思政元素融入《概率论与数理统计》教学实践中的探究

The Exploration of Integrating Ideological and Political Elements into the Teaching Practice of “Probability and Statistics”

摘要: 《概率论与数理统计》是高校大部分专业公共必修课，其知识体系不仅包含严谨的数学逻辑，而且蕴含大量的可挖掘思政元素。如何将思政元素自然地融入课程教学中是课程思政建设的关键。本文阐述教师在讲授具体案例时，如何将思政元素和知识传授有机地融合，切实推动了教育领域立德树人的根本任务。

Abstract: “Probability and Statistics” is a compulsory public course for most majors in institutions of higher education. Its knowledge system not only embodies rigorous mathematical logic but also contains a wealth of exploitable ideological and political elements. How to naturally integrate ideological and political elements into classroom teaching is the key to the construction of curriculum ideological and political education. This paper elaborates on how teachers can organically integrate ideological and political elements with knowledge imparting when teaching specific cases, thereby effectively promoting the fundamental task of Lide Shuren in education.

1. 引言

《概率论与数理统计》是研究随机现象统计规律性的学科，具有极强的应用性，其理论与方法广泛渗透到自然科学、社会科学、工业工程、日常生活等各个领域。该课程作为高等院校理科、工科、部分文科、管理类等专业的公共基础课，内容覆盖面广，却普遍面临课时相对有限、授课学生规模较大的现实情况，因此探索并运用高效的教学方法显得尤为关键。

课程思政概念的产生是中国特色高等教育发展的必然结果，并且其产生过程并非一蹴而就，而是经历了从地方实践到全国推广的过程[1] [2]。2014年，上海教育综合改革方案首先提出课程思政，并且在复旦、同济等高校进行实践，同时推出《大国方略》等示范课程。2016年，习近平在全国高校思政工作会议指出把立德树人作为教育的中心环节，思政工作贯穿教学全过程，落实全程、全方位育人成为教育的核心要求。随后曹文泽在《学习时报》发表的文章首次明确提出课程思政概念，标志着这一教育理念的正式给出。2017年，党的十九大报告在“优先发展教育事业”部分明确强调全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。2020年，教育部印发《高等学校课程思政建设指导纲要》，明确课程思政建设标准、内容体系与实施路径，实现全国高校全覆盖。2022年，教育部等十部门联合发布《全面推进“大思政课”建设的工作方案》，强调课程思政与“大思政课”融合，推动高质量课程建设。

为顺应新时代高等教育的发展要求，将专业知识体系与课程思政元素深度融合，已成为高校教师开展教学工作的必然趋势。在《概率论与数理统计》课程教学中，教师需在系统传授学科理论知识、着力培养学生逻辑思维能力与数据分析素养的同时，有机融入价值引领，引导学生树立正确的世界观、人生观与价值观，厚植民族自豪感与家国情怀，从而切实落实课程思政“立德树人”的根本任务。近年来，全国各地院校持续推进课程思政教学改革，众多学者结合不同课程的特性，给出了一系列关于课程思政实施路径、教学设计的研究成果。其中，大学数学课程思政的建设探索以及将马克思主义哲学的世界观与方法论等思政元素，与数学课程内容深度融合，为学科育人实践提供了具体思路[3] [4]。自“课程思政”概念提出以来，研究者们结合《概率论与数理统计》的学科特性，持续挖掘该课程中的思政元素，并积极探寻将其有机融入课堂教学的有效方法与实践途径[5]-[10]。本文聚焦于探究思政元素在《概率论与数理统计》教学的重要意义，通过具体案例，展示思政元素和课程教学相结合的实施路径和教学效果。

