\text{d}s.$ (2.12)

引理3 如果(C1)~(C3)成立，则$S:P\to K$ ，$L_i:C^1\left[0,1\right]\to C^1\left[0,1\right]$ 是全连续算子并且满足$L_i\left(P\right)\subset K\left(i=1,2,3,4\right)$ 。

证明 由(2.6)，(2.7)和(C1)~(C3)知，对任意的$u\in P$ ，可得$\left(Su\right)\left(t\right)\ge 0$ 且

${\left(Su\right)}^{\prime }\left(t\right)=-{\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s\le 0,\forall t\in \left[0,1\right]$

根据(C1)，显然$S:P\to C^1\left[0,1\right]$ 以及$L_i:C^1\left[0,1\right]\to C^1\left[0,1\right]\left(i=1,2,3,4\right)$ 均连续。设$F$ 是$P$ 的有界集，则存在$M>0$ ，使得对于任意的$u\in F$ 满足${\Vert u\Vert }_{C^1}\le M$ 。令$\tilde{M}=\text{min}\left\{1,M\right\}$，我们可以推出

$\left(Su\right)\left(t\right)\le \left({\max }_{\left(s,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,M\right]\times \left[-\tilde{M},0\right]}f\left(s,u,v\right)\right){\displaystyle {\int }_0^1\Phi \left(s\right)\text{d}s}$

$\left|{\left(Su\right)}^{\prime }\left(t\right)\right|\le \left({\max }_{\left(s,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,M\right]\times \left[-\tilde{M},0\right]}f\left(s,u,v\right)\right){\displaystyle {\int }_0^t\text{d}s}\le {\max }_{\left(s,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,M\right]\times \left[-\tilde{M},0\right]}f\left(s,u,v\right)$

则$S\left(F\right)$ 一致有界。此外，对于任意的$u\in F$ ，$t_1,t_2\in \left[0,1\right]$ ，不妨令$t_1<t_2$ ，则有

$\begin{array}{c}\left|\left(Su\right)\left(t_1\right)-\left(Su\right)\left(t_2\right)\right|\le {\displaystyle {\int }_0^1\left|k_S\left(t_1,s\right)-k_S\left(t_2,s\right)\right|f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s}\\ \le \left({\max }_{\left(s,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,M\right]\times \left[-\tilde{M},0\right]}f\left(s,u,v\right)\right){\displaystyle {\int }_0^1\left|k_S\left(t_1,s\right)-k_S\left(t_2,s\right)\right|\text{d}s}\\ =\left({\max }_{\left(s,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,M\right]\times \left[-\tilde{M},0\right]}f\left(s,u,v\right)\right){\displaystyle {\int }_0^1\left|k\left(t_1,s\right)-k\left(t_2,s\right)\right|\text{d}s}\\ \le \left({\max }_{\left(s,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,M\right]\times \left[-\tilde{M},0\right]}f\left(s,u,v\right)\right){\displaystyle {\int }_0^1\left|t_2-t_1\right|\text{d}s},\end{array}$

$\begin{array}{c}\left|{\left(Su\right)}^{\prime }\left(t_1\right)-{\left(Su\right)}^{\prime }\left(t_2\right)\right|={\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}f}\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s\\ \le \left({\max }_{\left(s,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,M\right]\times \left[-\tilde{M},0\right]}f\left(s,u,v\right)\right)\left|t_2-t_1\right|\end{array}$

则$S\left(F\right)$ 和$S^{\prime }\left(F\right)$ 等度连续。

由Arzel`a-Ascoli 定理可知$S:P\to C^1\left[0,1\right]$ 是全连续的，$L_i:C^1\left[0,1\right]\to C^1\left[0,1\right]\left(i=1,2,3,4\right)$ 也是全连续的。

对任意的$u\in P$ ，$t\in \left[0,1\right]$ ，由引理2可得

${\Vert Su\Vert }_C={\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(0,s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s\le {\displaystyle {\int }_0^1\Phi }\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s,$

$\begin{array}{c}\left(Su\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s\\ \ge \left(1-t\right){\displaystyle {\int }_0^1\Phi }\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s\\ \ge \left(1-t\right){\Vert Su\Vert }_C.\end{array}$

