1. 引言
大学数学类公共课程是各个高等院校本科培养计划中的关键课程，也是学生首次迈入大学校园接触到的一类重要基础课程，一般包含《高等数学》《线性代数》和《概率论与数理统计》。数学作为“科学之母”，一方面，其在理学、工学、经济学、管理学、社会学等专业都有着广泛应用，是开展专业学习的前提和基础，是培养大学生抽象思维能力、逻辑推导能力、分析和解决问题能力的重要载体；同时，数学课程也是许多学科硕士研究生入学考试的必考和提分科目；此外，对大学新生来讲该课程内容比较抽象、晦涩，学生畏难情绪较为普遍[1] [2]。因此，深入开展数学公共课程的教学改革研究，不断提高数学类公共课程的教学质量显得非常重要和十分必要。虽然近年来，特别是全面落实“立德树人”、“以本为本”任务以来，各大高校都在探讨数学类公共课程的教学改革方面取得了一些成绩，但是实际效果远没有达到预定目标，在教学模式、教学质量和激发学生的学习兴趣等方面还是没有得到很好解决。因此，数学类公共课程的教学改革势在必行。
近来，随着互联网技术的发展以及移动终端的普及，人工智能的浪潮席卷而来，基于“AI+”的各类数字和网络新的教育形态正在席卷全球。“微课”以短视频的形式，实现了对碎片化、多样化的学习需求，是目前最重要的一种教育形态[3] [4]。21世纪初出生的大学生是伴随着网络环境成长起来的一代，他们生活在微信、网盘、抖音等数字媒体和资源之中，对手机、平板、笔记本电脑等移动终端非常熟悉，几乎所有的学生都是使用手机、电脑等来了解新闻、观看视频和玩游戏。这些大学生都能够毫无障碍地接受以视频为载体的“微课”教学形式[5]。因此，借助于移动终端和互联网技术，不断吸收新的教学形态的优点，深入探讨基于“微课”的嵌入式数学课程课堂教学模式，对推进学生的自主学习、高效学习和创新学习显得尤为重要。
2. 数学公共课程中微课与传统课堂教学的比较分析
微课(Micro-Class)由美国圣胡安学院提出，是一种基于构建主义的学习理论，是以学生为主体、教师为主导、学习为中心的教学理念，是以在线学习或动态学习为目的的教学内容[6]。国内的相关研究也指出，微课是指在较短时长内，有明确的教学目标，讲解和说明一个问题的小课程。在认知负荷理论视角下，微课时长限制(5~15分钟)契合人类工作记忆有限容量的特点，有助于避免外在认知负荷超载，促进认知资源的有效分配。根据多媒体学习理论，微课通过视听双通道整合精简内容，符合片段化、情景化呈现原则，极大优化认知加工路径，促进知识在长时间记忆中的生成，提升学习效率与深度。因此，内容结构清晰、模块相对独立、视觉信息丰富的主题适合微课化处理。将其应用在数学公共课程教学中的优缺点可归纳出以下。
一方面，(1) 数学微课“短、小、精”。微课视频时长一般5~15分钟，利用有限的时间针对一个小的知识点进行讲述，精简无关的内容，力求做到精练，突出需要学习的核心知识。通常情况下，一个数学知识点的讲解需要10分钟左右，恰好与微课视频的时长相同。在这段时间内学生的注意力能高度集中，保持最高的学习效率，使得微课这类教学形态能达到非常好的学习效果。同时，微课不是精品课程或优质课程的课堂录像，也不是将很多知识点归纳和总结，每个微课视频只讲一个小的知识点，使得视频的数据量较小，方便传输、携带和观看[7] [8]。(2) 数学微课直观、动态、有吸引力。借助数字多媒体技术，微课能够提供动态的视听感受和全面学习体验，能够全方位地利用AI、PPT、图形、视频、动画等展示数学概念和原理进行情境教学，特别是对数学知识中一些“动态”、“极限”、“数形结合”等问题的描述[8]。例如：在利用曲边梯形面积的计算讲解定积分的定义时，其“分割–近似–求和–取极限”的过程可以利用微课完美呈现，让学生身临其境，给学生最直观的印象。合理利用微课，可以将抽象概念具体化，复杂的问题简洁化，提高学习过程中的视听体验，使得学生的学习主观能动性得到发挥，在激发学习兴趣的同时也提高了学习效率。(3) 数学微课易扩展、多对象、快节奏。