2. 基于案例将思政教育融入《概率论与数理统计》课堂教学

我们学校学生使用的《概率论与数理统计》教材里[11]附有几位在概率统计方面做出贡献的著名人物传记的音频，学生可以通过扫描书中二维码聆听人物传记，了解他们的贡献和献身科学的精神，学生从科学家的人生故事中汲取精神力量，同时激发学生的学习兴趣。教师通过雨课堂上传一些概率论与数理统计的学习材料，及其概率统计内容相关的视频，如自然灾害(水灾、旱灾、地震)，疫情(核酸检测)、体育比赛等一些蕴含概率统计知识的视频，让学生体会到概率统计知识渗透到各行各业中。本文从贝叶斯公式，泊松分布，数学期望，参数估计，假设检验五个方面的内容设计了课程思政案例。以下以社会热点问题构建思政案例，教师通过系统的案例讲解与深度剖析，既能够引导学生运用概率统计知识解决现实问题的实践能力，也可以培养学生科研素养和家国情怀，实现知识传授、能力培养与价值引领的有机统一。

• 贝叶斯公式–核酸检测中的“假阳性”问题

贝叶斯公式主要求解的是“由果溯因”类的概率问题，也就是“已知结果”的条件下，求导致该结果某个原因的条件概率，这个数学公式内在的逻辑，与唯物辩证法中因果观念高度契合——任何结果的产生都有其对应的原因，因果之间的联系并非绝对必然，而是存在着一定偶然性关联。

案例1某核酸检测试剂说明书标注“假阳性率1%、假阴性率1%”，即患病者检测为阳性的概率99%，未患病者检测为阴性的概率99%。若某地区新冠感染率为0.1%，小明检测结果为阳性，他实际患病的概率是多少？

解：设A = “检测结果为阳性”，B = “实际患病”，$P\left(A|B\right)=0.99$ ，$P\left(A|\overline{B}\right)=0.01$ ，$P\left(B\right)=0.001$ ，$P\left(\overline{B}\right)=0.999$ 。检测为阳性，实际患病的概率为

$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{P\left(B\right)P\left(A|B\right)}{P\left(B\right)P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right)P\left(A|\overline{B}\right)}=\frac{0.99\times 0.001}{0.99\times 0.001+0.01\times 0.999}\approx 0.09$ 。

结果分析：核酸检测结果为阳性，但是患病的概率只有0.09，也就是出现假阳性概率很大。单次检测结果并且绝对权威，需要多次复检、结合检验地区的感染率，被检验人的症状等多方面信息综合判断。通过案例分析，学生学会用数学工具解决实际问题的同时，培养学生基于数据的辩证思维和独立判断能力，反对绝对化认知、恐慌性判断，坚守求真务实的科学精神。

• 泊松分布–自然灾害的防灾减灾

泊松分布是刻画稀有随机事件发生规律的经典概率模型，在预测地震方面发挥着重要作用，为防灾减灾决策提供科学支撑。

案例2：据记载我国某地震多发区，年均7级以上地震的平均次数$\lambda =0.15$ (稀有事件)。求连续3年无7级以上地震的概率：5年内发生1次以上7级以上地震的概率。

解：由于各年发生地震是相互独立，相互独立泊松分布的和任为泊松分布，随机变量$X$ 表示$t$ 年内发生地震的次数，$P\left(X=k\right)=\frac{{\left(\lambda t\right)}^k}{k!}{\text{e}}^{-\lambda t},k=0,1,2,\cdots$ ($t$ 为年数)，一年内发生7级地震的概率$P\left(X\ge 1\right)=1-{\text{e}}^{-0.15}\approx 0.1393$ ；

连续3：年无7级以上地震的概率：$P\left(X=0\right)={\text{e}}^{-3\times 0.15}\approx 0.6376$ ；

5年内发生至少1次7级以上地震的概率：

$P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)=1-{\text{e}}^{-5\times 0.15}\approx 0.5276$ 。

结果分析：从计算结果可知一年内发生7级以上地震概率为0.1393，但是5年内发生7级以上地震的概率上升到0.5276，这说明虽然年度概率小，但是长期风险仍然很大，进一步说明防灾减灾是一个长期工作，这个工作需要各个部门共同努力。通过以上案例分析，可以培养学生“通过数据说话、用科学决策”的逻辑思维能力，让学生掌握使用概率统计工具分析复杂问题的方法，从而为防灾减灾相关政策的制定与优化提供严谨的科学依据。