借助文[10]可以得到。

引理4 ([10])如果(C1)~(C3)成立，那么$S$ 和$T$ 在锥$K$ 上有相同不动点。问题(1.2)~(1.3)有解当且仅当$S$ 有一个不动点。

下面引入本文使用的主要工具。

引理5 ([14])设$E$ 是实Banach空间，$P$ 为$E$ 中一个锥，$\Omega$ 是$E$ 上的有界开子集，算子$A:K\cap \overline{\Omega }\to K$ 全连续。若

$\mu Au\ne u,\forall u\in K\cap \partial \Omega ,0\le \mu \le 1,$

则$i\left(A,K\cap \Omega ,K\right)=1$ 。

引理6 ([14])设$E$ 是实Banach空间，$P$ 为$E$ 中一个锥，$\Omega$ 是$E$ 上的有界开子集，算子 $A:K\cap \overline{\Omega }\to K$ 全连续。若存在${\nu }_0\in K\backslash \left\{0\right\}$ ，使得

$u-Au\ne v{\nu }_0,\forall u\in K\cap \partial \Omega ,v\ge 0,$

则$i\left(A,K\cap \Omega ,K\right)=0$ 。

若Banach空间$E$ 中的锥$P$ 满足$E=P-P$ ，则$P$ 称为$E$ 中的一个可再生锥。

引理7 (Krein-Rutman)设$E$ 是实Banach空间，$P$ 为$E$ 中的一个可再生锥，$L:K\to K$ 是全连续线性算子，满足$L\left(P\right)\subset P$ 。若谱半径$r\left(L\right)>0$ ，则存在$\phi \in P\backslash \left\{0\right\}$ ，使得$L\phi =r\left(L\right)\phi$ 。

下面给出的定理与本文主要结果的证明有密切关联。

引理8 ([13])令$R>0$ ，定义连续函数$H_M:\left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$ ，满足

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{\rho \text{d}\rho }{H_M\left(\rho \right)}}=\infty$ (2.13)

那么存在依赖于$\phi ,R$ 的实数$M>0$ ，若$v\in C^2\left[0,1\right]$ 且满足${\Vert v\Vert }_C\le R$ ，$\left|v^{″}\left(t\right)\right|\le H_M\left(\left|v^{\prime }\left(t\right)\right|\right)$ 其中$t\in \left[0,1\right]$ ，那么${\Vert v^{\prime }\Vert }_C\le M$ 。

3. 主要结果及证明

定理1 假定(C1)~(C3)成立。且满足

(F1) 存在实数$a_1,b_1,c_1>0$ ，使得对任意$\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,+\infty \right)\times \left(-1,0\right]$ ，有

$f\left(t,u,v\right)\le a_{1}u-b_{1}v+c_1$ (3.1)

且谱半径$r\left(L_1\right)<1$ ，其中$L_1$ 如(2111)所定义；

(F2) 存在实数$a_2,b_2>0$ ，$0<r,\delta <1$ ，使得对任意$\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,r\right]\times \left[-r,0\right]$ ，满足

$f\left(t,u,v\right)\ge \frac{1}{{\delta }^3}\left(a_{2}u-b_{2}v\right)$ (3.2)

且谱半径$r\left(L_2\right)\ge 1$ ，其中$L_2$ 如(2.11)所定义。

则问题(1.2)~(1.3)至少存在一个非增正解。

定理2 若(C1)~(C3)成立，且(F3)存在实数$a_3,c_3>0$ ，使得对任$\left(t,u,v\right)\in \left[0,1]\times [0,+\infty \right)\times \left(-1,0\right]$ ，

$a_3{\displaystyle {\int }_0^1\left(1-s\right)\Phi \left(s\right)\text{d}s}>1$ (3.3)

中的$\Phi \left(s\right)$ 如(2.8)所定义，另外还满足

$f\left(t,u,v\right)\ge a_{3}u-c_3$ (3.4)

(F4) 存在实数$a_4>0$ ，$b_4>0$ ，$r>0$ ，使得对任意$\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,r\right]\times \left[-r,0\right]$ ，有

$f\left(t,u,v\right)\le a_{4}u-b_{4}v$ (3.5)