可以将课程中某个易错、易混淆、较困难的知识点制作成微课，也可以将课程中的某些章节制作成微课，还可以将整个课程制作成微课，这使得微课具有很好的拓展性。可以在原有微课的基础上逐步的积累和增加，也可以不断地修改和替换。当微课视频制作完成时，可以面对任意的学习对象。由于其针对的是某个小的知识点，没有太多学习背景的要求，所以适合不同专业学生的预习、学习或复习使用。随着生活节奏的加快和信息获取渠道的多样化，当前大学生的学习时间越来越零散化，微课非常适合当前快节奏、碎片化、移动化的学习潮流。(4) 数学微课有助于自主学习，有助于学生跟上学习进度。微课的制作原则是以学生为中心，以学习为主导，注重学习体验的过程，注重个性化的自主学习。学生利用微课学习时，可以结合自己学习的实际情况，明确“哪些需要预习，哪些需要学习，哪些需要巩固，哪些是薄弱环节”，灵活地选择学习内容，观看自己需要学习的内容，打破了学习的时间线。此外，因为数学基础和学习能力的差异，数学课程常会导致很多学生跟不上教师的学习进度，久而久之产生畏难情绪，从而放弃继续学习。通过微课，学生可以自主学习，课堂教学结束后还没有掌握知识的同学可以补充学习，及时地理解和掌握教学内容，从而能够跟大多数同学的学习进度保持一致[9] [10]。
另一方面，(1) 数学微课信息零散化，缺乏系统性，影响知识的整体架构的建立。微课在制作过程中先要将课程涉及的知识点进行最小化处理，各个知识点可以独立学习，从而导致微课从整体上看，信息零散，知识点之间缺乏较好的相关性和连贯性。在零散化学习过程中，知识需要不断梳理和整合，否则将缺乏系统性。零散化的知识也会增加学生脑力负荷，导致无效学习，对知识只停留在表面的理解，难于建立整体构架。(2) 数学微课影响逻辑推理能力的培养。由于数学概念和定理证明严谨，步骤与步骤之间的连贯性大，且每一步的推导都需要定理或方法作为支撑，这种逻辑推导能力是数学学习的重要方面。而逻辑推理过程，在微课中不太容易展示，学生不太容易掌握。(3) 数学微课中教师缺乏主导性，对学生的管理机制不足。由于微课自主学习、移动学习的特点，导致教师对课堂管理手段有限，不能有效地监督学生的学习过程，没有有效约束学生学习过程的机制，导致自律性欠缺的学生学习效率低下。
3. 数学公共课程中开展微课嵌入式课堂教学改革的必要性
数学公共课程中“微课”和“传统课堂教学”两者恰好可形成互补，即“微课”可以补充“传统课堂教学”的不足，“传统课堂教学”能够弥补“微课”的缺点。因此，开展微课嵌入式的课堂教学改革，能结合两者的优点，对提高学生学习效率，推动创新性人才培养，促进教师教学水平的提高具有重要意义。
1. 教学模式生动性，极大地促进了课堂教学的趣味性
在数学课程的传统课堂教学中，根据教学目标合理地选择微课嵌入的时刻、时长和内容，借助微课的视频、音频、动画等丰富的呈现形式，通过变化教学节奏，能够吸引学生的注意力、活跃课堂氛围，从而极大促进课堂教学的趣味性。此外，伴随着互联网成长起来的当代大学生，注意力持续时间不长、习惯于接受数字网络媒体，因此，在课堂教学中择机嵌入短小的微课能让学生多感官刺激，起到提高学习效率、增强学习效果的作用。
2. 学习方式的多样性，极大地促进了学生学习自主性
在课堂教学中，教师可以将知识的重点和难点给学生进行讲解和交流。但是，一方面由于不同学生知识基础、学习能力的差异导致对知识掌握的程度不一致；另一方面由于知识点的难易程度不同，同一个学生可能有的知识点掌握的好有的知识点掌握的不全面。在课堂教学中嵌入微课，可以给学生提供多样的学习手段，对于落后的学生或是难于掌握的知识点，不会因为课堂教学的结束而无法巩固。学生可以通过自主学习，利用微课来消化和吸收薄弱的知识点，保持与整体教学进度和要求一致。
3. 教师角色的挑战，极大促进了教学水平的提高
在传统的数学公共课程教学中，教师按教学大纲的要求来组织教学，基本上处于“多年按部就班地讲授一成不变的课本知识”这一巨大的惯性之中，一年年改变的是学生，不变的是教法。当前，面对微课嵌入式教学这一新命题，教师需要不断地调整以往的教学模式和思维方式，拓展视野，加强学习，逐渐提升教学理念和水平。教师在选择或制作微课中需要结合学生实际情况选取微课的形式、内容等。这个过程是教师学习、分享和积累的过程。此外，通过教学实践中发现的问题，教师需要不断改进微课嵌入的策略。这些教学研究的过程将极大地促进教师教学水平的提高。