• 数学期望–核酸混检策略的优化分析

数学期望，又称为均值，是描述随机变量平均取值水平的数字特征，本质上是权重为概率的加权平均值。数学期望广泛地应用在经济管理、工程技术、社会科学、日常生活等诸多领域，为各类随机场景下的定量分析与理论决策提供了重要的数学工具。

案例3：某小区有$N$ 个人参加核酸检测，已知每人检测呈阳性的概率为0.001，现采用两种方案进行采样化验；方案一：逐一进行化验(单检)；方案二：分组化验(混检)，$k$ 个人的血混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验一次；若为阳性，再逐一进行化验，在此情况下，需要化检$k+1$ 次，问哪种方案较好？

解：设$N$ 为$k$ 倍数，方案一，单检需要化验次数$N$ 次，方案二，因检验次数不确定，所以设$X$ 为其中一组检验的次数，则$X$ 的分布律如下：

$X$	1	$k+1$
$P$	${0.999}^k$	$1-{0.999}^k$

每组需要检验的次数为：$E\left(X\right)=1\times {0.999}^k+\left(k+1\right)\times \left(1-{0.999}^k\right)=k+1-k\times {0.999}^k$ 。方案二，总检测次数为$\frac{N}{k}E\left(X\right)=N\left(1-\left({0.999}^k-\frac{1}{k}\right)\right)$ 。当${0.999}^k>\frac{1}{k}$ ，方案二优于方案一。

结果分析：在疫情期间，很多地区混检取$k=10$ ，同时取$N=1000$ ，此时混检的次数约为100次。明显小于单检的次数。从上面计算结果可知哪个方案好完全取决于$q,k$ 。在确保检验准确性的同时，可以根据$q$ 的值，确定最优混检人数$k$ ，达到提高检验效率、节约资源的目的。这样也可以解释在疫情期间，大规模核酸检测中，为何有的地区采用10人混检，有的地方采用20人混检。进一步说明混检的效率取决于人群阳性率，阳性率越低，混检节省的检测次数越多；若阳性率过高，混检可能因频繁复检失去效率。通过此案例分析让学生明白核酸单检与混检策略的动态调整，实际上是在资源有限条件下的最优策略选择，并非主观决策，而是基于被检查地区感染概率做出的科学推断。单检结果准确但是成本高、效率低，适合于感染率高的重点人群筛查，而混检效率高、成本低，适合大规模感染率低人群普通筛选。大规模核酸检测是多数学生的亲身经历，大家在直观感受其高效推进过程的同时，更能深刻体会到：这一举措的顺利落实，离不开全国范围内医疗资源的统筹调配、跨区域的协同配合与全社会人士的同心协力。而这一切正好体现了我国“集中力量办大事”制度的优势。以此为切入点开展教学，能够引导学生真切感悟制度优势的强大生命力，进而厚植家国情怀，增强民族自豪感。

• 区间估计–预测食堂排队时间的统计推断

区间估计和点估计是参数估计的两种方法。区间估计是指在给定的置信水平(置信度)下，构造一个包含总体未知参数的置信区间，该区间包含未知参数的概率为置信度。点估计的结果对不同的样本，其结果基本不同，点估计值等于总体参数的真实值的概率很小。通过置信区间的长度和置信水平来衡量置信区间的精度和可靠性。区间估计广泛应用于日常生活、社会经济、工业质量、生物医药和环境科学等领域，为政策制定、风险防控提供科学依据。

案例4某学校调查学生在食堂打饭时间(单位：秒)，有个同学用手机秒表随机记录排在他前面的8位同学的服务时间，测量得到数据为：45，60，50，70，55，80，40，65。计算平均打饭时间的95%置信区间(假设食堂打饭时间服从正态分布)？

解：设食堂打饭时间为随机变量$X$ ，计算得到样本均值$\overline{x}=58.125$ 秒，样本标准差$s=12.8$ 秒，其95%的置信区间为

$\left(\overline{x}-\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right),\overline{x}+\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)\right)$ ，$n=8$ ，$t_{0.025}\left(7\right)\approx 2.365$ ，代入数据得$\left(47.4,68.8\right)$ 。