且谱半径$r\left(L_4\right)\ge 1$ ；

(F5) 对任意$M>0$ ，存在一个定义在$\left[0,+\infty \right)$ 上的正连续函数$H_M\left(\rho \right)$ 满足(2.13)使得

$f\left(t,u,v\right)\le H_M\left(\left|v\right|\right)-c_1,\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,M\right]\times \left(-\infty ,+\infty \right)$ (3.6)

则问题(1.2)~(1.3)至少存在一个非增正解。

定理1的证明 设$W=\left\{u\in K:u=\mu Su,\mu \in \left[0,1\right]\right\}$ ，$S$ 和$K$ 如(2.5)和(2.10)所定义。下证$W$ 是有界集。若$u\in W$ ，则由(2.7)和(2.9)可得，对任意$\mu \in \left[0,1\right]$ ，有$u=\mu Su$ ，则由(F1)可得

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=\mu \left(Su\right)\left(t\right)=\mu {\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s\\ \le {\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(t,s\right)\left[a_{1}u\left(s\right)-b_1{u}^{\prime }\left(s\right)+c_1\right]\text{d}s=\left(L_{1}u\right)\left(t\right)+c_1{\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(t,s\right)\text{d}s\end{array}$

从而

$\left(I-L_{1}u\right)\left(t\right)\le c_1{\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(t,s\right)\text{d}s=:\nu \left(t\right)$ 。

显然$\nu \in P$ 。另一方面

$u^{\prime }\left(t\right)=\mu {\displaystyle {\int }_0^t-f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s}\ge -{\displaystyle {\int }_0^t\left[a_{1}u\left(s\right)-b_{1}u\text{'}\left(s\right)+c_1\right]\text{d}s}={\left(L_{1}u\right)}^{\prime }\left(t\right)+{\nu }^{\prime }\left(t\right)$ 。

由$u^{\prime }\left(t\right)\le 0$ 可得

$-{\left(\left(I-L_1\right)u\right)}^{\prime }\left(t\right)\le -{\nu }^{\prime }\left(t\right)$ 。

又由$r\left(L_1\right)<1$ ，可推出$\left(I-L_1\right)$ 存在有界可逆算子${\left(I-L_1\right)}^{-1}$ ，从而

$u^{\prime }\left(t\right)\le {\left({\left(I-L_1\right)}^{-1}\nu \right)}^{\prime }\left(t\right)$ 。

由引理3中$L_1\left(P\right)\subset K\subset P$ 可知，${\left(I-L_1\right)}^{-1}\left(P\right)\subset P$ ，则

$u\left(t\right)\le \left({\left(I-L_1\right)}^{-1}\nu \right)\left(t\right),\left|u^{\prime }\left(t\right)\right|\le \left|{\left({\left(I-L_1\right)}^{-1}\nu \right)}^{\prime }\left(t\right)\right|,$

所以${\Vert u\Vert }_{C^1}\le {\Vert {\left(I-L_1\right)}^{-1}\nu \Vert }_{C^1}$ ，即W有界。

取$R>\max \left\{r,\sup W\right\}$ ，由引理5可知，对任意的$u\in K\cap \partial {\Omega }_R$ ，$\mu \in \left[0,1\right]$ ，有$\mu Au\ne u$ ，$i\left(S,K\cap {\Omega }_R,K\right)=1$ 。由引理7，因为$L_2\left(P\right)\subset K\subset P$ ，$r\left(L_2\right)\ge 1$ ，则存在${\phi }_0\in P\backslash \left\{0\right\}$ 使得$L_2{\phi }_0=r\left(L_2\right){\phi }_0$ 。

另有${\phi }_0=r{\left(L_2\right)}^{-1}{L}_2{\phi }_0\in K$ 。下面我们要证$S$ 在$K\cap \partial {\Omega }_r$ 上没有不动点，需要说明在$K\cap \partial {\Omega }_r,r\ge 0$ 上满足$u-Su\ne v{\phi }_0$ 。

反设$S$ 存在$u_0\in K\cap \partial {\Omega }_r$ ，$v_0\ge 0$ ，使得$u_0-S{u}_0=v_0{\phi }_0$ 。由$u_0\in K\cap \partial {\Omega }_r$ ，$v_0\ge 0$ 可知对任意的$t\in \left[0,1\right]$ ，$0\le u_0\left(t\right)\le r$ ，$-\text{min}\left\{r,1\right\}<{u^{\prime }}_0\left(t\right)\le 0$ 。有

