正交投影算子序列积的相关性质

On the Related Properties of the Sequential Product of Orthogonal Projection Operators

摘要: 本文以复可分Hilbert空间为研究背景，聚焦正交投影算子序列积的相关性质展开探究。记$\epsilon \left(H\right)$ 为该空间全体正压缩算子的集合，为全体正交投影算子的集合。对于$A\in \epsilon \left(H\right)$ ，$B\in \epsilon \left(H\right)$ ，定义$A\circ B=A^{\frac{1}{2}}B{A}^{\frac{1}{2}}$ 为$A$ 和$B$ 的序列积。研究借助空间分解的方法，推导并证明了正交投影算子序列积在幂运算、广义逆存在性等方面的核心定理。

Abstract: This paper takes the complex separable Hilbert space as the research background and focuses on exploring the relevant properties of the sequential product of orthogonal projection operators. Let $\epsilon \left(H\right)$ denote the set of all positive contraction operators on this space, and denote the set of all orthogonal projection operators. For $A\in \epsilon \left(H\right)$ , $B\in \epsilon \left(H\right)$ , the sequential product of A and B is defined as $A\circ B=A^{\frac{1}{2}}B{A}^{\frac{1}{2}}$ . By means of the space decomposition method, this study deduces and proves the core theorems of the sequential product of orthogonal projection operators in terms of power operations and the existence of generalized inverses.

1. 引言

设$H$ 是复可分的Hilbert空间，$B\left(H\right)$ 表示Hilbert空间$H$ 上的全体有界线性算子构成的Banach空间。若算子$T\in B\left(H\right)$ 满足$0\le T\le I$ 的正算子，则称$T$ 为Hilbert空间$H$ 上的量子效应。全体此类算子构成的集合记为$\epsilon \left(H\right)$ ，$\epsilon \left(H\right)=\left\{T\in B\left(H\right):0\le T\le I\right\}$ 。在量子测量理论的框架下，若$T\in B\left(H\right)$ 同时满足$T^2=T=T^{*}$ ，则$T$ 被称为sharp effects。表示Hilbert空间上所有sharp量子效应集合，这与Hilbert空间上的正交投影算子集合相一致。若$T$ 具有形式

$T=P\circ Q=P^{\frac{1}{2}}Q{P}^{\frac{1}{2}}$ 。

其中$P$ 和$Q$ 为正交投影算子，则称$T$ 是almost sharp。若$T$ 和$I-T$ 都是almost sharp，则称$T$ 是nearly sharp。

若$T\in B\left(H\right)$ ，则$R\left(T\right),N\left(T\right)$ 和$T^{*}$ 分别表示$T$ 的值域空间，零空间和共轭算子。若$T\in \epsilon \left(H\right)$ ，用$T^{\frac{1}{2}}$ 表示$T$ 的正平方根。对于子空间$M\subset H$ ，其正交补空间记为$M^{\perp }$ ，闭包记为$\overline{M}$ 。

序列积是量子测量与量子信息理论的核心概念，Stan Gudder和Gabriel Nagy于2002年在首次完成了该概念的公理化定义，并对其代数结构展开深入分析，重点探讨了序列积交换性条件等基本性质[1]。针对almost sharp算子的判定，文献[2]给出充要条件：算子$T$ 为almost sharp当且仅当$T\le I$ 且$\dim R\left(T-T^2\right)\le \dim N\left(T\right)$ ，同时该文献首次提出nearly sharp算子的定义。此外，杜鸿科教授团队在文献[3]-[5]中围绕量子效应下确界的存在性问题开展研究，推导并证明了该问题的相关性质结论。

下面给出广义逆的相关定义。设$T\in B\left(H,K\right)$ ，$S\in B\left(K,H\right)$ 。若

$TST=T$ ，$STS=S$ ，${\left(TS\right)}^{*}=TS$ ，${\left(ST\right)}^{*}=ST$ ，

则称$S$ 为$T$ 的Moore-Penrose逆，记为$T^{†}$ ；若

$TS=ST$ ，$STS=S$ ，$TST=T$ ，

则$T$ 称为群可逆算子，$S$ 称为$T$ 的群逆，简记为$T^{﹟}$ ；若

$TST=T$ ，$R\left(S\right)=R\left(T\right)$ ，$N\left(S\right)=N\left(T^{*}\right)$ ，

则$T$ 称为核可逆算子，$S$ 称为$T$ 的核可逆，简记为$T^{⊛}$ 。

2. 预备知识

引理1 [6]：设，。记$H_1=R\left(P\right)\cap R\left(Q\right)$ ，$H_2=R\left(P\right)\cap R{\left(Q\right)}^{\perp }$ ，$H_3=R{\left(P\right)}^{\perp }\cap R\left(Q\right)$ ，$H_4=R{\left(P\right)}^{\perp }\cap R{\left(Q\right)}^{\perp }$ ，$H_5=R\left(P\right)\ominus \left(H_1\oplus H_2\right)$ ，$H_6=R{\left(P\right)}^{\perp }\ominus \left(H_3\oplus H_4\right)$ ，则