结果分析：根据以上计算可知，学生可以预估打饭需要等待多长时间。估计结果为后勤部门负责食堂管理人员制定制度(食堂窗口设置，服务人员分配，服务流程等)提供了科学依据。如果排队时间偏长，后勤部门可据此通过增加窗口、优化流程等，减少学生食堂打饭等待时间。通过对此案例分析，可知区间估计是将随机抽样的真实数据代入统计模型计算获得，并非经验判断或主观猜测。这个过程既体现了“一切从实际出发，尊重客观规律”的唯物主义思想。同时学生在解决校园实际问题的过程中夯实专业知识能力，并且树立“用数据说话、以专业赋能”的思维，强化大学生的主人翁意识与社会责任感。

• 假设检验–国产芯片良品率

相对于参数估计而言，假设检验是统计推断的另一类重要问题。它是指基于样本数据，在给定的显著性水平下，对总体参数或分布形式的某种假设进行合理性检验的统计方法。假设检验的基本步骤为：提出假设–给出检验统计量–确定拒绝域–代入样本值得出结论，为各类不确定性问题的统计推断与决策制定提供了严谨的科学依据，它广泛地应用于医学试验、经济建模、生态评估、社会治理等诸多领域。

案例5某国产芯片企业新研发的一条生产线，设计标准为良品率不低于95%。为验证生产线是否达标，质量检测部门随机抽取了100件芯片产品进行检验，发现其中92件为良品。判断该生产线的良品率是否达到设计标准(显著性水平$\alpha =0.05$ )。

解：(1) 提出假设$H_0:p\ge 0.95$ ，$H_1:p<0.95$ ；

(2) 在假设$H_0$ 成立的前提下，选择检验统计量

$Z=\frac{\widehat{p}-p_0}{\sqrt{p_0\left(1-p_0\right)/n}}$ 。

(3) 对于给定显著性水平$\alpha =0.05$ ，假设的拒绝域为$W:Z<-z_{0.05}=-1.645$ ；

(4) 检验统计量的观察值

$Z=\frac{0.92-0.95}{\sqrt{\frac{0.95\times 0.05}{100}}}\approx -1.376$ ；

(5) 做出决策，$Z=-1.376>-1.645$ ，未落在拒绝域内，在显著性水平$\alpha =0.05$ 下，接受$H_0$ 。基于现有样本数据和显著性水平认为该生产线的良品率达到设计标准，企业的生产质量初步达标。

结果分析：检验结果和显著性水平取值相关，不同的显著性水平，可能会得到不同的检验结论。检验结果达标，并非绝对意义上的达标，原因为假设检验所采用的原理是小概率论事件在一次试验中基本不会发生，不是一定不发生。基于此原则，假设检验可能会犯两种错误弃真和取伪。若要同时降低假设检验的两类错误概率，企业可通过扩大样本容量继续检验，以此提升检验结果的精准性，为企业科学决策提供可靠的数据支撑。通过间接假设检验案例让学生理解假设检验的本质，假设检验结论并非绝对正确，需要结合产品的实际情况进行全面考究，从而培养学生严谨的科研态度。作为新时代大学生，既要具有能用夯实的专业知识解决学术问题的能力，也要拥有凭敏锐的科学思维解决实际问题的能力。对于大学生而言，未来无论是投身芯片产业还是其他领域，都要以严谨求实的态度、精益求精的工匠精神，为国家科技发展贡献力量。

3. 结束语

本文探讨了教师在《概率论与数理统计》案例教学中，将思政元素有机融入课程内容的实践路径。这种教学模式不仅有助于提升学生的学习积极性，也切实落实了立德树人的根本任务。学生在专业知识的学习过程中，能够潜移默化地汲取思政教育的养分，实现知识学习与价值引领的有机统一。

基金项目

内蒙古工业大学思政建设“概率论与数理统计”(SZ2025024)，“高等数学B”(SZ2025023)，“线性代数”(SZ2025025)。

NOTES

^*通讯作者。