$\left(S{u}_0\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(t,s\right)f\left(s,u_0\left(s\right),{u^{\prime }}_0\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}_0^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s\ge {\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{{\delta }^3}}\left(a_2{u}_0\left(s\right)-b_2{u^{\prime }}_0\left(s\right)\right){\delta }^3\text{d}s=\left(L_2{u}_0\right)\left(t\right)$

${\left(S{u}_0\right)}^{\prime }\left(t\right)=-{\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,u_0\left(s\right),{u^{\prime }}_0\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}_0^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s\le -{\displaystyle {\int }_0^t\frac{1}{{\delta }^3}}\left(a_2{u}_0\left(s\right)-b_2{u^{\prime }}_0\left(s\right)\right){\delta }^3\text{d}s={\left(L_2{u}_0\right)}^{\prime }\left(t\right)$

由此可得

$u_0=v_0{\phi }_0+S{u}_0\underset{\_}{\succ }{v}_0{\phi }_0+L_2{u}_0\underset{\_}{\succ }{v}_0{\phi }_0$ (3.7)

令$v^{\text{*}}=\text{sup}\left\{v>0:u_0\underset{\_}{\succ }v{\phi }_0\right\}$ ，那么$v_0\le v^{\text{*}}<+\infty ,u_0\underset{\_}{\succ }{v}^{\text{*}}{\phi }_0$ 。由(3.1)可得

$u_0\underset{\_}{\succ }{v}_0{\phi }_0+L_2{u}_0\underset{\_}{\succ }{v}_0{\phi }_0+v^{*}{L}_2{\phi }_0=v_0{\phi }_0+v^{*}r\left(L_2\right){\phi }_0$ ，

从而$r\left(L_2\right)\ge 1$ 可知$u_0\underset{\_}{\succ }\left(v_0+v^{\text{*}}\right){\phi }_0$ ，与$v^{\text{*}}$ 的定义矛盾，所以对$u\in K\cap \partial {\Omega }_r$ ，$v\ge 0$ 满足$u-Su\ne v{\phi }_0$ 。从而引理5可得$i\left(S,K\cap \partial {\Omega }_r,K\right)=0$ 。

那么

$i\left(S,K\cap {\Omega }_R\backslash {\overline{\Omega }}_r,K\right)=i\left(S,K\cap {\Omega }_R,K\right)-i\left(S,K\cap {\overline{\Omega }}_r,K\right)=1$ 因此，$S$ 在$K$ 中至少有一个不动点，问题(1.2)~(1.3)至少有一个非增的正解。 □

定理2的证明 (1) 首先证明对任意$u\in K\cap \partial {\Omega }_r,\mu \in \left[0,1\right]$ ，有$\mu Su\ne u$ 。运用反证法，若存在 $u_1\in K\cap \partial {\Omega }_r$ ，${\mu }_0\in \left[0,1\right]$ ，使得$u_1={\mu }_{0}S{u}_1$ ，可以推知

$0\le u_1\left(t\right)\le r,-r\le {u^{\prime }}_1\le 0,\forall t\in \left[0,1\right]$ 。

由(3.4)知，

$\begin{array}{c}{u}_1\left(t\right)={\mu }_0\left(S{u}_1\right)\left(t\right)={\mu }_0{\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(t,s\right)f\left(t,u_1\left(s\right),u_{1\text{'}}\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s\\ \le {\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(t,s\right)\left[a_4{u}_1\left(s\right)-b_4{u}_1\left(s\right)\right]=\left(L_2{u}_1\right)\left(t\right)\text{d}s,\end{array}$

$\begin{array}{c}{u^{\prime }}_1\left(t\right)=-{\mu }_0{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(t,u_1\left(s\right),{u^{\prime }}_1\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s}\\ \ge -{\displaystyle {\int }_0^t{a}_4{u}_1\left(s\right)-b_4{u}_1\left(s\right)\text{d}s}={\left(L_2{u}_1\right)}^{\prime }\left(t\right),\forall t\in \left[0,1\right],\end{array}$