$H=H_1\oplus H_2\oplus H_3\oplus H_4\oplus H_5\oplus H_6$

且$\dim H_5=\dim H_6$ 。关于此空间分解，$P$ 和$Q$ 具有如下矩阵形式

$P=I_1\oplus I_2\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}{I}_5& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ ，

$Q=I_1\oplus 0\oplus I_3\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}{C}^2& CSR\\ R^{*}CS& R^{*}{S}^{2}R\end{array}\right)$ 。

其中$I_i$ 表示子空间$H_i\left(i=1,2,3,5\right)$ 上的恒等算子。$R$ 是从$H_6$ 到$H_5$ 的等距同构算子，$S$ 和$C$ 是$H_5$ 上的自伴算子，并且满足$0\le S\le I_5$ ，$0\le C\le I_5$ ，$C^2+S^2=I$ 以及$N\left(S\right)=N\left(C\right)=\left\{0\right\}$ 。

引理2 [7]：设$A\in B\left(H\right)$ 为正算子，$k$ 是任意正整数。则以下结论成立：

(1) $R\left(A\right)\subseteq R\left(A^{\frac{1}{k}}\right)$ ，且$\overline{R\left(A\right)}=\overline{R\left(A^{\frac{1}{k}}\right)}$ ；

(2) $R\left(A\right)$ 是闭当且仅当$R\left(A\right)=R\left(A^{\frac{1}{k}}\right)$ ；

(3) $R\left(A\right)=H$ 当且仅当$A$ 是可逆算子。

引理3 [8] 设$H$ 为Hilbert空间，$T\in B\left(H\right)$ ，$S\in B\left(H\right)$ 。若$S$ 为可逆算子，$T$ 为Drazin可逆算子，则$S^{-1}TS$ 也是Drazin可逆算子，并且${\left(S^{-1}TS\right)}^D=S^{-1}{T}^{D}S$ 。

3. 主要结果及其证明

定理1：设$P,Q\in P\left(H\right)$ 。令$T=P\circ Q\in \epsilon \left(H\right)$ 且$I-T=I-P\circ Q\in \epsilon \left(H\right)$ ，则以下结论成立：

(1) $T\in P\left(H\right)$ 当且仅当对任意有限正整数$n$ ，均有$T^n\in P\left(H\right)$ ；

(2) $I-T\in P\left(H\right)$ 当且仅当对任意有限正整数$n$ ，均有$P{\left(I-Q\right)}^{n}P\in P\left(H\right)$ 。

证明：若$T\in P\left(H\right)$ ，由引理1可得：

$T=P\circ Q=PQP=I_1\oplus 0\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}{C}^2& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

对上述算子等式两边取$n$ 次幂（$n$ 为有限正整数），可得

$T^n=I_1\oplus 0\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}{\left(C^2\right)}^n& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=I_1\oplus 0\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}{C}^{2n}& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

显然$T^n\in P\left(H\right)$ 。

若$I-T\in P\left(H\right)$ ，同理可得：

${\left(I-T\right)}^n=0\oplus I_2\oplus I_3\oplus I_4\oplus \left(\begin{array}{cc}{\left(S^2\right)}^n& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=0\oplus I_2\oplus I_3\oplus I_4\oplus \left(\begin{array}{cc}{S}^{2n}& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

此外，易证$I-PQP=P\left(I-Q\right)P$ ，因此${\left(I-PQP\right)}^n=P{\left(I-Q\right)}^{n}P$ 。结合${\left(I-T\right)}^n={\left(I-PQP\right)}^n$ ，可得

$P{\left(I-Q\right)}^{n}P\in P\left(H\right)$ ，即结论(3)得证。

推论1：设$A,B\in \epsilon \left(H\right)$ 。则有以下等式成立

(1) $\underset{2n}{\underbrace{A\circ \cdots \circ A}}\circ \left(A\circ B\right)=A^{2n}\circ \left(A\circ B\right)$ ，其中$n\in Z$ 。

(2) $\underset{2n-1}{\underbrace{A\circ \cdots \circ A}}\circ \left(A\circ B\right)=A^{2n}\circ B$ ，其中$n\in Z$ 。

定理2：设$P$ 和$Q$ 是$B\left(H\right)$ 中两个正交投影算子。令$T=P\circ Q=P^{\frac{1}{2}}Q{P}^{\frac{1}{2}}$ ，则以下结论成立：