4. 数学公共课程中嵌入式微课教学的实施原则
传统数学课堂中开展嵌入式微课教学的核心问题是要确保能够突出两种教学模式的优点，规避缺点，使得微课支持下的传统课堂不仅学生喜闻乐见而且也是教师教学的利器。大学数学公共课程不同于一般课程，其知识体系庞大，抽象思维和逻辑推理较多，对学生学习主动性要求较高。因此，为了提升教师的工作效率和本科教学质量，在传统课堂教学中嵌入微课时需要在内容和策略上进行合理安排。
1. 嵌入式微课的内容模式。根据数学公共课程的特点、教学大纲的要求和学生的接受水平，可以将嵌入的微课按照内容分为三大类。
(1) 问题导入型。鉴于数学知识高度的概括性和抽象性，为了对所学概念有直观印象和具体载体，教师一般会利用一个例子进行导入。例如：在讲授导数概念之前会利用物体下落的速度和加速度的关系引入，在讲授随机变量的期望之前会利用两个射击选手比赛成绩的比较问题引入，在讲授线性空间的基之前会利用坐标系的特点引入。这些例子都来源于实际生活，对加深数学概念的理解具有重要作用。将这些实际例子制作成微课，利用微课的直观、动态等特点最大程度地揭示问题的本质，立刻就可以抓住学生学习的注意力，也为教师节省了作图演示的时间。此外，通过问题导入型微课，学生会带着问题进行学习，不断归纳、总结、提炼出相关数学概念，做到了教学有的放矢，效果事半功倍。
(2) 核心知识型。根据教学大纲要求，将数学课程中既是重点又是难点的内容提炼出来，进行适当分解，制作成微课。针对这类既重要又有一定难度的内容，大部分学生很难在教师的一次课堂中理解和掌握，需要利用微课自主学习去巩固和消化。例如：在复合函数求导法中关于抽象函数求一阶或高阶偏导数的方法，古典概率中的全概率公式的应用，行列式按照某一行或某一列的展开式定义[11] [12]。这类核心知识是数学学习的重难点，短时间内不容易理解透彻，需要老师先课堂讲解，再配以微课补充。此外，一些基础差的学生还可以利用微课继续自主学习，跟上整体学习进度。在此过程中，师生共同协作，有利于突破教学的重难点。
(3) 应用扩展型。数学公共课作为各专业的一门重要基础课，在各个领域都有着广泛应用。例如：矩阵的特征值和特征向量在信号压缩中的应用，导数在描述经济学的边际效应中的应用，协方差和相关系数分析在社会学中的应用。因此，可将数学原理在不同专业领域中的应用制作为微课，不仅可以巩固所学知识、激发学生对数学的学习兴趣，还可以培养学生的科学精神和应用能力。此外，鉴于数学在研究生入学考试中的重要地位，还可以在应用拓展型微课中展示一些综合性、技巧性的研究生入学考试试题，让学有余力的同学可以更进一步。
2. 嵌入式微课的策略模式。数学学习具有很强的连贯性和逻辑性，因此在传统的课堂教学中不能毫无计划、随心所欲嵌入微课，导致学生在教师的课堂教学和微课之间频繁切换，不仅没有促进教学反而严重分散学生注意力。在具体操作上，需结合教学任务、知识特点和学生基础综合考虑，以确定微课的嵌入模式。
(1) “教–学–教”嵌入模式。此模式含义为：在课堂教学中，教师先讲授，然后嵌入微课开展学生自主学习，最后教师再讲授(归纳总结)。这种模式将微课嵌入在课堂教学的中间。按照“集中–分散–集中”的模式，教师首先进行知识的讲解分析，并提出相关问题启发学生思考，学生带着问题利用微课进行自主学习，最后教师进一步挖掘和拓展相关知识点并进行归纳总结。该模式适用于理论推导、计算法则等相关内容的讲解，有利于重难点内容的反复学习和突破。例如：在讲解洛必达法则时，教师首先情景导入，讲解定理化形式，然后利用微课展示分子分母逼近过程中变化率之比的几何意义，最后教师组织分层协作讨论并讲解其在应用中的原则及推广形式。该教学单元设计图见表1。