故$\left(I-L_2\right)u_1\le 0$ 。

由$r\left(L_2\right)<1$ 知$I-L_2$ 有可逆算子${\left(I-L_2\right)}^{-1}:P\to P$ 且$u_1\le {\left(I-L_2\right)}^{-1}0=0$ ，与$u_1\in K\cap \partial {\Omega }_r$ 矛盾。则由引理5可知$i\left(S,K\cap \partial {\Omega }_r,K\right)=1$ 。

(2) 令

$M=\frac{c_3{\displaystyle {\int }_0^1\Phi \left(s\right)\text{d}s}}{a_3{\displaystyle {\int }_0^1\left(1-s\right)\Phi \left(s\right)\text{d}s}-1}$ (3.8)

(3) 对$u\in P$ ，定义

$\left(S_{1}u\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(t,s\right)\left[f\left(t,u_2\left(s\right),{u^{\prime }}_2\left(s\right)\right)+\frac{c_3}{{\delta }^3}\right]{\left(1-{u^{\prime }}^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s$ (3.9)

类似引理3的证明，$S_1$ 是全连续的。假设存在$u_2\in K\cap \partial {\Omega }_R$ ，${\lambda }_0\in \left[0,1\right]$ ，使得

$\left(1-{\lambda }_0\right)S{u}_2+{\lambda }_0{S}_1{u}_2=u_2$ (3.10)

由(3.4)和引理3可知，

$\begin{array}{c}{\Vert u_2\Vert }_C=\left(1-{\lambda }_0\right){\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(0,s\right)f\left(s,u_2\left(s\right),{u^{\prime }}_2\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}_2^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s\\ +{\lambda }_0{\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(0,s\right)\left[f\left(s,u_2\left(s\right),{u^{\prime }}_2\left(s\right)\right)+\frac{c_3}{{\delta }^3}\right]{\left(1-{u^{\prime }}_2^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s\\ \ge {\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(0,s\right)\left[f\left(s,u_2\left(s\right),{u^{\prime }}_2\left(s\right)\right)+{\lambda }_0\frac{c_3}{{\delta }^3}\right]{\left(1-{u^{\prime }}_2^2\right)}^{\frac{3}{2}}\text{d}s\\ \ge {\displaystyle {\int }_0^1{k}_S}\left(0,s\right)\left[\frac{a_3{u}_2\left(s\right)-c_3+c_3{\lambda }_0}{{\delta }^3}\right]{\delta }^3\text{d}s\\ \ge a_3{\displaystyle {\int }_0^1\Phi \left(s\right)u_2\left(s\right)\text{d}s}-c_3{\displaystyle {\int }_0^1\Phi \left(s\right)\text{d}s}\\ \ge a_3{\Vert u_2\Vert }_C{\displaystyle {\int }_0^1\left(1-s\right)\Phi \left(s\right)\text{d}s}-c_3{\displaystyle {\int }_0^1\Phi \left(s\right)\text{d}s}\end{array}$

由此可得

${\Vert u_2\Vert }_C\le \frac{c_3{\displaystyle {\int }_0^1\Phi \left(s\right)\text{d}s}}{a_3{\displaystyle {\int }_0^1\left(1-s\right)\Phi \left(s\right)\text{d}s}-1}=M$ (3.11)

又由(2.13)，(3.10)和(3.11)可知，

$\begin{array}{c}-{u^{″}}_2\left(t\right)=\left(1-{\lambda }_0\right)f\left(s,u_2\left(s\right),{u^{\prime }}_2\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}_2^2\right)}^{\frac{3}{2}}+{\lambda }_0\left(f\left(s,u_2\left(s\right),{u^{\prime }}_2\left(s\right)\right)+c_3\right)\\ =\left(s,u_2\left(s\right),{u^{\prime }}_2\left(s\right)\right){\left(1-{u^{\prime }}_2^2\right)}^{\frac{3}{2}}+{\lambda }_0{c}_3\le f\left(s,u_2\left(s\right),{u^{\prime }}_2\left(s\right)\right)+c_3\\ \le H_M\left(\left|{u^{\prime }}_2\right|\right)\end{array}$