(1) $P\circ Q=\left(P\circ Q\right)\circ P$ 。

(2) $\left(P\circ Q\right)\circ Q=P\circ \left(Q\circ P\right)$ 。

(3) $T\circ Q=T^2$ 。

(4) $P\circ T^{\frac{1}{2}}=T^{\frac{1}{2}}$ ，并且$R\left(T^{\frac{1}{2}}\right)\subset R\left(P\right)$ 。

证明：(1) 由引理1中可知

$P\circ Q=PQP=I_1\oplus 0\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}{C}^2& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

并且由$0\le C\le I_5$ ，可得

${\left(P\circ Q\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(PQP\right)}^{\frac{1}{2}}=I_1\oplus 0\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}C& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

从而

$\begin{array}{c}\left(P\circ Q\right)\circ P={\left(PQP\right)}^{\frac{1}{2}}P{\left(PQP\right)}^{\frac{1}{2}}\\ =I_1\oplus 0\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}{C}^2& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=PQP=P\circ Q.\end{array}$

即证明$P\circ Q=\left(P\circ Q\right)\circ P$ 。

(2) 由引理1可得

$\begin{array}{c}\left(P\circ Q\right)\circ Q=\left(PQP\right)\circ Q={\left(PQP\right)}^{\frac{1}{2}}Q{\left(PQP\right)}^{\frac{1}{2}}\\ =I_1\oplus 0\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}C& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{C}^2& CSR\\ R^{*}CS& R^{*}{S}^{2}R\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}C& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\\ =I_1\oplus 0\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}{C}^4& 0\\ 0& 0\end{array}\right)={\left(PQP\right)}^2=P\cdot \left(QPQ\right)\cdot P\\ =P\circ \left(QPQ\right)=P\circ \left(Q\circ P\right).\end{array}$

即证明$\left(P\circ Q\right)\circ Q=P\circ \left(Q\circ P\right)$ 。

(3) 基于空间分解$H=\underset{i=1}{\overset{6}{\oplus }}{H}_{i }$ ，可得

$\begin{array}{c}T\circ Q=T^{\frac{1}{2}}Q{T}^{\frac{1}{2}}\\ =I_1\oplus 0\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}C& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{C}^2& CSR\\ R^{*}CS& R^{*}{S}^{2}R\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}C& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\\ =I_1\oplus 0\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}{C}^4& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=T^2.\end{array}$

(4) 由空间分解$H=\underset{i=1}{\overset{6}{\oplus }}{H}_{i }$ ，可得

$P{T}^{\frac{1}{2}}=I_1\oplus 0\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}C& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=T^{\frac{1}{2}}$ 。

即可得$R\left(T^{\frac{1}{2}}\right)\subset R\left(P\right)$ 。根据上述计算，我们得到$P{T}^{\frac{1}{2}}=T^{\frac{1}{2}}$ ，对等式两边同时取伴随，则有$T^{\frac{1}{2}}P=T^{\frac{1}{2}}$ ，可得$P{T}^{\frac{1}{2}}P=P{T}^{\frac{1}{2}}=T^{\frac{1}{2}}$ 。

定理3：设$T=P\circ Q$ ，其中$T$ 为自伴算子且$P$ 和。则$T^{†}$ ，$T^{﹟}$ ，$T^{⊛}$ 存在当且仅当$R\left(C\right)$ 闭，并且有以下形式：

$T^{﹟}=T^{†}=I_1\oplus 0\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}{C}^{-2}& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=T^{⊛}$ 。

证明：基于空间分解$H=\underset{i=1}{\overset{6}{\oplus }}{H}_{i }$ ，我们有

$P=I_1\oplus I_2\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}{I}_5& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ ，

$Q=I_1\oplus 0\oplus I_3\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}{C}^2& CSR\\ R^{*}CS& R^{*}{S}^{2}R\end{array}\right)$ ，

$T=P\circ Q=P^{\frac{1}{2}}Q{P}^{\frac{1}{2}}=I_1\oplus 0\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}{C}^2& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ 。

则由$T^{†}$ ，$T^{﹟}$ ，$T^{⊛}$ ，$T^{-1}$ 的定义可知有以下形式：

$T^{﹟}=I_1\oplus 0\oplus 0\oplus 0\oplus \left(\begin{array}{cc}{C}^{-2}& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=T^{†}=T^{⊛}$ 。

致 谢

首先感谢我的指导老师海国君，在论文撰写过程中老师的悉心指导与专业启发为我提供了关键帮助。同时，感谢学院里一同探索学术的师长与朋友们，在思维的交流碰撞中，他们的见解让我对研究有了更深入的思考，也感谢家人始终的支持与鼓励，在此深表谢意。

基金项目

内蒙古自治区自然科学基金(2020ZD01)。