Table 1. Design diagram of micro-course embedding in teaching unit for “L’Hôpital’s Rule”
表1. 《洛必达法则》微课嵌入教学单元设计图
教学环节 |
时间安排(min) |
核心内容与教学活动 |
设计意图 |
1. 情境导入 |
0~8 |
课堂讲授：回顾极限计算中的未定式困境(如0/0型)，展示传统方法的局限性，引出问题：是否有方法处理此类极限？ |
制造认知冲突，明确学习必要性，激发探究动机。 |
2. 定理形式化讲授 |
9~15 |
课堂讲授：严格阐述洛必达法则的三种形式(0/0、∞/∞型)及其成立条件。 |
建立完整的定理认知框架，强调条件的严谨性。 |
3. 微课精准切入 |
16 |
播放微课(7分钟)：《洛必达法则的几何直觉与常见“陷阱”》。以动画动态演示分子分母在逼近过程中“变化率之比”决定极限的几何意义。直观展示忽略“可导性”或“极限存在”条件而误用的典型反例。 |
运用动态可视化构建深层概念图式，化解形式化定理的抽象性，并预先纠偏常见误解，降低错误应用的认知负荷。 |
4. 分层问题链与协作探究 |
23~35 |
阶梯式问题链(小组协作)： ① 基础应用， ② 条件辨析， ③ 策略迁移。 |
巩固操作技能；深化对定理条件的批判性理解；促进策略迁移与高阶思维。 |
5. 综合应用与讲解 |
36~45 |
讲解综合例题：结合洛必达法则与等价无穷小、泰勒展开等多种方法，对比策略优劣。 |
展示法则在复杂问题中的定位，培养元认知与策略选择能力 |
6. 课后任务与延伸 |
课后 |
分层作业：基础题为直接应用；拓展题为需多次使用或结合其他技巧的未定式极限；并推荐探究微课《洛必达法则与泰勒公式的内在联系》。 |
巩固技能，满足差异化需求，建立知识网络联结。 |
(2) “学–教–学”嵌入模式。此模式含义为：在课堂教学中，教师首先通过微课引入相关概念，然后教师就知识点进行讲解，最后再通过微课进行知识拓展和应用。这种模式是在课堂教学的两端嵌入微课，利用微课直观的特性展示实际问题和知识应用问题，能够寓教于“用”，激发学生的学习兴趣。该模式比较适用于新的概念引入或某些理论的应用等教学，有利于对新概念建立直观的初步印象，从而加深理解。例如：在讲解极值和最值的相关内容时，可以先通过微课借助具体的图形实例展示极值和最值的初步含义，然后教师讲授极值和最值严格的数学定义和判断准则，最后利用微课点出极值和最值的联系和区别并列举其在经济学中利润最大化方面的具体应用。
(3) 教与学同步嵌入模式。该模式侧重于将课堂教学和微课融为一体，教师在课堂教学和微课教学之间同步进行，微课可以多次甚至是一直嵌入在课堂教学中。该模式比较适用于习题课或是复习课。这类教学内容要求教师和学生之间频繁互动，教师需要实时掌握学生对知识的理解程度，学生在这类课程中同样也需要较多的自主学习机会。例如：在复习函数极限的计算方法时，可将洛必达法则、重要极限、夹逼法则、定义法等不同的计算方法分别制作成微课，列举出典型的例题。这样教师就可将课堂教学与微课教学同步进行。让课堂教学的节奏动静结合、富有变化，让课堂教学的形式视听结合、富有多样性。
5. 结束语
虽然利用人工智能、数字媒体和互联网技术将微课嵌入数学公共课程课堂教学中能极大提高学习兴趣和教学效果，但在实施过程中仍有几点需要特别注意。一是，将微课嵌入传统课堂不等同于将微课完全代替传统课堂教学，也不等同于将微课毫无先后次序、毫无重点任意嵌入，而是在遵循学习规律的前提下，由教师制定整体方案并选择最佳的嵌入内容和嵌入时间。二是，虽然目前有许多优秀的微课，但教师在课堂上嵌入的微课不能大量使用其他不同教师的，以避免导致教师失去教学的主动权。嵌入的微课应结合学生的专业特点和基础适当地自行制作。三是，不是所有课程、所有知识点、所有学生都适合微课嵌入式教学，作为教师要不断摸索、实践和反思，找出最佳的结合形式以提高教学质量。
基金项目
重庆理工大学本科教育教学改革“揭榜挂帅”专项项目“拔尖创新人才自主培养探索与实践”(NO. 2025ZDJG02)。