根据引理6，存在常数$M_1\ge 0$ ，使得${\Vert {u^{\prime }}_2\Vert }_C\le M_1$ 。令$R>\text{max}\left\{r,M,M_1\right\}$ ，那么

$\left(1-\lambda \right)Su+\lambda S_{1}u\ne u,\forall u\in K\cap \partial {\Omega }_R,\lambda \in \left[0,1\right],$

因此可得

$i\left(S,K\cap \partial {\Omega }_R,K\right)=i\left(S_1,K\cap \partial {\Omega }_R,K\right)$ (3.12)

(4) 对于函数$h\left(t\right)=1-t$ ，我们可得，

$\left(L_{3}h\right)\left(t\right)=a_3{\displaystyle {\int }_0^1\left(1-s\right)k_S\left(t,s\right)\text{d}s}\ge a_3\left(1-t\right){\displaystyle {\int }_0^1\left(1-s\right)\Phi \left(s\right)\text{d}s}=\left(a_3{\displaystyle {\int }_0^1\left(1-s\right)\Phi \left(s\right)\text{d}s}\right)h\left(t\right),$

所以由Krasnosel’skii可得存在${\lambda }_1\ge a_3{\displaystyle {\int }_0^1\left(1-s\right)\Phi \left(s\right)\text{d}s}>1$ 以及${\phi }_0\in C\left[0,1\right],{\phi }_0\ge 0$ ，使得${\phi }_0={\lambda }_1^{-1}{L}_3{\phi }_0$ 。进一步，由

${{\phi }^{\prime }}_0\left(t\right)=-a_3{\displaystyle {\int }_0^t{\phi }_0\left(s\right)\text{d}s}\le 0,\forall t\in \left[0,1\right]$

可推得${\phi }_0\in P$ 且${\phi }_0\in K$ 。

(5) 接下来我们证明$u-S_{1}u\ne v{\phi }_0$ ，$u\in K\cap \partial {\Omega }_R$ ，$v\ge 0$ 。这里${\phi }_0$ 如(iv)中定义，根据引理6得

$i\left(S_1,K\cap \partial {\Omega }_R,K\right)=0$ (3.13)

运用反证法，若存在$u_0\in K\cap \partial {\text{Ω}}_R,v_0\ge 0$ ，使得$u_0-S_1{u}_0=v_0{\phi }_0$ 。显然

$u_0\left(t\right)=\left(S_1{u}_0\right)\left(t\right)+v_0{\phi }_0\left(t\right)\ge v_0{\phi }_0\left(t\right)$ (3.14)

对于任意的$t\in \left[0,1\right]$ ，设

$v^{\text{*}}=\text{sup}\left\{v>0:u_0\left(t\right)\ge v{\phi }_0\left(t\right),\forall t\in \left[0,1\right]\right\}$ ，

那么有$v_0\le v^{\text{*}}<+\infty$ ，$u_0\left(t\right)\ge v^{\text{*}}{\phi }_0\left(t\right)$ ，由(1.6)和(3.8)可知

$u_0\left(t\right)=\left(S_1{u}_0\right)\left(t\right)+v_0{\phi }_0\left(t\right)\ge \left(L_3{u}_0\right)\left(t\right)+v_0{\phi }_0\left(t\right)\ge v^{\text{*}}\left(L_3{\phi }_0\right)\left(t\right)+v_0{\phi }_0\left(t\right)={\lambda }_1{v}^{\text{*}}{\phi }_0\left(t\right)+v_0{\phi }_0\left(t\right)$ 。

由于${\lambda }_1>1$ ，则$r\left(L_3\right)v^{\text{*}}+v_0>v^{\text{*}}$ 。这与$v^{\text{*}}$ 的定义矛盾。

(6) 由(3.12)和(3.13)知$i\left(S,K\cap \partial {\Omega }_R,K\right)=0$ ，从而

$i\left(S,K\cap {\Omega }_R\backslash {\overline{\Omega }}_r,K\right)=i\left(S,K\cap {\Omega }_R,K\right)-i\left(S,K\cap {\overline{\Omega }}_r,K\right)=-1$ ，

因此可得$S$ 在$K$ 中至少有一个不动点，问题(1.2)~(1.3)至少有一个非增的正解。 □